人教版高二数学


人教版\必修3第一章 算法初步\单元测试题
一、选择题: (本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.下列语言中,哪一个是输入语句 A.PRINT B.INPUT 2.右边程序的输出结果为 C.IF ( )

D.LET ( )

X=3 Y=4 X=X+Y Y=X+Y PRINT X,Y

A. 3,4
C. 7,8 3.算法 S1 S2 S3 S4 S5 m=a 若 b<m,则 m=b 若 c<m,则 m=d 若 d<m,则 m=d

B. 7,7
D. 7,11

输出 m,则输出 m 表示 B.a,b,c,d 中最小值 D.将 a,b,c,d 由大到小排序

(

)

A.a,b,c,d 中最大值 C.将 a,b,c,d 由小到大排序

4.下图给出的是计算 ( )

的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是

A.. i<=100 C.i>50 5.读程序 甲:INPUT i=1 S=0 WHILE i≤1000 S=S+i i=i+l WEND PRINT S END DO 乙:INPUT

B.i>100 D.i<=50

I=1000 S=0

S=S+i I=i 一1 Loop UNTIL i<1 PRINT S END ( )

对甲乙两程序和输出结果判断正确的是 A.程序不同结果不同 C.程序相同结果不同 6.在下图中,直到型循环结构为

B.程序不同,结果相同 D.程序相同,结果相同 ( )

A.

B.

C.

D )趟排序才能完成。

7.用冒泡排序法将待排序的数据8,7,2,9,6从小到大进行排序,经过( A.2 B.3 C.4 8.数4557、1953、5115的最大公约数应该是 A.651 9.阅读下列程序: B.217 C. 93 D.5

( D.31



输入 x;

if

x<0,

then y =



else if else

x >0, y=0;

then y =



输出 y. 如果输入 x=-2,则输出结果 y 为

A.3+ C. -5

B.3- D.- -5 是100,则输出的 ( )

10.阅读右边的程序框,若输入的 变量 和 的值依次是

A.2550,2500 B.2550,2550 C.2500,2500 D.2500,2550 11. 用秦九韶算法计算多项式 的值时, A. -845 的值为 : B. 220 C. -57 D. 34 在 时

12. 用“辗转相除法”求得459和357的最大公约数是: A.3 B.9 C.17 D.51 、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分 ) 13. 下列关于算法的说法,正确的是 ①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊; ④算法执行后一定产生确定的结果 14.下面的程序输出的结果 = 。

15. 上面程序运行后的结果为__________

(其中:“(a+j) mod

5”表示整数(a+j)除以5的余数)

16.

程序框图如下:

如果上述程序运行的结果为 S=132,那么判断框中应填入 三、解答题(共80分. 解答须写出必要的文字说明.证明过程及演算步骤)

17.

(本小题满分12分)

设计求|x-2|的算法,并画出流程图 18 (本小题满分13分)

画出求

的值的算法流程图。

19.已知算法: (1)指出其功能(用算式表示) ,

(2)将该算法用流程图描述之。

20.设计一个算法求:

;试用流程图和相应程序表示.

21. 中国网通规定:拨打市内电话时,如果不超过3分钟,则收取话费0.22元;如果通话时间超过3 分钟,则超出部分按每分钟0.1元 收取通话费,不足一分钟按以一分钟计算。设通话时间为 t(分钟) ,通话费用 y(元) ,如何设计一 个程序,计算通话的费用。

第一章
一、选择题:BDBA B

算法初步测试题
ABCDA CD

二、填空题:13 答案:②③④

14.17

15.答案:0

16



三、解答题(共80分. 解答须写出必要的文字说明.证明过程及演算步骤) 17. ⑴ 若 x<2,则|x-2|等于2-x, ⑵ 若 x≥2,则|x-2|等于 x-2 其流程图如图:

18 算法流程图如图所示:

19.解:算法的功能为: 流程图如下:

20解:流程图如下:

相应程序如下:

21. 解:算法分析:数学模型实际上为:y 关于 t 的分段函数。关系式如下:

其中[t-3]表示取不大于 t-3的整数部分。 算法步骤如下: 第一步:输入通话时间 t; 第二步:如果 t≤3,那么 y = 0.22;否则判断 t∈Z 是否成立,若成立执行 y= 0.2+0.1? (t-3);否则执行 y = 0.2+0.1?( [t-3]+1) 。 第三步:输出通话费用 c 。 算法程序如下: INPUT “请输入通话时间:”;t IF t<=3 THEN

y=0.22
ELSE IF INT(t)=t THEN

y=0.22+0.1*(t-3)
ELSE

y=0.22+0.1*(INT(t-3)+1)
END IF END IF PRINT “通话费用为:”;y END

人教版\必修3第二章 统计\单元测试

一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分)
1.某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见,打算从高一年级2007名学生中抽取50名进 行抽查,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从2007人中剔除7人,剩下2000人再按系 统抽样的方法进行,则每人入选的机会( A. 不全相等 B. 均不相等 ) D. 无法确定

C. 都相等

2.有20位同学,编号从1至20,现在从中抽取4人作问卷调查,用系统抽样方法确定所抽的编号为 ( ) C.2,4,6,8 D.5,8,11,14

A.5,10,15,20 B.2,6,10,14

3.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调 查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为(1);在丙地 区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为(2)。 则完成(1)、(2)这两项调查宜采用的抽样方法依次是( A.分层抽样法,系统抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 )

B.分层抽样法,简单随机抽样 D.简单随机抽样法,分层抽样法 ) C.组数 D.组距

4.频率分布直方图中,小长方形的面积等于( A.相应各组的频数 B.相应各组的频率

5.从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析,已知不超过70分的人数为8人, 其累计频率为0.4,则这样的样本容量是 ( A. 20人 B. 40人 C. 70人 ) D. 80人 )

6.在下列各图中,每个图的两个变量具有相关关系的图是(

A. (1) (2)

B. (1) (3)

C. (2) (4)

D. (2) (3)

7. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表: 气温/℃ 18 13 10 4 -1

杯数

24

34

39

51

63 )

若热茶杯数 y 与气温 x 近似地满足线性关系,则其关系式最接近的是( A. B. C. D.

8.根据某水文观测点的历史统计数据,得到某条河流水位的频率分布直方图如下.从图中可以看出, 该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是( A.48米 B.49米 C.50米 D.51米 )

9.由小到大排列的一组数据:
,

,其中每个数据都小于 )

,则样本

的中位数可以表示为(

A.

B.

C.

D.

二、填空题: (本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.管理人员从一池塘内捞出30条鱼,做上标记后放回池塘。10天后,又从池塘内捞出50条

鱼,其中有标记的有2条。根据以上数据可以估计该池塘内共有

条鱼。

12.某校高中部有三个年级, 其中高三有学生1000人, 现采用分层抽样法抽取一个容量为185的样本, 已知在高一年级抽取了75人,高二年级抽取了60人,则高中部共有__ 13 已知 __学生。 的

辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示,则时速在

汽车大约有_________辆.

14.已知



之间的一组数据为 0 1 1 3 2 5a 3 7+ a 必过定点______





的回归直线方程

15. 已知样本

的平均数是

,标准差是

,则

三、解答题: (本大题分3小题共40分) 16. (本题13分)在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的一种量) 共有100个数据,将数据分组如右表: 分组 频数

合计 (1)画出频率分布表,并画出频率分布直方图; (2)估计纤度落在 中的概率及纤度小于 的概率是多少?

(3)从频率分布直方图估计出纤度的众数、中位数和平均数.

17.(本题13分)在全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩: 甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8; 乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1; (1)用茎叶图表示甲,乙两个成绩;并根据茎叶图分析甲、乙两人成绩; (2)分别计算两个样本的平均数 和标准差 s,并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较稳定。

《统计》单元测试参考答案
一、选择题: CABBA, DCCCB

二、填空题:11、750 三、解答题: 16. (Ⅰ)

12、3700

13、80

14、

15、96

分组

合计

(2)纤度落在

中的概率约为



纤度小于1.40的概率约为 (Ⅲ)总体数据的众数:1.40 平均数: 中位数:1.408



. 17.(1)如图所示,茎表示成绩的整数环数,叶表示小数点后的数字。

由上图知,甲中位数是9.05,乙中位数是9.15,乙的成绩大致对称, 可以看出乙发挥稳定性好,甲波动性大。

(2)解: (3)





?(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11

S 甲=

=1.3





?(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)=9.14

S 乙=

=0.9

由 S 甲>S 乙,这说明了甲运动员的波动大于乙运动员的波动,所以我们估计,乙运动员比较稳定。 18.(1)散点图如下

(2)

; 所求的回归方程为 (3) 时, (吨) (吨)

预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低

人教版\必修3第三章 概率\检测题

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,全卷满分100分,检测时间120分钟.

第 I 卷(选择题,共42分)
一.选择题(共14小题,每小题3分,共42分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.下列现象是不可能现象的是( ) A.导电通电时发热 B.不共线的三点确定一个平面 C.没有水分种子发芽 D.某人买彩票连续两周都中奖 是( ) B.{(男,女)(女,男)} ,

2.一个家庭有两个小孩,则基本事件空间 A.{(男,男)(男,女)(女,女)} , ,

C.{(男,男)(男,女)(女,男)(女,女)} , , , D.{(男,男)(女,女)} , 3.将骰子向桌面上先后抛掷2次,其中向上的数之积为12的结果有( ) A.2种 B.4种 C.6种 D.8种

4. 在

次重复进行的试验中, 事件 A 发生的频率

, 当

很大时, 那么



的关系是 (



A.

B.

C.

D. )

5.在天气预报中,有“降水概率预报”,例如预报“明天降水概率为80%”,这是指( A.明天该地区有80%的地方降水,其它有20%的地方不降水 B.明天该地区有80%的时间降水,其它时间不降水 C.气象台的专家中有80%的人认为会降水,另外有20%的专家认为不降水 D.明天该地区降水的可能性为80% 6.从甲、乙、丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率( )

A.

B. )

C.

D.

7.下列说法正确的有( ①随机事件

的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值;

②一次实验中不同的基本事件不可能同时发生; ③任意事件 ④若事件 A. 个 发生的概率 的概率趋近于 B. 个 总满足 ,即 C. 个 ; ,则事件 D. 个 是不可能事件;

8.抛掷两枚骰子,设出现的点数之和是 A. C. 9.某射手一次射击中,击中 击中不够 环的概率是( A. B. B. D.

的概率依次是

,则(



环、 环、 环的概率分别是 ) C. D.

,则这射手在一次射

10.在长为 于 与

的线段

上任取一点

,并以线段 )

为边作正方形,则这个正方形的面积介

之间的概率为(

A.

B.

C.

D.

11.从一批产品中取出三件产品,设

“三件产品全不是次品”, )

“三件产品全是次品”,

“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是(

A.



互斥

B.



互斥

C.任何两个均互斥

D.任何两个均不互斥

12. 如图,是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体,现用红、蓝两种颜色为其涂色,每 个图形只能涂一种颜色,则三个形状颜色不全相同的概率为

A.

B.

C.

D. )

13. 下面有三个游戏规则,袋子中分别装有球,从袋中无放回地取球,问其中不公平的游戏是( 游戏1 游戏2 游戏3

3个黑球和一个白球 取1个球,再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 A.游戏1和游戏3 B.游戏1

一个黑球和一个白球 取1个球 取出的球是黑球→甲胜 取出的球是白球→乙胜 C.游戏2

2个黑球和2个白球 取1个球,再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 D.游戏3 秒、 秒、 秒,则某辆

14. 一个十字路口的交通信号灯,红灯、黄灯、绿灯亮的时间分别为 车到达路口,遇见绿灯的概率为:

A.

B.

C.

D.

参考答案
题号 答案 题号 答案 1 C 8 B 2 C 9 A 3 B 10 A 4 A 11 C 5 D 12 A 6 C 13 D 7 C 14 D

第Ⅱ卷(非选择题,共58分) 二 填空题(共4道小题,每题4分,共16分. 把答案填在题中横线上.)

15.一枚硬币连掷三次,出现一次正面的概率为 16.取一根长度为

; 的概率应为

的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得两段的长都不小于

。 17. 在正方形内有一扇形(见阴影部分) ,点 随意等可能落在正方形内,则这点落在扇形外且在正

方形内的概率为



18. 甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为 。

,甲不输的概率为

,则甲、乙两人下成和棋的概率为

三.解答题(共4道小题,共42分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分8分)由经验得知,在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表: 排队人数 人以上

概率

(1)至多有

人排队的概率是多少?

(2)至少有

人排队的概率是多少?

解:设商场付款处排队等候付款的人数为0,1,2,3,4及5人以上的事件依次为 且彼此互斥, 则 P 至多有 ( 则 P(至少有 人排队) 人排队)

20. (本小题满分10分) 如图, 在边长为

的正方形中挖去边长为

的两个等腰直角三角形,

现有均匀的粒子散落在正方形中,问粒子落在中间带形区域的概率是多少?

解:因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的, 所以符合几何概型的条件。 设 “粒子落在中间带形区域”则依题意得

正方形面积为:

两个等腰直角三角形的面积为:

带形区域的面积为:



21.(本小题满分12分)掷甲、乙两颗骰子,甲出现的点数为 的概率, 解:基本事件空间为: 为 的概率,试求

,乙出现的点数为 的值。

,若令



, 掷两颗骰子出现 ,即 的情形有 种。

所以

满足 当 当 当 当 当 当 时, 时, 时, 时, 时, 时,

,即 ; ; ; ; ; ;

于是



22.(本小题满分12分)把一颗骰子投掷2次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为

,第2次

出现的点数为

,试就方程组

解答下列问题:

(1)求方程组只有一个解的概率; (2)求方程组只有正数解的概率。 解:因为基本事件空间为:

方程组 所以符合条件的数组

只有一个解等价于 :





共有33个。





(2)由方程组

,得

时,

,即

符合条件的数组

共有3个

时,

,即

符合条件的数组 共有10个

故 P(方程组只有正数解)=

人教版\必修3第三章 概率\概率与统计单元达纲检 测
【同步达纲练习】 一、选择题 1.随机变量 ε 的概率分布如下:

ε P

1 0.2

2 0.3

3 0.4

4 c

则 c 等于 A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 )

2.一个容量为100的样本分成若干组,已知某组的频率为0.3,则该组的频数是( A.3 B.30 C.10 D.300 )

3.在下列表格中是随机变量的分布列的是( A. ε P B. ε P C. ε P D. ε P -1 0 0 -1 0 0 -1 0 -1 0

1

2

1

2

1

2

1 0

2 1

4.随机变量 ε 的方差,反映其取值的( A.平均水平 B.分布规律

) D.最大值和最小值

C.波动大小

5.对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为30的样本,若每个零件被抽取的概率为0.25,则 N 等于( ) B.200 C.120 D.100

A.150

6.设随机变量 ε 的密度函数为

则 A 的值为





A.2

B.-2

C.

D. )

7.设 Eε =10,Eη =3,则 E(3ε +5η )为( A.30 B.15 C.45 D.40

8.一个单位有职工80人,其中业务人员56人,管理人员8,服务人员16人,为了了解职工的某 种情况,决定采取分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本,每个管理人员被抽到的概率为( )

A.

B.

C.

D.以上都不对

9.已知随机变量 ε 服从二项分布,且 Eε =2.4,Dε =1.44,则二项分布的参数 n、p 的值为 ( ) A.n=4,p=0.6 B.n=6,p=0.4 C.n=8,p=0.3 D.n=24,p=0.1 )

10.ε ~N(-1,σ ) ,且 P(-3≤ε ≤-1)=0.4,则 P(ε ≥1)等于( A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4

11.若从总体中抽取的 n 个样本分别加上一个数 b(b≠0),则样本的平均数和样本方差( A.都不变 C.样本平均数变化,方差不变 B.都变 D.样本平均数不变,方差变化



12.甲、乙个人在相同的条件下,射靶10次,命中环数如下:

甲 乙

8 7

6 6

9 5

5 8

10 6

7 9

4 6

8 8

9 7

5 7

根据以上数据估计(

) B.乙比甲的射击情况稳定

A.甲比乙的射击情况稳定

C.两人情况一样,没有区别

D.不能判定

二、填空题 13.为了了解某班同学会考及格率,要求从该班100个同学中抽取50人进行考查分析,则在这 次考查中的总体个数为______________,样本容量为______________。 14.在一次抽样实验中,抽出样品中的10个,得到的数据为4,7,8,3,6,2,5,9,1,5, 则平均估计值 ______________,方差估计值 ______________。

15.小王从家乘车到学校,途中有3个交通岗,假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并

且概率都是

,则小王上学途中遇红灯次数的期望为______________。 ,

16. 某种产品废品率为 p, 从一大批这种产品中任取4个, 已知至少有1个废品的概率为 则 p=______________。

三、解答题

17.随机变量 ε 的概率分布为

,k=1,2,3,4,5,求





18.现有 A、B 两种钢材,从中各取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:

110 P 0.1

120 0.2

125 0.4

130 0.1

135 0.2

100 P 0.1

115 0.2

125 0.4

130 0.1

145 0.2

其中



分别表示 A、B 两种钢材的抗拉强度,在使用时要求钢材的抗拉强度不低于120,

试比较 A、B 两种钢材哪一种质量较好? 19.测量某建筑物的高时产生的误差 差超过10cm 的概率是多少? 20.假设某科统考的成绩 ε 近似服从正态分布 。已知第100名的成绩为60分,问 (单位 cm) ,求三次测量中至少有一次误

第20名的成绩约为多少分? 21.从全班的数学考试成绩中任意抽取了20名学生的成绩如下(单位:分) : 0,90,85,75,65,70,80,90,95,80,85,95,70,85,80,75,85,65,90, 85。 (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)根据所得结果估计,全班学生分数低于80分的概率。 22.在五块田里进行了小麦的对比试验。在相同的条件下,给出了小麦的基本苗数 x 和成熟期 小麦的有效穗数 y 的数据如下:

x y

15 39.4

25.5 42.9

30 41.0

36.6 43.1

44.4 49.2

(1)求 x 与 y 的回归方程; (2)对方程进行 的显著性检验。

参考答案 【同步达纲练习】 一、选择题 1.A 2.B 3.A 4.C 5.C 6.C 7.C 8.C 9.B 10.A 11.C 12.B

二、填空题

13.100,50 三、答案题

14.5,6

15.

16.0.1

17.



又因为: 所以, 18. ,

, 。 ,即平均抗拉强度都是125,此时须比较方差的

大小。 19 . 由 已 知



,因为

,所以 A 种钢材比 B 种钢材质量好。

, 一 次 测 量 中 误 差 超 过 10cm 的 概 率 为 P(x>10) , 于 是

。 故 三 次 测 量 可 视 为 三 次 独 立 试 验 , 则 误 差 超 过 10cm 出 现 数 次 的 概 率 为 。即 即 。

20.由条件有



这说明成绩在60分和60分以上的这100名考生在全体考生中占84.13%。因此考生总数大致为

名。故前20名考生在全体考生中的比率大致为 绩,它满足:

。设 S 为第20名的成

, 从 而 有

, 查 表 有

,即 S≈79.6,故第20名的成绩约为79.6。 21. (1)(2)略; 、 (3)0.35 22.制表如下:

i x y

1 15 39.4 225 1552.36 591

2 25.5 42.9 650.25 1840.41 1093.95

3 30 41.0 900 1681 1230

4 36.6 43.1 1339.56 1857.61 1577.46

5 44.4 49.2 1791.36 2420.64 2184.48

合计 151.5 215.6 5086.17 9352.02 6676.89









(1)于是有

; 。

回归方程为:



(2) 查表显著性水平0.05,自由度5-2=3相应的相关系数临界值 回归不显著。

; ,所以,线性

人教版\必修4第一章 三角函数\函数 y=Asin(ω +φ )的图像
【基础知识精讲】 1.用五点法作 y=Asin(ω x+φ )(ω >0)的图像时,我们采用换元法,将 ω x+φ 看成 y=sinx 中 的 x,模仿 y=sinx 的五点法来作.

ω x1+φ =0

x1=-

,ω x2+φ =

x2=

ω x3=π

x3=

,ω x4+φ =

x4=

,ω x5+φ =2π

x5=

.

即五点(-

,0),(

,A),(

,0).(

,-A).(

,0)

2.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像与 y=sinx 的图像关系.

(1)振幅变换 函数 y=Asinx(A>0,且 A≠1)的图像,可以看作是 y=sinx 图像上所有点的纵坐标伸长(A>1) 或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的.这种变换叫振幅变换, 它实质上是纵向的伸缩.

(2)周期变换 函数 y=sinω x(ω >0,且 ω ≠1)的图像, 可以看作是把 y=sinx 的图像上各点的横坐标都缩短(ω

>1)或伸长(0<ω <1 到原来的

倍(纵坐标不变)而得到的, y=sinx 的图像变换为 y=sinω x 的 由

图像,其周期由2π 变

.这种变换叫做周期变换.它实质上是横向的伸缩.

