广东省深圳市罗湖区翠园中学2014-2015学年高二下学期期末复习数学文科试卷2

翠圆中学高二下学期期末文科数学复习题五
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上 . .................. 1、已知集合 M ? x ? 3 ? x ? 1 , N ? x x ? ?3 ,则 M ? N ? A、 ? B、 x x ? ?3

?

?

?

?

?

?

C、 x x ? 1

?

?

D、 x x ? 1

?

?

2、要从其中有 50 个红球的 1000 个形状相同的球中,采用按颜色分层抽样的方法抽取 100 个 进行分析,则应抽取红球的个数为 A、 5 个 B、 10 个 C、 20 个 D、 45 个 3、已知复数 z ? 1 ? i , i 为虚数单位,则 z ?
2

A、 2 ? 2i

B、 2i

C、 2 ? 2i

D、 ? 2i

4、已知角 ? 的终边经过点 P(?4m, ?3) ,且 cos ? ? ? A、 1 B、 ?1 C、 3

4 ,则 m 的值为 5

D、 ? 3

5、已知命题 p : ?x ? R , sin x ? 1 ,则 A、 ?p : ?x ? R , sin x ? 1 C、 ?p : ?x ? R , sin x ? 1 6、函数 y ? e x ? x ? 2 的零点个数为 A、 0 个 B、 1 个 C、 2 个 D、 3 个
开始

B、 ?p : ?x ? R , sin x ? 1 D、 ?p : ?x ? R , sin x ? 1

7、已知向量 a ? ?1,1? , b ? ? 2, n? ,若 a ? b ? a ? b ,则 n ? A、 ? 3 B、 ?1 C、1 D、3

i?0
“主角”中枪

8、等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a4 ? 4, a6 ? 16 ,则公比 q ? A、 ? 4 B、 ? 2 C、 4 D、 2 9、在电脑游戏中, “主角”的生命机会往往被预先设定 .如某枪战游戏, “主角”被设置生命 6 次,每次生命承受射击 8 次(即被击中 8 次就 失去一次生命机会) ,假设射击为单发射击,如右图是为“主角”耗 用生命机会的过程设计的一个程序框图,请问判断框内应该填 A 、i ? 6 B 、i ? 8 C、 i ? 48 D、 i ? 48 10、定义:设 M 是非空实数集,若 ?a ? M ,使得对于 ?x ? M ,都 有 x ? a( x ? a) ,则称 a 是 M 的最大(小)值. 若 A 是不含零的

i ? i ?1


否 游戏结束 结束

一个非空实数集,且 a0 是 A 的最大值,则
?1 A 、当 a0 ? 0 时, a0 ?1 是集合 x x ? A 的最小值 ?1 B 、当 a0 ? 0 时, a0 ?1 是集合 x x ? A 的最大值 ?1 C 、当 a0 ? 0 时, ?a0 ?1 是集合 ? x x ? A 的最小值 ?1 D 、当 a0 ? 0 时, ?a0 ?1 是集合 ? x x ? A 的最大值

?

?

?

?

?

?

?

?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分,其中 14~15 是选做题,考生只能选 做一题,两题全答的,只计算前一题得分.把答案填在答题卡上 . ......... 11、以原点 (0, 0) 为圆心,且与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切的圆的方程为 12、如图,海平面上的甲船位于中心 O 的南偏西 30 , 与 O 相距 10 海里的 C 处.现甲船以 30 海里 / 小时 的速度沿直线 CB 去营救位于中心 O 正东方向
?

. 北

O C

B 西 东


20 海里的 B 处的乙船,甲船需要

小时到达 B 处.

13、设 ?ABC 的三边长分别为 a 、 b 、 c , ?ABC 的面积为 S ,内切圆半径为 r ,则

r?

2S .类比这个结论可知:四面体 A ? BCD 的四个面的面积分别为 S1 、S2 、S3 、 a?b?c


S4 ,内切球半径为 R ,四面体 A ? BCD 的体积为 V ,则 R ?

14、 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 P 为曲线 ? ? 3 上任一点,点 Q 为曲线

? cos ? ? 4 上任一点,则 P、Q 两点间距离的最小值



15、 (几何证明选讲选做题)设 A 是圆 O 外的一点,过 A 作直线与圆 O 交于 B 、 C 两点,若

AB ? AC ? 60 , OA ? 8 ,则圆 O 的半径等于

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调增区间; (3)若 f (? ) ?

