高考_数学_选择题的解法与技巧高考心态调整及应试策略 理科

凭祥高中高考数学选择题的解法与技巧 高考心态调整及应试策略 2011.3.2
有人曾做过摸底调查,对 20 个因素在高考成功中的作用进行排名,结果考场心态、考前心态、考试策略技 巧、临场发挥,分别排在第一、第二、第五、第七位.确实,高考成功主要靠二个因素:一靠高考硬件,平时掌 握知识的程度,学习能力;二靠高考软件,考前的心态,考中的心态.实力是基础,发挥是关键,它是高考成功 最关键、最主要、最基础的因素.一个考生的失利可能失在知识的掌握上,也可能失在答卷的策略和技巧上,还 可能失在心态上,这其中的任何环节都是成功的必要保证,不可忽视. 一、心态策略 (一)考前心态 随着经济的发展,自由竞争的增强,青少年在升学就业方面面临的压力比过去任何时候 都大,独生子女政策又使得家长关注孩子的程度大大增强,这种关注中,有一部分是针对孩子学习、升学的,它 造成了孩子的更大压力.在这种日益增大的压力之下,青少年的心理问题也相应地增多了.高考成功与否,确实 关系到今后的路将如何走.但它并不能决定考生一生的前途和幸福,人一生中奋进的机会很多,高考只不过是其 中之一,俗话说得好:条条道路通罗马.即使一时落榜,也可另走他路成才,要做到一颗红心,多种准备,千万 不要将生命的赌注全部押在高考这一颗法码上,致使心理压力过大.唯有轻装上阵,才能发挥水平. 在临考的前几天,考生往往随着较大的心理压力,表现出心神不宁、忐忑不安等种种焦躁情绪.更有的考 生会因为恐惧,抓住最后几天死拼,搞得疲惫不堪.殊不知这些都是临考大忌.心理学的研究表明,一个人的考 试焦虑水平和其思维效率成倒“U”形.因此,考生应利用临考前的一段时间调整出情绪稳定、精力充沛、充满 自信的身心状态. 具体地说,临考前,考生应把自己从繁重的学习中解放出来,采取各种方法放松身心,如增加轻度的体育 锻炼,拣起自己喜欢的、不耗时间的爱好,吃好、睡好,使自己的精神像“洗”过一样崭新,以便从容地走进考 场.这期间,考生可以根据自己的实际情况进行一些自信训练、放松训练,下面就介绍一种排除考试焦虑的常用 方法——系统脱敏训练. 训练程序如下:考生在睡觉前放松的时候,在大脑中想象自己在考试中的全过程,以及考场上可能出现的 突发情况,如想象自己进考场时十分紧张,还遇到了不会做的难题,而且考试时间也不够用.注意,将考场上的 惊慌想象得越细致越具体越好.临考前如能每天坚持这种训练,你就会发现自己并不那么恐惧考试了,而且考试 应变能力也会有所提高. 越是临近高考,心态的调节越重要,因此可以说,调节好心态是高考成功的一半.如何调整好心态,概括为 16 个字:强化信心,优化情绪,进入状态,充分发挥. 强化信心, 强化信心 优化情绪,进入状态,充分发挥. (二)考中心态 高考是紧张、激烈的脑力劳动,需要考生全身心投入,且处于最佳状态,以保证每分钟 都能积极思维.考试开始前,考生应像运动员比赛前先做准备活动一样,摒弃与高考无关的 一切杂念,排除种种可能在考场中分散注意力的因素,适当热身,提前进入“角色”.考试中 要克服六种不良心态. 偏急心态. 1、偏急心态.考试时,有些考生为了抢时间,刚拿到试题,情绪急躁,没有审清题设条件,慌忙答题,这 种心态称作偏急心态.正确的做法是:拿到试题,先大致浏览一下,做到 心中有数.每做一题,不要急于动手, 先看清题设条件,挖掘隐晦信息.根据条件,设计出先求什么,后求什么,再求什么,使解题有顺序地进行. 犹豫心态.一接触到试题,好象有不少思路,但对每一种思路又感到模糊朦胧,不知如何是好,犹豫不 2、犹豫心态 定,迟迟不下笔,此谓犹豫心态.正确做法:仔细分析题目,选取自己感到比较适合的思路,进行解答操作. 烦躁心态. 3、烦躁心态.经过几次的尝试,仍不得其解,心情烦躁不安,再尝试,再失败,烦躁更甚.这种烦躁心态, 堵塞了思路,失去了灵感,妨碍了能力及水平的发挥.正确做法:静下心,不急躁,将这个题目打上记号暂时放 一下,继续做下面的题目. 固执心态. 4、固执心态.考试时,久攻不下的试题,又不愿意放弃,又不愿意转换思考角度,苦思冥想,徒然浪费时 间,此谓固执心态.正确的做法:遇到事情想得开,不要一条路走到黑,不要为了个芝麻丢掉个大西瓜. 懊丧心态.考试进行中,有的试题久攻不下,不得不放弃时,出现一种惋惜心理,形成懊丧心态.正确 5、懊丧心态 做法:来点“阿 Q 精神”,可以观察周围考生,认定“我难他们更难”、 “我没有做出来的题目他们也可能做 不出”. 冲动心态.在经过多次尝试后,忽然来了灵感,豁然开朗,心情异常兴奋,思维失控, 产生冲动心态.正 6、冲动心态 确做法:告诫自己必须冷静,不要被胜利冲昏头脑. ——糊涂孤独出考场 (三)考后心态 —— 每考完一科,大家都会叽叽喳喳议论答案,当发现自己做得不对时就很沮丧、很难过,根本没有心情复习 下一门. 和同学对答案是考试结束后的大忌,是一种破坏性的行为,只会造成更加的慌乱、怀疑、沮丧.因此,考 生走出考场后应做到两点: 一是越糊涂越好. 不要去回想考试内容, 不要回忆自己的答案, 更不要翻书去验证. 只 要出了考场,就要坚决“忘掉一切”.二是尽量避免与同学同行.因为同学在一起,总免不了要议论考试内容, 这势必引起自己对考试的回想和怀疑,从而引起情绪波动. 总之,出了考场,考生就应把全部注意力迅速转移到下一个科目,为下一场考试思维高潮的出现打好基础.
1

