高三数学(文)一轮总复习(江苏专用)课时跟踪检测(二十三)正弦定理和余弦定理Word版含解析

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1.在△ABC 中,若sina A=cobs B,则 B 的值为________. 解析:由正弦定理知:ssiinn AA=csoins BB,∴sin B=cos B, ∴B=45°. 答案:45° 2.(2016·长春质检)已知△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2-bc, bc=4,则△ABC 的面积为________. 解析:∵a2=b2+c2-bc,∴cos A=12, ∴A=π3,又 bc=4, ∴△ABC 的面积为12bcsin A= 3. 答案: 3 3.在△ABC 中,若 a=4,b=3,cos A=13,则 B=________. 解析:因为 cos A=13, 所以 sin A= 1-91=2 3 2, 由正弦定理,得sin4 A=sin3 B, 所以 sin B= 22, 又因为 b<a,所以 B<2π,B=π4. 答案:π4 4.(2016·南京一模)在△ABC 中,若 9cos 2A-4cos 2B=5,则BACC的值为________. 解析:由题意得 9(1-2sin2A)-4(1-2sin2B)=5, 即 9sin2 A=4sin2B,所以BACC=ssiinn AB=23. 答案:23
1

5.在△ABC 中,已知 AB=3,A=120°,且△ABC 的面积为154 3,则 BC 边的长为________. 解析:由 S△ABC=154 3得12×3×ACsin 120°=154 3,所以 AC=5,因此 BC2=AB2+AC2- 2AB·AC·cos 120°=9+25+2×3×5×12=49,解得 BC=7. 答案:7
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1.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边的长分别为 a,b,c,若 asin A+bsin B<csin C,则△ ABC 的形状是________三角形.
a2+b2-c2 解析:根据正弦定理可得 a2+b2<c2.由余弦定理得 cos C= 2ab <0,故 C 是钝角.即△ABC

为钝角三角形.

答案:钝角 2.在△ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是________(填“一 解”“二解”“不存在”). 解析:由正弦定理得sinb B=sinc C,

∴sin

B=bsicn

C=40×20

3 2


3>1.

∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在.

答案:不存在 3.(2016·郑州质量预测)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且(b-c)(sin B +sin C)=(a- 3c)sin A,则角 B 的大小为________. 解析:由正弦定理sina A=sinb B=sinc C及(b-c)·(sin B+sin C)=(a- 3c)sin A 得(b-c)(b+c)=(a



3c)a,即 b2-c2=a2-

3ac,所以 a2+c2-b2=

3ac,又因为

cos

a2+c2-b2 B= 2ac ,所以

cos

B=

23,

所以 B=30°.
答案:30° 4.(2016·南昌一模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,若 c=1,B=45°, cos A=35,则 b=________. 解析:因为 cos A=35,

2

所以 sin A= 1-cos2A= 1-??35??2=45,
所以 sin C=sin[180°-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=45cos 45°+35sin 45°=

72 10 .

由正弦定理sinb

B=sinc

C,得

b= 7

1

×sin 2

45°=57.

10

答案:57 5.已知△ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,若 A=3π,b=2acos B,c=1,则 △ABC 的面积等于________.

解析:由正弦定理得 sin B=2sin Acos B,

故 tan B=2sin A=2sinπ3= 3,又 B∈(0,π),所以 B=π3,

又 A=B=π3,则△ABC 是正三角形,

所以

1 S△ABC=2bcsin

A=12×1×1×

23=

3 4.

答案:

3 4

6.(2015·北京高考)在△ABC 中,a=4,b=5,c=6,则ssiinn2CA=________.

解析:由正弦定理得ssiinn CA=ac,

b2+c2-a2 由余弦定理得 cos A= 2bc ,

∵a=4,b=5,c=6,

∴ssiinn2CA=2sinsiAncCos

A=2·ssiinn

A C·cos

A

=2×46×522+×652×-642=1.

答案:1 7.(2016·南京一中模拟)在△ABC 中,如果 cos(B+A)+2sin Asin B=1,那么△ABC 的形状是 ________.

