18版高中数学第三章指数函数、对数函数和幂函数3.1.2第1课时指数函数的概念、图象与性质课件苏教版必修1_图文

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3.1.2 第1课时
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指数函数

指数函数的概念、图象与性质
学 业 分 层 测 评

1.理解指数函数的概念.(重点) 2.掌握指数函数的图象和性质.(重点) 3.能够利用指数函数的图象和性质解题.(重点、难点) 4.掌握函数图象的平移变换和对称变换.

[基础· 初探] 教材整理 1 指数函数的概念 阅读教材 P64 前四段,完成下列问题.
x y = a 一般地,函数

(a>0,a≠1)叫做指数函数,它的定义域是 R.

下列函数中,是指数函数的为________.(填序号) (1)y=2x 2;(2)y=(-2)x;(3)y=-2x;(4)y=πx;


(5)y=x2;(6)y=(a-1)x(a>1,且 a≠2).

【解析】 只有(4),(6)是指数函数,因它们满足指数函数的定义;(1)中解析 式可变形为 y=2x· 22=4· 2x,不满足指数函数的形式;(2)中底数为负,所以不是; (3)中解析式中多一负号,所以不是;(5)中指数为常数,所以不是;(6)中令 b=a -1,则 y=bx,b>0 且 b≠1,所以是.
【答案】 (4)(6)

教材整理 2 指数函数的图象和性质 阅读教材 P64 中至 P67“思考”,完成下列问题. 指数函数的图象与性质

1.判断(正确的打“√” ,错误的打“×”) (1)函数 y=3· 2x 是指数函数.( ) ) ) )

(2)指数函数的图象与 x 轴永不相交.( (3)函数 y=2-x 在 R 上为增函数.(

(4)当 a>1 时,对于任意 x∈R 总有 ax>1.(

【解析】 (1)y=3· 2x 的系数为 3,故 y=3· 2x 不是指数函数. (2)指数函数的值域为(0,+∞),故它与 x 轴不相交. (3)y=2
-x

?1? =?2?x 是减函数. ? ?

(4)a>1 时,若 x<0,则 ax<1.
【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×

2.若函数 f (x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象过点(2,9),则 f (x)=________.
【解析】 由于 a2=9,∴a=± 3.∵a>0,∴a=3, ∴f (x)=3x.

【答案】 3x

[小组合作型]
指数函数的概念
函数 f (x)=(a2-7a+7)ax 是指数函数,求实数 a 的值.

【精彩点拨】 利用指数函数的定义求解.
【自主解答】 ∵函数 f (x)=(a2-7a+7)ax 是指数函数,
? ?a=1或a=6, ∴? ? ?a>0,a≠1,

2 ? a ? -7a+7=1, ∴? ? ?a>0,a≠1,

∴a=6,即 a 的值为 6.

指数函数具有以下特征:①底数 a 为大于 0 且不等于 1 的常数,不含有自变 量 x;②指数位置是自变量 x,且 x 的系数是 1;③ax 的系数是 1.

[再练一题] 1.已知 y=(2a-1)x 是指数函数,则 a 的取值范围是________.

【解析】 要使 y=(2a-1)x 是指数函数,则 2a-1>0 且 2a-1≠1, 1 ∴a>2且 a≠1. 1 【答案】 a>2且 a≠1

XXX 利用单调性比较大小
比较下列各组数的大小:

【精彩点拨】 观察底是否相同(或能化成底相同),若相同用单调性,否则结 合图象或中间值来比较大小.

在进行指数式的大小比较时,可以归纳为以下三类: (1)底数同、指数不同:利用指数函数的单调性解决. (2)底数不同、指数同:利用指数函数的图象进行解决.在同一平面直角坐标 系内画出这两个函数的图象,依据底数 a 对指数函数图象的影响,逆时针方向底 数在增大,然后观察指数取值对应的函数值即可. (3)底数不同、指数也不同:采用介值法.以其中一个的底为底,以另一个的 指数为指数.比如 ac 与 bd,可取 ad,前者利用单调性,后者利用图象.

[再练一题] 2.比较下列各组数的大小:

【解】 (1)由于指数函数 y=1.9x 在 R 上单调递增,而-π<-3, ∴1.9 π<1.9 3.
- -

(2)∵y=0.6x 在 R 上递减, ∴0.60.4>0.60.6. 又在 y 轴右侧,函数 y=0.6x 的图象在 y=0.4x 图象的上方, ∴0.60.6>0.40.6,∴0.60.4>0.40.6.

利用单调性解指数不等

【精彩点拨】 化为同底,利用指数函数的单调性求解.

1.形如 ax>ay 的不等式,借助 y=ax 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,需 分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论. 2.形如 ax>b 的不等式,注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式,再借助 y =ax 的单调性求解.

[再练一题]

【解析】 (1)∵2 <2-(x+1)≤22,又 y=2x 是增函数, 2 ∴3<-(x+1)≤2, 5 解得-3≤x<-3.
【答案】
? 5? ?-3,- ? 3? ?

(2)讨论:①当 a>1 时,3x-2≤x+2,∴x≤2. ②当 0<a<1 时,3x-2≥x+2,∴x≥2. 综上,当 a>1 时,不等式的解集为{x|x≤2} 当 0<a<1 时,不等式的解集为{x|x≥2}.

[探究共研型]
图象变换及其应用

探究 1 在同一坐标系中作出 y=2x,y=2x+1,y=2x+1+2 的图象,在另一坐 标系中做出 y=2x,y=2x 1,y=2x 1-2 的图象,结合以前所学的知识,归纳出图
- -

象变换的规律.