二、答题策略 答题策略 (一) 评卷情况 评卷坚持三个原则:1.阅卷力求公平;2.标准把握基本到位;3.给分相对宽松 几种情况: 1.如果一个大题由几个小题组成,即使前面小题错了或未做,后面小题做对,后边分数全给; 2.前面的错引起后面结果出错,但方法用对,则后边给一半分; 3.一题中给分点不平衡; 4.有能力者分数不会低.(不追求综合题解题的格式规范与严谨) 特别忠告: 1. 写新再删旧;2.有比留空好;3.用好草稿纸;4.得分用时率 (二)时间安排 走进考场,大多数考生都会紧张的,这时要注意平衡心绪,首先,做一次深呼吸,然后告诫自己:“欲速 则不达”,“不要着急,按时交卷就行了”;然后通过浏览全卷,大致了解试题的类型、数量、分值和试题的难 易,进而确定题目相应的作答时间.分配时间要服从于考试成功的目的,基本原则就是保证在能够得分的地方不 丢分,不容易得分的地方争取尽可能多得分.在具体操作上,要求考生做到“量菜吃饭”,按“分数时间比”实 用原则,分值大的题目多花些时间,分值小的题目少花一些时间;一看就会做的题目先花时间,需要考虑一下才 能解答的题目放在第二梯队完成;难度最大的或从来没有见到过的题目,放在最后攻关.记住:考场上的时间是 “一寸光阴一寸金”,你必须精打细算,其核心是让时间为你高考得分最大值这一目的服务. 时间安排大致可以是这样的:Ⅰ卷 30 分钟左右,最多不要超过 40 分. (三)小题战术 小题指的是选择题与填空题,先谈选择题的处理. 选择题解法 以能力立意的高考数学选择题,具有以下两个特点:1、题小、量大、基础、灵活、大案唯一.2、概念性强、 形数兼备,解法多样.其分值占全卷总分 1/3,又在试卷开始的部分,因此,选择题解决的快慢及正答率的高低 对整场考试起着举足轻重的作用. 解选择题的基本原则:小题不要大做 小题不要大做. 小题不要大做 解选择题的的基本策略:1.能定性判断的不要定量计算.2.能用间接法的不要用直接法.3.能用特殊方法 1.能定性判断的不要定量计算 能用间接法的不要用直接法. 1.能定性判断的不要定量计算.2.能用间接法的不要用直接法 3.能用特殊方法 的不要用常规方法.4.能归筛选排除的用筛选排除 能归筛选排除的用筛选排除. 的不要用常规方法.4.能归筛选排除的用筛选排除. 选择题常用方法:

来确定选项.

a)直接法 从题设条件出发,通过正确的运算或推理,直接得出结论,再与选择支相对照 直接法



2.(2005 年浙江)点 (1,?1) 到直线 x ? y + 1 = 0 的距离是 例 2.(

[

]

A.

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 2 2

解析:由点到直线距离公式得 d = 解析:

|1 + 1 + 1| 3 2 = ,故答案选 D 2 1+1

2

4.(2007 年天津卷)设等差数列 {an } 的公差 d 不为 0, a1 = 9d .若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项,则 k = ( 例 4.



A.2

B.4
2

C.6

D.8

解析::由题意得,an=(n+8)d,a k = a1a 2 k , ∴(k+8) d =9d(2k+8)d.
2 2

∴k=4. 故答案选 B

直接从题设出发,运用有关概念、性质、公理、定理、法则和公式等,通过合理的运算和推理,从而得出正确的 结论,然后对照题目所给出的选择支“对号入座”作出相应的选择。涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目 常用直接法。 【例 1】 (1) (2007湖南卷理2)不等式 A. (?∞, 1) ∪ ( ?1 2] ? ,

x?2 ≤ 0 的解集是 ( x +1

) D. (?1, 2]

B. [ ?1, 2]

C. ( ?∞, 1) ∪ [2, ∞) ? +

解析:由

?( x ? 2)( x + 1) ≤ 0 x?2 ≤0得? ,所以解集为 (?1, ,选 D. 2] x +1 ?x +1 ≠ 0
( )