(3)相位变换 函数 y=sin(x+φ )(φ ≠0)的图像, 可以看作是把 y=sinx 的图像上各点向左(φ >0)或向右(φ < 0)平移|φ |个单位而得到的.这种由 y=sinx 的图像变换为 y=sin(x+φ )的图像的变换,使相位 x 变为 x+φ ,我们称它为相位变换.它实质上是一种左右平移变换. 应用振幅变换、周期变换、相位变换(左右平移变移)和上下平移变换可由 y=sinx 的图像得到 y=Asin(ω x+φ )+k 的图像. 事实上,设 f、t、h 分别表示相位变换,周期变换,振幅变换,则变换作图法共有以下不同的程 序. (1)f→t→h;(2)f→g→t(3)t→h→f;(4)t→f→h;(5)h→f→t;(6)h→t→f

3.y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)与振动 在物理学中,y=Asin(ω t+φ )(A>0,ω >0),其中 t∈[0,+∞),表示简谐振动的运动方程.这 时参数 A,ω ,φ 有如下物理意义. A 称为振幅,它表示振动时物体离开平衡位置的最大距离.

T=

称为周期,它表示振动一次所需的时间(亦即函数 y 的最小正周期).

f=

=

称为振动的频率,它表示单位时间内往复振动的次数,ω t+φ 叫做相位,当 t=0

时的相位,即 φ 称为初相.

4.函数图像的对称变换 一个函数的图像经过适当的变换(例如对称、平移、伸缩等)得到与其图像有关函数的图像,叫做 函数的初等变换. 前面的平移、伸缩变换均属初等变换. 对称变换主要指下面几种: (1)函数 y=-f(x)的图像与 y=f(x)的图像关于 x 轴对称. (2)函数 y=f(-x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称. (3)函数 y=f(-x)的图像与 y=-f(x)的图像关于原点对称. (4)函数 y=f-1(x)(或 x=f(y))的图像与 y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称. (5)函数 m-x=f(m-y)的图像与 y=f(x)的图像关于直线 y=m-x 对称. (6)函数 x-m=f(y+m)的图像与 y=f(x)的图像关于直线 x=y+m 对称.

【重点难点解析】 重点:用“五点法”画函数 y=Asin(ω x+φ )的简图及三角函数的图像变换. 难点:三角函数的图像变换.即由 y=sinx 的图像变换到 y=Asin(ω x+φ )的过程. 关键:理解 A、ω 、φ 的对图像变化所起的作用.

例1

函数 y=3cos(

-

)的图像可以由 y=sinx 的图像经过怎样的变换得到?

解:y=3cos(

-

)=3sin[

+(

-

)]

=3sin(

+

).

先将 y=sinx 的图像向右平移

个单位,得到 y1=sin(x+

)的图像.再将 y1的图像上各点的横

坐标伸长到原来的2倍,得到 y2=sin( 倍,就得到所求函数的图像.

+

)的图像.再将 y2的图像上各点的纵坐标伸长到原来的3

评析:这种图像变换的顺序通常是先作相位变换,再作周期变换,最后作振幅变换.本题中若将

相位变换与周期变换的顺序交换,得到的结果将是 y=3sin(

+

)而不是 y=3sin(

+

).

例2

用五点法作出函数 y=4sin(

+

)在一个周期内的简图.

解:函数 y=4sin(

+

)的振幅 A=4,周期 T=4π ,令

+

=0,得初始值 x0=-

(初始

值指图像由 x 轴下方向上经过 x 轴时的横截距).

列表: 0 + x π 2π

y

0

4

0

-4

0

评注:注意到五点的横坐标是从 x0开始,每次增加周期的 化 x 的五个值的运算.

,即 xi=xi-1+

(i=1,2,3,4)可简

例3

设三角函数 f(x)=sin(

x+

)(k≠0).

(1)写出 f(x)的最大值 M,最小值 m 和最小正周期 T; (2)试求最小正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间(包括整数本身)变化时,函数 f(x)至少 有一个值是 M,一个值是 m.

解:(1)M=1,m=-1,T=

=

.

(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是 M 与一个值是 m,而任意两个整数间的距离都 ≥1,因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是 M 与一个值 m,必须且只须 f(x)的周期≤1,



≤1,|k|≥10π =31.4,可见,k=32就是这样的最小整数.

例4 的解析式.

已知正弦数 y=Asin(ω x+φ )(其中 A>0,ω >0)的一个周期的图像如图所示,试求函数

分析:求函数的解析式,就是确定解析式中 A,ω ,φ 的值.由图像中三个已知点的坐标列出 A,

ω , 的方程组求解.若令 X=ω x+φ ,要注意 x0=φ

是初始值, 对应于 X=0,x=-π 时对应于 X=π .

∴函数解析式为 y=2sin(

x+

).

【难题巧解点拔】

例1

指出将 y=sinx 的图像变换为 y=sin(2x+

)的图像的两种方法.

思路1

x→2x→2(x+

)=2x+

.

解法1

y=sinx

y=sin2x

y=sin

[2(x+

)]=sin(2x+

).

思路2

x→x+

→2x+

.

解法2

y=sinx

y=sin(x+

)

y=sin(2x+

).

说明:在解法1中,先伸缩,后平移.在解法2中,先平移,后伸缩.表面上看来,两种变换方法中

的平移是不同的(即



),但由于伸缩变换的影响,所以实质上都是一致的.

例2

函数 f(x)的横坐标伸长到原来的两倍,再向左平移

个单位,所得到的曲线是 y=

sinx

的图像,试求函数 y=f(x)的解析式. 分析:这个问题有两种解法,一是考虑以上变换的“逆变换”(所谓“逆变换”,即将以上变换

倒过来,由 y=

sinx 变换到 y=f(x);二是代换法,即设 y=Asin(ω x+φ ),然后按题设中的变换分两

步得:y=Asin[

(x+

)+φ ],它就是 y=

sinx,即可求得 A、ω 、φ 的值.

解法1:问题即是将 y=

sinx 的图像先向右平移

个单位,得 y=

sin(x-

);再将横坐标压

缩到原来的

,得 y=

sin(2x-

),即 y=-

cos2x.这就是所求函数 f(x)的解析式.

解法2:设 y=Asin(ω x+φ ),将它的横坐标伸长到原来的两倍,得 y=Asin(

x-φ );再将其图

像向左平移

个单位,得 y=Asin[

(x+

)+φ ]=Asin(

x+

+φ )=

sinx.

说明:以上两种解法各有“千秋“,均为求解类似问题的好方法.

例3

求 下 列 函 数 的 单 调 区 间 : (1)y=sin(

-2x);(2)y=log

cos(

+

);(3)y=- |

sin(x+

)|

解:(1)此题可看作是由 y=sint 和 t=

-2x 复合成的复合函数,应注意 t=

-2x 中 t 是 x 的

减函数,∵2kπ -



-2x≤2kπ +

,∴-kπ -

≤x≤-kπ +

(k∈Z).

∴函数 y 的单调递减区间是 [kπ -

,kπ -

] (k∈Z),又由2kπ +



-2x≤2kπ +

,

即得-kπ -

≤x≤-kπ -

(k∈Z),

∴函数 y 的单调递增区间是 [kπ 的形式,然后求解.

] ,kπ

] (k∈Z), 此题也可将函数改写成 y=-sin(2x-

)

(2)此题应注意两个方面,首先是对数应有意义,cos( 是减函数.

+

)>0,其次是以

为底的对数函数

由2kπ -



+

≤2kπ 得6kπ -

<k≤6kπ -

(k∈Z),由2kπ ≤

+



2kπ +

,得6kπ -

≤x<6kπ +

(k∈Z).

∴单调递增区间是(6kπ (k∈Z).

,6kπ +

)(k∈Z);单调递减区间是(6kπ -

,6kπ -

(3)设 x+

=u,y=-|sinu|的大致图像如图,函数的周期是 π ,u∈[kπ -

,kπ ](k∈Z)

时函数递增,u∈[kπ ,kπ +

](k∈Z)时函数递减,即 x∈[kπ -

,

] (k∈Z)时函数递

增,x∈[kπ -

,kπ +

](k∈Z)时函数递减.

【课本难题解答】

课本第69页,习题4.9第5题:(1)2π 【命题趋势分析】

(2)约24.8cm.

在历届高考试题中,本节内容多以选择题、填空题题型出现,属于偏难的基本题,重点考查函数 y=Asin(ω x+φ )的五点法作图,图像的对称性.周期性、单调性及图像变换等.

【典型热点考题】

例1

关于函数 f(x)=4sin(2x+

)(x∈R),有下列命题:

①由 f(x1)=f(x2)=0,可得 x1-x2必为 π 的整数倍;

②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x-

);

③y=f(x)的图像关于点(-

,0)对称;

④y=f(x)的图像关于 x=其中正确的命题的序号是

对称. (注:把你认为正确的命题的序号都填上)

分析:只要将四命题逐个分析即可.

对①若 f(x1)=f(x2)=0则 sin(2x1+

)=sin(2x2+

)=0

∴2x1+

=k1π ,2x2+

=k2π ,k1、k2∈Z.

x1-x2=

π ,而

不能保证是整数.

从函数图像上来看满足 f(x1)=f(x2)=0的 x2、x2必为图像与 x 轴交点的横坐标,x1-x2为 整数倍(T 为最小正周期),T=π .



∴x1-x2=

,(k∈Z),

不一定为整数.

对②,f(x)=4sin(2x+

)=4cos[

-(2x+

)]=4cos(

-2x)=4cos(2x-

),命题正确.

对③,令2x+

=0,得 x=-

,所以点(-

,0)为 y=f(x)图像与 x 轴的交点,故为对称中心,

并由此得④错误.故序号为②③. 评析:本题考查了基本公式、特殊值及 y=Asin(ω x+φ )图像的对称性(轴对称:对称轴必经过 最大或最小值点;中心对称:与 x 轴的交点皆为对称中心).解好本题的关键在于对三角函数的图像特 征全面、深刻地理解与掌握,因此,对基础知识的准确性、系统性有较高要求.

例2

已知正弦函数 y=Asin(ω x+φ )的一段曲线(如下图),试求解析式.

解:(1)因为 A=3,T=π ,ω =2,φ =-ω x0=-2(-

)=

,所以 y=3sin(2x+

).

(2)A=

,当 x=0时,y=1,所以

sinφ =1,又|φ |<

,所以 φ =

,当 x=

π 时,

y=0,即

sin(ω ?

+

)=0,所以 ω =

,所以 y=

sin(

x+

).

评析:若已知曲线与 x 轴的交点的坐标,先确定 ω =

;若已知曲线与 y 轴的交点的坐标,

先确定 φ ;若先确定 ω 则有 φ =-ω x0,其中 x0是离 y 轴最近的递增区间的中心点的横坐标.

例3

函数 f(x)=Msin(ω x+φ )(ω >0)在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M,则函 ) B.是减函数 D.可以取得最小值-M

数 g(x)=Mcos(ω x+φ )在[a,b]上( A.是增函数 C.可以取得最大值 M (1999年全国高考试题)

分析:本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的性质,并考查分析解决问题能力.本题可用正弦、 余弦函数的性质分析得出结论,还可以用取特殊值法解决.

解法1:由已知,有 M>0,-

+2kπ ≤ω x+φ ≤

+2kπ (k∈Z).

则有 g(x)在[a,b]上不是增函数,也不是减函数,且当 ω x+φ =2kπ 时,g(x)可取得最大值 M. ∴应选 C. 解法2:由题意[a,b]是 f(x)的增区间,ω >0,所以本可采用特殊值法:

令 ω =1,φ =0,则 f(x)=Msinx,设区间为[-

,



∵M>0,g(x)=Mcosx 在[∴应选 C.

,

]不具备单调性,但有最大值 M.

注意:本题由于其特殊性,可选择特殊值法,使问题简单化.

例4

函数 y=sin(2x+

)的图像可由函数 y=sin(x+

)的图像经过(

)而得到.

A.横坐标压缩到原来的

倍.

B.横坐标扩大到原来的2倍.

C.横坐标压缩到原来的

倍后,再向右平行移动

个单位.

D.向右平移

个单位.

分析:一般地,三角函数图像之间的变化是:当 φ 发生了变化,函数,图像就作沿 x 轴向左或 向右平行移动的变化;当 ω 变化时,即周期变化时,函数图像变化是横坐标伸长或缩短;当 A 变化

时,函数图像是纵坐标伸长或缩短,y=sin(x+

)与 y=sin(2x+

)对照,看到 ω 变化了,因而周

期变化了(其余没有变化),前者周期是2π ,后者周期是 π ,因而周期变小了,应将 y=sin(x+

)

图像上各点横坐标压缩到原来的

倍,所以选 A.

例5

已知函数 y=

cos2x+

sinxcosx+1,x∈R.

(Ⅰ)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (Ⅱ)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

解:(Ⅰ)y=

cos2x+

sinxcosx+1

=

(2cos2x-1)+

+

(2sinxcosx)+1

=

cos2x+

sin2x+

=

(cos2x?sin

+sin2x?cos

)+

=

sin(2x+

)+

.

y 取得最大值必须且只需2x+

=2kπ +

,k∈Z.即 x=

+kπ ,k∈Z.

所以当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= (Ⅱ)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

+

,k∈Z}.

①把函数 y=sinx 的图像向左平移

,得到函数 y=sin(x+

)的图像;

②把得到的图像上各点横坐标短到原来的

倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(2x+

)的图像.

③把得到的图像上各点纵坐标缩到原来的 像.

倍(横坐标不变),得到函数 y=

sin(2x+

)的图

④把得到的图像向上平移

个单位长度,得到函数 y=

sin(2x+

)+

的图像.

综上,得到函数 y=

cos2x+

sinxcosx+1的图像.

评析:本题主要考查三角函数的图像和性质,利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力.

【同步达纲练习】 一.选择题

1.函数 y=sin2x 的图像向左平移

所得曲线的对应函数式(

)

A.y=sin(2x+

)

B.y=sin(2x-

)

C.y=sin(2x+

)

D.y=sin(2x-

)

2.已知函数 y=Asin(ω x+φ )在同一周期内,当 x= 那么,函数解析式是( )

时,y

最大

=2;当 x=

时,y

最小

=-2,

A.y=2sin(x+

π)

B.y=2sin(x+

π)

C.y=2sin(3x-

)

D.y=2sin(3x+

)

3.函数 f(x)=5sin(5x+ A.奇函数 C.非奇非偶函数

π )是(

) B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

4.得到函数 y=sin(2x-

)的图像,只需将 y=sin2x 的图像(

)

A.向左移动

B.向右移动

C.向左移动

D.向右移动

5.把函数 y=sin3x 的图像向右平移

个单位,所得曲线的对应函数式(

)

A.y=sin(3x-

)

B.y=sin(3x+

)

C.y=sin(3x-

π)

D.y=sin(3x+

π)

6.函数 y=sin(2x-

)的单调递减区间是(

)

A.[kπ +

,kπ +

π]

B.[kπ -

π ,kπ +



A.[kπ -

,kπ +



D.[kπ +

,kπ +

π ](k∈Z)

7.函数 y=sin(x+ A.关于 x 轴对称

)的图像对称性是(

)

B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称

D.关于直线 y=-

对称

8.函数 y=Acos(ω x+φ )(A≠0,ω ≠0)的奇偶性( A.仅与 A 有关 C.仅与 φ 有关

)

B.仅与 ω 有关 D.与 A、ω 、φ 有关

9.函数 y=3cos(2x+ A.周期为 π 的偶函数

π )是(

) B.周期为 π 的奇函数

C.周期为

的偶函数

D.周期为

的奇函数

10.已知函数 y=f(x),将 f(x)的图像上的每个点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,

然后再将整个图形沿着 x 轴向左平移 的一个解析式是( )

的单位, 得到的曲线与函数 y=

sinx 的图像相同, y=f(x) 则

A.y=

sin(

-

)

B.y=

sin(2x+

)

C.y=

sin(

+

)

D.y=

sin(2x-

)

二、填空题

1.y= 频率是 是 是

sin(3x-

)的定义域是 ,初相是

, 值域是

, 周期是

, 振幅是



,相位是 ,最小值是 .

,最大值是

,达到最大值的 x 集合 ,递增区间是 ,递减区间

,达到最小值的 x 集合是

2.如图是函数 y=Asin(ω x+φ )图像一段,函数定义域是 是 当 x= ,振幅是 ,y 取最小值 ,函数解析式是 ,x= ,当 x=

,值域是 时 y 取最大值= .

,周期 ,

时,y=0,函数递减区间是

3.将 y=sin(2x+

)图像上所有点向右平移动

个单位, 再把所得的图像上各点横坐标扩大到 .

原来的3倍(纵坐标不变),这样得到的图像对应的函数解析式为

4.已知函数 f(x)=sin(

x+

),使 f(x)的周期在(



)内,则正整数 k=

.

5.函数 y=sin

+cos

在(-2π ,2π )内的递增区间是

.

6.给出下列命题: (1)函数 y=sinx 在第一、四象限都是增函数;

(2)函数 y=cos(ω x+φ )的最小正周期为



(3)函数 y=sin(

x+

π )是偶函数;

(4)函数 y=sin2x 的图像向左平移 其中正确的命的序号是 .

个单位,得到 y=sin(2x+

)的图像.

三、解答题 1.如图,是正弦函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0)的一个周期的图像. (1)写出 f(x)的解析式; (2)若 g(x)与 f(x)的图像关于直线 x=2对称,写出 g(x)的解析式.

2.试说明 y=cosx 的图像经怎样的变换可得到 y=3cos(3x+

)+1的图像?

3.已知 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,0<φ <π

的最小正周期为

,最小值为-2,且过点

(

π ,0),求它的表达式.

4.用“五点法”作出函数 f(x)=sin(x+

)一个周期的图像,并画出 f(|x|)的图像.

5.要得到函数 y=3cos(2x求路程最小的平移.

π )的图像 C, 需要将函数 y=3sin2x 的图像 C0经过平移得到, 试

【素质优化训练】

1.已知 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |<

)的图像在 y 轴上的截距为1,它在 y 轴右

侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0+3π ,-2). (Ⅰ)求 f(x)的解析式;

(Ⅱ)y=f(x)的图像上所有点的横坐标缩短到原来的

(纵坐标不变),然后再将所得图像向 x 轴

正方向平移

个单位,得到函数 y=g(x)的图像.写出函数 y=g(x)的解析式并用列表作图的方法画出

y=g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图像.

2.画出函数 y=

-

在[0,3π ]内的图像.

3.若方程|sinx|+cos|x|-a=0在[-π ,π ]上有四个解,求 a 的取值范围.

【生活实际运用】 圆心分别是0,0′半径均为 R 的两个等圆相交于 A、B 两点,它们的公共部分等于圆面积的一

半,若∠AOB=

+θ ,求证:θ =cosθ

证明:已知两圆的公共部分的面积是⊙O 面积的一半,因此面积等于(S 扇形 AOB-S△ABO)的2倍.

S 扇形 AOB=

R

=

R?R(

+θ )

S△ABO=

R2sin(

+θ )



π R2=2(S 扇形 AOB-S△AOB)

=2[

R2 (

+θ )-

R2sin(

+θ )]

=R2(

+θ -cosθ )



=

+θ -cosθ ∴θ =cosθ

【知识探究学习】 1.试求函数 y=(sinx+2 )(cosx+2 , )的最小值. ]

提示:设 t=sinx+cosx,t∈[-

y=

(t2+4

t+8)+

=

(t+2

)2+

当 t=-

时,ymin=

2.求证:cos

+cos

=

代数证法:cos

+cos

=

=

=

=

几何证法:设∠xoy=

,作 OA1=A1A2=A2A3=1

∴∠OA3A2=∠A3A1A2=2∠A1OA2=

∠A3A2O=π -∠A1OA2-∠OA3A2=π ∴∠OA3A2=∠A3A2O∴OA2=OA3

-

=

∵OA2=2cos

,OA1=1,A1A3=2cos

∴2cos

=1+2cos

∴cos

-cos

=

∴cos

+cos

=

参考答案: 【同步达纲练习】 一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.C 9.B 10.D

二 、 1.R , [



] T= ,

,A=

,f=

,3x-

,-

,

, {x | x=

kπ +

,k∈Z},-

,{x|x=

-

,k∈Z}, [

-

,

+

] (k∈Z), [

+

] ,

+

](k∈Z)

2.[2kπ -

,2kπ +

](k∈Z),[-2,2],T=2π ,2,

y=2sin(x+

),x=

+2kπ ,k∈Z,2,x=

π +2kπ ,k∈Z 时, x=-2,

+2kπ ,

+2kπ ,

+2kπ 时,y=0,[

+2kπ ,

+2kπ ](k∈Z)

3.y=sin(

x-

)

4.{k|14.13<k<18.26,k∈Z

5.[-

,



6.(3)

三、1.(1)f(x)=2sin(

x+

)

(2)g(x)=2sin(

x-

)

2.略

3.y=2sin(3x+

)

4.

5.向左平移

【素质优化训练】 1.解: (Ⅰ)由已知,易得 A=2.

=(x0+3π )-x0=3π ,解得 T=6π ,∴ω =

把(0,1)代入解析式 y=2sin(

+φ ),得2sinφ =1,又|φ |<

,解得 φ =

.

∴y=2sin(

+

)为所求.

(Ⅱ)压缩后的函数解析式为 y=2sin(x+ x 0 x0 2sin(x)

)再平移,得 g(x)=2sin(x-

+

)=2sin(x-

).

