2019-2020年高三数学 2.1数学归纳法及其应用举例(第四课时)大纲人教版选修

2019-2020 年高三数学 2.1 数学归纳法及其应用举例(第四课时)大纲人教
版选修
课题 研究性课题:杨辉三角(一)
教学目标 一、教学知识点 1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系. 2.理解杨辉三角和二项式系数. 3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质). 二、能力训练要求 1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题. 2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力、数式变换能力. 3.观察问题、概括问题、证明问题的能力. 三、德育渗透目标 1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程. 2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想. 3.加强对学生的爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神. 教学重点 杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的 数量关系,它与排列、组合和概率的知识结合起来.事实上,许多重要的数学公式都跟组合数有 关,因此,适当记住杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有帮助的. 教学难点 杨辉三角中的性质是本节课的教学难点,用数学归纳法证明二项式定理,也是一个难点, 由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系,究竟有什么样的关系,要利用从特殊到一般的归纳、 猜想与证明的方法来突破难点. 教学方法 建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.因为杨辉三角中的许多性质不 是轻易能发现的,从一般的情况求解显得枯燥无味,而本节也是研究性课题,在教学中采用“特 殊→一般”的科学思维方法,让学生讨论研究,从中发现问题,提出问题,最后利用所学的知识解 决问题.让每个学生都参与教学的全过程,让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有 了主动建构的基础. 教具准备 实物投影仪(或幻灯机,幻灯片),学生的讨论成果展示. 教学过程 Ⅰ.课题导入 [师]在第十章,我们在学习二项式定理时,已经简单介绍了杨辉三角的问题. (幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就 记载着类似下面的表:

图 2-3

这个表称为杨辉三角,在《详解九章算法》一书里,还说明了表里“一”以外的每一个数都

等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元

11 世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于 11 世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学

家帕斯卡(Blaise Pascal,1623 年~1662 年)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角,这就是

说,杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民 族自豪的.(这段文字由学生齐读,目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌,激励他们立志为

中华民族的伟大复兴而读书)

[师]鉴于杨辉在数学上的伟大贡献,今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关

系.(板书课题,研究性课题:杨辉三角)

Ⅱ.讲授新课 [师]一般的杨辉三角如下:

(打出幻灯片,或多媒体课件)

第0行

1

第1行

11

第2行

121

第3行 第4行 第5行

1331 14 641 1 5 10 10 5 1

第6行

1 6 15 20 15 6 1

……

第 n-1 行 1





1

第n行





1

……

其中. [师]在学习二项式定理时,我们知道,杨辉三角的第 n 行就是二项式(a+b)n 展开式的系

数,请同学们回顾一下,二项式定理的内容是什么? [生 1](a+b)n=an+an-1b1+an-2b2+…+an-rbr+…+bn.

[师]你们能证明这个定理吗?

[生 1]利用定义证明:(a+b)n=(a+b)·(a+b)·(a+b)·…·(a+b)(n 个括号).等号右边的积的展 开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是 n 次式,即展开式应有下面

形式的各项. an,an-1b,an-2b2,…,an-rbr,…,bn.

现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数,也就是看展开式中各项的系数是什么,在

上面 n 个括号中:

每个都不取 b 的情况有 1 种,即种,所以 an 的系数为;恰有 1 个取 b 的情况有种,所以 an-1·b 的系数为;恰有 2 个取 b 的情况有种,所以 an-2·b2 的系数为;……恰有(n-1)个取 b 的情况有种, 所以 abn-1 的系数为;
n 个都取 b 的情况有种,所以 bn 的系数为. 因此,(a+b)n=an+an-1b+an-2·b2+…+an-rbr+…+bn.

[师]这种定义法证明固然是好,但不能代表更广泛的意义.你们能用其他方法给予证明

吗?

[生 2]用数学归纳法证明:(1)n=1 时,左边=(a+b)1=a+b,展开式的系数为 1,1,而右边

=a+b=a+b,

∴左边=右边.∴n=1 时等式成立.