(2) (2007 辽宁卷理 4)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S3 = 9 , S6 = 36 ,则 a7 + a8 + a9 = A.63 B.45 C.36 D.27

,所以 S=45, 解析:由等差数列性质知 S3、S6-S3、S9-S6 成等差数列,即 9,27,S 成等差(其中 S= a7 + a8 + a9 ) 选B 练习 1: (2007 江苏卷理 8)设 f ( x ) = lg( A. (?1, 0) B. (0,1)

2 + a ) 是奇函数,则使 f ( x) < 0 的 x 的取值范围是( 1? x
C. (?∞, 0) D. ( ?∞, 0) ∪ (1, +∞)



?1 + x ?1 ? x > 0 1+ x ? 解析:由 f (0) = 0得a = ?1 f ( x ) = lg < 0得? 1? x ?1 + x < 1 ?1 ? x ?

∴ ?1 < x < 0

选A

“直接法”小结: 直接法的解题过程与常规法解题基本相同,不同的是用直接法解选择题可利用选择支的暗示性,注意在 计算和论证时应尽量简化步骤,合理跳步,以提高解题速度,注意一些数学结论的使用,如正方体的性质、 奇偶函数的性质、等差等比数列的性质等。

b)排除法 排除法(也称筛选法,淘汰法)就是在四个选择支中,剔除不符合要求的选择支, 排除法
从而得出正确的结论.其前提是“答案唯一”且选择支已确定.

3

6.(2005 年上海)已知集合 M = {x || x ? 1 |≤ 2, x ∈ R} , P = {x | 例 6.

5 ≥ 1, x ∈ Z } ,则 x +1
]

M ∩ P 等于 A.{x | 0 < x ≤ 3, x ∈ Z } C.{x | ?1 ≤ x ≤ 0, x ∈ Z } B.{x | 0 ≤ x ≤ 3, x ∈ Z } D.{x | ?1 ≤ x < 0, x ∈ Z }

[

解析: 解析:由 0 ∈ M ∩ P ,则可排除 A,D;由 1 ∈ M ∩ P 知正确的为 B.

二、排除法(淘汰法或筛选法) 排除法(淘汰法或筛选法)
有的选择题不易从正面入手,可以从反面入手,因为选择题的正确答案已在选择支中列出(正确答案是 唯一的) ,利用有效的方法与手段,将不合理的选择支逐一排除,从而得到正确的答案。排除法也叫淘汰法 或筛选法。 【例 2】 (2007 山东卷理 2)已知集合 M = {?1,1} , N = ? x (1) 则M ∩N =( 解析: ) (A) {?1,1} (B)

? 1 ? < 2 x +1 < 4, x ∈ Z ? , ? 2 ?
(D)

{?1}

(C) {0}

{?1, 0}

0 ? M , 而( M ∩ N ) ? M ,∴ 0 ? ( M ∩ N ), 排除C、D,又1 ? N, 1 ? ( M ∩ N ), ∴ 排除A,故选B.
(2)若 x 为一三角形的最小内角,则 y=sinx+cosx 的值域为 ( A. 1, 2 )

(

]

B.

? 3? ? 0, ? 2 ? ? ?

C. ? ,

?1

?2

2? ? 2 ?

D. ? ,

?1 ?2 ?

2? ? 2 ?

解析: x ∈ ? 0,

? π? ? π? ? ? ? 0, ? ? y = sin x + cos x > 1, 可排除B, C , D, 故选A. ? 3? ? 2 ?


练习 2(2007 安徽卷理 3)若对任意 x ∈ R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( (A)a<-1 (B) a ≤1 (C) a <1 (D)a≥1

解析:a=1 时不等式 x ≥ax 显然恒成立,排除 A、C;a=0 时不等式 x ≥ax 也恒成立,排除 D,故选 B。 “排除法”小结: 用排除法解选择题的规律:
4

(1)对于干扰支易于淘汰的选择题,可采用排除法,能排除几个就先排除几个; (2)如果选择支中存在等价选项,根据选择题的特点“答案唯一”,首先排除等价选项; (3)如果选择支中存在两个对立的或互不相容的选项,则其中至少有一个是错误的;

c)验证法 选择支. 选择支.

就是将各选择支或者其中的特殊值逐一代入题干进行验证, 就是将各选择支或者其中的特殊值逐一代入题干进行验证,然后确定符合要求的

8.(2005 年山东)下列函数中既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是 例 8.

[

]

A. f ( x) = sin x

B. f ( x) = ? | x + 1 |

C. f ( x) =

1 x 2? x (a + a ? x ) D. f ( x) = ln 2 2+ x

解析: 解析:因 B, C 的函数都不是奇函数,故这二个答案可排除,又函数 f ( x ) = sin x 在区间[-1,1]上单调递增,因此应 选 D. 验证法(代入法) 四、验证法(代入法) 通过对试题的观察、分析、确定,将各选择支逐个代入题干中,进行验证、或适当选取特殊值进行检验、或 采取其他验证手段,以判断选择支正误的方法。 例 13(1) (2007 山东卷理 6)给出下列三个等式:① f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) , ② f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) ,③ f ( x + y ) =

f ( x) + f ( y ) 。下列函数中不满足其中任何一个等式的是 ( 1 ? f ( x) f ( y )
(D) f ( x) = tan x



(A) f ( x) = 3x (B) f ( x) = sin x (C) f ( x) = log 2 x

解析: 依据指、对数函数的性质可以发现 A 满足等式②,C 满足等式①;而 D 满足 ③ f ( x + y) =

f ( x) + f ( y ) ,排除 A、C、D,且 B 不满足其中任何一个等式,选 B. 1 ? f ( x) f ( y )
) C.(2,3) D.(3,+∞)