?
2

), x ? R

3 ,求 sin 2? 的值. 4

17、 (本小题满分 12 分) 在同一时间段里,有甲、乙两个气象站相互独立地对天气进行预报,若甲气象站对天气 预报的准确率为 0.8 ,乙气象站对天气预报的准确率为 0.95 ,在同一时间段里,求: (1)甲、乙两个气象站对天气预报都准确的概率; (2)至少有一个气象站对天气预报准确的概率.

18、 (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ? xe x . (1)求 f ( x ) 的单调区间,并判断它在各区间上是增函数还是减函数; (2)求 f ( x ) 在 [?2, 0] 上的最大值与最小值.

19、 (本小题满分 14 分) 已知四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的三视图如 图所示. (1)画出此四棱柱的直观图,并求出四棱柱的 体积; (2)若 E 为 AA1 上一点, EB // 平面 ACD , 1 试确定 E 点位置,并证明 EB ? 平面 AB1C1D .

A1

D1

A1

B1

2 2

A
正视图

D A
侧视图

B

A
2

2

D

B
20、 (本小题满分 14 分)

1

C

俯视图

已知在平面内点 P 到两定点 F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0) 的距离之和为 4. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 P 的轨迹为 C ,若直线 l : y ? ?ex ? m (其中 e 为曲线 C 的离心率)与曲线 C 有 两个不同的交点 A 与 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点),求 m 的值.

??? ? ??? ?

21、 (本小题满分 14 分) 如图是一个面积为 1 的三角形,现进行如下操作. 第一次操作:分别连结这个三角形三边 的中点,构成 4 个三角形,挖去中间一个三角形(如图①中阴影部分所示) ,并在挖去的 三角形上贴上数字标签“ 1 ”;第二次操作:连结剩余的三个三角形三边的中点,再挖去各 自中间的三角形(如图②中阴影部分所示) ,同时在挖去的 3 个三角形上都贴上数字标签 “ 2 ”;第三次操作:连结剩余的各三角形三边的中点,再挖去各自中间的三角形,同时在 挖去的三角形上都贴上数字标签“ 3 ”; ??, 如此下去.记第 n 次操作后剩余图形的总面积 为 an .

2
1 2
① ②

1 2

(1)求 a1 、 a2 ; (2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的

1 ,问至少经过多少次操作? 4

(3)求第 n 次操作后,挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和 Sn .

一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.

题 号 答 案

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 D A B A C B D D D D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. x2 ? y 2 ? 2 12.

7 3

13.

3V S1 ? S2 ? S3 ? S4

14.1

15. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查三角函数的图象和性质、三角恒变形等基础知识,考查运算求解能力) 解:解: f ( x) ? cos x ? cos( x ?

?
2

) ? cos x ? sin x

?????(1 分)

2 2 cos x ? sin x) 2 2 ? ? 2 cos( x ? ) 4 ? 2(
(1) f ( x) 的最小正周期为 T ? (2)由 ? ? 2k? ? x ?

?????(3 分)

? 2? ? 2k? , k ? Z ?????(7 分) 4 3? 7? ? 2k? ? x ? ? 2k? , k ? Z 得 ?????(8 分) 4 4 3? 7? ? 2k? ], k ? Z f ( x) 的单调增区间为 [ ? 2k? , ?????(9 分) 4 4 3 3 (3)因为 f (? ) ? ,即 cos ? ? sin ? ? ?????(10 分) 4 4 9 1 ? 2 sin ? cos ? ? ?????(11 分) 16 7 ? sin 2? ? ?????(12 分) 16
17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查独立重复试验等基础知识,考查或然与必然的数学思想与方法,以及运 算求解能力) 解:解:记“甲气象站对天气预报准确”为事件 A ,“乙气象站对天气预报准确”为事件 B , 则 ?????(1 分) (1)甲、乙两个气象站对天气预报都准确的概率为 P( A ?B )? P ( ? A ) P ( B ?) 0? . 8 0? .95 0.76 ?????(6 分) (2)至少有一个气象站对天气预报准确的概率为

?

2? ? 2? ; 1

?????(6 分)

1 ? P( A)?P(B) ? 1 ? (1 ? 0.8)(1 ? 0.95) ? 0.99
答: (1)甲、乙两个气象站对天气预报都准确的概率为 0.76.

?????(11 分)

(2)至少有一个气象站对天气预报准确的概率为 0.99. 18. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ?( x) ? ?ex ? xex ? ?(1 ? x)e x 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ?1 当 x 变化时, f ?( x ) 、 f ( x ) 的变化情况如下表:

?????(12 分) ?????(3 分) ?????(4 分)

x
f ?( x )
f ( x)

(??, ?1)

?
?

?1 0 e ?1

(?1, ??)

?
?

