【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练:3.1.2 不等式的性质及应用

数学· 必修 5(人教 A 版)

3.1

不等关系与不等式
不等式的性质及应用

3.1.2

?基础达标 1.已知 a >b,判断下列不等式的正确性(对的打“√”,错的 打“×”): 1 1 (1)a<b( ) (2)ac2>bc2(c≠0)( (3)lg(a-b)>0( (4)a-c>b-c( ) ) )

1 1 解析:(1)取 a=1,b=-2 知a>b,(1)错; (2)∵c≠0,∴c2>0,又 a>b,∴ac2>bc2.(2)对; (3)当 a-b∈(0,1]时,lg(a-b)≤0.(3)错; (4)∵a>b,∴a+(-c)>b+(-c).(4)对. 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√

1 1 2.已知a<b<0,判断下列不等式的正确性(对的打“√”,错 的打“×”): (1)a2<b2( (2)ab<b2( ) )

a b (3)b+a>2( ) (4)|a|+|b|>|a+b|(

)

1 1 1 1 解析:∵a<b<0,∴a<0,b<0 且a-b<0, b-a 即 ab <0,∴b-a<0,即 b<a<0. (1)由 b<a<0?-b>-a>0?b2>a2,(1)对; (2)由 b<a<0,又 b<0?b2>ab,(2)对; a2+b2-2ab ?a-b?2 a b (3)b+a-2= = ab >0,(3)对; ab (4)由 a<0,b<0?|a+b|=|a|+|b|,(4)错. 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×

3.如下图,y=f(x)反映了某公司的销售收入 y 与销量 x 之间的 函数关系,y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函 数关系.当销量 x 满足下列哪个条件时,该公司盈利( )

A.x>a C.x≥a

B.x<a D.0≤x≤a

解析:当 x<a 时,f(x)<g(x);当 x=a 时,f(x)=g(x);当 x>a 时, f(x)>g(x),选 A. 答案:A

4.若 a,b,m∈R+,a<b,将 a 克食盐加入 b-a 克水中,所 得溶液的盐的质量分数为 P1,将 a+m 克食盐加入 b-a 克水中,所 得溶液的质量分数为 P2,对 P1 、P2 的大小判断正确的是( ) A.P1<P2 B.P1=P2 C.P1>P2 D.P1 与 P2 大小不确定

a+m a a 解析:P1= =b,P2= = ?b-a?+a ?b-a?+a+m a+m a a+m m?a-b? ,P1-P2=b- = , b+m b+m b?b+m? 又∵a<b,m,a,b∈R+, ∴P1-P2<0,即 P1<P2.故选 A. 答案:A 5.设 x>1,-1<y<0,试将 x,y,-y 按从小到大的顺序排列如 下:________. 答案:y<-y<x

?巩固提高 6.若 0<a<1,0<b<1,把 a+b,2 ab,2ab 中最大与最小者分 别记为 M 和 m,则( ) A.M=a+b,m=2ab B.M=2ab,m=2 ab C.M=a+b,m=2 ab D.M=2 ab,m=2ab 解析:a+b-2 ab=( a- b)2≥0, ∴a+b≥2 ab. 又 0<a<1,0<b<1, ∴0<ab<1,∴ ab>ab. ∴2 ab>2ab,∴M=a+b,m=2ab.故选 A. 答案:A

7.已知 0<a<1,2<b<4,则 b-2a 的取值范围是________. 解析:由 0<a<1?0<2a<2?-2<-2a<0. 又 2<b<4,两式相加得:0<b-2a<4. 答案:(0,4)

8.已知 x>0,则 “>”“<”或者“=”) 解析: x+3- x+2= x+1- x=

x+3 -

x+2 ____

x+1 - x ( 填

1 , x+3+ x+2

1 , x+1+ x 又 x+3+ x+2> x+1+ x>0, 1 1 ∴ < . x+3+ x+2 x+1+ x 答案:<

9.已知 a>b>0,比较下列各组两式的大小: 1 1 a 2a+b (1)a+b与 b+a;(2)b与 . a+2b 1 1 解析:(1)∵a>b>0 ,∴b>a, 1 1 ∴a+b>b+a. 2a+b a b2-a2 ?b+a??b-a? (2)∵ -b= = <0, a+2b ?a+2b?b ?a+2b?b a 2a+b ∴b> . a+2b

10.已知 0<x<1,0<a<1,试比较|loga(1-x)|和|loga(1+x)|的大 小. 解析:解法一:|loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2

=[loga(1-x)+loga(1+x)]· [loga(1-x)-loga(1+x)] 1-x =loga(1-x2)loga . 1+x 1-x ∵0<1-x2<1,0< <1, 1+x 1-x ∴loga(1-x2)loga >0. 1+x ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.
?loga?1-x?? ? =|log1+x(1-x)| 解法二:? ?loga?1+x?? 1 =-log1+x(1-x)=log1+x 1-x 1+x 2 =log1+x 2=1-log1+x(1-x ) 1-x ∵0<1-x2<1,1+x>1, ∴log1+x(1-x2)<0. ∴1-log1+x(1-x2)>1. ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

解法三:∵0<x<1,∴0<1-x<1,1<1+x<2, ∴loga(1-x)>0,loga(1+x)<0. ∴|loga(1-x)|-|loga(1+x)| =loga(1-x)+loga(1+x) =loga(1-x2). ∵0<1-x2<1,且 0<a<1, ∴loga(1-x2)>0. ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

1.作差比较中常用的变形手段有:通分、因式分解、配方等.比 较含字母的量的大小时, 若不能确定差的符号, 可对字母进行分类讨 论.

2.对于某些多项式,可将条件中的式子当作一个整体,把待求 式用整体表示出来,再用不等式的性质. 3.证明不等式时,可结合条件先进行适当分析转化.


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