(2)假设当 n=k 时等式成立,即 (a+b)k=ak+ak-1b+…+ak-r·br+…+bk. 当 n=k+1 时,(a+b)k+1=(a+b)k(a+b) =(ak+ak-1b+…+ak-rbr+…+bk)(a+b) =ak+1+akb+…+ak-rbr+1+…+abk+akb+…+ak-rbr+1 =ak+1+(+)akb+…+(+)ak-rbr+1+…+(+)abk+bk+1.

+…+abk+bk+1

利用,,…,,…,, 得到(a+b)k+1=ak+1+akb+…+ak-rbr+1+…+abk+bk+1.

这就是说,如果 n=k 时等式成立,那么 n=k+1 时等式也成立.

根据(1)和(2),可知对于任意正整数 n,等式都成立.这样,我们就证明了二项式 定理.

[师]杨辉三角有哪些基本性质?

[生 3](1)对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即(k=0,1,2,…,n).这一性

质可直接由组合数计算公式或性质得到.将可看成是以 r 为自变量的函数 f(r),其定义域是

{0,1,2,3,…,n},直线将其图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.

(2)增减性与最大值.因为由(1)可知,,…,.



C

k n

?

n(n ?1)(n ? 2)?(n ? k (k ?1)!k

? 1)

?

Cnk

?1

?

n

?

k k

? 1 ,所以.那么

f(k)的单调性情况由

来决定,即 g(k)>1 还是 g(k)<1.由 可知,当时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半

部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当 n 是偶数时,中间的一项二项式系数取得最大值;

当 n 为奇数时,中间的两项二项式系数、相等,且同时取得最大值.

[生 4]这个三角形的两条斜边都是数字 1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,

也就是,这也是杨辉三角的最基本的性质.

[师]除了杨辉三角的基本性质外,仔细观察杨辉三角的图形,我们还可以发现什么有趣

的排列规律呢?

(引导启发学生观察问题、分析问题、提出问题,最后再解决问题,教师应参与学生一起讨

论)

[生 5]计算杨辉三角中各行数字的和,我们有:(板书)

第 1 行 1+1=2,

第 2 行 1+2+1=4,

第 3 行 1+3+3+1=8,

第 4 行 1+4+6+4+1=16,

第 5 行 1+5+10+10+5+1=32,

……

……

于是:猜想第

n



C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

? ? ? Cnr

?

?

?

C

n n

?1

?

C

n n

?

2n

,即(a+b)n 的展开式的

各个二项式系数的和等于 2n. [师]你能证明这个结论吗? [生 6]可以,用数学归纳法证明:(板书) (1)当 n=1 时,左边,右边=21=2,∴左边=右边,即当 n=1 时,等式成立.

(2)假设

n=k

时,结论成立,即

C

0 k

?

C

1 k

? Ck2

?

?

?

C

r k

?

?

?

C

k k

?1

?

C

k k

? 2k ,

那么

n=k+1

时,

C

0 k ?1

?

C

1 k ?1

?

C

2 k ?1

?

C k3?1

???

C

r k ?1

?

C r?1 k ?1

???

C

k k ?1

?

C k ?1 k ?1

?

C

0 k ?1

?

(C

0 k

?

C k1

)

?

(C

1 k

?

C

2 k

)

?

(C

2 k

?

C

3 k

)

?

?

?

(C

r k

?1

?

C

r k

)

?

(C

r k

? Ckr?1 ) ? ? ? (Ckk

?

C

k k

?1

)

?

C k ?1 k ?1

2Ck0

?

2C

1 k

?

2C

2 k

?

2C

3 k

?

?

?

2C

r k

?

??

2C

k k

?1

?

C

k k

? Ckk

? 2(Ck0

?

C

1 k

?

C

2 k

?

?

?

C

r k

???

C

k k

?1

?

C

k k

)

=2·2k=2k+1,即 n=k+1 时,等式也成立. 由(1)(2)可知,等式对一切自然数 n∈N*都成立. [师]你在证明过程中用到了什么技巧? [生 7]利用①杨辉三角的基本性质 3,(前面证明过了);②换成;③换成,然后合并,再用
归纳假设. [师]他的这两步代换是十分重要的,也是较好的.如果只利用性质 3 是无法操作的,所以
在具体的解题过程中要因题、因情而宜,不能千篇一律地都使用一个技巧. 同学们,思考一下,还有其他的方法可以证明吗? [生 8]用赋值法.在二项式定理中,对 a,b 都赋值 1,即可得出结论.