?????(7 分) 即 f ( x ) 的单调区间为 (??, ?1) 和 (?1, ??) , 在 (??, ?1) 上, f ( x ) 是增函数, 在 (?1, ??) 上, f ( x ) 是减函数. ?????(9 分)

2 1 , f ( ?1) ? , f (0) ? 0 , 2 e e 1 所以 f ( x ) 在 [?2, 0] 上的最大值是 ,最小值是 0 . e
(2)因为 f (?2) ?

?????(14 分)

19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面关系,空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力) (1) (参考右下图——图略) ; ?????(3 分)

V ? SABCD ? AA1 ? 6 2
(2)作 EF // AD 交 A1D 于 F ,连 CF ,则 BCFE 共面

?????(6 分)

? EB // 平面 ACD ,? BE // CF ,又 EF // BC ,? BCFE 为平行四边形. 1

? EF ? BC ?

1 AD ,? E 为 AA1 的中点. 2

?????(10 分)

AB ? 2 , AE ? 2 在矩形 AA 1B 1B 中,

?

AE AB ,??AB1B ? ?ABE ,??AB1B ? ?ABE , ? AB BB1

? BE ? AB1
又 AD ? AA1 , AD ? AB , AA 1 ? AB ? A

? AD ? 平面 AA1B1B , BE ? 平面 AA1B1B ? AD ? BE ,

AB ? 1? AD

A

BE ? 平面 AB1C1D .

?????(14 分)

20、 (本小题满分 14 分) (本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程即直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查待 定系数法、数形结合的数学思想与方法,以及运算求解能力) 解: (1)? PF 1 ? PF 2 ? 4( F 1F 2 ? 4) ,

? 点 P 的轨迹是以 F1 , F2 为焦点,长轴长为 4 的椭圆.
设 P( x, y ) ,则轨迹方程为

?????(2 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?????(3 分)

?a ? 2, c ? 3 .又?b2 ? a2 ? c2 ,?b ? 1

?????(5 分)

? 点 P 的轨迹方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

?????(6 分)

(2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,? e ?

c 3 3 ,? 直线 l : y ? ? ? x ? m ??(7 分) a 2 2

? 3 y?? x?m ? 3 ? 2 2 由? 得 x ? 4(? x ? m)2 ? 4 ,整理得 x2 ? 3x ? m2 ?1 ? 0 2 2 ? x ? y2 ? 1 ? ?4
??(8 分)

?? ? (? 3m) ? 4(m ?1) ? 4 ? m ? 0
2 2 2

?????(9 分) ?????(11 分)

x1 ? x2 ? 3m, x1x2 ? m2 ?1
??? ? ??? ? 3 3 OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (? x1 ? m)(? x2 ? m) 2 2

5 7 7 3 7 3 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? (m2 ? 1) ? m ? 3m ? m2 ? m 2 ? ?(12 分) 4 4 4 2 4 2 ??? ? ??? ? 5 2 7 又 OA ? OB ? 2 ,? m ? ? 2 ,?m ? ? 3 .代入①得 ? ? 0 ,满足题意, 4 4

?

? 所求实数 m 的值为 ? 3

?????(14 分)

21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查等比数列、不等式及其性质等基础知识,化归与转化的数学思想方法, 以及抽象概括能力、运算求解能力)

3 9 , a2 ? ?????(4 分,每个 2 分) 4 16 3 3 3 n (2)因为{ an }是以 为首项,以 为公比的等比数列,所以 an = ( ) ????(6 分) 4 4 4
解: (1)求 a1 ?

由( ) ?
n

3 4

1 n n ?1 ,得 3 ? 4 4 3 4
n

????(7 分) ??(8 分) ??(9 分)

1 4 1 所以至少经过 5 次操作,可使剩余图形的总面积不足原三角形面积的 4
因为 31 ? 40 ,32 ? 41,33 ? 42 ,34 ? 43 ,35 ? 44 ,所以当 n=5 时, ( ) ?

(3)设第 n 次操作挖去 bn 个三角形,则{ bn }是以 1 为首项,3 为公比的等比数列, 即 bn ? 3n?1 ????? (11 分)
n ?1

所以所有三角形上所贴标签上的数字的和 Sn = 1?1 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? 3 则 3Sn ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? ??? ? n ? 3 ,两式相减,
2 n

??(13 分)

得 ?2Sn = (1 ? 3 ? 32 ???? ? 3n?1 ) ? n ? 3n = 故 Sn = ( ? ) ? 3 ?
n

3n ? 1 ? n ? 3n , 2
????? (14 分

n 2

1 4

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