π



2

0

-2

0

2.解:此函数可化为

3.解:令 y1=|sinx|+cos|x|,则 y1是偶函数,在(0,π )上,y1=

sin(x+

),在[-π ,0] ).

上的图像与[0,π ]上的图像关于 y 轴对称.由图像可知,a 的取值范围是 a∈(1,

人教版\必修4第一章 三角函数\任意角的三角函数 练习
【同步达纲练习】 一、选择题 1.若集合 A=R,B=R,则下列对应 f:x A.y=tanx B.y=cotx y 是 A 到 B 的映射的是( C.y=secx ) D.y=cosx

2.θ 是第四象限角,且|cos A.第一象限角 C.第一或四象限角

|=cos

,则

是(

)

B.第四象限角 D.第二、三象限角 )

3.若角 α 的终边落在直线 y=2x 上,则 sinα 的值等于(

A.±

B.±

C.±

D.± )

4.已知点 P(tanθ ,cosθ )在第三象限,则在[0,2π ]内 θ 的取值范围是(

A.(

,2π )

B.(π , )

)

C.(

,π )

D.(0,

)

5.满足2sinx<1的 x 的集合是(

A.{x|2kπ +

<x<2kπ +

,k∈Z . B.{x|kπ +

<x<kπ +

,k∈Z .

C.{x|kπ -

<x<kπ +

,k∈Z .

D.{x|2kπ -

<x<2kπ +

,k∈Z .

6.已知点 M(x,4)在角 α 的终边上,且满足 x<0,sinα =

,则 cotα 为(

)

A.-

B.

C.-

D.

7.θ 是第四象限的角且|cos A.第一象限角 C.第三象限角

|=-cos

,则

是(

)

B.第二象限角 D.第二或第四象限角 )

8.已知角 α 的终边经过点 P(-4k,3k)(k<0 ,则 coxα 的值为(

A.

B.

C.-

D.-

9.已知|cosθ |=cosθ ,|cotθ |=-cotθ ,则 A.第一、三象限 C.第二、四象限 B.第一、二象限

的终边在(

)

D.第三、四象限 )

10.若三角形的两内角 A、B 满足 sinA?cosB<0,则此三角形的形状为( A.锐角三角形 C.直角三角形 二、填空题 1. sinα = . 若 点 P(2m ,cosα = , -3m)(m < 0 = 在 角 α 的 终 B.钝角三角形 D.不能确定









,tanα =

,cotα =

,sec=

,cscα =

2. sinθ =





cosθ =,cotθ =



且 .

90°



θ



180°





,tanθ =

3.角 α 的终边上有一点(m,-m)(m≠0),则 sinα +cosα 的值为

.

4.cos

-tan

+

tan2(-

)+sin

+cos2

+sin

=

.

5.有下列命题:①若角 α 与 β 的终边关于 x 轴对称,则 α +β =2kπ (k∈Z). ②终边相同的角的三角函数值相等. ③终边不相同时,它们的同名三角函数值一定不相等. ④不相等的角,同名三角函数值可能相等.

⑤{α |α =

,m∈Z}∩{β |β =

,n∈Z}

={θ |θ =kπ ,k∈Z} ⑥第一象限和第二象限的角的集合可表示为{α |2kπ <α <2kπ +π ,k∈Z} 其中,正确命题的序号为 三、解答题: 1.确定下列各式的符号 .(你认为正确的全填上)

(1)sin

π ?cos

π ?tan

π

(2)

2.求下列函数的定义域 (1)y= +1gcosx (2)y= +

(3)y=

(4)y=

3.已知:角 α 的终边在直线 y=kx 上,若 sinα =-

,且 cosα <0,试求 k 的值.

4.求

.

5.设0<α <

,求证:1<sinα +cosα ≤

.

【素质优化训练】 1.求函数 y= +1g(2sinx+ )的定义域.

2.已知

+

+

+

=0,确定 sin(cosα )?tan(sin

)的符号.

【生活实际运用】

某人在塔的正东沿南60°西的道路前进40米后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的最大仰 角为30°,求塔高.

解:如图所示,依题意得 ∠1=∠2=90°-60°=30°,∠3=45°-∠2=45°-30°=15° ∴∠BCA=180°-(30°+15°)=135° 又知 AB=40米,

在△ABC 中,

=

,

即 AC=

=20(

-1)

作 CE⊥AB 于 E,连结 DE,则∠DEC 为在 AB 上看 CD 的最大仰角,即∠DEC=30°. 在 Rt△ACE 中,

EC=

AC=10(

-1).

在 Rt△CDE 中,

CD=CDtan30°=

?10(

-1)=

即塔高为

米.

【知识验证实验】 如图所示,有一条河 MN,河岸的一侧有一很高的建筑物 AB,一人位于河岸另一侧 P 处,手中 有一个测角器(可以测仰角)和一个可以测量长度的皮尺(测量长度不超过5米).

请你设计一种测量方案(不允许过河),并给出计算建筑物的高度 AB 及距离 PA 的公式,希望在 你的方案中被测量数据的个数尽量少. 常见的测量方案有: 方案一 如图所示,P 位于开阔地域,被测量的数据为 PC(测角器的高)和 PQ(Q 为 PA 水平直线

上选取的另一测量点)的长度,仰角 α 和 β .

设 AB=x,PA=y,则计算公式为

方案二

如图所示,若 P 处是一可攀建筑物,则可在同一垂线上选两个测量点,被测数据为 PC

和 CD 的长度,仰角 α 和 β ,设 AB=x,PA=y,则

得 x=PC+

y= 说明:无论哪个方案,都至少要4个数据.

【知识探究学习】 已知|a|≤2,求证|3a-a3|≤2 证:设 a=2sinα ,则3a-a3=2(3sinα -4sin3α )=-2sin3α ∴|3a-a3|=2|sin3α |≤2

参考答案: 【同步达纲练习】 一、1.D 2.B 3.C 4.C 5.D 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B

二、1.

,-

,-

,-

,-



2.

,-

,+ (2)负

3.0

4.-1 5.①②④⑤

三、1.(1)负

2.(1)(2kπ -

,2kπ )(k∈Z)

(2){x|2kπ +

<x≤2kπ +π 或 x=2kπ ,k∈Z

(3)(2kπ ,2kπ +

)(k∈Z

(4){x|0<x<

或 π ≤x≤4

3.k=-2

4.

5.略

【素质优化训练】

1.{x|2kπ -

<x≤2kπ +

,k∈Z

2.当

是第二象限角时,sin(cosα )?tan(sin

)<0,当

是第四象限角时.

人教版\必修4第一章 三角函数\任意角的三角函数 同步达纲练习
【同步达纲练习】 A 卷(基础训练) (训练时间:25分钟,满分60分) 一、选择题(满分18分,每小题6分)

A. C.

B. D.

2.如果角 α 与角 间的关系是 ( )

具有同一条终边,角 β 与

具有同一条终边,那么 α 与 β 之

A.α +β =0

B.α -β =0

C.α +β =2kπ (k∈Z) 3.在下列表示中,正确的是 ( )

D.

A.终边在 y 轴上的角的集合是

B.终边在直线 y=x 上的角的集合是

C.

D.终边在直线 y=-x 上的角的集合是

二、填空题

(满分14分,每小题7分)

5.角 α 终边上一点 P(-4a,3a) ,a≠0,则2sinα +cosα 的值是_________.

三、解答题(满分28分,本题6小题8分,7、8小题均10分) 6.已知 sinα =m(|m|≤1) ,求 α 的其它三角函数的值. 7.已知一扇形的周长为 c(c>0) ,当扇形的中心角为多大时,它有最大的面积?

B 卷(拓展训练) (训练时间:15分钟,满分60分) 一、选择题(满分18分,每小题6分)

A.1 C.±1 2.已知函数 y=cos(sinx) ,下列结论中正确的是 A.它的定义域是[-1,1] C.它的值域是[cos1,1] ( )

B.-1 D.0

B.它是奇函数 D.它是周期为 π 的函数

二、填空题(满分14分,每小题7分)

当 x∈R 时,则 x 的集合是___________; 当 x∈[-2π ,4π ]时,则 x 的集合是_________________; 当 x∈[0,2π ]时,则 x 的集合是_____________; 当 x 是第三象限角时,则 x 的集合是_________.

三、解答题(满分28分,本题6小题8分,7、8小题均为10分) 6.求下列函数的定义域 (1)y=tanx+cotx

7.

C 卷(综合训练) (训练时间:15分钟,满分30分)

解答题(满分30分,每小题10分) 1.已知 θ 为锐角,比较 的大小.

3.对任何实数 x 和整数 n,已知

,求 f(cosx) .

参考答案 【同步达纲练习】 A卷 一、D. 解:若 x 是第一象限角,则 y=0; 若 x 为第二象限角时,sinx>0且 cosx<0,∴y=2; 若 x 为第三象限角时,sinx<0且 cosx<0, ∴y=0; 若为第四象限角时,sinx<0且 cosx>0, ∴y=-2. 综上,所求值域为{-2,0,2} ,故应选择 D.

2.D.由题意

那么

因为 n-m 也是整数,故可用 k(k∈Z) ,表示,故 故应选 D.



3.B.对于 B,终边在直线 y=x 上且位于第一象限部分,则有



终边在直线 y=x 上且位于第三象限部分,则有

合写为

作同样讨论,即先分部求后合写,知 A、D 不正确,C 应为 择 B. 二、4.-cos4.

故应选

当 a<0时,α 在第四象限,

三、6.解:① 和 无意义.

从而 cosα =0,cotα =0,cscα =1,secα

② 无意义. ③当 m=0时,α =kπ (k∈Z) 从而当 k 是偶数时,

从而 cosα =0, cotα =0, cscα =-1, secα 和 tanα

cosα =1,sec=1,tanα =0,cotα 和 cscα 不存在. 当 k 是奇数时, cosα =-1,secα =-1,tanα =0,cotα 和 cscα 不存在. ④当0<|m|<1时,

7 . 解 : 依 题 意 x 是 第 二 象 限 角 , ∴0 < sinx < 1 :

- 1 < cosx < 0 , 又

B卷 一、1.C.

2.C 和 D

故本题应选择 C 和 D. 3.解:A.如图4-4,设 为单位圆 O 上的一段弧,所对圆心角为 x,

∴|MP|=sinx,|AT|=tanx, ∵△OAP 面积<扇形 OAP 面积<△OAT 面积, ∴sinx<x<tanx.

故应选择 A. 二、4.确定 θ ,首先应将左式化简,左式是算术根,

可知 sinθ <0,∴θ 的取值范围为(2kπ -π ,2kπ ) (k∈Z) .

5.当0≤x≤2π 时,

的解为



.要求答案顺序为

三、6.解: (1)tanx 的定义域为

,cotx 的定义域为

∴函数 y=tanx+cotx 的定义域是

∴定义域为

7.解: (1)∵tanα <0, ∴θ 可能在第二、四象限. 当 α 在第二象限时,

当 α 在第四象限时,

(2)要分 ①当 时,此题无解.



等情况加以讨论.

得 θ =kπ (k∈Z) , 此时 cosθ =±1,tanθ =0,cotθ =不存在,secθ =±1,cscθ 不存在.

此时 sinθ =1, cosθ =0,tanθ 不存在,cotθ =0,secθ 不存在,cscθ =1.

此时 sinθ =-1,cosθ =0, tanθ 不存在,cotθ =0,secθ 不存在,cscθ =-1

8.证明:把已知两个等式两边平方后相加,得

C卷

1.解:∵



2.分析:本题作整体代换,构造一元二次方程解题.

3.分析:本题综合应用函数定义与诱导公式

,从而将未知转化为已知:

人教版\必修4第一章 三角函数\三角函数单元自我 检测
【单元自我检测】 A组 1.选择题(3?10=30分) (1) 的值是 ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(2)下列函数中,周期为 (A) (C) (3)

的偶函数是



) (B) (D)

的最小值为





(A)2

(B)0

(C)

(D)6

(4)





(A)

(B)

(C)

(D)

(5) (A)与 g(x)图象相同 (B)与 g(x)图象关于 y 轴对称





(C)向左平移

个单位,得 g(x)图象

(D)向右平移

个单位,得 g(x)图象 ( (B) )

(6)若函数 f(x)定义域为0≤x≤1 ,则 f(cosx)定义域为 (A)0≤x≤1

( C )

( D )

(7) (A) (B)





(C) (8)

(D) ( )

(A)

(B)

(C) (9)

(D) ( )

(A)

(B)

(C)

(D)

(10)使函数 一个值是

为奇函数,且在 (

上是减函数的 )



(A)

(B)

(C)

(C)

2.填空题(4?5=20分)

(11) (12) (13) (14) 的图象关于 y 轴对称,则 _______.

(15)

3.解答题(共50分)

(16)

(6分)

(17)

(6分)

(18)设函数 过 (19) ,求函数的解析式. (6分)

的最小值为-2 ,周期为

且它的图象经

(6分)

(20)

,且 α 、β 为锐角,求 α +2β 的值. (8分)

( 21 )

试问当实数 t 取什么值时,

(8分)

(22) 5,1],试求常数 a,b 的值. (10分)

的定义域为

,值域为[-

B组 1.选择题(3?10=30分)

(1)

,且 α 是第二象限角,那么 tanα 的值是





(A)

(B)

(C)

(D) ( )

(2)在△ABC 中,若 sinAsinB<cosAcosB,则这个钝角三角形是 (A)直解三角形 (C)锐角三角形 (3)设 α 、β 均为第二象限角,若 sinα >sinβ ,则 (A)tanα >tanβ (C)cosα >cosβ (B)cotα <cotβ (D)cosα <cosβ (B)等腰三角形 (D)钝角三角形 (



(4)





(A)

(B)

(C) (5)y=sinx (sinx+cosx) 的最小正周期是 (A)

(D) ( (B) )

(C)

(D)

(6)

的单调递减区间是





(A)

(B)

(C)

(D)

(7)





(A)

(B)

(C)

(D)

(8) (A)最大值0,最小值-8 (C)最大值5,最小值-3 (B)最大值5,最小值-4 (D)最大值





,最小值-3

( 9 ) 定 义 R 上 的 函 数 f (x) 不 是 常 数 函 数 , 且 满 足 ( (A)是奇函数也是周期函数 (B)是偶函数也是周期函数 (C)是奇函数但不是周期函数 (D)是偶函数但不是周期函数 )

(10)





(A)

(B)

(C)

(D)

2.填空题(4?5=20分) (11)若 sin x=3cos x,则 sin2 x=________. (12)求值: =_________.

(13) 由函数 形的面积是_________.

与函数 y=2的图象围成一个封闭图形, 这个封闭图

(14)化简

(15)

=__________.

3.解答题(共50分)

(16)

(6分)

(17)

(6分)

(18) (19)

. (6分)

(6分)

(20)

(8分) (21)半圆的直径 AB=d,点 D 在半圆周上移动,DC 切半圆于 D 点,且 DC=d,A、C 两点 位于 BD 两侧,设∠DAB=θ ,当 θ 取何值时,四边形 ABCD 的面积最大?这个最大面积是多少? (8分) (22)若不等式 取值范围. (10分) 对一切实数 x 都成立,求实数 a 的

4.选择题(2?10=20分) (23)已知函数 f (x)的定义域为 R,且满足 f (x+2)=-f (x) ①求证:f (x)是周期函数;

②若 f (x)为奇数,且当0≤x≤1时,

( 24 ) 根,求 并用反三角函数表示



参考答案 【同步达纲练习】 A组 1. (1)A; (2)B; (3)B; (4)A; (5)D; (6)D; (7)C; (8)A; (9)D; (10)C.

2. (11)2; (12)1; (13)

; (14)

; (15)



3. (16)

(17)

(18) (19)提示:将左端因式分解成 的形式再化.

(20)

.提示:先求出

,再设法得出



(21)

.提示:

,由于 围.



内是增函数,可解出 t 的取值范

(22)

两种情况

讨论可得出结果 B组 1. (1)A; (2)D; (3)C; (4)C; (5)B; (6)A; (7)A; (8)B; (9)A; (10)C.

2. (11)

; (12)1; (13)

; (14)

; (15)2.

3. (16)

.提示:分子化为

,分母化为



(17)18.先用诱导公式化为同角三角函数再化简为 (18) .提示:两个分式的分母都可以化为

. . 换为

( 19 ) 提 示 : 左 边 可 化 为 表示后再往下证.

(20)



(21)当

时,最大值为

.提示:

. ( 22 ) - 4≤a≤ - 3 或 3≤a≤4 . 提 示 : 原 不 等 式 可 化 为 .转化为函数 最大值不大于 4. (23)① . 是以4为周期的函数.② 的最小值不小于

设-1≤x≤0, 则0≤-x≤1.





又设1<x<3,则-1<x-2<1,这时

而在

上,仅有

,由

是以4为 周期的周期函数,故使

的所有 x 的值可表示为



( 24 )

.提示:由已知



先求出

的值,再求出



的值,可推出



人教版\必修4第一章 三角函数\三角函数综合训练 卷A

(120分钟,满分150分) 一、选择题(每题5分,共60分) 1.设2θ 是第一象限角,那么( A.sinθ >0 C.tanθ >0 2.若 θ 为第二象限的角, A. ) B.cosθ >0 D.cotθ <0 的值等于( B. )

C.

D. )

3.若角 α ,β 的终边关于 y 轴对称,则下列等式成立的是( A.sinα =sinβ C.tanα =tanβ

B.cosα =cosβ D.cotα =cotβ

4.若 α 是第四象限的角,且 A.第一象限 C.第三象限

,则

是(



B.第二象限 D.第四象限

5.已知 A 为三角形内角,且

,则 cosA-sinA 的值是(



A.

B.

C. 6.若 sinα +cosα =1,则 sinα -cosα 的值为( A.1 C.±1 7.已知 α +β =3π ,下列等式恒成立的是( A.sinα =sinβ C.tanα =tanβ 8.已知 sinα =0,则不是 α 的解集的是( A.{α |α =kπ ,k∈Z} B.{α |α =2kπ 或(2k+1)π ,k∈Z} C. D.{α |α =(k-2)π ,k∈Z} ) )

D. ) B.-1 D.0

B.cosα =cosβ D.cotα =cotβ

9.已知



,则角 x 等于(



A.

B.

C. 10.若 ,则角 x 等于( )

D.

A.



B.2kπ ,

(k∈Z)

C.

D. 11.函数 的定义域是( )

A.

(k∈Z)

B.

(k∈Z)

C.

(k∈Z)

D.

(k∈Z) )

12.角 α (0<α <2π )的正弦线与余弦线相等,且符号相同,那么 α 的值为(

A.



B.



C.



D.



二、填空题(每题4分,共16分) 13.已知 sinα 与 cosα 是方程 14.若 的两根,则 m=___________。

,则 sinθ +cosθ =___________。

15.若

,α ∈R 则 α =___________。

16.若

,且-2π <x≤0,则 x=___________。

三、解答题(共74分) 17.已知 tanα +cotα =m,求 sinα +cosα 的值。 (10分)

18.已知:

,求

的值。 (12分)

19.求适合

的 x 的集合。 (12分)

20.若 α 为锐角,求证:sinα <α <tanα 。 (12分)

21.已知 β 。 (14分)



,且

,0<β <π ,求角 α ,

22. 已知 x,y 都是实数, 且 值。 (14分)

, 求



参考答案 一、1.C2.A3.A4.B5.D 6.C7.A8.C9.C10.C 11.A12.C

二、13. 14.±1

15.



,k∈Z}

16.