【提示】

结论:y=2x 1 的图象是由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位得到;


y=2x+1+2 的图象是由 y=2x+1 的图象再向上平移 2 个单位得到; y=2x-1 的图象是由 y=2x 的图象向右平移 1 个单位得到; y=2x-1-2 的图象是由 y=2x-1 的图象再向下平移 2 个单位得到.

探究 2

在同一坐标系中,做出 y=2 -1,y=3

x

x

?1? -1,y=?2?x-1 ? ?

的图象,它

们有公共点吗?坐标是什么?能否由此得出结论 y=ax-1 均过该点.在另一坐标 系中,做出 y=2
x+1

-1,y=3

x+1

?1? + -1,y=?2?x 1-1 ? ?

的图象,它们有公共点吗?坐标

是什么,能得出 y=ax+1-1 均过该点的结论吗?由以上两点,能否说明形如 y=ax
+m

+n(m,n>0)的图象经过的定点是什么?

【提示】

结论:y=2 -1,y=3 点(0,0).y=2
x+1

x

x

?1? -1,y=?2?x-1 ? ?

都过定点(0,0),且 y=ax-1 也总过定 都过定点(-1,0),且 y=ax 1-1 也


-1,y=3

x+1

?1? + -1,y=?2?x 1-1 ? ?

总过定点(-1,0).综上得 y=ax+m+n 的图象经过定点(-m,1+n).

探究 3

除去用图象变换的方法外,还有无其它方式寻找定点.如 y=4a2x-4

+3 是否过定点.
【提示】 将 y=4a 还可以整体代换. y-3 +3 变形为 4 =a2x-4.
? ?x=2, ?? ? ?y=7,

2x-4

?y-3 ? =1, 4 令? ? ?2x-4=0

即 y=4a2x-4+3 过定点(2,7).

(1)函数 y=3 x 的图象是________.(填序号)


(2)已知 0<a<1,b<-1,则函数 y=ax+b 的图象必定不经过第________象 限. (3)函数 f (x)=2ax+1-3(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点________.

【精彩点拨】 题(1)中可将 y=3 转化为

-x

?1? y=?3?x. ? ?

题(2)中,函数 y=ax+b 的图象过点(0,1+b), 因为 b<-1,所以点(0,1+b)在 y 轴负半轴上. 题(3)应该根据指数函数经过定点求解.

【自主解答】

(1)y=3

-x

?1? =?3?x 为单调递减的指数函数,其图象为②. ? ?

(2)函数 y=ax(0<a<1)在 R 上单调递减, 图象过定点(0,1), 所以函数 y=ax+b 的图象在 R 上单调递减,且过点(0,1+b).因为 b<-1,所以点(0,1+b)在 y 轴负 半轴上,故图象不经过第一象限. (3)令 x+1=0, 得 x=-1, 此时 y=2a0-3=-1, 故图象恒过定点(-1, -1).

【答案】 (1)② (2)一 (3)(-1,-1)

1.处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点:指数函数的图象过定点(0,1). (2)巧用图象变换:函数图象的平移变换(左右平移、上下平移). (3)利用函数的性质:奇偶性与单调性. 2.指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时,只要令指数为 0,求出对应的 y 的值,即可 得函数图象所过的定点.

[再练一题] 4.函数 y =f (x) =a ________象限.
x+2

1 -2(a>1)的图象必过定点________ ,其图象必不过第

【解析】 y=ax(a>1)在 R 上单调递增,必过(0,1)点, ? ?x+2=0, 故求 f (x) 所过的定点时可以令 ? 1 y+ =1 ? ? 2
? 1? ?-2, ?.结合图象(略)可知,f 2? ?

? ?x=-2, ?? 1 y= , ? ? 2

即定点坐标为

(x)的图象必在第一、二、三象限,不在第四象限.

【答案】

? 1? ?-2, ? 2? ?



1.下列所给函数中为指数函数的是________.(填序号) ①y=4x;②y=x4;③y=-4x;④y=(-4)x;⑤y=4x2;⑥y=x2;⑦y=(2a- 1)
x

? 1 ? ?a> ,a≠1?. ? 2 ?

【解析】 形如 y=ax(a>0 且 a≠1)的函数为指数函数,故①⑦是指数函数. 【答案】 ①⑦

2.已知指数函数 f (x)的图象过点(4,81),则 f (6)的值为________. 【解析】 设 f (x)=ax,则 a4=81,∴a=3,∴f (6)=36=729. 【答案】 729

3.指数函数 y=(2-a)x 在定义域内是减函数,则 a 的取值范围是________. 【解析】 即 1<a<2.
【答案】 (1,2)

由题意可知,0<2-a<1,

4.函数 y=ax-5+1(a≠0)的图象必经过点________.
【解析】 指数函数的图象必过点(0,1),即 a0=1,由此变形得 a5-5+1=2, 所以所求函数图象必过点(5,2).

【答案】 (5,2)

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5.画出函数 y=2|x|的图象,观察其图象有什么特征?根据图象指出其值域和 单调区间.

【解】 当 x≥0 时 y=2|x|=2x; 当 x<0 时 y=2
|x|

?1? =?2?x. ? ?

∴函数 y=2|x|的图象如图所示,
由图象可知,y=2|x|的图象关于 y 轴对称,值域是[1,+∞),单调递减区间是 (-∞,0],单调递增区间是[0,+∞).

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