证明:∵ (a ? b)n

?

C

0 n

a

n

?

C

1 n

a

n?1b

?

C

2 n

a

n

?2

b

2

? ? ? Cnr a n?r b r

?

?

?

C

n n

b

n

,











a=b=1,





(1 ? 1)n

?

C

0 n

?1n?1 ?1 ? Cn2

?1n?2

?12

? ? ? Cnr

?1n?r

?1r

?

?

?

C

n n

?1n .

故有

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

?

?

?

C

r n

?

?

?

C

n n

?

2n .

[师]请同学们再观察杨辉三角,还可以得到什么结论呢? [生 9]经观察计算知,每行的奇数项的和等于偶数项的和,即

Cn0

? Cn2

?

C

4 n

???

C

1 n

?

C

3 n

?

C

5 n

? ?=2n?1 .

[师]你怎样证明它呢? [生 9]利用赋值法. 因为(a+b)n=an+an-1b+an-2·b2+…+an-rbr+…+bn,



a=b=1



C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

?

?

?

C

r n

?

?

?

C

n n

?

2n .①

令 a=1,b=-1 得 Cn0

?

C

1 n

?

C

2 n

?

C

3 n

? ? ? (?1)r Cnr

?

?

?

(?1)

n

C

n n

?

0 .②

由②得

C

0 n

?

C

2 n

? Cn4

???

C

1 n

?

C

3 n

?

C

5 n

? ?? .

又由①知.故命题得证.

[师]用赋值法证明有关组合恒等式是十分简捷的.请同学们再观察杨辉三角的第 1,3,7,15 行的各数字有什么特点?
[生 10]第 1 行是 1;第 3 行是 1,3,3,1;第 7 行数字是 1,7,21,35,35,21,7,1;第 15 行数字 是 1,15,105,…,105,15,1,这些行上的各个数字都是奇数,而第 2,4,5,6,8,9,10,11,12,13,14 行上的 数字有奇数有偶数.
[师]总结概括得很好!你们能将这种情况推广吗? (稍等片刻,让学生互相讨论、交流自己的研究结果,应该给学生留一定的时间和空间) [生 11]因为 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,所以我们大胆猜想第 2k-1 行(k∈N*)的各个 数字都是奇数. [师]你能证明吗? [生 11]这个我没有证明,但我认为应该是正确的! [师]不能仅靠直觉,前面我们也介绍了一些国际级数学大师在猜想中也会犯错误的,所 以我们提出的猜想,要尽可能地给予证明,如果课堂上不能解决,课后再讨论证明方法也行. [生 12]我有一种证明思路,利用组合数定义进行证明即可.



C

r 2

k

?1 ?

(2k

?1)(2k ? 2)(2k ? 3)?(2k r ? (r ?1) ? (r ? 2)?? 2 ?1

? r)

,

下面对 r 进行分类,当 r 为偶数时,设为 r=2m(m∈N),



C

r 2

k

?1 ?

(2k

? 1)(2k ? 2)(2k ? 3)?(2k ? 2m) 2m(2m ?1)(2m ? 2)?2 ?1

?

2m

2m (2k ?1)(2k?1 ?1)(2k ? 3)?(2k?1 ? m) ?[m ? (m ?1) ??? 2 ?1](2m ?1)(2m ? 3) ???1

= (2k ? 1)(2k ? 3)(2k ? 5)?(2k?1 ? 1)(2k?1 ? 2)?(2k?1 ? m) . [m ? (m ?1)?? 2 ?1][(2m ?1)(2m ? 3)?3 ?1]