三、17.解:∵tanα +cotα =m



∴ 又∵



18.解:∵



19.解:由













∴所求的 x 的集合为 20.证明:在单位圆中 ∵

或 AT=tanα

,MP=sinα ,





∴ ∴sinα <α <tanα



21.解:∵

,且



∴ 又∵













时,



时,

又∵

,0<β <π





22.解:∵ ∴x-6=0,y+2=0,即 x=6,y= -2,

∴原式

[解题点拨] 1.由2θ 是第一象限角,知 θ 角在一、三象限,这样就可分类确定各三角函数值的符号;已

知 α 在第二象限则

在一、三象限,已知 α 在三、四象限时,

在二、四象限。对一些常用的结

论,虽不是以定理、公式的形式出现,也应通过练习去掌握它们,会对完成习题提供有利的条件。

2.因为

,又 θ 在第二象限角,sinθ >0且

,所以

直接利用公式,在利用公式或定理解题时,一定要注意公式或定理的使用条件。 3.因为 α ,β 的终边关于 y 轴对称,所以在 α ,β 的终边上关于 y 轴对称的点的纵坐标不 变,横坐标互为相反数;然后再利用任意角的三角函数定义判断。

5













;此时还要注意 A 是三角形的内角,

,所以 A 是第二

象限角,sin>0即 cosA-sinA<0;解题时要注意已知条件对结论的限制,要审清题目中的所有已知 条件。

9.解此题的一般方法是通过

,求出满足条件的 x 的集合然后用

去排除,此题所给的选项都是具体的角,故可以采用逐一代入排除较为简单;特殊作法在做选择题过 程中经常用到,故要注意审题。 12.首先要掌握正、余弦线的定义,并明确其方向的确定方法;由题意知,α 角可能在一或 三象限。

13.由根与系数的关系得

①,



通过

,把②代入即可求出 m 值;在三角运算、求值、证明过程中,往

往要利用同角三角函数的关系进行过渡,所以要根据题目需要,注意选择关系式。 14 . 由 , 得 , 然 后 先 求

, 所 以 sinθ +cosθ =±1 ; 解 题 的 关 系 还 是 的运用。

15.由

,可得 α 角的终边与

角的终边相同或关于 y 轴对称,然后分别写出

α 角的范围;对于已知三角函数值,求已知角,应先求出0°~360°之间满足条件的角,再根据题 意写出角的集合。

16.利用诱导公式化简



,角 x 的终边将在一或二象 <x≤0内的角。

限,先求出0°≤x<360°间满足条件的角,再写出-2

17.把 tanα 与 cotα 分别用正弦,余弦表示,再通分相加,即可求出 sinα ?cosα 的值, 先求 的值,后开方就可以求出所求结果;解三角化简问题时,尽量把正切、余切表

示成正弦、余弦,这样容易找到突破口。

18.化简

,因为

,所以

。 本题主要考查整体代入的方法及三角概念及公式的推广。

19.通过方程思想解出 解题时不要漏掉任何一种情况。

,然后分类求解;本题两次应用分类讨论的数学思想,

20.利用单位图,把 α 、sinα 、tanα 都用线段或弧长表示,然后利用三角形的面积关系进 行判断;在比较同角或不同角的各三角函数大小时,往往利用单位图中对应三角线来比较较为简单, 同时要注意三角线是具有方向的线段。

21. 因为

, 所以可用 cosβ 表达或表示 cosα , 并代入

中即可求解。此类型题目,就是先由条件求出各角的三角函数值,再求角。 22.由已知条件求 x,y 的值,然后代入求值;本题考查的是三角知识点与初中求代数减式值 问题的综合运用。

人教版\必修4第一章 三角函数\三角函数综合训练 卷B
(120分钟,满分150分) 一、选择题(每题5分,共60分) 1. 的值为( )

A.

B.

C.

D.

2.函数

的最小正周期为(



A.π

B.2π

C. 3. A.cos5+sin5 B.cos5-sin5 C. D.-(cos5+sin5) 4.设 A.1 C.-1 5.△ABC 中,sinA>sinB 是 A>B 的( A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.△ABC 中,sinA+cosA 的取值范围是( A.[-1,1] B. C. D. ) ) ,则 tanα +cotα 等于( ( )

D.

) B.2 D.-2

7.设 α ,β 均为锐角,且



,则 sinα 的值是(



A.

B.

C.

D.

8.已知



,则

等于(



A.2 C.4

B.3 D.5

9.设方程 n 为( )

的两根是 tanα 和

,且这两根之比为3:2,则 m 和

A.5,6

B.



C.5, 10.下列四个命题中的假命题是( )

D.5,6或



A.存在这样的 α 和 β 值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ 成立 B.不存在无穷多个 α 和 β 的值,使得 cos(α +β )=cosα cosβ +sinα sinβ 成立 C.对于任意的 α 和 β 值,cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ 都成立 D.不存在这样的 α 和 β ,使 cos(α +β )≠cosα cosβ -sinα sinβ 成立 11. (1+tan21°) (1+tan22°) (1+tan23°) (1+tan24°)的值为( A.2 C.8 B.4 D.6 )

12.使函数 的一个值是( )

为奇函数且在区间

上为减函数的

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每题4分,共16分)

13.若

,则

的取值范围是_____________。

14.设 15 . 函 数

,则 cosx+cosy 的最大值是_____________。 的 最 大 值 是 y=_____________ , 此 时

x=_____________。 16.给出下列4个命题:

①函数

的值域是[-1,1]。

②函数

的周期是2π 。

③若

,则

的取值范围是



④函数 _____________。

的最大值是2。其中正确命题的序号是

三、解答题(74分)

17.已知 α ,β 为锐角,



,求 cosβ 的值。 (10分)

18.已知 sinβ =msin(2α +β ) ,m≠1,且 m 表示

。 (12分)

19 . 已 知 α , β

为锐角,且

, 3sin2α -2sin2β =0 , 求 证 :

。 (12分)

20.已知函数 y=2sinxcosx+sinx-cosx(0≤x≤π ) ,求 y 的最大值和最小值。 (12分)

21.求证:tanA+2tan2A+4tan4A+8cot8A=cotA。 (14分)

22.求函数 y=2-4asinx-cos2x 的最大值和最小值。 (14分)

参考答案 一、1.D2.A3.B4.B5.A 6.D7.B8.C9.D10.B 11.B12.C

二、13.

14.

15. 16.①、④



,k∈Z

三、17.解:因为 α ,β 为锐角,且 tan(α -β )>0,

所以 α -β 也为锐角,

所以





因为 α 为锐角,

,所以

所以 cosβ =cos[α -(α -β )]=cosα ?cos(α -β )+sinα ?sin(α -β )

18.解:因为 sinβ =msin(2α +β )所以 sin[(α +β )-α ]=msin[(α +β )+α ] sin(α +β )cosα -cos(α +β )?sinα =m[sin(α +β )cosα +cos(α +β )sinα ] (m-1)sin(α +β )cosα =-(m+1)cos(α +β )sinα 所以(1-m)tan(α +β )=(m+1)tanα



19.证明:因为 所以 因为3sin2α -2sin2β =0 所以3?2sinα ?cosα =2sin2β 即:3sinα cosα =sin2β ② ①

①÷②得:tanα =cot2β

因为 α 为锐角,所以

为锐角,又因为 β 为锐角,

所以 α ,β ∈(0,π )所以,







20.换元法。令 sinx-cosx=t ∵







21.证:tanA+2tan2A+4tan4A+8cot8A-cotA

=-4cot4A+4tan4A+8cot8A =-8cot8A+8cot8A=0

所以原式成立。 22.当-1≤a≤1时,

当 a>1时, 当 a<-1时,t=-1时, [解题点拨]

, ,t=1时,

1.参照前面§4.5提高卷的点拨

2.可降次。

可化为 cos2x,2sinxcosx=sin2x

3.sin10=2sin5cos5 5.注意画三角函数线,同时注意 A、B 都三角形的内角。

6.在△ABC 中0<A<π , 线。

,再去确定值域,可画三角函数

7.α ,β 为锐角,

,可求 sinβ 的值。



可知,α +β 仍为锐角,而 sinα =sin[(α +β )-β ]

8.

,而前面的条件可保证分子与分母都是已知的。

9.这两根之比为3:2可有两种理解,即



10.注意公式运用条件。作为公式中角特殊时,公式也将是特殊的形式。 如:cos(α +π )= -cosα 也可写成: cosα cosπ +sinα sinπ (为什么?) 11.注意整理与发现题目的特殊性:21°+24°=22°+23° 12.应用 y= a sin x + b cos x 的最值问题以及它的其他命题形式。

注意:

其中





13. 14.可设 cosx+cosy=A,再利用

,这样将 来解决。

15.利用降次来处理,将其化成 cos2x 为主的函数,如 16. 利用|sinα |≤1来处理。 ,可化成 ,再

可以化成 cosx 为元的二次函数,而|cosx|≤1。 17.α ,β 都为锐角,可先求 sinα ,sin(α -β ) ,cos(α -β )的值,而 β =α -(α -β ) 18.要求式子中涉及两个角(α +β ) ,α 。而已知 sinβ =sin[(α +β )-α ], 2α +β =(α +β )+α 。 19. 行同名三角关系式。 20.换元法处理比较合理。 令 ,再建立 α 与2β 的可





21.进行合理变形再证。



22.参照第16题点拨,同时要注意这是一个动函数定区间的题目。

人教版\必修4第一章 三角函数\三角函数综合训练 卷C
(120分钟,满分150分) 一、选择题(每题5分,共60分) 1.函数 y=sin(2-π x)的最小正周期为( A.1 C.π ) B.2 D.2π

2.函数 A.关于原点对称

的图象(



B.

为其对称中心

C.关于 y 轴对称

D.关于直线

对称

3.函数

在一个周期内的图象是(



4.已知函数 f(x)满足 f(x+π )=f(-x) ,f(-x)=f(x) ,则 f(x)可以是( A.sin2x C.sin|x| 5.A 为△ABC 的一个内角,sinA+cosA 的取值范围是( A. C. 6.若 ,则 x 的取值范围是( ) B. D. B.cosx D.|sinx| )



A.

B.

C.

D.

7.函数 f(x)=2sinω x(ω >0)在

上为增函数,那么(



A. B.0<ω ≤2

C. D.ω ≥2

8.函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 A. C.1

对称,那么实数 a 的值为( B. D.-1



9.已知 x,y∈R, A.5 C.

,则 x+2y 的最大值为( B.4



D.6

10.已知

,tgx≤-1,函数

取得最小值时的最小正数 x 等于(



A.

B.

C. 11.方程 lgx=sinx 的实根个数为( A.1个 C.3个 12.函数 f(x)=Msin(ω x+ =M,则函数 g(x)=Mcos(ω x+ A.为增函数 B.可以取得最小值-M )

D.

B.2个 D.4个 ) (ω >0)在区间[a,b]上为增函数,f(a)=-M,f(b) )在[a,b]上( )

C.为减函数 D.可以取得最大值 M

二、填空题(每题4分,共16分)

13.函数

的最小正周期为1,则实数 a 的值为____________。

14.方程 ____________。

中[π ,2π ]内有两个相等的实根,则实数 a 的取值范围是

15.函数 16.下列命题中 ①函数 y=sinx 在第一象限内为增函数。

的单调递减区间为____________。

②只需将函数

的图象向左平移

个单位即得函数

的图象。

③存在实数 α 使得 ④函数 y=sin|x|不是周期函数。



⑤已知 f(sinα )=cos6α ,则 f(cos15°)=0。 其中正确命题的序号为____________。

三、解答题(74分)

17.已知函数 (1)当函数 y 取最大值时,求自变量 x 的集合。

,x∈R。

(2)该函数图象可由 y=sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?(12分) 18.已知函数 y=Asin(ω x+ ) (A>0,ω >0)的大致图象如图4-3所示。

(1)试写出其一个函数解析式; (2)由此图象须经过怎样的变换可得到函数 y=sinx 的图象?(12分) 19.已知函数 f(x)=tan(sinx) 。 (1)求证:函数 f(x)为奇函数; (2)指出函数的值域及单调减区间。 (12分) 20.将一块圆心角为120°,半径为20cm 的扇形铁片裁成一块矩形,如图4-4有两种裁法:让 矩形的一边在扇形的一个半径 OA 上,或让矩形一边与弦 AB 平行,请问哪种裁法能得到最大面积的 矩形,并求出这个最大值。 (14分)

21.设 a>0,0≤x<2π ,若函数 实数 a,b 的值。 (12分)

的最大值为0,最小值为-4,求

22. 已知定义在 (-∞, 4]上的减函数 f (x) 使得 , 对于一切实数均成立,求实数 m 的范围。 (12分)

参考答案 一、1.B2.B3.A4.D5.A 6.C7.A8.D9.C10.A 11.C 12.D 三、13.±2π

14.

15. 16.④⑤

,k∈Z

三、17. (1) (2)略

18. (1) 19. (1)略

, (2)略

(2)值域为[-tan1,tan1],单减区间为

20.第二种截法能得到最大面积的矩形,最大面积为 21.a=2,b=-2

22. 提示与简解:



3.观察正切函数的周期,零点及定义域即可判断出正确的答案。

7.由 sinx 在

上为增函数,可得函数 y=sinω x 在

上为增函数,解不

等式

时得

。 8.此题可选用选择题的特点用特殊点来代替即可。

由图象关于直线 即 α =-1。

对称,则



11.画函数的图象,利用数形结合即可。说明:画图象时须考虑 y=sinx 有界性,在对数函数 图象上找到点

12.此题不妨令 f(x)=sin(x) ,



则 g(x)=cosx,

,则显而易见为 D。

14.画函数 范围即可。

,x∈[π ,3π ]的图象与 y=a 的图象,发现有两个交点的 a 的

16.①此命题错误的理由为“第一象限角含有数个单调区间”,例如









,则 β >α ,但 sinβ <sinα 。

②由 图象。

的图象向左平移

,实际得函数





③由

,且

⑤由 f(sinα )=cos6α 得:f(cos15°)=f(sin75°)=cos(6?75°)=cos450°=0

18.依题意:A=2,由

时,2sinx=1,及 x=π 时 sinx=0得,令 x=0时,

,①

时,ω x+φ =π ,②

解得 ω =2,



19. (2)设 y=sinx,y=tant,由题意得-1≤t≤1,而[-1,1] 因此函数 y=tant 在[-1,1]上为增函数,因此值域为[-tan1,tan1] 要求原函数减区间,只需找 t=sinx 减区间故



k∈Z 为原函数减区间。 20.在图(1)中连 OM,记∠POM=θ ,





当且仅当

时取得。

在图(2)中过 O 作 OD⊥MN 于点 D,交 PQ 于点 E,连 OM, 记∠MOD=θ ,









可计算得最大值为







故第二种截法较好,最大面积为 22.解:依题意,原不等式等价于



即 对原不等式恒成立,即(4)(5)恒成立 、 由(4)得:m+1≤4,即 m≤3

由(5)得:



即 ∴ 或



或 m=0综合(4) (5)得

m=0或



[解题点拨]

3.函数图象的把握从五点法入手。如 y=0时,



从而排除两个选项。其次看图象的一个周期是多少即可解决问题。 4.由 f(-x)=f(x) ,说明 f(x)为偶函数,即可排除答案。其次选用代入法解决。 5.A 为三角形的一个内角∴0<A<π

∴只要求

,x 在

上的值域。

6.可以画三角函数线来解决问题,也可以讨论来解决。 当 cosx=0时满足条件;当 cosx≠0时有|tanx|≥1。

7 . ∵ω >0 而

时是增函数,这就要求

能够包含

即可。 8.考虑



其中



9.考虑使用换元法。因为

∴设



即可代入 x+2y,转化为三角问题来处理。

10.先求

时 x 的范围。

考虑到

取得最小值时,即要1-cosx 取得最大值。

11.通过函数图象来解决最恰当,只需考虑0<x≤10即可。 ∵lgx 有意义时 x>0,另当 x>10时 lgx>1, 再不可能与 y=sinx 有交点。 12.因 f(a)=-M,f(b)=M。而函数在[a,b]上是增函数, 推出 M 是正数,所以图象从最小值增到最大值,则可以断定





(因为当 f(x)从-M 向 M 递增时,g(x)则先增后减)

可类比 y=sinx,y=cosx 在同一坐标系上的图象。

13.注意公式的运用:



14.画

在[π ,2π ]的图象,再利用直线 y=a 去直观地得出答案。

15.首先有

,然后再根据复合函数的单调区间的求法求。

16.①三角函数在某一象限内无增减性。

②将

的图象向左平移

个单位应为

而非



,因此它的最值为



④y=sin|x|是偶函数,可通过画图来理解这个结论。 而当 x≥0时,y=sin|x|=sinx,图也应该容易画。 ⑤已知的对应法则 f 只对 sinα 作用,所以可将 f(cos75°)化成 f(sin15°)来处理。

17.可通过降次来处理,即



。再利用重要知



,其中

来处理。

18.识图能力和作图能力一样重要。首先从最高点上可知 A=2,然后用两个已知点在图象上 用代入法将 ω , 给求出来。 的值域就明显了。而 f(x)=tanx,g

19.∵α ∈R

(x)=sinx,f(x)=tan(sinx)是一个复合函数,而 f(x)是增函数,所以 f(x)=sinx 的增 区间为 y=tan(sinx)的增区间。 20.注意让矩形的边长与已知的扇形的半径 R 联系起来,从图上来看|OM|=R,再假设一个角 θ 即可将这个最值问题转化到三角问题处理了。

21.可将其变形为关于 sinx 的二次函数,然后利用闭区间上二次函数最值,讨论对称轴与区 间的关系即可。 22.f(x)定义在(-∞,4]

∴要等价建立起

人教版\必修4第一章 三角函数\三角函数总测试
测试卷(120分钟,满分150分) 一、选择题(每题5分,共60分)

1.若角 α 的终边落在直线 y=-x 上,则 A.0 C.-2 B.2

的值等于(



D.2tgα )

2.设 θ ∈(0,2π ) ,若 sinθ <0且 cos2θ <0,则 θ 的取值范围是(

A.

B.

C.

D. 3.函数

的这天义域是(



A.

(k∈Z)

B.

(k∈Z)

C.

(k∈Z)

D.

(k∈Z)

4.函数 A.[0,8] C.

的值域是( B.[-3,5]



D.[-4,5]

5.已知 α ,β ∈ A.α +β <π

,cosα +sinβ >0,则(



B.

C.

D.

6.已知 tanα ,tanβ 是方程 等于( )

的两根,且 α ,β ∈

,则 α +β

A.

B.



C.



D.

7.有四个函数:①

②y=|sinx|③

④y=sin|x|,其中周期是 π ,

且在 A.1 C.3

上是增函数的函数个数是(

) B.2 D.4

8.函数 A.π

的最小正周期是(

) B.2π

C.

D.

9.

是 tanx=1成立的(



A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件

10.设 A.a<b<c C.b<c<a 11.把函数 的最小值是( )



, B.a<c<b D.c<b<a

则(



的图象向左平移 m 个单位,所得的图象关于 y 轴对称,则 m

A.

B.

C.

D.π

12.已知函数 的值是( A.5 C. )



,那么函数

的振幅 A

B.7 D.13

二、填空题(每题4分,共16分)

13.函数 14.已知 _____________。 15.已知函数 y=Asin(ω x+

的最小正周期是_____________。 ,α ,β ∈R,则 的取值范围是

) (A>0,ω >0,0≤

<2π )的图象如图4-5所示,则这

个函数的解析式为 y=_____________。

16 . 给 出 以 下 五 个 命 题 : ① 存 在 实 数 α , 使 sinα cosα =1 ; ② 存 在 实 数 α , 使

; ③函数

是偶函数; ④直线

是函数

的图象的一条对称轴;⑤若 α ,β 都是第一象限角,且 α >β ,则 tanα >tanβ ,其中正确的命题 序号是_____________。

三、解答题(共74分)

17.若 sinα cosα <0,sinα tanα <0。化简:

。 (10分)

18.已知函数 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的最大值与最小值; (3)求 f(x)图象的对称轴; (4)求 f(x)的递增区间。 (12分)



19.设 (1) ;



。求:

(2)tanθ -cotθ 。 (12分)

20.已知 分)



且 α ∈(0,π ) ∈(0,π ) ,β ,求2π α -β 的值。 (12

21. 已知 的值。 (14分)



, cos 求 (α +β )

22.已知奇函数 f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上有意义,且在(0,+∞)上是增函数,

f(1)=0,又函数 集合 N={m|f[g(θ )] <0=,求 M∩N。 (14分)

, m∈

,若集合 M={m|g(θ )<0},

参考答案 一、1.A2.B3.C4.D5.D 6.D7.C8.B9.D10.B 11.C12.C

二、13.

14.

15. 16.③④ 三、17.因为 sinα cosα <0 所以 α 为第二象限角, sinα tgα <0,











是第一或第三象限角,

原式





是第一象限角时,原式=

,当

是第三象限角时,

原式



18.



(1) (2)A=2,故

; , ;

(3)由



,即 f(x)的对称轴是直线



(4)由





即 f(x)的递增区间是

(k∈Z)

19.因为















,sinθ >0

cosθ <0,

所以 sinθ -cosθ >0,





所以



20.因为



所以



,0<α <π 故

再由

,0<β <π 知



,在

上只有一个

的正切值等于1。

21.由已知得











从而



所以



22.依题意,f(-1)=-f(1)=0,又 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以 f(x)在(-∞,0)上也是增函数, 因此,由 f(x)<0得 x<-1或0<x<1。 所以 N={m | f[g(θ )]<0}={m | g(θ )<-1或0<g(θ )<1}, M∩N={m | g(θ )<-1}, 由 g(θ )<1得 即 , ,

所以 设 cosθ -2=t,



则当

时,t∈[-2,-1],

(可以证明 在 上是减函数,由此知



上是增函数, 时可以取到等号) 。

从而 所以 即 。 [解题点拨] 1.α 的终边在第二象限或第四象限。



2.



,取交集可得。 3.



,k∈Z。

4.

5.



由 α ,β ∈





,即



6.注意该方程两根均为负实数,由此可得 α 、

7.

,T=π 在(0,2π )上是增函数,

y=|sinx|,T=π 在

上是增函数,



T=π 在 8.

上是增函数,y=sin|x|不是周期函数。

9.

时,

但 tgx≠1,

时,tgx=1



10.a=sin24°,





11.



依题意



,k∈Z,m>0,





12.





13.

14.由



或 sinα =1,

,故



15.











人教版\必修4第一章 三角函数\已知三角函数值求 角
基础卷(15分钟) 一、选择题

1.已知 α 是三角形的内角,且

,则 α 等于(



A.

B.

C.



D.



2.已知 cosx=0,则角 x 等于(



A. B.2kπ +π (k∈Z)

C.

D.

3.若



,则 x 等于(



A.

B.

C.

D.

4.已知



,则 x 等于(



A.



B.



C.



D.



5.