(2)方程 x + lg x = 3 的解 x0 ∈ ( A.(0,1) B.(1,2)

解析:若 x ∈ (0,1) ,则 lg x < 0 ,则 x + lg x < 1 ,排除 A;若 x ∈ (1, 2) ,则 0 < lg x < 1 ,则 1 < x + lg x < 3 ,排 除 B;若 x ∈ (2,3) ,则 0 < lg x < 1 ,则 2 < x + lg x < 4 ;若 x > 3, lg x > 0 ,则 x + lg x > 3 排除 D. 故选 C. 练习 4 函数 y=sin(2x+ (A)x=-

π
2

5π )图象的一条对称轴方程是( 2



(B)x=-

π

4

(C)x=

π

8

(D)x=

5π 4

5

解析(代入法) : 把选择支逐一代入,唯有当 x=-

π
2

时,y=-1=ymin,可见 x=-

π
2

是对称轴,故选 A.

“验证法”小结: 验证法适用于题设复杂,结论简单的选择题,直接将各选择支中的结论代入题设条件进行检验,从而选出符 合题意的答案。

d)逻辑分析法 逻辑分析法 正确的判断.

通过对题干和选择支的关系进行分析,找出异同,并从中发现规律从而作出

e)特例法 特例法 把满足条件的某些特殊值、特殊关系或者特殊图形对选择支进行栓验或推理, 从而作出正确的选择的方法. (1).特殊值

6

(2).特殊点

(3).特殊角

(4).特殊函数

7

(5).特殊数列

(6).特殊图形

三、特例法

8

有些选择题,用常规方法直接求解比较困难,若根据选项中所提供的信息,选择某些特殊情况进行分析, 或选择某些特殊值进行计算,或将字母参数换成具体数值代入,把一般形式变为特殊形式,再进行判断往往十分 简单。用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件,得出特殊结论,对各个选项进行检验,从而作出正 确的判断。 (1)特殊值 例 3、若 sinα>tanα>cotα( ? A.( ?

π
4

<α <

π
2

),则α∈( ) C. (0,

) 2 4 4 4 4 2 (2)特殊函数 例 4、如果奇函数 f(x) 是[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是( ) A.增函数且最小值为-5 B.减函数且最小值是-5 C.增函数且最大值为-5 D.减函数且最大值是-5 例 5、定义在 R 上的奇函数 f(x)为减函数,设 a+b≤0,给出下列不等式:①f(a)·f(-a)≤0;②f(b)·f(-b) ≥0;③f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)。其中正确的不等式序号是( ) A.①②④ B.①④ C.②④ D.①③ (3)特殊数列 例 6、已知等差数列 {an } 满足 a1 + a2 + ??? + a101 = 0 ,则有 ( ) A. a1 + a101 > 0 (4)特殊位置
2 例 7、过 y = ax ( a > 0) 的焦点 F 作直线交抛物线与 P、Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ,则

π

,?

π

)

B. ? (

π

,0)

π



D. (

π



π

B. a2 + a102 < 0

C. a3 + a99 = 0

D. a51 = 51

1 1 + = p q



)A. 2a

B.

1 2a

C. 4a

D.

4 a

例8、向高为 H 的水瓶中注水,注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数关系的图象如右图所示,那么水瓶 的形状是 ( )

(5)特殊点 例 9、设函数 f ( x ) = 2 +

x ( x ≥ 0) ,则其反函数 f

?1

( x) 的图像是





A、

B、

C、

D、

例 10、过抛物线 y2=4x 的焦点,作直线与此抛物线相交于两点 P 和 Q,那么线段 PQ 中点的轨迹方程是() 2 2 2 2 A.y =2x-1 B.y =2x-2 C.y =-2x+1 D.y =-2x+2 (6)特殊方程 例 11、双曲线 b2x2-a2y2=a2b2 (a>b>0)的渐近线夹角为α,离心率为 e,则 cos A.e (7)特殊模型 例 12、如果实数 x,y 满足等式(x-2)2+y2=3,那么 B.e2 C.

α
2

等于( )

1 e

D.

1 e2


y 的最大值是( x
9

A.