下面再对 m 的奇偶性分类讨论,经过有限步的约分化简,可以得到在 r=2m 时是奇数. 同样地,当 r 为奇数,即 r=2m+1 时,我们也用这种无穷递降法进行化简,得出也是奇数. [师]同学们,他用这种无穷递降法求解思想来证明,你们能听懂吗? [众生]思路我们是清楚的,就是没有哪一种情况是坚持到底的. [师]这种无穷递降法证明有关整数类问题是十分有效的方法,它在证明过程中奇偶性 是交替的,分子与分母的各个因数中只要有偶数项一定将 2 提取进行约分.由于 r 是有限的,所 以经过有限步的变换可以实现将所有的偶数因子中的“2”约分,化为全是奇数的乘法与除法. 也就是他的叙述上稍加改进,即更加完善了. [生 13]我在生 12 的基础上进行改进,也是利用无穷递降法求证,同时也运用数学归纳 法的思想求解.“因为当 r=0 时,,r=1 时,都是奇数,命题成立”. (2) 假 设 当 r=l(l≥0) 时 结 论 成 立 , 即 是 奇 数 , 那 么 r=l+1

时,

C

l ?1 2k ?1

?

(2k

? 1)(2k ? 2)?(2k ? l)(2k (l ? 1) ? l ? (l ?1)?2 ?1

?l

? 1)

? 2k ? l ?1 ? (2k ?1)(2k ? 2)?(2k ? l)

l ?1

l ? (l ?1) ??2 ?1

. 当 l 是偶数时,2k-l-1,l+1 都是奇数, ∴是奇数.

当 l 是奇数,即 l=2m+1(m∈N)时, 2k ? l ?1 ? 2k ? 2m ? 2 ? 2k?1 ? m ?1 .对 m 的奇偶

l ?1

2m ? 2

m ?1

性再进行分类讨论,这样无穷递推下去,因 k 是有限的,只要经过有限步的变换即可使变为.由 归纳假设,可知这个命题对 r=l+1 时也成立.
由(1)(2)可知,命题对 r∈{0,1,2,…,2k- 都成立.[师]很好!这个学生的思路也是很清 楚的,他将数学归纳法的思想运用到这个问题中了,虽然数学归纳法仅适合于无限个取值,但 这种思想递推关系是可以用的.
Ⅲ.课堂练习 归纳已经总结的杨辉三角的性质. Ⅳ.课时小结 [师]这节课我们研究了杨辉三角的有关性质,同学们,你们能归纳概括吗? [生](1)对称性. (r=0,1,2,…,n),关于对称. (2)单调性及最大值.当 n 为偶数时,,,…,单调递增, ,,…,单调递减,且最大.当 n 为奇数时,,,…, 递增,,,…,递减,且为最大.
(3).

(4)

C

0 n

? Cn1

?

C

2 n

?

?

?

C

n n

?

2n ,

Cn0

?

C

2 n

?

C

4 n

???

C

1 n

? Cn3

?

C

5 n

???

2n?1 .

(5)第 2k-1 行的各项都是奇数. Ⅴ.课后作业 请同学们观察杨辉三角的第 2,4,8,16 行中除去两端的“1”之外的数字有什么特点.根据这 些特征,你能得到一般结论吗?并证明之. 提示:第 2k 行中除 1 外,各个数字都是偶数,依照问题 5 的方法进行证明,数学归纳法和无 穷递降法结合. 板书设计
研究性课题:杨辉三角(一) 基本性质:(1),,…,. (2)单调性及最大值.
(3).

(4)

C

0 n

? Cn1

?

C

2 n

?

?

?

C

n n

?

2n ,

. (5)第 2k-1 行全是奇数. 性质(1)~(3)简要证明. (4)证法一(数学归纳法). 证法二(赋值法).

a=b=1,

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

? ? ? Cnn

?

2n

;a=1,b=-1,

C

0 n

?

C

1 n

?

C

2 n

?

?

?

(?1)

n

C

n n

? 0.

∴ Cn0

?

C

2 n

?

C

4 n

???

C

1 n

?

C

3 n

???

2n?1 .

杨辉三角:
性质 5 的证明. 思路一(无穷递降法):. r=2m,r=2m+1 讨论.

1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

思路二:

C

l ?1 2k ?1

?

2

k

?l ? l ?1

1

?