的值是(



A.

B.

C.

D.

二、填空题

6.已知

,x 是锐角,则 x=_____________。

7.已知

,x 是钝角,则 x=_____________。

8.已知

,x 是钝角,则 x=_____________。

提高卷(30分钟) 一、选择题

1.已知

且 x∈[0,2π ],则 x 的值是(



A.



B.



C.



D.

或 )

2.已知 sec(π -α )=2且2π <α <4π ,则角 α 的值是(

A.



B.



C.



D.

或 )

3.已知 cotx=2,则(

A.x=kπ +arctan2,k∈Z B.x=2kπ +arctan2,k∈Z

C.

,k∈Z

D.

,k∈Z

4.

的值等于(



A.-1

B.

C.

D.

5.

的值是(



A.

B.

C. 6.下列各式中正确的是( )

D.

A.

B.

C. arctan(-1)=arcsin(-1)

D.

二、填空题

7.若 tanx=5,

,则 x=______________。

8.若



,则 x=______________。

9.arcsin(sin3)的值为______________。

10.

满足 cos(π cosx)=0的角 x 的值为______________。

三、解答题

11.已知 α ,β 是锐角,cotα =7,

,求 α +β 的值。

12.求 arctan1+arctan2+arctan3的值。

参考答案 基础卷 一、1.C2.D3.D4.B5.D

二、6.

7.

8. 提高卷 一、1.B2.B3.C4.A5.C6.D 二、7.-π +arctan5 8. 9.π -3

10.





三、11.解:∵α ,β ∈ ∴0<α +β <π

∵cotα =7









∵在区间(0,π )内正切值为1的只有角

∴ 12.解:设 arctan2=α ,arctan3=β ,则 ta nα =2,tanβ =3









,则有 ∴arctan1+arctan2+arctan3=π 。

[解题点拨] 2.切割化弦再求角 α ,一定要考虑到角 α 的指定范围。

3.注意已知条件是余切值,而答案都是正切函数值。这就要求先将 cotx=2化成

4.一定要知道

是在

内的一个角,且



是在[0,π ]内的一个角,且



5.首先要明白

是一个[0,π ]的角,且其余弦值是



当然可以将之化成



6.首先把握角的范围进行排除,其次再具体看在同一范围内的角是否完全相等。

9.一定要明确 arcsin(sin3)是

内的一个角,

且当

时有 arcsin(sinx)=x ∵cosx∈[-1,1]

10.cos(π ?cosx)=0





时满足条件。

∴即当

时,



要有解。

11.可选用求角先求角的正切函数值,再到角的方法。

, 12.要明确 arctan1,arctan2,arctan3都是锐角, 且 tan(arctan1)=1,tan(arctan2)=2,tan(arctan3)=3。

再推出

,然后推出 arctan2+arctan3的值。

人教版\必修4第二章 平面向量\平面向量
一、选择题 1. A.2 + 等于( B.3 ) C. + + D. |等于( )

2.设 AM、BN、CP 是三角形的三条中线,则|

A.0

B.

C.1

D.

3.以下四向量中与 a=(3,2)垂直的向量是( A.(2,3) B.(-4,6)

) D.(-3,2) ) D.(-3,2) ) D.-12 ) D.75° ) D.(m-2,n+5) =-2 ,则点 P 的坐标为( D.(2,4) ? 等于( ) )

C.(3,2)

4.已知 a=(4,5),b=(3,4),则 a-4b 的坐标是( A.(12,11) B.(16,11)

C.(-16,11)

5.若|a|=6,|b|=8,a 与 b 的夹角为135°,则 a、b 等于( A.-24 6.若 a=( A.30° B.24 ,1),b=(1, B.45° C.12 ),则 a 与 b 的夹角为( C.60° 按向量(m,n)平移后新得向量是( C.(2-m,n+5)

7.已知 A(3,7)、B(5,2), A.(2,-5) B.(m+2,n-5)

8.已知 M(-2,7)、N(10,-2)点 P 在线段 MN 上,且 A.(-14,16) 9.在△ABC 中, B.(22,-11) =3,| C.(6,1) |=5,|

|=7,则

A.10.已知 +

B. = ,且 =

C.-15 =

D.15 >0,那么△ABC 是( )

A.任意三角形 C.等腰三角形

B.直角三角形 D.等边三角形

二、填空题 11.已知向量 a=(5,4),b=(3,2),则与2a-3b 垂直的向量可表达为 12.已知|a|= ,|b|=2,|a+b|= ,则(a+b)与(a-b)的夹角为 . . .

13.已知 a=(1,2),b=(-2,3),且(ka+b)与(a-kb)垂直,则 k=

14.把解析式 y=log2(4x)的函数图形 F 按向量 a =(-2,1)平移到 F′的函数解析式为 y = . 15.在△ABC 中,sinB=sinA?cosC,则△ABC 中的任意两角之和的最小值是 .

三、解答题 16.已知|a|=4,|b|=4,a+b=(6,2 ),求向量 a 与 b 的夹角.

17.设向量 求向量 .

=(3, 1),

=(-1, 向量 2),







, 又

+





18.在△ABC 中,若 a(2cos2

-1)=

,判断该三角形的形状.

19.在△ABC 中,A=2C,且 a+c=2b,求角 B.

20.抛物线 y=-x2怎样平移,才能使平移后的抛物线与 y=x2-x-2的两个交点关于原点对称, 并求平移后方程.

【能力素质提高】

在△ABC 中,已知 角三角形.

=

,求证:此三角形为等腰或直

【综合实践创新】 1.已知 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),且 a 与 b 满足|ka+b|= (1)将 a,b 的内积用 k 表示出来; (2)求内积 a,b 的最小值及此时 a,b 所成的角 θ . |a-kb|(k>0).

【高考真题演练】 1.若向量 a=(3,2),b=(0,-1),则向量2b-a 的坐标是( A.(3,-4) B.(-3,4) C.(3,4) ) D.(-3,-4)

2.设 a、b、c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则: ①(a?b)?c-(c?a)?b=0 ②|a|-|b|<|a-b| ③(b?c)?a-(c?a)?b 不与 c 垂直 ) D.②④

④(3a+2b)?(3a-2b)=9|a|2-4|b|2中,是真命题的有( A.①② B.②③ C.③④

3.在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c,证明:



4.求 sin220°+cos280°+

sin20°cos80°的值.

参考答案 【课内四基达标】 1.A 2.A 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D 9.B 10.D

11.(-2t,t) 17.

12.π -arccos =(11,6)

13.-1±

14. log2(x+2)+3

15.90°

16.

=(14,7),

18.由半角公式可得:acosA=bcosB

A+B=

或 A=B

19.A = 2C

sinA = 2sinCcosC

a = 2ccosC

a = 2c?

a2b-a2c =

b2c-c3

a2-c2 =bc

(b≠c)

(a+c)(a-c)=bc

a=

c?b=

c

cosB=

B=

arccos

20.平移后解析式为:y=-(x+2)(x-1)=-x2-x+2=-(x+ 【能力素质提高】

)2+

a=(-

,

)







= 【综合实践创新】

?

b=c 或 a2=b2+c2或 c2=a2+b2

|a |=|b |=1,(ka+b)=3(a+kb)2

(1)ab =

,(2)ab=

(k+

)=

(

-

)2+

∴a?b 的最小值为

,这时 k=1,∴cosθ =

,θ =60°

【高考真题演练】 1.D 2.D a2-b2 = acosB-bcosA

3. 证 明 : a2-b2 = (b2+c2-2bccosA)-(a2+c2-2accosB)







4.解:考虑内角分别为10°,20°,150°的一个三角形。 由正、余弦定理知:sin2150°=sin210°+sin220°-2sin10°sin20°cos150°

=sin220°+cos280°+

sin20°cos80°=(

)2=

人教版\必修4第二章 平面向量\平面向量单元达纲 检测(A 级)
【本章知识总结】 1.本章主要内容有向量的概念、运算及其坐标表示,线段的定比分点,平移,正弦定理,余弦定 理及其在解斜三角形中的应用. 2.向量运算 (1)加法运算 加法法则:三角形法则与平行四边形法则 运算性质: + = + ,( + )+ = +( + ), + = +

坐标运算:若 +

=(x1,y1),

=(x2,y2),则

=(x1+x2,y1+y2)

(2)减法运算 坐标运算:设 =(x1,y1), =(x2,y2),则

=(x1-x2,y1-y2) =(x2-x1,y2-y1)

若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 (3)实数与向量的积 定义:λ

,其中 λ >0时,λ 与 反向,|λ =0



同向,|λ |=|λ ||

|=|λ || |



当 λ <0时,λ 当 λ =0时,λ 坐标运算: 设 =(x,y),则 λ ? ? = =0 =

=0?

=λ (x,y)=(λ x,λ y)

特别地 运算律: (λ ( + )?

? )=λ ( ? ? )

?(λ

)? =

? +

坐标运算: 设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ? =x1x2+y1y2

3.重要定理、公式 (1)平面向量基本定理 (2)两个向量平行的充要条件 若 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ∥ ∥ ⊥ =λ x1y2-x2y1=0 ? =0

(3)两个非零向量垂直的充要条件是 设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 ⊥

x1x2+y1y2=0

(4)线段的定比分点公式 (5)平移公式 (6)正弦定理、余弦定理.

【单元达纲检测】 一、选择题: 1.下列结论正确的是( A.若 B.若 C.若 D.( ? ? ⊥ = = = ,则 ,则 ,则 | + + C. 的是( ) B. + D. ) + + 等于( ) D. = ∥ ? =( ? )2 ) ,或 =

)2>|

2.在平行四边形 ABCD 中, A. B.

3.下列各式中,化简后等于 A. C. 4.设 + + + +

=(1,-1),则与

垂直的单位向量是(

A.(



)

B.(-

,-

)

C.( 5.设 P 分 A.4或-2



)或(-

,-

)

D.(

,-

)或(-

, )

)

所成的比为 λ ,且|P1P2|=3|P2P|,则 λ 的值为( B.1或-3 C.3或1 D.-4或2

6.把一个函数的图像按 数的解析式为( )

=(

,1)平移后,所得图像的函数解析式为 y=sin(x+

)+1,则原函

A.y=sinx C.y=sinx+2

B.y=cosx D.y=cosx+2

7.已知



的夹角的余弦是-

,则



的坐标可以为(

)

A.(4,3),(-12,5) C.(-3,4),(5,-12)

B.(3,4)(5,12) D.(-3,4),(-5,12) ⊥

8.设 A, C 是坐标平面上的三点, B, 它们的坐标分别为: 1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), A(x 则 的充要条件是( ) B.(x3-x2)(x1-x2)+(y3-y2)(y1-y2)=0 D.x1x2x3+y1y2y3=0 )

A.(x3-x1)(x2-x1)+(y3-y1)(y2-y1)=0 C.(x2-x3)(x1-x3)+(y2-y3)(y1-y3)=0

9.在△ABC 中,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则△ABC 是( A.等边三角形 C.等腰直角三角形 10.在△ABC 中,下列三式: 等式个数( ) B.有且仅有1个 D.至少2个 ? B.等腰(非等边)三角形 D.直角(非等腰)三角形 >0, ? >0, ?

>0中能够成立的不

A.至多1个 C.至多2个

二、填空题: 1.已知 + =2 -8 , =-8 +16 ,那么 ? + = )?( . + )=5+2 则

2.在△ABC 中, 已知| ∠B= .

| =1,|

|=2,(

3.设 4.已知

=(-4,3),

=(5,2),则2|

|2+

? )⊥(

= -

. ),则 m= .

=(m+1,-3),

=(1,m-1)且(

三、解答题 1.已知| |=2,| |=1, 与 的夹角为60°,求使 +λ 与λ -2 的夹角为钝角的

实数 λ 的取值范围.

2.已知△ABC 的三个顶点的坐标为 A(-5,-1),B(4,1),C(0,4). (1)求△ABC 的面积. (2)若四边形 ABCD 是平行四边形,求点 D 的坐标.

3.已知



是非零向量,且不共线,如果

=

+



=2

+8

,

=3(

-

),

求证 A、B、D 三点共线.

4.某人从塔的正东方 A 处沿着南偏西60°的方向前进40米到达 B 处,望见塔在东北方,若此人 沿途测得塔顶的最大仰角为30°,求塔高.

5. 设

=

,

=

,

=

, 且 | ,

| =2, |

| =1, |



=3,∠AOB=150°,∠BOC=90°,∠COA=120°,试用

表示 .

参考答案 【单元达纲检测】 一、1.C 2.D 3.B 4.C 5.D 3.57 6.B 7.C 8.B 9.A 10.D

二、1.-63 三、1.-1-

2.150°

4.-2

<λ <-1+

2.①S△=

②D(9,6) =5

3.提示,可算得 4.4.23米 5. =-3 -3

人教版\必修4第二章 平面向量\平面向量单元达纲 检测(AA 级)
【单元达纲检测】 一、选择题 1.若 =(1,0), =(1,1),则 B. |=1,| |=2,| + |= ? 的值是( C.1 ,则 与 ) D.2 的夹角 θ 的余弦值为( )

A.(1,0) 2.若|

A.-

B.

C.

D.以上都不对 )

3.在△ABC 中,若已知 a=18,b=22,A=35°,求得 B 的个数( A.无解 4.已 A.1 B.一解 C.两解 =(m-1,m+1),且 C.1或2 = , ⊥ D.三解

=(m+3,m-1), B.2

,则实数 m 等于( D.1或-2 = ,则

)

5.设 AM 是△ABC 的 BC 边上的中线,若

等于(

)

A.

-

B.

-

C. 6.设

+ =(-1,2), =(1,-1), B.1,4

D.

+ +q ,则实数 p,q 的值分别为( D.1,-4 ) )

=(3,-2),且 =p C.0,4

A.4,1

7.在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,且 cos2B+cosB+cos(A-C)=1则( A.a、b、c 成等比数列 C.a、c、b 成等比数列 B.a、b、c 成等差数列 D.a、c、b 成等差数列

8.在△ABC 中,若

=

=

,则△ABC 的形状为(

)

A.直角三角形,但不是等腰三角形 C.直角三角形或等腰三角形

B.等腰三角形,但不是直角三角形 D.等腰直角三角形 )

9.将函数 y=f(x)的图像按 a=(h,k)平移得到图像 C′,则 C′的解析式为( A.y=f(x-h)+k C.y=f(x+h)+k 10.在 ABC 中,三式 A.至少1个 C.一个也没有 ? ≤0, B.y=f(x-h)-k D.y=f(x+h)-k ? ≤0, ?

≤0中可以成立的(

)

B.至多1个 D.三式可以同时成立

二、填空题 1.已知 =(cosα ,sinα ),若 + =(3,4),则| |的最大值为 .

2.已知点 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,3.在△ABC 中,| |= 4.三个力 ,| 、 、 + |=3,| |= |=2,| .

)在线段 AB 的中垂线上,则 x= |与|

.

|的夹角为60°,则|

同时作用于 O 点且处于平衡, 已知 |= ,| |=



的夹角为135°, .



的夹角为120°,|

|=2kg,则|

三、解答题: 1.设向量 , 满足| |=| |=1及|3 -2 |=3,求|3 + |的值.

2.已知向量

=(5,2),

=(x2+y2,xy)且

=

,求 x,y.

3.已知两点 P1(3,2),P2(-8,3),求点 P(

,y)分

所成的比 λ 及 y 的值.

4.在等腰直角三角形 OAB 中,O 为坐标原点,B 为直角顶点,若 A 点坐标是(-4,2),求点 B 和向量 的坐标.

5.如图所示,有两条相交成60°角的直路 XX′和 YY′,交点是 O,甲、乙分别在 OX、OY 上, 起初甲离 O 点3km,乙离 O 点1km, 后来两人同时用每小时4km 的速度, 甲沿 XX′方向, 乙沿 Y′Y 的方向步行.

(1)起初,两人的距离是多少? (2)用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离; (3)什么时候两人的距离最短?

参考答案 【单元达纲检测】 一、1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.B 7.A 8.D 9.A 10.B

二、1.6

2.

3.



4.

kg,(

+1)kg

三、1.2 3)或(-3, -1),

2.

,

, 5.①AB=

, km ②PQ=

3.λ =

,y=2

4.B(-1, ③第15分钟来

=(3,1)或(1,-3)

人教版\必修4第二章 平面向量\平面向量的数量积 及运算律同步达纲练习
【同步达纲练习】 一、选择题 1.已知| |=| |=1,| + |=1,则| |等于( )

A.1

B. ? ) B.3个 和 = ;(2)

C. ? =0;(3) -

D.2 = ;(4)| ? |=| |?|

2.有四个式子:(1) |其中正确的个数为( A.4个 3.设向量

C.2个 +

D.1个 |等于( )

的长分别为6和5,夹角为120°,则|

A.

B.?

C. =0,且 C.矩形 |=1, ? =-9,则 与 =

D. ,则四边形 ABCD 是( D.正方形 的夹角是( D.30° )的大小关系是( |?| |≤ ) ? ) )

4.在四边形 ABCD 中, A.梯形 5.已知| A.120° 6.对任意向量 A.| C.| |?| |?| 、 |=6 B.菱形 ,|

B.150° ,| ? ? |?|

C.60° |与 ?

|< |≥

B.|

D.无法确定

7. 已 知 下 列 各 式 : ①
2-2

2= |

| 2;② ) C.3个

=

;③(

?

)2=

2?

2;④(

-

)2=

?

+

2,其中正确的是(

A.1个 8.已知| k 的值为( A.-6 9.已知 A.60° 10.已知| A.
2=1,

B.2个 |=| ) B.6
2=2,(

D.4个 =2 +3 , =k -4 , ⊥ ,则

|=1,



的夹角为90°,且

C.3 )? =0,则 与 的夹角是(

D.-3 )

-

B.90° |=a,| |=b,向量

C.45° 和 B.

D.30° |等于( )

的夹角为 θ ,则|

C.

D.

二、填空题 1.已知 A(1,3),B(2,4),C(5,6),则 2.已知 A(3,m),B(2m,1),若| ? + . ? = .

|=2,则 m=

3.已知 为单位向量,| 4.已知 5.若| , 满足|

|=4,

与 的夹角为 |=1,且( -

,则

与 方向上的投影是 ? = 与 . 垂直,则 λ =

.

|=1,| , 与

)2=3,则

|=2,|

|=

的夹角是45°,且 λ

.

三、解答题 1.已知| -4 | |=3,| |=4, 与 的夹角为150°,求(1)( -3 )?(2 + );(2)|3

2.已知| +2 垂直?

|=5,|

|=4,且



的夹角为60°, 问当且仅当 k 为何值时, 向量 k

-



3.若|

|=13,|

|=19,|

+

|=24,求|

-

|的值.

【素质优化训练】 1.向量 与 满足什么条件时, + 与 互相垂直?

2.已知: ,

,

是两两垂直的单位向量,

=- -

+

,

= -

,

=4 +2

+5



求△ABC 的三个内角.

3.已知 O 为△ABC 所在平面内一点, 且满足( 的形状.

-

)?(

+

-2

)=0, 判断△ABC

4.设



是两个单位向量,其夹角是60°,求向量

=2

+



=2

-3

的夹角。

5.已知 位向量. 求(

=3 -6

-

,

= +4

-5

,

=3 -4

+12

,其中 ,

,

是两两垂直的单

? )?

+(

?

)? 在 上的投影.

【生活实际运用】 求证△ABC 的三条高交于一点. 证:设 P 为△ABC 内一点,令 = , = , = (如图)

= 当



, , )=0, ?

= ⊥ ?( =0

,

=

- .

时,有 - )=0

?( 即: ? ∴

? ? ? ⊥

? =0 ? =0 )=0 =0

即 ?( 所以 可得

即 P 为三条高线的交点.

【知识验证实验】 如图所示,已知□ABCD, 并计算 ? , 、 = , = ,且| |=| |,试用向量 , 表示 、

位置关系如何?

解:∵四边形 ABCD 是平行四边表, ∴ ∴ 又∵| = = = |=| | = -

∴四边形 ABCD 为菱形 ∴BD⊥AC, 从而 ? =| |?| |?cos90°=0; ⊥ .

【知识探究学习】 是否存在4个平面向量,两两不共线,其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直?

解:如图所示,在正△ABC 中,O 为其内心,P 为圆周上一点,满足 两不共线,有 ( =(2 + + )?( + + )=( + + ) + + )?( +









+

)

)?(2

=(2 =4 =4 =0 有(

2-

)?(2
2

+

)

2-

2

+

)与(

+ ,

)垂直. , , 满足题意.故存在这样4个平面向量.

同理证其他情况.从而

参考答案 【同步达纲练习】 一、1.B 2.D 3.D 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.C 10.D

二、1.25

2.

3.-2

4.2 5.arccos

三、1.(1)-30+30 【素质优化训练】 1.| |=| |

(2)337+144

2.k=

3.22

2.∠A=arccos

,∠B=arccos

,∠C=arccos

3.以 A 为顶点的等腰三角形 4.120°

5.