1 2
o

B.
o

3 3
2

C.
2

3 2
2

D. 3 )

练习题:(1) 如果 0 <θ<45 ,那么 cos θ,sin θ,cot θ的大小关系为( 2 2 2 2 2 2 (A) cos θ<sin θ<cot θ (B)cot θ< sin θ< cos θ 2 2 2 2 2 2 (C) cos θ<cot θ< sin θ (D)sin θ< cos θ<cot θ 解析:取θ=30 代入,cos θ=
o 2

3 1 2 2 2 2 2 ,sin θ= , cot θ=3,∴sin θ< cos θ<cot θ,选 D. 4 4
) D、 a51 = 51

(2) 已知等差数列 {an } 满足 a1 + a2 + ??? + a101 = 0 ,则有 ( A、 a1 + a101 > 0 B、 a2 + a102 < 0 C、 a3 + a99 = 0

解析:取满足题意的特殊数列 an = 0 ,则 a3 + a99 = 0 ,故选 C。 (3)如果奇函数 f(x) 在[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间[-7,-3]上是( A.增函数且最小值为-5 解析: 构造特殊函数 f(x)= 故选 C。 (4)过抛物线 y = ax 2 ( a > 0) 的焦点 F 作直线交抛物线于 P、 Q 两点,若 PF 与 FQ 的长分别是 p、q ,则 B.减函数且最小值是-5C.增函数且最大值为-5 )

D.减函数且最大值是-5

5 x, 显然满足题设条件, f(x)在区间[-7, 知 -3]上是增函数, 且最大值为 f(-3)=-5, 3

1 1 + = p q



)A、 2a

B、

1 2a

C、 4a

D、

4 a

解析:考虑特殊位置 PQ⊥OF 时, | PF |=| FQ |=

1 1 1 ,所以 + = 2a + 2a = 4a ,故选 C. 2a p q
(B)30 (C)26 (D)16ZX

(5) (2007 陕西卷理 5)各项均为正数的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn, 若 Sn=2,S3n=14,则 S4n 等于 ( )(A)80 (6) (2007 湖北卷理 5)已知 p 和 q 是两个不相等的正整数,且 q ≥ 2 , 则
? ?1 + lim ? n→ ∞ ? ?1 + ? 1 n 1 n ? ? ?1 ? = q ? ?1 ? ?
p



)A.0

B.1

C.

p q

D.

p ?1 q ?1

解析: (5)对 n 取特殊值,令 n=1, 2 3 则 Sn=a1=2, S3n=a1+a1q+a1q =14,求得 q=2,a4=a1q =16,∴S4n= S3n+a4=14+16=30,选 B (6)解析: 由题意取特殊值 p = 1, q
? ?1 + = 2 ,则 lim ? n→ ∞ ? ?1 + ? 1 n 1 n ? 1 ? ?1 n 1 p ,可见应选 C ? n = lim = lim = = q n→ ∞ 1 n→ ∞ 1 + 2 n 2 2 q ? + ? ?1 n2 n ?
p

“特例法”小结: 用特例法解选择题,“特例”可以是:特殊集合、特殊数值、特殊角、特殊向量、特殊图形(含特殊的点、 线、面、体)、特殊位置、特殊函数、特殊数列……
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六)极限法 以解决.

将研究的对象或过程引向极端状态进行分析,使因果关系变得明显,从而使问题得

七)估值法 有些以计算题的面目出现且有较复杂的计算,运算量较大时通常无须精确求出 结果,只求出答案的近似值或大致范围从而作出判断的方法.

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全月应纳税所得额 不超过 500 元的部分 超过 500 元至 2000 元的部分 超过 2000 元至 5000 元的部分 …

税率 5% 10% 15% …

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七、极限法 从有限到无限,从近似到精确,从量变到质变.应用极限思想解决某些问题,可以避开抽象、复杂 的运算,降低解题难度,优化解题过程. 【例 7】 (1)对任意θ∈(0,

π
2

)都有(



(A)sin(sinθ)<cosθ<cos(cosθ) (C)sin(cosθ)<cos(sinθ)<cosθ

(B) sin(sinθ)>cosθ>cos(cosθ) (D) sin(cosθ)<cosθ<cos(sinθ)

解析:θ → 0 时,sin(sinθ) → 0,cosθ → 1,cos(cosθ) → cos1,故排除 A,B. 当θ →

π
2

时,cos(sinθ) → cos1,cosθ → 0,故排除 C,因此选 D. )

(2)在正 n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( (A) (

n?2 π,π) n

(B) (

(C) (0,

π

2



n ?1 π,π) n n?2 n ?1 (D) ( π, π) n n

解析:正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时,则底面正多边形便为极限状态,此时棱锥相邻两 侧面所成二面角α→π,且小于π;当棱锥高无限大时,正n棱柱便又是另一极限状态,此时α→底面正多边 形的一个内角

n?2 n?2 π,且大于 π,故选(A). n n

练习 7 已知 x>0,y>0,x:y=a:b(其中 0<a<b),又 x+y=c, 则 x,y 中较小的一个数为( 解析: )A.

ac b

B.

bc ? ac b

C.

ac a+b

D.

bc a+b

?a → 0 ? x → 0, ?a → b ? x → y , c ? ? ? min( x, y ) → 0, 排除 B、D,又 ?c > 0, ? min( x, y ) → , 排除 A,故本 ?c > 0, 2 ?x + y = c ?x + y = c ? ?
题选 C。 “极限法”小结: 极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征,考虑极端情形,有助于缩小选择面,迅速
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找到答案。

八)数形结合法 就是借助于图形或图象的直观性,数形结合,经过推理判断或必要的计 算而选出正确答案的方法.