C2l

k

?1u

2019-2020 年高三数学 2.3 函数的极限(第一课时)大纲人教版选修
课时安排 2 课时 从容说课 从建构主义观点出发来引入函数极限的概念,建构函数的极限的定义.数列是一种特殊函 数.我们已经研究了数列的极限的概念.本小节要解决当 x→∞时,函数 f(x)的极限;当 x→x0 时 函数 f(x)的极限,函数的左、右极限的概念.着重弄清下列三个问题: (1)常数 C 与 x 不发生关系,为什么有或呢? 这是因为 C=C·1x,所以可把常数看成“变化率”为 0 的函数,它实际上与自变量 x 是有关系 的,f(x)=C,不论 x 取何值,其函数值都是 C,其图象是一条水平直线(与 x 轴平行或重合). (2)“当 x→x0 时,函数 f(x)的极限是 A”,这一用语是否与 f(x)在点 x0 处的情况有关? 这一用语仅与 f(x)在点 x0 附近的函数值变化有关,而与 f(x)在点 x0 处的情况无关.例如,函 数 f(x)=x3+3x2-1 在点 x0=1 处有定义,而分式函数在点 x0=-2 处无定义,但它们当 x→+1,x→-2 时的极限都是存在的. (3)是否所有函数都有极限呢?学生容易糊涂,教师应该举例说明. 答案是否定的.例如,函数,当 x→∞时的极限是不存在的.事实上, 当 x→+∞时,f(x)的值恒等于 1,所以 f(x)的变化趋势是无限接近于 1; 而当 x→-∞时,f(x)的值恒等于-1,所以 f(x)的变化趋势是无限趋近于-1. 因此,当 x→∞时,f(x)的变化趋势不是无限趋近于同一常数,即当 x→∞时,f(x)的极限不存 在.
第七课时 课题
函数的极限(一) 教学目标 一、教学知识点 1.当 x→+∞时,函数 f(x)的极限的概念.

2.当 x→-∞时,函数 f(x)的极限的概念. 3.当 x→∞时,函数 f(x)的极限的概念. 4.常数函数 f(x)=C 的极限. 二、能力训练要求 1.从函数的变化趋势,理解掌握函数极限的概念. 2.会求当函数的自变量分别趋于+∞、-∞、∞时的极限. 三、德育渗透目标 1.培养学生以运动的眼光来看待数学问题的能力和极限思想. 2.培养学生从“特殊”到“一般”的归纳的能力. 教学重点 从函数的变化趋势来理解极限的概念,体会极限思想.这是本章内容的基础,也是本章后 续内容(导数,积分)的基础. 教学难点 对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解.可以结合具体例子,通过比较数值的变化 及图象,从中提炼、概括涉及极限的本质特征. 教学方法 启发式教学法. 教学过程 Ⅰ.课题导入 [师]什么是数列{an}的极限? [生 1]当项数 n 无限增大时,如果数列{an}的项 an 无限趋近于某个常数 a,就说当 n 趋向 于无穷大时,数列{an}的极限是 a,记作或者当 n→∞时,an→a. [师]那么我们是否可以将 an 看成是 n 的函数?即 an=f(n),自变量 n∈N*,an 就是一个特 殊的函数.对于一般的函数 f(x),自变量 x∈R,是否有同样的结论呢?这节课就来研究当 x→∞ 时,函数 f(x)的极限. Ⅱ.讲授新课 (一)举特殊例子 [师]我们先来看函数(x∈R,x≠0),画出它的图象或者列表观察:当 x 取正值并无限增大时 和当 x 取负值并绝对值无限增大时,函数值的变化趋势. [板书](x∈R,x≠0). 1.图象

2.列表(请学生回答 y 的值)

图 2-13

x 1 10 100 1000 -10000 -100000 …

y 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 …

x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 … y -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 … [师]我们从图或表中可以发现什么呢?当 x 取正值增大或 x 取负值绝对值增大时,函