=-

人教版\必修4第二章 平面向量\平面向量数量积的 坐标表示同步达纲练习

【同步达纲练习】 一、选择题. 1.下列各向量中,与 A. C. 2.若 =(3,-2) =(-4,6) =(2,3), =(3,2)垂直的向量是( B. D. =(-4,7),则 =(2,3) =(-3,2) 在 方向上的投影为( ) )

A. 3.已知向量

B. =(3,-2),

C. =(m+1,1-m),若

D. ⊥ ,则 m 的值为( )

A. 4.已知向量|

B.|=5,且

C.-1

D.1 垂直的单位向量是( )

=(3,x-1),x∈N,与向量

A.(

,-

)

B.(-



)

C.(5.若 A. C.(



)或(

,-

)

D.(

,-

)或()



)

=(cosα ,sinα ), ⊥ + )⊥( =(1, ) ),

=(cosβ ,sinβ ),则( B. D.( =( +1, ∥ +

)∥( 与

-

) )

6.已知

-1),则

的夹角为(

A.

B.

C.

D. )

7.以 A(2,5),B(5,2),C(10,7)为顶点的三角形的形状是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 8.已知 =(-2,-1), =(λ ,1).若 与 B.直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形 的夹角为钝角,则 λ 的取值范围是( )

A.(-

,+∞)

B.(2,+∞)

C.(9.已知 ① =

,+∞) =(x1,y1), 或 = 或

D.(-∞,-

) ? =0的充要条件的是( )

=(x2,y2),则在下列各结论中为 ⊥ ② ⊥

③x1y1+x2y2=0 A.①③ B.②③

④x1x2+y1y2=0 C.③④ D.①④

10.已知



的夹角的余弦为-

,则



的坐标可以为(

)

A.(4,3),(-12,5) C.(-3,4),(5,-12)

B.(3,4),(5,12) D.(-3,4),(-5,12)

二、填空题 1.已知 2.已知 =(4,3), =(3,-5), =(-1,2),则 =(-4,-2),则 与 ? 的夹角为 = . . 为 . .

3.顺次连接 A(3,-1),B(1,2),C(-1,1),D(3,-5)的四边形是 4.以原点和点 A(5,2)为顶点作等腰直角三角形 OAB,∠B=90°,则向量 5. 已 知 向 量 值 . =(1,2), =(x,1), 分 别 求 出 当 +2 与2 -

平行和垂直时实数 x 的

6.已知 值 .

=(2,1),

=(-1,-1),

=

+k

,

=

+

,



的夹角是

,则实数 k 的

三、解答题 1.已知 求(1) (4)(3 =(1,-2),
2

=(4,3)
2

(2) )?(

(3) ) (5)

? 与 的夹角

+2

-3

(6)



上的投影

2.已知:点 A(0,3),B(6,3),AD⊥OB,垂足为 D,求点 D 的坐标.

3.已知 A(-2,3),正方形 OABC,求点 C、点 B 的坐标.

【素质优化训练】 1.已知 =(-1,0), =(1,1), =λ +μ (λ 、μ ∈R),若 ⊥ ,且| |=2,试求 λ 、

μ 的值及向量 c 的坐标.

2.若 试用 k 表示

=(cosα ,sinα ), ? .

=(cosβ ,sinβ ),用|k

+

|=



-k

|(k∈R,k≠0),

3.已知

=(-3,-2),

=(-4,k),若(5

-

)?(

-3

)=-55,求实数 k 的值.

4.求与向量

=(

,-1)和

=(1,

)的夹角相等,且模为

的向量 的坐标.

5.已知矩形 ABCD 的相对顶点 A(0,-1),C(2,5),且顶点 B 到两坐标轴的距离相等,求顶点 D 的坐标.

【生活实际运用】 如图,四边形 ABCD 是正方形,P 是对角线 BD 上的一点,PECF 是矩形,用向量法证明 (1)PA=EF (2)PA⊥EF

证明: 建立如图所示坐标系, 设正方形边长为1, |

|=λ ,则 A(0, 1), P(

λ ,

λ ),

E(1,

λ ),F(

λ ,0)



=(-

λ ,1-

λ ),

=(

λ -1,-

λ )

(1)|

|2=(-

λ )2+(1-

λ )2=λ 2-

λ +1

| ∴|

|2=( |2=|

λ -1)2+(-

λ )2=λ 2-

λ +1

|2,故 PA=EF

(2) ∴

? ⊥

=(-

λ )(

λ -1)+(1-

λ )(-

λ )=0

∴PA⊥EF.

【知识探究学习】 已知 A(0,a),B(0,b),(0<a<b),在 x 轴的正半轴上求点 C,使∠ACB 最大,并求出最大值. 解,设 C(x,0)(x>0) 则 则 =(-x,a), ? =(-x,b)

=x2+ab.

cos∠ACB=

= 令 t=x2+ab

故 cos∠ACB=

当 =

即 t=2ab 时,cos∠ACB 最大值为

.

当 C 的坐标为(

,0)时,∠ACB 最大值为 arccos

.

参考答案 【同步达纲练习】 一、1.C 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8.A 9.D 10.C

二、1.arccos

2.-2 3.梯形

4.(-



)或(-

,-

)

5.



或-2

6.

三、1.(1) 2.D(2,1)

2=5

(2)

2=25

(3)

?

=-2

(4)-121 (5)π -arccos

(6)-

3.C(3,2)或(-3,-2),B(1,5)或(-5,1) 【素质优化训练】 1.λ =μ =2,C(0,2)或 λ =μ =-2,C(0,-2)

2.

?

=

3.k=-10或 k=6

4.

=(

,

)

5.D 的坐标为(



),(



),(



),

(



)

人教版\必修4第二章 平面向量\向量的加法与减法

综合训练卷(120分钟,满分150分) 一、选择题(每题5分,共60分) 1.下列命题中,正确的是( A. B. C. D.若 且 ,则 ; 2) ( ) B.2 D.4 ,且 ,则 的值是( ) ; 3) ( ; 4) ( )

2.化简以下各式: 1) ( 。结果为零向量的个数是( A.1 C.3 3.若 A.必小于5 B.必大于10 C.有可能为0 D.不可能为0 4.若 A.[3,8] B. (3,8) C.[3,13] D. (3,13) 5.在平行四边形 ABCD 中,若 A.ABCD 是菱形 B.ABCD 是梯形 C.ABCD 是正方形 D.ABCD 是矩形 , ,则

的取值范围是(



,则必有(



6.把所有单位向量的起点平移到同一点 P,各向量终点的集合构成什么图形(



A.点 P B.过点 P 的一条直线 C.过点 P 的一条射线 D.以点 P 为圆心,1为半径的圆 7.下列有关零向量的说法正确的是( A.零向量是无长度,无方向的向量 B.零向量是无长度,有方向的向量 C.零向量是有长度,无方向的向量 D.零向量是有长度,有方向的向量 8.已知 A.[2,12] B. (2,12) C.[2,7] D. (2,7) 9.“ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 10.已知两个向量 A.向量可以比较大小 B.向量不可以比较大小,但是模可以比较大小 C.当 D.当 , , 是共线向量时,可以比较大小 两个向量中,有一个是零向量时,可以比较大小 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为 , ,则下列说法正确的是( ) ”是“A,B,C 是三角形三个顶点的”的( ) , ,则 的取值范围是( ) )

11.一艘船从 A 点出发以

2km/h。则船实际航行速度大小和方向(用与流速间的夹角表示) A.大小为4km/h,方向与流速夹角为60° B.大小为 ,方向与流速夹角为60°

C.大小为4km/4,方向垂直于对岸

D.大小为 12. 已知向量 A.两者必不相等 B. C.两者可能相等 D.无法比较大小 > ,

,方向垂直于对岸 , 则下列有关 与 的说法正确的是 ( )

二、填空题(每题4分,共16分) 13.如图5—5,在 =_______。 ABCD 中,已知 = , ,则 =_______,

14.已知 =________。





的和向量,且

=





=______,

15.把平行于直线 l 的所有向量的起点移到 l 上的点 P,则所有向量的终点构成图形_______。 16 . 已 知 ________。 , 是非零向量,则 = 时,应满足条件

三、解答题(共74分) 17.一辆火车向东行驶400km 后,改变方向向北行驶400km,求火车行驶的路程及两次位移 之和。 (10分)

18.飞机按东偏北25°从甲地飞行300km 到达乙地,再从乙地按北偏西25°飞行400km 到 达丙地,求甲丙两地之间的距离。 (12分)

19.一艘船以7km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为3km/h。求航船实 际航行速度大小和方向。 (12分)

20.飞机从 A 地按北偏西75°的飞向飞行400km 后到达 B 地,然后向 C 地飞行。已知 C 地从 A 地西偏南30°的方向处,且 A,C 两地相距为 B,C 两地的距离。 (12分) ,求飞机从 B 地向 C 地飞行的方向,及

21.已知 O 为△ABC 的外心,H 为垂心,求证:

。 (14分)

22.在倾角为30°的斜面上有一块坚直放置的挡板,在挡板和斜面之间有一个重为20N 的光滑 圆球,求这个球对斜面的压力和对挡板的压力。 (14分)

参考答案 一、 1.C2.D3.D4.C5.D6.D7.D8.A9.B10.B11A.12.C 二、 13. 14. 15.直线 l 16. 三、 17.火车两次行驶路程为800km,因为位移是向量,则两次位移之和为 东偏北45°。 18.500km,甲、乙两地的连线与乙、丙两地连线垂直。 ,方向是 与 反向 — ,2 —

19.航船实际航速为

。方向与河岸夹角为 。



20.B 地飞向 C 地方向为东偏南60°,距离为 21.略

22.球对斜面压力为 [解题点拨] 1.选项 D 中:当 ∥ 但此时 与 =

,对挡板的压力为

时,对任意向量(非零)



,都有





不一定平行。 >5,排除 A。

3.当 A,B,C,D 四点位置如图5—29所示时,

当 A,B,C,D 四点如图5—30时:

<10,排除 B。

假设 由 4.∵

=0,则 A、D 两点重合, ∴ =8-5=3;当

当 ,



同向时,



反向时,

=8+5=13; ,当 ∴应选 C

不平行时,3<

<13。结上可知3≤|BC|≤13

注意:本题要根据问题的实际作好分类讨论,作到分类不漏不重。 7.零向量是特殊向量,符合向量的定义,零向量的长度为0,零向量的方向是任意的。 8. (1)若 ① ② 与 与 与 共线:

同向时: 反向时: 与 不共线,则由向量的可平移性及向量的三角形法则知:

(2)若

11.速度是向量,利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则求解。

12.分“ 进行讨论。当

与 与

共线与不共线”两种情况进行讨论, 共线且同向时:若 ≥ ,则



共线时又分同向与异向 = 。

以下16题类似求解。 14.利用向量加、减法的三角形法则求解。 20.准确画出图形后,经分析、计算知:△ACB 是等腰直角三角形,故 21.由图形可知,



, = +



之间不存在表面上的联系,要借助圆来找到它们的 ,而 H 总是△ABC 的垂心,说明 AH 与 BC 垂直,利

内在联系,由三角形法则可知 用这一关系来寻找与 ,

间的联系。△ABC 是圆 O 的内接三角形,可连接 OB 并延长它交圆 与 的方向相同。同时由图可知 与 与 的

于 D 点,由圆的知识可知 DC 与 BC 垂直,则

方向相同,四个点 A,H,D,C 可以构成平行四边形, 而 = — ,向量 与

方向相同,大小相等是相等向量, = + 。通过

方向相反,大小相等是相反向量,

图形的分析,可以找出四个向量之间的联系,可以解决问题。本题在分析图形的基础上,借助向量的 方法,解决几何问题,充分体现了数形结合的思想,是向量考查中的一个难点。 22.本题考查向量加法、减法在实际物理问题中的运用。力是一个既有大小又有方向的量,它 是一个向量。力的分解也就是向量的分解。已知了重力,即已知了两个向量的和,利用直角三角形求 两个向量的大小。先画出草图,利用平面几何的知识分析直角三角形的内角,再要求直角三角形中斜 边与直角边的关系,求出两个分力的大小。高考在考查向量加、减法的运算中,一般不会直接考查, 会借助一些实际的应用问题来考查向量的加、减法。

人教版\必修4第二章 平面向量\向量练习
基础卷(15分钟) 一、选择题 1.下列物理量中, 不能称为向量的是( A.距离 B.加速度 C.力 D.位移 2.下列说法错误的是( A.向量 ) 的长度相等 )

的长度与向量

B.零向量与任意非零向量平行 C.长度相等方向相反的向量共线 D.方向相反的向量可能相等 3.下列四个命题正确的是( A. , ) 与 与 相等 都是非零向量

是两个单位向量,则 与 不共线,则

B.若向量

C.两个相等的向量,起点、方向、长度必须都相同 D.共线的单位向量必相等 4.下列命题中,正确的是( A. B. C. D. )

二、填空题 5.设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,向量 6.与向量 与 是否相等?_______。

平行的单位向量的个数是_______。

提高卷(30分钟) 一、选择题 1.等腰梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 P,点 E、F 分别在两腰 AB、DC 上,EF 过 点 P 且 EF∥AD,则下列等式正确的是( A. B. C. D. 2.下列说法正确的是( ) )

A.两个相等的向量,终点相同,起点可能不同 B.若非零向量 与 是共线向量,则 A,B,C,D 四点共线

C.四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件是 D.若两个单位向量共线,则必相等 3.下列物理量:①质量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功,其中不是向量的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.下列说法中正确的是( A.具有方向的量就是向量 B.零向量是没有方向的 C.长度相等的向量是相等的向量 D.相等的向量一定是平行向量 5.如图5—1,四边形 ABCD 中, ,则相等的向量是( ) ) )

A. B. C. D. 6.对于以下命题: (1)平行向量一定相等; (2)不相等的向量一定不平行; (3)共线向量一 定相等; (4)相等向量一定共线。其中真命题的个数是( A.0个 C.2个 7.判断下列各命题的真假 (1)向量 (2)向量 的长度与向量 与向量 的长度相等。 与 的方向相同或相反。 ) B.1个 D.3个

平行,则

(3)两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同。 (4)两个有共同终点的向量,一定是共线向量。 (5)向量 与向量 是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上。

(6)有向线段就是向量,向量就是有向线段。 其中假命题的个数为( A.2 C.4 ) B.3 D.5

二、填空题 8.如图5—2,B,C 是线段 AD 的三等分点,分别以图中各点为起点和终点最多可以写出_____ 个互不相等的非零向量。

9.向量



的模相等是

=

的_____条件。 ,则以下四个命题:

10.已知平面上不共线的四点满足 (1)ABCD 是平行四边形; (2)ACBD 是平行四边形; (3)ADBC 是平行四边形;

(4)ACDB 是平行四边形,则所有正确的序号是______。

三、解答题 11.正六边形 ABCDEF 中,G、H,M,N,P,Q 分别是 AB,CB,CD,DE,EF,FA 的中点, 写出其中相等的向量。 (要求至少写出10组)

12.如图5—3,D,E,F 分别是△ABC 的三边 AB,BC,AC 的中点, 写出与

共线的向量。

参考答案 基础卷 一、 1.A2.D3.B4.C 二、5.不相等 [解题点拨] 6.2个或无数个

4.选项 D 应注意区分零向量与数字0。 6.注意 提高卷 一、1.D2.C3.D4.D5.D6.B7.C 二、8.6 三、 11. 9.必要而不充分 10. (2)(3) 、 可能为零向量。

12.与 [解题点拨]

共线的向量有

4.选项 B 中零向量的方向是任意的。 7.命题(6)应注意“向量是用有向线段来表示的,但不是有向线段。”

人教版\必修4第三章 三角恒等变换\综合检测
一、选择题,本大题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 的值为 ( )

A.

B.-

C.

D.-

2.

函数

的周期为





A.

B.

C.

D.

3.

已知



,则

等于





A.

B.

C.

D.

4.

化简

,其结果是





A. 5.

B. 等于

C.

D. ( )

6.

的值为

(

)

7. 已知

为第三象限角,

,则





8. 若

,则







9. 已知锐角

满足

,则

等于





10.

下列函数 f(x)与 g(x)中,不能表示同一函数的是 A. B. C.





D.

二、填空题, 本大题共

小题,每小题3分,满分12分,把正确的答案写在题中横线上.

11. 已知 cos

=

,且

,则 cos(

)=____.

12. 已知 13.

,则

____. 的值是 .

14.

中,



,则

=

.

三、解答题, 本大题共4小题,每小题12分,共48分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算 步骤.

15. 求函数



上的最值.

16. 已知



为锐角,



,求

.

17. 已知

,求证:

.

18. 已知函数 函数 函数 函数 的最小正周期; 的单调区间; 图象的对称轴和对称中心.

(其中

) ,求:

专题五《三角恒等变换》综合检测
一、选择题

题号 答案 二、填空题

1 B

2 D

3 C

4 A

5 C

6 B

7 B

8 A

9 C

10 D

11. 三、解答题

12.

13.

14.

15. ymax=

,

ymin=-3

16.

17. 略

18. (1)

(2)增区间:

,减区间:

,其中

Z

(3)对称轴方程:

对称中心:

,其中

Z

人教版\必修4第三章 三角恒等变换\单元质量评估
一、选择题(本大题共12小 题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1.函数 y=sinx+cosx 的最小正周期是( )

(A)

(B)π

(C)2π

(D)4π

【解析】选 C.∵y=sinx+cosx

=2sin(x+ ∴T=2π .

),

2.化简 cos ( (A)sin2α (C)cos2α

2

-α )-sin ( (B)-sin2α (D)-cos2α

2

-α )得(

)

【解析】选 A.原式=cos(

-2α )=sin2α .

【解析】选 A.sin89°cos14°-sin1°cos76° =sin89°cos14°-cos89°sin14°

= sin75°=sin(45°+30 °) =

6.(2009?平遥高一检测)若0<α <β <π 4,sinα +cosα =a, sinβ +cosβ =b,则( (A)a>b (B)a<b ) (C)ab<1 (D)ab>2

19.(12分)求函数 y=7- 4sinxcosx+4cos x-4cos x 的最大值和最小值.

2

4

21.(12分) (2009?新余高一检测)已知函数 f(x)=2sin x+ sin x cosx+1,求: (1)f(x)的最小正周期; (2)f(x)的单调递增区间; (3)f(x)在[0, ]上的最值.

2

22.(12分) (2009?重庆高考)设函数 f(x)=sin(

x-

)

-2cos

2

x+1.

(1)求 f(x)的最小正 周期;

(2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称,求当 x∈[0,

]时,y=g(x)的最大值.

人教版\必修5第一章 解三角形\解斜三角形

【课内四基达标】 一、选择题 1.已知△ABC 中,a=4,c=2,则角 C 的取值范围是( A.0°<C<90° C.0°<C≤30° )

B.30°<C≤60° D.30°<C<90°

2.在△ABC 中,A= A.3 B.4

,B=

,a=12,则 b 为( C.4 ) C.A≥B ,c= +

) D.4

3.在△ABC 中,sinA>sinB,则( A.A>B B.A<B

D.无法确定 ) D.75°

4.在△ABC 中,a=2,b=2 A.30° B.45°

,则 A 的度数为(

C.60° )

5.在△ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等于( A.30°或60° C.60°或120° 6.已知△ABC 中,3b=2 A.直角三角形 C.等边三角形

B.45°或60° D.30°或150° asinB,(a2+c2-b2)?b=(a2+b2-c2)?c,则△ABC 的形状是( B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 ) )

7.若△ABC 中,sin2B=sinA?sinC,则 cos2B+cosB+cos(A-C)的值等于(

A.-1

B.0

C.1

D. )

8.已知△ABC 中,B=30°,b=1,c=

,则△ABC 的面积为(

A.

B.



C.

或 )

D.

9.在△ABC 中,a=b=2,c=3,则 sinA 的值等于(

A.

B.

C.

D.

10.在△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=a∶(a+1)∶2a,则 a 的取值范围是(

)

A.a>2

B.a>

C.a>0

D.a>1

二、填空题 11.已知直径为2的圆的内接三角形△ABC 的面积为1,则 abc= 12.在△ABC 中,a=3,c=10,AB 边上的中线为7,则 b= 13.已知锐角三角形的三边分别为:2,3,x,则 x 的取值范围是 14.△ABC 中, sinA∶sinB∶sinC=( -1)∶( +1)∶ , 则其最大角为 . . . .

15.△ABC 中,cosB=

,cosC=

,且 b=2,则 a=

.

三、解答题

16.在△ABC 中,已知 (1)判断此三角形的形状;





.

(2)若 c=5,求△ABC 的内切圆半径.

17.在等腰△ABC 中,AB=AC=8,BC=6,D、E 是 AB、AC 上两点,且 S△ADE= (1)设 AD=x,AE=y,求 x?y; (2)用 x,y 表示 DE; (3)求 DE 的最小值.

S△ABC.

18.设 a,b,c 分别为△ABC 的三边,且 a2+b2=mc2,若(cotA+cotB)?tanC=

,求 m.

19.在△ABC 中,a-b=4,a+c=2b,且两较小角之和为60°,求三边长.

20.某船在 A 处看灯塔 B 在其北偏东75°,距离为12 30°,距离为8

nmile,在 A 处看灯塔 C 在其北偏西

nmile,船由 A 向正北航行到 D 处时,再看灯塔 B 在其北偏东120°,求:

(1)A 处与 D 处的距离; (2)灯塔 C 与 D 处的距离.