解析:∵cos(B+A)+2sin Asin B=1,∴cos Acos B+sin Asin B=1,∴cos(A-B)=1,在△ABC 中,

A-B=0?A=B,所以此三角形是等腰三角形.
3

答案:等腰三角形

8.(2015·南通调研)已知△ABC 中,AB= 3,BC=1,sin C= 3cos C,则△ABC 的面积为 ________.

解析:由 sin C=

3cos C 得 tan C=

π 3>0,所以 C=3.

BC AB

13

根据正弦定理可得sin A=sin C,即sin A=

=2, 3

2

所以 sin A=12.因为 AB>BC,所以 A<C,所以 A=π6,所以 B=π2,即三角形为直角三角形,

故 S△ABC=12×

3×1=

3 2.

答案:

3 2

9.(2016·南京学情调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=2,c=5,

cos B=35.

(1)求 b 的值;

(2)求 sin C 的值.

解:(1)因为 b2=a2+c2-2accos B=4+25-2×2×5×35=17,所以 b= 17.

(2)因为 cos B=35,所以 sin B=45,

由正弦定理sinb B=sinc C,得 417=sin5 C, 5

所以

sin

C=4

17 17 .

10.(2015·浙江高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 A=π4,b2-a2 =12c2.
(1)求 tan C 的值; (2)若△ABC 的面积为 3,求 b 的值. 解:(1)由 b2-a2=12c2 及正弦定理得

sin2B-12=12sin2C,

所以-cos 2B=sin2C.①

4

又由 A=π4,即 B+C=34π,得

-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,②

由①②解得 tan C=2.

(2)由

tan

C=2,C∈(0,π),得

sin

C=25 5,cos

C=

5 5.

因为 sin B=sin(A+C)=sin??π4+C??,

所以

sin

B=3

10 10 .

由正弦定理得 c=2 32b,

又因为 A=4π,12bcsin A=3,所以 bc=6 2,故 b=3.

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1.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2 -c2,则 tan C=________.
解析:因为 2S=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab,则结合面积公式与余弦定理,得 absin C=2abcos

C+2ab,

即 sin C-2cos C=2,所以(sin C-2cos C)2=4,

sin2C-4sin Ccos C+4cos2C

tan2C-4tan C+4

sin2C+cos2C

=4,所以 tan2C+1 =4,解得

tan

C=-43或

tan

C=0(舍去).

答案:-43 2.在△ABC 中,tanA+2 B=2sin C,若 AB=1,则12AC+BC 的最大值为________.

A+B 解析:因为 tan 2 =2sin C,

A+B

sin 2

所以

=2sin C,

A+B

cos 2

A+B A+B

2sin 2 ·cos 2

=2sin C,

2???cos

A+B??2 2?

5

sin?A+B? =2sin C,
1+cos?A+B?

因为 A+B+C=π,

所以 A+B=π-C,

所以 sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C, 所以 sin C =2sin C,
1-cos C

又 sin C≠0,所以 cos C=12,sin C= 23,C=π3.

因为sBinCA=sAinCB=siAnBC=2 3 3,

所以12AC+BC=

3 3 sin

B+2

3

3 sin

A



33sin??23π-A??+2

3

3 sin

A



3? 3?

3 2 cos

A+12sin

A+2sin

A ??

= 321sin(A+φ),

π

3

其中 0<φ<2,tan φ= 5 ,

当 sin(A+φ)=1 时,12AC+BC 取得最大值

21 3.

答案:

21 3

3.如图所示,在四边形 ABCD 中,∠D=2∠B,且 AD=1,CD=3,

cos

∠B=

3 3.

(1)求△ACD 的面积;

(2)若 BC=2 3,求 AB 的长.

解:(1)因为∠D=2∠B,cos∠B= 33,

所以 cos∠D=cos 2∠B=2cos2∠B-1=-13.

因为∠D∈(0,π),

所以 sin∠D=

1-cos2∠D=2

3

2 .

6

因为 AD=1,CD=3,

所以△ACD 的面积

S=12AD·CD·sin∠D=12×1×3×23 2= 2.

(2)在△ACD 中,

AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12,

所以 AC=2 3. 因为 BC=2 3, AC = AB ,
sin∠B sin∠ACB

23

AB

AB

所以 =



sin∠B sin?π-2∠B? sin 2∠B

= AB = AB , 2sin∠Bcos∠B 2 3 3sin∠B

所以 AB=4.

7


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