数值 y 如何变化? [生 2]从图中或表中可以看出,当 x 取正值增大时,y 的值趋于 0;当 x 取负值并绝对值
增大时,y 的值也趋于 0. [师]那我们如果也用数列中的极限符号怎么表示呢? [板书],. (二)函数极限的定义 1.当自变量 x 取正值并且无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a.就说当 x 趋向
于正无穷大时,函数 f(x)的极限是 a,记作 f(x)=a,或者当 x→+∞时,f(x)→a, 2.当自变量 x 取负值并且绝对值无限增大时,如果函数 f(x)无限趋近于一个常数 a,就说当
x 趋向于负无穷大时,函数 f(x)的极限是 a,记作 f(x)=a 或者当 x→-∞时,f(x)→a. 3.如果 f(x)=a 且 f(x)=a,那么就说当 x 趋向于无穷大时,函数 f(x)的极限是 a,记作 f(x)=a,或
者当 x→∞时,f(x)→a. 4.常数函数 f(x)=C(x∈R),有 f(x)=C. 注意:f(x)存在,表示 f(x)和 f(x)都存在且两者相等.所以 f(x)中的∞既有+∞,又有-∞的意义,
而数列极限中的∞仅有+∞的意义. (三)课本例题 [例 1]分别就自变量 x 趋向于+∞和-∞的情况, 讨论下列函数的变化趋势. (1)(老师板演). [师生共析]对于这个函数的图象能否作出,由图不难看出. [师]解:由图 2-14 可知,当 x→+∞时,无限趋近于 0,即; 当 x→-∞时, 无限趋近于+∞.

图 2-14

图 2-15

(2)y=2x(学生板演).

解:由图 2-15 可知,当 x→+∞时,y=2x 无限趋近于+∞;当 x→-∞时,y=2x 无限趋近于 0,即.

?1  (x ? 0), (3) f (x) ? ??0  (x ? 0),(学生板演)
???1 (x ? 0).

图 2-16 解:由图 2-16 可知,当 x→+∞时,f(x)的值为 1,即 f(x)=1; 当 x→-∞时,f(x)的值为-1,即 f(x)=-1. [师]当 x→+∞时,f(x)不是无限趋近于某个常数 a,而是 f(x)的值等于常数 a,那么函数 f(x)

当 x→+∞时的极限也就是 a.x→-∞时,情况也是如此.

Ⅲ.课堂练习

1.对于函数,填写下表并画出函数的图象,观察当 x→∞时,函数 y 的变化趋势.

x ±1 ±2 ±3 ±10 ±102

±103 …

y 1 0.25 0.11 0.01 0.0001 0.000001 …

|y-0| 1 0.25 0.11 0.01 0.0001 0.000001 …

当 x→∞时,无限趋近于 0,即. 2.写出下列函数极限的值. (1);

(2);

图 2-17

(3);

图 2-18

(4). 3.已知 k∈N*,求.

图 2-19 图 2-20

(n ? k) (n ?1)!

解:原式 ? lim n??

k

(k ?

?1)!(n ? k)! n!

?

lim n??

n

? n

k

?1.

k!(n ? k!)

Ⅳ.课时小结 本节学习了当 x 分别趋向于+∞、-∞、∞时,函数 f(x)的极限,以及常数函数的极限,并且注 意 f(x)中的∞和数列极限中的∞的不同意义.以概念为依据,结合函数图象,学会求一些函数的 极限. Ⅴ.课后作业 (一)课本 P83 习题 2.3 2(1)(2)(3)(4). (二)1.预习内容:课本 P79~83. 2.预习提纲: (1)预习当 x→x0 时,函数 f(x)的极限的概念. (2)预习函数的左、右极限. 板书设计
函数的极限(一) 一、几个定义 1.当 x→+∞时,函数 f(x)的极限. 2.当 x→-∞时,函数 f(x)的极限. 3.当 x→∞时,函数 f(x)的极限. 4.常数函数 f(x)=C 的极限. 二、举特殊例子

1.图象 2.列表 3.记作 课本例题 例 1.(1)y=()x (2)y=2x
?1  (x ? 0) (3) f (x) ? ??0  (x ? 0)
???1 (x ? 0)
课堂练习 课后作业


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