【能力素质提高】 1.已知在△ABC 中,若 a2tanB=b2tanA

(1)将已知条件转变成



,再由



,可将有关边、角的信息全部转换成角的

信息,从而可判断出该三角形的形状,请完成; (2)换一个转换的办法,再做一次.

【综合实践创新】 已知∠ACD=90°,∠BCD=60°,∠BDC=75°,∠ADC=30°,CD=1,求 AB.

参考答案 【课内四基达标】 1.C 2.D 3.A 4.A 5.D 6.C 7.C 8.B 9.D 10.B

11.4

12.

13.

<x<

14.

15.

16.(1)





≠1

sin2A=sin2B

A+B=

△ABC 为 Rt△,(2)c=5

b

=4,a=3,r=

(a+b-c)=1

17.(1)S△ADE=

S△ABC

xysinA=

?

?8?6sinA

xy=32

(2)cosA=

,OE=





=3

18.(cotA+cotB)tanC=

?



?



a2+b2=2002c2 cos120°=b2+c2+bc

m=2001 a=14,b=10,c=6

19.a=8+c,b=4+c,a2=b2+c2-2bc 20.AD=24nmile,CD=8 【能力素质提高】 nmile;

1.(1)略;(2)(将有关边角的信息转换成边的信息,a2tanB=b2tanA



= 【综合实践创新】

a=b 或 c2=a2+b2

AB=

人教版\必修 5 第一章 解三角形\解斜三角形应用 举例同步达纲练习
【同步达纲练习】 1.某人向正东方向走 x 千米后,他向右转 150°,然后朝新方向走 3 千米,结果他离出发点 恰好 A. 千米,那么 x 的值为( B.2 ) C.2 D.3

2.有一长为 1 公里的斜坡,它的倾斜角为 20°,现要将倾斜角改成 10°,则坡度要伸长 ( ) A.1 B.sin10° C.cos10° D.cos20°

3.一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15°,与灯塔 S 相距离 20 海里,随后货 轮按北偏西 30°的方向航行 30 分钟后,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为( A.20( C.20( + + )海里/小时 )海里/小时 B.20( D.20( )海里/小时 )海里/小时 ) )

4.如图,在河岸 AC 测量河的宽度,测量下列四组数据,较适宜的是(

A.c 与 a

B.c 与 b

C.a 与 β )

D.b 与 α

5.若 P 在 Q 的北偏东 44°50′,则 Q 在 P 的( A.东偏北 45°10′ C.南偏西 44°50′

B.东偏北 45°50′ D.西偏南 45°50′ )

6.若水渠侧面的坡度 i=m∶n,则 sinα 等于(

A.

B.

C.

D. ) D.150° )

7.在△ABC 中,如果(a+b+c)(b+c-a)=3bc,那么 A 等于( A.30° B.60° C.120°

8.△ABC 中,sinA∶sinB∶sinC=m∶(m+1)∶2m,则 m 的取值范围是( A.m>2 B.m<0 C.m>D.m>

二、填空题 1.在△ABC 中,若有 = ,则△ABC 是 三角形.

2.海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角,从 B 岛望 C 岛 和 A 岛成 75°的视角,那么 B 岛和 C 岛间的距离是 3.一段河堤的横截面为梯形 ABCD,迎水坡 AB 的坡度 i= i′=1∶2,现高 24 米,坝顶 BC=4 米,求 AB= ,AD= . ∶1,背水坡 CD 的坡度是 .(结果保留根号)

4.一树干被台风吹断,折断部分与残存树干成 30°角,树干底部与树尖着地处相距 5 米, 求树干原来的高度 . .

5.当太阳光线与地面成 θ 角时,长为 l 的木棍在地面上的影子最长为

6.某车向正南方向开了 S 千米后,向右转 θ (0°<θ <90°=角,然后又开了 m 千米,结 果该车离出发地点恰好 n 千米,则 S 等于 (用 m、n 及 θ 表示).

三、解答题 1.把一根长为 30cm 的木条锯成两段, 分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC, 且∠ABC=120°. 问怎么锯断才能使第三条边 AC 最短.

2.在一幢高 40 米的楼顶测得对面一塔顶的仰角为 60°,塔底的俯角为 30°,问该塔的高 为 米?

3.现有三个向量 、 、 , 若 + + |、| |.

= ,< , >=135°,< , >=120°,| |=2,求|

【素质优化训练】 1.空中有气球,在它的正西方 A 点,测得它的的仰角为 45°,同时在它南偏东 45°的 B 点, 测得它的仰角为 67°30′,A、B 两点间的距离为 266m,这两测点均离地 1m,问当测量时,这气 球离地多少米?

2.甲、乙两船在岛 B 的正南 A 处,AB=10 海里,甲船自 A 处 4 海里/时的速度向正北航行, 同时乙船以 6 海里/时的速度自岛 B 出发,向北偏东 60°方向驶去,问几分钟后两船相距最近?

3.如图,货轮在海上以 40 千米/小时的速度由 B 向 C 航行,航行的方位角∠NBC=140°,A 处有灯塔,其方位角∠NBA=110°,在 C 处观察灯塔 A 的方位角∠N′CA=35°,由 B 到 C 需航行半 小时,求 C 到灯塔 A 的距离.

【生活实际运用】 如图, 为了测量河对岸两个建筑物 C、 之间的距离, D 在河岸这边取点 A、 测得∠BAC=45°, B, ∠DAC=75°,∠ABD=30°,∠DBC=45°,又 AB= 之间的距离. 千米,A、B、C、D 在同一平面内.试求 C、D

解:∵∠BAC=∠BAC+∠DAC =45°+75° =120° 又∵∠ABD=30°,∴∠ADB=30° ∴AD=AB= ∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+45°=75° 而∠BAC=45°∴∠ACB=60°

∴AC= 在△ABC 中,

=

=

.

CD =AD +AC -2AD?ACcos∠CAD

2

2

2

=3+2+ =5 ∴CD=

-2

?

?

(km)

【知识验证实验】 海中有岛 A,已知 A 岛四周 8 海里内有暗礁,今有一货轮由西向东航行,望见 A 岛在北 75° 东,行 20 海里后,见此岛在北 30°东,如货轮不改变航向继续前进,问有无触礁危险. -5 )海里,而 15 -5 >8,故无

提示:可以求出 A 岛到货轮航线的距离为(15 触礁危险.

【知识探究学习】 设人造卫星 S 某一时刻正好在 A(北极点)的天顶(即在 OA 的延长线上,O 为地心),这时, 从另一地点 B 看卫星 S,与 B 点的天顶 B′成一角度∠B′BS.若 B 点离 A 点越远,则这个角度越 大,一般当这个角度大于 70°时,就看不到卫星 S 了.又已知卫星离地面的高度 AS=439 千米.地 球的半径为 6371 千米.试求地球上能看到卫星 S 的区域的纬度的范围? 解:由题意知,能看到卫星的地区就是图中 ∠C′CS=70°(见示意图) 绕 OS 旋转而成的球冠的表面,其中

在△OCS 中,OC=6371,OS=OA+AS=6371+439=6810. ∠SCO=180°-70°=110°

根据正弦定理, 所以 sin∠OSC. = =

=

=0.8791,

∠OSC=61°32′,∠SOC′=∠SCC′-∠OSC=70°-61°32′=8°28′ ∴点 C 的纬度是北纬 90°-8°28′=81°32′,故所求的能看到卫星 S 的区域在北纬 81°32′以上.

参考答案 【同步达纲练习】 一、1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 2.5 海里 6.A 7.B 8.D 米,52+8 米 4.(10+5 )

二、1.等腰或直角 米 5. 6.

3.16

-mcosθ 2.160 3. , +1

三、1.锯成相等两段时 【素质优化训练】 1.约 201m 2.行驶 21

min 后

3.10(

-

)km

人教版\必修 5 第一章 解三角形\正弦定理、余弦 定理
【课内四基达标】 一、选择题 1.在△ABC 中, = = =k,则 k 等于( )

A.△ABC 的外接圆半径 R C.△ABC 的内切圆半径 r

B.△ABC 外接圆直径 2R D.△ABC 内切圆直径 2r ) +5 ) D.60°或 120° D.15 -5

2.△ABC 中,a=10,B=60°,C=75°,则 b=( A.5 B.5 C.15 ,则 B=( C.120° )

3.△ABC 中,A=45°,a=2,b= A.30°
2

B.60°
2 2

4.在△ABC 中,c =a +b +ab,则角 C 等于( A.120° B.60°

C.45° ∶2,则角 A 为( C.90°
2 2

D.30° ) D.120° )

5.在△ABC 中,a∶b∶c=1∶ A.30° B.60°
2

6.在△ABC 中,sin A=sin B+sin C,则△ABC 为( A.直角三角形 C.等边三角形
2 2

B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

7.已知三角形三边长分别为:a +a+1,a -1,2a+1(a>1),则该三角形任意两角之和的最小值 为( ) A.30° 8.在△ABC 中, A.直角三角形 C.等边三角形 9.有长度为 5,12,14 的三线段,则( A.三线段可构成一个锐角三角形 C.三线段构成一个直角三角形 B.60° = C.105° ,则该三角形为( ) D.120°

B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

B.三线段可构成一个钝角三角形 D.不能构成三角形 )

10.已知△ABC 中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC 的面积为( A.9 B.9 C.18 D.18

二、填空题

11.在△ABC 中,A=45°,B=75°,c= 12.在△ABC 中,a= ,b=

,则 a= = . . . .

.

,c=1,则 tan

13.在△ABC 中,a=1,b=2,则角 A 的取值范围是 14.已知 sinA∶sinB∶sinC=7∶8∶13,则 B+C= 15.在△ABC 中,(a+b+c)(a-b+c)=ac,则 B=

三、解答题 16.在△ABC 中, (1)若 a=10,b=5 ,A=45°,求 B; ∶( +1),求最小角.

(2)若 sinA∶sinB∶sinC==2∶ 17.在△ABC 中,sinC=

(1)求证:

+



并化简这个结论;

(2)利用(1)的结论,判断此三角形的形状.

18.在△ABC 中, C=60°, 求证: (1)c =a +b -ab;(2) + =1.

2

2

2



,



;(3)

参考答案 1.B 2.A 3.D 4.A 5.A 6.A 7.D(先求出最大值为 120°) 8.B 9.B 10.B

11.

12.2+

13.0°<A≤30° (2)A=45°

14.π -arc(cos

)

15.120°

16.(1)B=60°或 120°

17.(1)sinC=

cosA+cosB=

+ △ABC 为 Rt△ 18.(1)略 +



a(b +c -a )+b?(a +c -b )=2ab(a+b)

2

2

2

2

2

2

(a+b)(a +b -c )=0

2

2

2

(2)由 a -c =ab-b ,同样可得: = + =1

2

2

2



,(3)由(2)易得:

人教版\必修 5 第一章 解三角形\正弦定理、余弦 定理同步达纲练习
【同步达纲练习】 一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a=5 A.105° B.60° ,c=10,A=30°,则 B 等于( C.15° ) D.105°或 15° )

2.在△ABC 中,若 b=2 A.0°<A<30° C.0°<A<90°

,a=2,且三角形有解,则 A 的取值范围是( B.0°<A≤45° D.30°<A<60°

3.在△ABC 中,若 A.等腰三角形 C.直角三角形

=

=

,则△ABC 的形状是( B.等边三角形 D.等腰直角三角形

)

4.在△ABC 中,若 a=2,b=2 A.30° B.45°

,c=

+ C.60°

,则∠A 的度数是( D.75°

)

5.设 m、m+1、m+2 是钝角三角形的三边长,则实数 m 的取值范围是( A.0<m<3 B.1<m<3 C.3<m<4 D.4<m<6

)

6.在△ABC 中,已知 sinA∶sinB∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于( A.75° B.120° C.135° ,则角 C 的度数是( C.60°或 120° D.150° ) D.45° ,则 a 的值是( D.49 ) )

)

7.△ABC 中,若 c= A.60° B.120°

8.在△ABC 中,若 A=60°,b=16,且此三角形的面积 S=220 A. B.25 C.55

9.在△ABC 中,若 a?cosA=b?cosB,则△ABC 是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角 ) D.仅有两个

10.在钝角三角形 ABC 中,三边长是连续自然数,则这样的三角形( A.不存在 B.有无数多个 C.仅有一个

二、填空题 1.在△ABC 中,A=120°,B=30°,a=8,则 c= .

2.在△ABC 中,已知 a=3

,cosC=

,S△ABC=4

,则 b=

. . ,

3.已知锐角三角形边长分别为 2、3、x,则 x 的取值范围是 4.在△ABC 中,A=60°,b∶c=8∶5,其内切圆关径 r=2 b= ,c= . ,则 = ,则 a=

5.在△ABC 中,A=60°,b=1,面积为

. .

6.在△ABC 中,已知 A、B、C 成等差数列,且边 b=2,则外接圆半径 R=

三、解答题 1.设三角形三边长分别为 15,19,23,现将三边长各缩短 x 后,围成一个钝角三角形,求 x 的取值范围.

2.在△ABC 中,已知它的三边 a,b,c 成等比数列,试证明:tan

tan



.

3.已知在△ABC 中,c=2

,a>b,C=

,tanA?tanB=6,试求 a,b 以及此三角形的面积.

【素质优化训练】 1.在△ABC 中,已知 a-b=4,a+c=2b,且最大角为 120°,求△ABC 的三边长.

2.如图, 60°的∠XAY 内部有一点 P, 到边 AX 的距离是 PC=2, 到边 AY 的距离是 PB=11, 在 P P 求点 P 到顶点 A 的距离.

3.在△ABC 中,若 C=3B,求

的取值范围.

4.已知△ABC 是钝角三角形,∠B>90°,a=2x-5,b=x+1,c=4,求 x 的取值范围.

5.在△ABC 中,已知 cos B+cos C=1+cos A,且 sinA=2sinBcosC,cosC=sinB,求证:b=c 且 A=90°.

2

2

2

6.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a +c =2001c ,求

2

2

2

的值.

【生活实际运用】 某人在塔的正东方沿南 60°西的道路前进 40 米后,望见塔在东北方向上,若沿途测得塔的 最大仰角为 30°,求塔高.

解:如图,由题设条件知: ∠CAB=∠1=90°-60°=30° ∠ABC=45°-∠1=45°-30°=15° ∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC =180°-30°-15°=135° 又∵AB=40 米. 在△ABC 中,由正弦定理知: = ∴AC= =40 =40 sin(45°-30°)

(sin45°cos30°-cos45°sin30°)

=40 =20(

( -1)

?

-

?

)

在图中, C 作 AB 的垂线, 过 设垂足为 E, 则沿 AB 测得塔的最大仰角就是∠CED, ∴∠CED=30°. 在 Rt△ACE 中,EC=AC?sinBAC=AC?sin30°=20?( -1)? =10( -1)

在 Rt△DCE 中,塔高 CD=CE?tan∠CED=10(

-1)?tan30°=

(米).

【知识验证实验】 外国船只除特许者外,不得进入离我国海岸线 d 海里以内的海域.设 B 和 C 是我国的两个设 在海边的观测站,B 与 C 之间的距离为 m 海里,海岸线是过 B、C 的直线.一外国船在 A 点处,现 测得∠ABC=α 、 ∠ACB=β .试求 α 、 满足什么关系时, β 就应向示经特许的外国船只 A 发出警告?

解:如图所示,作 AD⊥BC,垂足为 D,在△ABC 中, ∠BAC=180°-(α +β )∴sin∠BAC=sin(α +β ). 由正弦定理得:

= ∵BC=m,故有:

,

=

.

AB= 由于 S△ABC=

,AC= BC?AD= m?AD 且 S△ABC= AB?AC?sin(α +β ).

所以

?

?sin(α +β )=

mAD.

从而有:AD=

因此,当 AD≤d,即

≤d 时,就应向外国船只 A 发出警发.

【知识探究学习】 如图,在四边形 ABCD 中,BC=m,DC=2m,四个内角 A、B、C、D 之比为 3∶7∶4∶10,试求△ABD 的面积.

解:由于四个内角 A、B、C、D 比为 3∶7∶4∶10,所以可设它们的大小依次为:3x、7x、 4x、10x.由四边形的内角和为 360°,所以有: 3x+7x+4x+10x=360°,可求得:x=15°. 在△BCD 中,由余弦定理得; BD =BC +DC -2BC?DC?cosC. =m +(2m) -2?m?(2m)cos60° =3m ∴BD=
2 2 2 2 2 2

m.
2 2 2

这时,在△BCD 中,BD +BC =DC ,所以△BCD 是直角三角形,DC 是斜边. ∴∠CDB=30°,∠ADB=120°.

在△ABD 中,由正弦定理得:AB= ∠ABD=105°-90°=15°,BD= m.

=

=

m,另外

所以 S△ADB=

AB?BD?sin15°=

?

m?

m?sin15°

=

m.

2

参考答案 【同步达纲练习】 一、1.D 2.B 3.B 4.A 5.B 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C

二、1. 三、1.3<x<11

2.2

3.(



)

4.14,10,16

5.

6.

2.提示可证:a+c≥2b,再得 sinA+sinC≥2sinB,和差化积可得结论

3.a=

,b=

,S△=

【素质优化训练】 1.a=14,b=10,c=6 2.14 3.1< <3 4. <x<4 5.可求出 B=C=45° 6.1000

人教版\必修 5 第二章 数列\等比数列的前 n 项和
一、选择题 1.已知 a、1、c 成等差数列, A.1 C.1 或 2.设 、1、 成等比数列,则 等于( )

B.3 D.3 或 是由正数组成的等比数列,公比 q=2,且 等于( ) B. D. 是数列 的前 n 项和, (p∈R 且 n∈N),那么数列 ( ) ,那么

A. C. 3.已知

A.是等比数列 B.当 p≠0 时是等比数列 C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列 D.不是等比数列 4.设直角三角形 ABC 的三边成等比数列,公比为 q,则 的值为( )

A.2

B.

C. 5.等比数列

D. 的首项为 1,公比为 q,前 n 项的和是 S,由原数列各项的倒数组成一个

新数列

,则

的前 n 项之和是(



A.

B.