五、图解法(数形结合法) 图解法(数形结合法) 有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义,作出函数的图象或几何图形,借助于图象或图形的作 法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论。这种应用“数形结合”来解数学选择题的方法,习惯上也 叫数形结合法。 【例 5】 (1)已知α、β都是第二象限角,且 cosα>cosβ,则( ) A.α<β C.tanα>tanβ B.sinα>sinβ D.cotα<cotβ

解析:在第二象限内通过余弦函数线及 cosα>cosβ找出α、β 的终边位置关系,再作出判断,选 B。 (2)(2007 天津卷理 7) 在 R 上定义的函数 f ( x) 是偶函数,且 f ( x) = f (2 ? x) .若 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,则 f ( x) ( ) A.在区间 [?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 B.在区间 [?2, ?1] 上是增函数,在区间 [3, 4] 上是减函数 C.在区间 [ ?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数
14

D.在区间 [ ?2, ?1] 上是减函数,在区间 [3, 4] 上是增函数 【分析】 由 f ( x) = f (2 ? x) 可知 f ( x) 的图象关于 x = 1 对称,又因为 f ( x) 为偶函数图象关于 x = 0 对称,可得 f ( x) 为周期 函数且最小正周期为 2,结合 f ( x) 在区间 [1, 2] 上是减函数,可得如右 f ( x) 草图.故选 B 练习 5(2007 安徽卷理 3)若对任意 x ∈ R,不等式 x ≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( (A)a<-1 (B) a ≤1 (C) a <1 (D)a≥1 )

解析:在同一坐标系中,作出函数 y1= x 及 y2=ax 的图像,由图可知:要使 x ≥ax 恒成立,只需 a∈[0,1]∪[- 1,0)= [-1,1],即 a ≤1,故选 B. “数形结合法”小结: 数形结合法关键在于数与形的联系,如常见的“函数(或数列)的图像、方程的曲线(或方程根的问题) 、 向量加、减法的几何意义、两点间的距离、点到直线的距离、两点连线的斜率”等,都可考虑数形结合法求解。

填空题解法
1.填空题的主要类型 1.填空题的主要类型 填空题的设计主要来源于常规解答题,从填写内容来看,主要有三种类型: a)定量型 定量型——填写数值或数量关系; a)定量型 例 1.已知球面上 A、B 两点间的球面距离是 1,过这两点的球面半径的夹角为 60° ,则这个球的表面积与
球的体积之比是
1 2


2 3 3 n n

例 2 . 多 项 式 f ( x) = Cn (x ? 1) + Cn (x ? 1) + Cn ( x ? 1) + ? ? ? + Cn (x ? 1) (n ≥ 10) 的 展 开 式 中 x 的 系 数
6



. 例 3. 设a,b∈ R + ,且 2a+b=1,则 S= 4a + b ? 2 ab 的最小值为
2 2



例 4 . 经 过 点 M (0,4) , 且 被 圆 为 .

(x ? 1)2 + y 2

=4 截 得 的 弦 长 为 2 3 的 直 线 的 方 程

b)定性型 b)定性型——即填写具有某种性质的数学对象,或数学对象的某种性质; 定性型
例 5. 已知下列四个命题: ①角 α 一定是直线 y = x ? tgα ? 2 的倾斜角; ②点 P 是线段 AB 上的点, 若 则 xP =

AP 3 = , AB 5

2xA + 3xB k ?k ;③直线 y = k1x + b1 到直线 y = k2 x + b2 的夹角公式为 tanα = 1 2 ;④方程 x2 + y2 = 1与方 1+ k1 ? k2 5

程 y = 1 ? x 2 表示同一条曲线,其中正确命题的序号是(把你认为正确命题的序号都填上) 例 6.老师给出一个函数 y = f ( x) ,四个学生甲,乙,丙,丁各指出这个函数的一个性质:甲:对于 x∈R, 都有 f (1 + x) = f (1 ? x) ;乙:在 (? ∞,0]上函数递减;丙:在 [0,+∞) 上函数递增;丁: f (0) 不是函数的最小值, 如果其中恰有三人说得正确,请写出一个这样的函数
15



c)混合型 c)混合型——以上两种兼而有之. 混合型
例 7.已知下列曲线:

y

y x

y O
( C)

y x O
( D)

O

x

O

x

( A) ( B) 以及编号为①②③④的四个方程: ①

x ? y = 0 ;② x ? y = 0 ;③ x ? y = 0 ;④ x ? y = 0 ,


请按曲线( ( ( ( 的顺序,依次写出与之对应的曲线方程的编号: A)B)C)D)
+

例 8.已知函数 y = f ( x ), x ∈ D, y ∈ R ,且正数 C 为常数.对于任意的 x1 ∈ D ,存在一个 x 2 ∈ D ,使

f ( x1 ) f ( x 2 ) = C ,则称函数 y = f ( x) 在 D 上的均值为 C. 试依据上述定义,写出一个均值为 9 的函数的
例子:________________.

2.解填空题的基本要求 2.解填空题的基本要求 解填空题的基本要求是“正确、合理、迅速”.“合理是前提”,“迅速是基础”,“正确是 根本”. 迅速的基础是: 概念清楚, 推理明白, 运算熟练, 合理跳步, 方法灵活. 因此, 要在“准”、 “巧”、“快”上下工夫. 3.解填空题的基本策略 3.解填空题的基本策略 填空题多为定量型,而且常常用来考查基本概念、基本运算,大多是一些能从课本上找到原型 或背景的题目.因此,解填空题的基本策略是“化归”与“构造”.化归需要观察、联想和转化等 能力;
例 9.已知 tan (α + β ) =

3 π? 1 π? ? ? , tan ? β ? ? = ,则 tan ?α + ? 的值是 5 3? 3 3? ? ?




例 10.若 f ( x) = ( x ? 1) 2 (x ≤ 1) ,则 f ?1(1) =

例 11.点 F 是椭圆

x2 y2 + = 1 的左焦点,点 P ? 2, 3 、点 M 在椭圆上,为使 PM + 2 MF 最小,则点 16 12


(

)

M 的坐标为

5 π 例 12.若 sin( ? α ) = ,且 α ∈ (0, ) , 则 4 13 2
2

π

cos 2α cos(

π

值为______

4

+α)

例 13.数列 {a n }, {bn } 满足 a n b n = 1, a n = n + 3n + 2 ,则 {bn } 的前 10 项之和等于___

构造则需要观察、联想和直觉能力.由此派生的基本解题方法是“直接法”和“构造法”.
,对于正整数 n 满足以下运算性质:① 1 ? 1 = 1 ;② (n + 1) ? 1 = 3(n ? 1) ,则 n ? 1 例 14.定义一种运算“ ? ” 用含 n 的代数式表示为 . 例 15.如图,点 P 在正方形 ABCD 所在的平面外, P

PD= AD, PD ⊥ 平面 ABCD ,则 PA 与 BD 所成的度数为____
D A
16

C B

例 16.自半径为 R 的球面上一点 Q,作球的互相垂直的三条弦 QA, QB, QC ,则 QA + QB + QC 等于_
2 2 2

____

此外,解题过程中还要运用到“整体思维”的策略、“数形结合”的策略、“合情推理”的策 略、“目标意识”的策略、“特殊赋值”的策 略等解题策略.
例 17.定义在 (? ∞,+∞ ) 上的函数 y = f ( x ) 在 (? ∞,2 ) 上是增函数,且函数 y = f ( x + 2 ) 的图像的对称轴是

x = 0 ,则 f (? 1), f (3) 的大小关系为___
例 18.设函数 f ( x ) = ? 例 19.已知 cos(α +

?2 ? x ? 1 ( x ≤ 0) ? ,若 f ( x 0 ) > 1 则 x 0 的取值范围是___ ? x ( x > 0) ?
.

π

3 π 3π ) = , ≤α < , 则 cos α = 4 5 2 2

例 20.若直线 y = kx + 1 与曲线 x =

y 2 + 1 有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_

例 21.等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 3 = ?6, S18 ? S15 = 18, 则S18 = ___

例 22.等差数列 {a n } 中,若 23.已知点 P 是椭圆 C:

x2 y2 + = 1 上的动点, F1 , F2 分别为左、右焦点,O 8 4

为坐标原点.则

PF1 ? PF2 OP

的取值范围____.

4.解填空题的能力要求 解答填空题所需要的最根本的能力是运算能力.由于运算过程是一个十分复杂的过程. 需要三基熟练;需要掌握常用的解题策略;需要建构知识组块来提高思维起点;需要较强的数学知 识建构能力;需要较快的数学知识解构能力;还需要较好的智力品质. 1 + tan α 1 例 23.若 = 2003, 则 + tan 2α = . 1 ? tan α cos 2α
例 24 . 已 知 f ( x) 是 奇 函 数 , g (x) 是 偶 函 数 , 并 且 满 足 f ( x) ? g( x) = x 2 ? x , 则

f (x) + g (x) =



?1 x > 0 ? 例 25.定义符号函数 sgn x = ?0 x = 0 , 则不等式: x + 2 > (2 x ? 1) sgn x 的解集是 ? ?1 x < 0 ? 1 4 例 26. 已知两个正数 x,y 满足 x+y=4, 则使不等式 + ≥m, 恒成立的实数 m 的取值范围是 x y 5.数学填空题的失分原因 5.数学填空题的失分原因

.

.

数学填空题是每次考试中失分率较高的题型.影响填空题失分的原因主要有下列几个方面. 5.1 5.1 特点所致 特点之一:填空题无须解答过程,不设中间分,解答过程的每一步都必须百分之百的准确,一步失误, 全题零分.因此,填空题比选择题和解答题失分更容易.特点之二:填空题设问灵活.近年来,高考数学填 空题出现了一些创新题型,如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等.这些题型的出现,使 填空题在考查学生思维能力和分析问题、 解决问题的能力等方面提出了更高的要求, 增强了数学填空题的综 合性,增加了解题难度. 5.2 5.2 尴尬的位置
17

尴尬的物理位置——填空题位于选择题的后面、解答题的前面,好不容易做完了 12 道选择题以后,心 理牵挂的是后面各具特色、令人担忧的 6 道解答题.因此,速战速决无疑是首选策略.尴尬的心理位置—— 填空题的结果一般都是一些特殊值. 因此, 学生在解答填空题时往往是“会做求快, 不会就蒙”. 更有甚者, 我们有些数学教师在复习中还把“猜答案”作为一种解题策略进行提倡. 长此以往, 形成了学生这种“会做 求快,不会就蒙”的心理,往往是错多对少,影响了得分. 5.3 三基不熟 由于填空题多为定量型的,因而计算的技巧就特别重要,尤其象“整体代入”、“设而不求”、“活用 定义”、“巧用公式”等技巧,如果不熟练,就会导致小题繁做、小题难做、小题大做、小题错做,甚至小 题不会做而造成失分. 5.4 5.4 能力欠缺 近年出现的创新型填空题难度增大了,对能力的要求提高了.如化归能力,观察能力,联想能力,运算 能力,理解能力,抽象概括能力,思维能力,直觉能力,建构能力,解构能力等.如果能力欠缺,就会造成 失分. 5.5 积累不够 由于填空题大多是从课本的例、习题改编而来的,因此,题目中往往蕴涵着一些似曾相识的内容.这就 需要从记忆系统中检索出有关信息,通过认识熟悉的元素,搜索有关的信息,使要解决的问题与已有知识的 外层结构建立联系.这样才能将复杂问题转化为简单问题,将未解决的问题转化为已掌握其解法的问题.所 有这些都必须借助于已有的知识基础与解题经验.因此,基础知识与解题经验扎实与否,是影响填空题失分 的重要原因. 5.6 5.6 解构的速度与能力 所谓解构就是对建构起来的认知结构进行提取与解读的过程.解构与建构是既对立又统一的一对概 念. 一个完整的学习过程包括建构与解构两个过程. 首先, 建构与解构是两个不同的过程. 即先通过领会 (感 知、理解) 、巩固、应用进行建构,再通过激活、识别、联想、提取、重组进行解构.其次,建构与解构又 是交叉的,在建构中解构,在解构中建构,两者互相补充,互相完善.解构的关键是迅速,准确. 6.复习 复习对策 6.复习对策 数学学习中防止填空题失分的主要对策有: 6.1 坚持过程化原则 就是教学中要揭示解题的“过程”, 把“过程”再现出来. 凡“填空题”一律要求必须写出完整的过程, 即把填空题当作解答题来解. 6.2 提倡交流 在课堂上,如果练习题或习题是填空题,那么要求我们互相交流思维过程,把无声思维变成有声思维, 让我们在交流的过程中提高能力. 追求解法的较高境界 6.3 追求解法的较高境界 数学填空题的解法有两种境界:一种是小题大做,另一种是小题小做.小题大做就是拿到题目就直接求 解,对思路不筛选,仅满足于见到就会.小题大做的特征有小题繁做,小题难做和小题慢做.小题小做是不 满足于见到就会, 而是对思路进行筛选,追求会中求简、会中求巧、 会中求美.小题小做的特征有小题简做、 小题易做和小题巧做. 在填空题的教学中要引导学生不懈地追求解法的较高境界,求会, 求简,求巧, 求美. 6.4 强化对运算中的智力品质的培养 运算中的智力品质主要体现在三个方面:运算的敏捷性、灵活性和独创性.运算敏捷性是指智力活动的 速度与准确率.提高运算敏捷性的途径有:训练中坚持严格的速度要求;优化知识结构;建构知识组块;训 练解构能力.运算灵活性是指智力活动的灵活程度.灵活性是创造力的基础,也是运算的智力基础.在数学 教学中要经常要求学生做到:起点灵活,从不同角度,用各种方法来推算各类的数学习题;运算过程灵活, 对各类定义、公式、公理、定理、法则等运用自如;运算中能举一反三,触类旁通.具体的途径有;一是“多 端”,即发散.因为一个问题可以有多个起点,产生多种联想.为此,必须以丰富的知识为依据,储备大量 的背景材料,从各个方面去把握问题的脉络,来开拓运算途径.二是“伸缩”.即对问题的条件能根据客观 情况的变化而变化, 能根据所发现的新事实及时调整自己的方案. 这样, 运算的天地就十分广阔了. 三是“精 细”.就是要全面地理解问题,不能忽视各个细节.四是“新颖”.就是新颖独特、思路各异.运算独创性 是智力活动水平的重要指标. 学习贵在创新, 尤其是数学学习. 提高运算能力的关键是独立思考, 敢于创新. 本课小结:从考试的角度来看,解选择题只要选对就行,至于用什么“策略”“手段”都是无关紧要的,所 、 以有人称之为 “不择手段” 。但平时做选择题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因。在解数学选 择题时,直接法是最基本和使用率最高的一种方法,应予以重视,但当题目具备一定的条件和特征时,可考虑采 用其他特殊的方法(一种或多种) ,因此解选择题要“因题制宜、灵活运用、择优而从” ,尽量做到“准、快、巧” , 只有这样,才会在高考时充分利用题目自身提供的信息,化常规为特殊,避免小题大作,真正做到快速和准确。 总之,解答选择题既要善于运用各种常规的解题思想与方法,更应该充分挖掘题目的“个性” ,寻求简便解法, 充分利用选择支的暗示作用,迅速地作出正确的选择。这样不但可以迅速地获取正确答案,而且还能为解答后面 的题目赢得时间,为最终获取高分作保证。
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