C. 6.在等比数列 ( A. B. C. D.

D. 中,已知对任意自然数 n, ) ,那么

二、填空题 7.设正数 a、b、c 成等差数列,x、y、z 成等比数列,则(b-c)lgx+(c-a)?lgy+ (a-b)lgz=_______________。 8.等比数列的前三项为 a,2a+2,3a+3,则这个数列的第___________项的值为 。

9.已知等比数列前 10 项的和是 10,前 20 项的和是 30,则前 30 项的和是___________。

三、解答题 10.设数列 的前 n 项和为 ,若 , 且 (n≥2

且 n∈N),试判断数列

是不是等比数列。

11.已知数列 求证:

中,

, 的通项公式。

,若



为等比数列,并求

12.设

为数列 。

的前 n 项和,且

(n∈N),数列

的通项公式

(1)求证:数列 (2) 若

是等比数列; , 则称 d 为数列 ,求数列 和 的公

共项。按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列

的通项公式。

13.数列

的前 n 项和

和第 n 项

之间满足

。求





14.求数列的前 n 项和: (1)

(2) (3)

(4)

15.数列 列

中,

, 是递减数列。

,数列

中,

,其中

是数

的前 n 项的和,证明数列

16.已知正项等比数列

的项数为偶数,它的所有项之和等于它的偶数之和的 4 倍,第

二项与第四项之积是第三项与第四项之和的 9 倍, (1)求首项 (2)数列 与公比 q; 的前几项之和最大。

17.一个数列

,当 n 为奇数时,

,当 n 为偶数时,

,求这个数列

的前 2m 项的和(m 是正整数)。

18.设等比数列的前 n 项和为

,积为

,倒数和为

,求证:



19.已知等比数列

的首项 、

,公比 q>–1,且 q≠0,设数列 的前 n 项和分别为 、 。

的通项

(n∈N),记 (1)证明: (2)当 ;

时,求公比 q 的取值范围。

20.等比数列

的公比 q>1,其第 17 项的平方等于第 24 项,求使

成立的自然数 n 的取值范围。

参考答案

1.C

由题意可得

, ∴



∴ 2.B

或 利用等比数列的性质,将数列 ,则

。故选 C。 的前 30 项分成三组,于是设 , , ,于

是有 ∴ 3. D 数列 由 为等比数列 ,又 x∈R,∴x=1,∴ , 则当 n=1 时,

。故选 B。 ; n≥2 时, 当 应适合等式 。 。但满足此

,p-1≠0 且

条件的实数 p 不存在。故选 D。 4.C 则有 设直角三角形三边分别为 a、aq 和 。

∵a≠0,∴

,∴

。故选 C。

5.C

举特殊数列:1,2,4,8,计算得 S=15,

,也可以用直接法:当 q

≠1 时, 6.D ∴ ∵ ,q=2,∴ ,且 是以

,当 q=1 时显然满足。故选 C。 为等比数列 为首项,以 4 为公比的等比数列。

∴ 7.0

。故选 D。 设 b-a=d,则 b-c=-d,c-a=2d。由已知 ,则原式

。 8.4 ∵ , ,∴n=4。 等比数列记为 ,公比为 q。 ,∴a=-4 或 a=-1(舍) ,∴可求出

∴此等比数列 可求出 9.70

(2)÷(1)得

,∴



∴ =10?(1+2+4)=70。

10.解:一个数列是否为等比数列的判断标准是 应设法由关于 ∵ ∴ 的递推公式推导出关于

(n∈N),其中 q 为非零常数,

的递推公式,然后对照标准进行判断。

(n≥2,n∈N), 。

∴ ∴ , ,?,



(n≥2,n∈N)。 ,?构成公比为 2 的等比数列,又 , ,



,∴数列

不是等比数列。

11.解:∵

,∴

又∵



∴ ∴数列 ∴

且 是以 的首项,以 为公比的等比数列。





∴ 12.解:(1)当 n=1 时,由 ,得 ;当 n≥2 时,

,得 所以 (2)由 设 是首项为 3、公比为 3 的等比数列。 ,得 是数列 。 中的第 m 项,又是



中的第 n 项,即



因为 不是 {9m+10}项, 所以 。 中的项,而 是 中的第

因为 所以

。 是首项为 9、公比为 9 的等比数列, 与 的关系再与 。 (n≥2)结合起来即可求出

13.解:由已知条件可导出 的基本元素

和 ,然后直接代入通项公式和求和公式。 ,即 , ,又 , ,即 , 是等比数列, 。 , , (n≥2), 。

由已知原式可化为 ∴ 即 ∴ ∴ ∴ , ,∴

14.解:(1)当 a=1 时, 当 a≠1 时, ① ②

∴①-②得:





(2)∵ ∴ ∴

(3)∵ ∴



(4)∵ ∴ ∴

∴ 15.解:由已知 是等比数列,且 ,(1)若 p=1,由 知 ,



,数列

为递减数列。(2)若 p≠1,则











,即

,由已知 为递减数列。



,∴

,则

,综合

(1)、(2),∴数列

16.解:(1)由条件 q≠1,设项数为 2k,则有

解得 (2)因为 所以 则数列





。 为递减数列且

若数列

前 n 项的和最大,则有

所以 n=5,故此数列前 5 项之和最大。 17.解:数列 的第 1,3,5,?,(2m-1)项依次为 6,16,26,?,5(2m-1)+1。

它们形成公差为 10 的等差数列共有 m 项。因此它们的和为 。 数列 的第 2, 6, 2m 依次为 2, 4, ?, , , ?,

,它们形成公比为 2 的等比数列,共有 m 项,因此它们的和为

,所以数列 18.解:设此等比数列的首项为 ∵

的前 2m 项的和为 ,公比为 q, ,





。 19. (1) 解: ∵ 知 , ,当-1<q<0 时,知 , ∴ ,1-q>0, , q>0 时, 当 由 , ,



。故当 q>-1,且 q≠0 时,



(2)由

知,



且 q≠0 时,



20.解:∵

成等比数列,∴

也成等比数列,首项为

,公比为



∵q>1,∴ 又∵ ,∴

,∴ ,



,∴

,∴ ,∴n≥20, 。

∵q>1,∴19-n<0,∴n>19,∵

人教版\必修 5 第二章 数列\数列单元检测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 )

1.某数列既是等差数列,又是等比数列,则这个数列为( A.常数列 B.公差为零的等差数列 C.公比为 1 的等比数列 D.这样的数列不存在



2.设等差数列{an}的公差为 d,若它的前 n 项和 Sn=-n2,则( A.an=2n-1,d=-2 B.an=2n-1,d=2 C.an=-2n+1,d=-2 D.an=-2n+1,d=2 3.公差不为零的等差数列的第 2,3,6 项组成等比数列,则公比为( A.1 C.3





B.2 D .4


4.已知{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么 a3+a5 等于( A.5 C.15

B.10 D.20

5.已知数列 A.8 C.11

,?,它的前 n 项的乘积大于 100000,则正整数 n 的最小值是(



B.10 D.12


6.在等差数列{an}中,a18=95,a32=123,an=199,则 n 等于( A.78 C.70

B.74 D.66


7.设等差数列{an}满足 3a8=5a13,且 a1>0,Sn 为其前 n 项之和,则 Sn 中最大的是( A.S21 C.S11

B.S20 D.S10


8.已知{an}的前 n 项和 Sn=1-5+9-13+17-21+?+(-1)n-1?(4n-3),则 S15+S22-S31 的值为( A.13 C.46 9.一个等差数列的前 4 项之和是 40,最后 4 项之和为 80,所有项之和是 210,则项数 n 是( A.12 B.-76 D.76


B.14

C.16

D.18


10.等差数列{an}中,前 2m 项之和 S2m=100,且 am+1+am+2+?+a3m=200,则 am+1+am+2+?+a2m 等于( A.50 C.100 B.75 D.125

11.某人于 2000 年 7 月 1 日去银行存款 a 元,存的是一年定期储蓄,计划 2001 年 7 月 1 日将到期存款的本息一起取出再加 a 元之后还存一年定期储蓄,此后
每年的 7 月 1 日他都按照同样的方法在银行取款和存款. 设银行一年定期储蓄的年利率 r 不变, 则到 2005 年 7 月 1 日他将所有的存款和本息全部取出时, 取出的钱共为 ( )

A.a(1+r)4 元 B.a(1+r)5 元 C.a(1+r)6 元

D.

[(1+r)6-(1+r)]元

12.若{an}的通项公式为 an=

,则前 n 项和为(



A.Sn=1-

B.Sn=2-

C.Sn=n(1-

)

D.Sn=2-

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上)

13.已知等差数列{an}的公差不为 0,且 a1,a2,a4 成等比数列,则 14.已知等比数列前三项和为 80,前六项和为 6560,则此数列的公比为__________.

=__________.

15.在等差数列{an}中,已知公差 d=5,前 20 项的和 S20=400,则(a22+a42+?+a202)-(a12+a32+?+a192)=__________. 16.设{an}是正数组成的数列,其前 n 项之和为 Sn,并且对所有正整数 n,an 和 1 的等差中项等于 Sn 和 1 的等比中项,则{an}的前三项是__________.

三、解答题(本大题共 3 小题,共 36 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)
有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是 8,第二个数与第三个数的和是 4,求这四个数.

18.(本小题满分 12 分)

某房地产公司推出的售房有两套方案:一种是分期付款的方案,当年要求买房户首付 3 万元,然后从第二年起连续十年,每年付款 8000 元;另一种方案是一次性 付款,优惠价为 9 万元,若一买房户有现金 9 万元可以用于购房,又考虑到另有一项投资年收益率为 5%,他该采用哪种方案购房更合算?请说明理由.(参考数据

1.059≈1.551,1.0510≈1.628)

19.(本小题满分 14 分)
某林场原有森林木材量为 a, 木材以每年 25%的增长率生成, 而每年要砍伐的木材量为 x, 为使经过 20 年木材存有量翻两番(即 4 倍), 求每年砍伐量 x(lg2=0. . 3)

参考答案

一、1.C

2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.B 9.B 10.B 11.D 12.D

二、13.

14.3

15.2000 16.1,3,5

三、17.-1,1,3,9

18.解:如果分期付款,到第十一年付清后看其是否有结余,设首次付款后第 n 年的结余数为 an,
∵a1=(9-3)?(1+0.5%)-0.8=6?1.05-0.8

a2=(6?1.05-0.8)?1.05-0.8=6?1.052-0.8?(1+1.05)
??

a10=6?1.0510-0.8(1+1.05+?+1.059)

=6?1.0510-0.8? =6?1.0510-16?(1.0510-1) =16-10?1.0510 ≈16-16.28 =-0.28(万元) 所以一次性付款合算.

19.解:依题意得各年末木材存有量如下:

第一年:

a-x,

第二年:a(

)2-x(1+

)

??

第二十年:a(

)20+4x-4x(

)20

于是:a(

)20+4x-4x(

)20=4a

令 y=(

)20,而 lg2=0.3

即 x=

,故每年砍伐量为



人教版\必修 5 第二章 数列\数列单元综合测试
一、选择题 1.在数列 1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,?中,x,y,z 的值依次是( A.42,41,123 B.13,39,123 C.24,23,123 D.28,27,123 )

2.已知 a,b,c 成等比数列,a,x,b 和 b,y,c 都成等差数列,且 xy≠0,则 值为( A.1 C.3 3.设有公差不等于零的等差数列 , A. C. ,那么( ) B. D. ) B.2 D.4 与等比数列 ,两个数列有关系: ,



4.已知数列 A.等比数列 B.等差数列

满足

,且

,则此数列是(



C.既等差又等比数列 D.既非等差又非等比数列 5.已知 a, 系是( ) B.ab≥AG D.不能确定 , ,?, ,?的每相邻两项中间插入 3 个数,使它们与原数列构成一个 ) ,A 为 a、b 的等差中项,G 为 a、b 的等比中项,则 ab 与 AG 的大小关

A.ab=AG C.ab≤AG 6.在数列

新数列,则新数列的第 29 项( A.不是原数列的项 B.是原数列的第 7 项 C.是原数列的第 8 项 D.是原数列的第 9 项

7. 数列 A.|q|<1 C.

为一等比数列, 首项为

, 公比为 q, 则数列 B. ,q<1

为减数列的充要条件是 (



,q<1 或

,q<1 的公差为 d,则

D.以上都不对 有有限个负数项的条件是( )

8.无穷等差数列 A. B. C. D. ,d>0 ,d<0 ,d>0 ,d<0

9.在等差数列 A. C. 10. 已知等比数列 A. B. C. D.不能确定

中,



, B. D.

是其前 n 项和,则(



的公比 q<0, 其前 n 项和为

, 则



的大小关系是 (



11.一个等比数列的前 n 项和

,则该数列各项和为(



A.

B.1

C.

D.a∈R )

12.一直角三角形三边边长成等比数列,则( A.三边边长之比为 3:4:5 B.三边边长之比为

C.较小锐角的正弦值

D.较大锐角的正弦值

13.已知数列 则 A.13 C.46

的前 n 项和为 的值是( ) B.-76 D.76



14.在数列

中,

,且满足

(n≥2),则数列

是(



A.递增等差数列 B.递增等比数列 C.递减数列 D.以上都不对 15.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,??中,第 100 项是( A.10 C.14 B.13 D.100 )

二、填空题 16.若 lgx,lg(3x-2),lg(3x+2)成等差数列,则 的值是________。

17.在 7 和 56 之间分别插入实数 a、b 与 c、d,使 7、a、b、56 成等差数列,且使 7、c、 d、56 成等比数列,则 a+b+c+d=__________。 18.在公差为正的等差数列 通项公式 19.二数列 则 、 ;若 中,若 、 是方程 。 , 。 ,(m,n∈N),若 , 的两个实根,则

,前 n 项和 满足 ,则

三、解答题

20.已知数列 公式 。

的前 n 项和是

,且对于任意自然数 n,

。求通项

21.某正项等比数列



,?,

,各项和是其偶项和的 3 倍,各项积是 的前 n 项和有最大值?求出这个最大值。

。已知

,问 n 为何值时,数列

22.已知数列

满足





(n=2,3?),求



23.已知两数列:3,7,11,?,139;2,9,16,?,142。试求它们的所有公共项之和。

24.求数列

的前 n 项的和



25.求方程

的正整数解。

26.一个整数被 6 除余 2,被 7 除余 3,从 1 到 1000 中,试求这样数的个数并求它们的和。

参考答案 1.A 2.B 观察 3,6,15 可发现 x=14?3,y=x-1,z=3y。故选 A。 ∵ ,2x=a+b,2y=b+c,

∴ 。故选 B。

3.C 消去 d 得



,依题意有 ① , 。设 ,则

若 a=0,则 d=0 与题意不符,故 a≠0,从①式得 若 ,则 d=0,故 ,从而 。且从①式可得

,故 n=63。故选 C。 4.B 由已知等式得





,?

这 n-1 个等式相乘得

又 ∴ 5.D

,∴

是等差数列。故选 B。 因为 , ,则 的符号不能确定。故选 D。

6.C

原数列的项与后面插入的三个数做一个组,则 7 组是

28 项,那么第 29 项仍然是原数列的项,显然是第 8 项,故选 C。 7.D 8.C 定是首项 当 q<0 时,数列不单调故 A、B、C 全否,故选 D。 无穷数列有有限个负项,此数列必为增数列,即 d>0,即是递增数列又有负项,故一 。故选 C。

9.B ∴ 设

公差

∴n≤7 且 则

, 。故选 B。

10.A



。故选 A。

11.B

当 q≠1 时,

,比较 得 a=1, ,首项

∴ 12.C

。故选 B。 令三边长为 a、b、c,且 a<b<c

较小角为α ,则

依题意 (2)代入(1)得 , ∵c≠0,则

解得

(负值舍去)

∴ 13.B 对数列

。故选 C。 的相邻两项结合后,再求和。注意 n 为奇数时可从第二项起相邻两项

结合。故选 B。

14.A







则 15.C 16. 由 17.105

是以 由

为公差的等差数列,且为递增数列。故选 A。 得 n≤13,∴n+1=14。故选 C。

得 x=2。

由 a+b=7+56, 18.2n n(n+1)

,c=7q,

求得。

设公差为 d(d>0),根据题意得 ∴ 19. ,d=2,∴ ,

即 。

设 n=1 代入条件得,(1) 20.解:∵ ∴ ,

,(2)



,即



∴ ∴ ∴

是以

为首项,3 为公差的等差数列,

21.解:依题意有

,解得

,∵



∴ ∴ 故

, ,则 ,

, ∴n=10, 令 13-n<0,得 n>13, ,

, ,

的前 12 项和与前 13 项和相等且最大,此和为 12+11+?+2+1=78。

22. 由 解:







= ∴ 。



23.解:数列 3,7,11,?,139 是首项为 3,公差为 4 的等差数列,通项公式 (n≤35, n∈N) 数列 2, 16, 142 是首项为 2, ; 9, ?, 公差为 7 的等差数列, 通项公式 (m≤21,m∈N)。找公共项,即建立关系式 4n-1=7m-5,确定此不定方程的自然数解,且 n ≤35,m≤21。 两数列的公共项构成了一个首项为 23,公差为 28 的等差数列,通项公式 ≤5,k∈N),则 24.解: 。 (k

。 25.解:当 1≤y≤4 时可试得方程有两组解 x=1,y=1 和 x=2,y=4。当 y≥5 时由

即 则可设 x=2m(m∈N),

,得

,故 x 必须是偶数,



, m 必为偶数, 故 再设 x=4n (n∈N) ,



,显然

不能被 5 整除,因此 y≥5

时,方程无整数解。∴原方程仅有两组解 x=1,y=1 和 x=2,y=4。

26.解:设满足题设条件的数为

,则

是同时能被 6 和 7 整除的数,所以数列 也是以 42 为公差的等差数列,且 ,

是以 42 为公差的等差数列,故

。∵38+42?(n-1)≤1000,∴n≤23, ∴ 。∴满足条件的数有 23 个,它们的和为 11500。

人教版\必修 5 第三章 不等式\|ax+b|<c, |ax+b| >c(c>0)型不等式
一、选择题 1.若 a>b,c 为实数,下列不等式成立是()。 (A)ac>bc (B)ac<bc (C) (D) 2.不等式|3-x|<2 的解集是()。 (A){x|x>5 或 x<1} (B){x|1<x<5} (C){x|-5<x<-1} (D){x|x>1} 3.如果(a+1)x>a+1 的解集是 x<1,则 a 必须满足()。 (A)a<0 (B)a≤-1 (C)a>-1 (D)a<-1 4.不等式 1≤|2x-7|<3 的解集是()。 (A){x|4≤x<5} (B){x|x≥4 或 x≤5} (C){x|2<x≤3 或 4≤x<5} (D){x|x≤3 或 x>2}

二、填空题 1.当 0<x<1 时, 2. ,x, 的大小关系是__________。

的解集是__________。

3.|x+3|>4 的解集是__________。 4.若|x-1|<3,化简|x-4|+|x+2|得__________。 5.数集{2a, }中,a 的取值范围是__________。

三、解答题

1.解不等式



2.解不等式组 3.求不等式 4.解不等式|x+2|+|x-2|≤12。 5.已知:A={x||x-1|<c,c>0},B={x||x-3|>4},且 A∩B=Φ ,求 c 的范围。 的负整数解。

答案或提示 二|ax+b|<c,|ax+b|>c(c>0)型不等式 一、 D 二、 1. 2.R; 3.{x|x>1 或 x<-7}; 4.6; 5.a≠3 且 a≠0。 三、 1.x>1 或 x<-3; 2. ; ; B D C

3.x=-5,-4,-3,-2,-1; 4.-6≤x≤6; 5.0<c≤2。

人教版\必修 5 第三章 不等式\一元二次不等式解 法
一、选择题 1.如果 ,(k≠0)的解集为全体实数,则 k 的范围是( )

A.

B.

C.

或 ,则化简

D.k 为任意实数 的结果是( B.2-3x D.4-x )

2.如果 x 满足 A.x-4 C.3x-2

二、填空题 3.设全集 U=R,集合 则实数 a 的取值范围是__________。 4.方程 __________。 有两实根,且两根都大于-1,则 k 的取值范围是 ,B={x|(x-1)(x-a)<0},且 ,

三、解答题 5. , , 。

,试求出实数 a 的取值范围,使得

6.方程

,在-1≤x≤1 的范围内有实数根,求实数 k 的范围。

7.设不等式



的解集分别为 A、B。

已知 A∩B={x|4≤x<5},试确定 a、b 的值,然后求出 A∪B。

8.已知不等式 的解集。

的解集为{x|α <x<β ,

},求不等式

9.已知集合 ,0≤x≤3},若

, ,求实数 a 的取值范围。

10.已知集合 P={x||2x-1|>3}, 范围。

,若

,求实数 a 的取值

11.解不等式组

12.解不等式



参考答案

1.B 2.B 又∵

由题意得 k<0 且△<0,解得 由

。故选 B。

得(x+1)(2x-3)<0,∴

=3-2x-(x+1)=2-3x。故选 B。 3.1≤a≤3 由题意 A:(x-1)(x-3)≤0,得 1≤x≤3,∴A={x|1≤x≤3} 当 a<1 时,B={x|a<x<1},不可能满足 当 a=1 时, ,满足 ; ,则 1<a≤3。 ;

当 a>1 时,B={x|1<x<a},若满足 综上所述,1≤a≤3

4. 令 且两点在(-1,0)的右边,故有 , 方程有两根且都大于-1, 则必有抛物线与 x 轴有两交点,

。 5.解:A={x|-2<x<4},B={x<-3 或 x>1}。 所以 A∩B={x|1<x<4},又 所以 a>0,即 C={x|a<x<2a}。 ,即(x-a)(x-2a)<0,且 ,

由此得 又 a=0 时, 或 a=0. 6.解:设

,所以 1≤a≤2 ,满足题设。所以,使得 成立时,a 取值范围是 1≤a≤2

(1)方程 y=0,在-1≤x≤1 的范围内有两实根。 所以有以下不等式组

(2)方程 y=0 在-1≤x≤1 的范围内仅有一个实根时,△>0,且当 x=1 时与 x=-1 时 y 值的 乘积不能是正数,

∴ 综上可知:当 时,原方程有二实根。

当-1≤k≤5 时,原方程有一实根。 故 时,原方程在-≤x≤1 上有实数根。 的根,

7.解:由 A∩B={x|4≤x<5}得 x=4 为方程 ∴a=2;x=5 为方程 的根,

∴b=5,因此,得 A={x|x≤-2 或 x≥4},B={x|-1<x<5}, ∴A∪B={x|x≤-2 或 x>-1}。 8.解:∵原不等式的解为α <x<β ,∴a<0 ∴x=0 是 当 x≠0 时, 两边同除以 ∵ 得: 的一个解。 ,对不等式 (*), 的解集为{x|α <x<β }

∴(*)的解为



,即



∴所求不等式的解集为 9.解:∵ 又由 知 , ,∴ , ,∴B={y|2≤y≤4}。 ,

若 ∴

,则 或 。



10.解:(1)|2x-1|>3,得到:x>2 或 x<-1, ,这时△=16-4a<0,所以 a>4; (2) ,则由△≥0 知 a≤4, , ,必须有 ,

又由集合 Q 中的不等式解得 要使 ,注意到

解得 3≤a≤4。 综合(1)、(2)讨论,得 a≥3。 11.解:原不等式组为

由①得:(m-1)x>m-2 当 m>1 时,①的解为: 当 m<1 时,①的解为: 当 m=1 时,①的解为 R

由②得:3x>5 ∴②的解为: 综合以上可知 当 m>1 时, 当 m<1 时,有两种可能; 当 若 ,则 ,则 ,此时不等式组无解 ,此时不等式组的解集为 。 。 }。 ,此时不等式组的解集为

当 m=1 时,不等式组的解集为 12.解:原不等式化为 若 若

,a<0 或 a>1 时,不等式的解集是{x|x<a,或

,则 a=0,1。当 a=0 时,不等式的解集是{x|x∈R,且 x≠0};

当 a=1 时,不等式的解集是{x|x∈R,且 x≠1}。 若 ,即 0<a<1 时,不等式的解集是 。

人教版\期中复习\上学期期中综合测试

【同步达纲练习】 一、选择题(3′?12) 1.已知 a<b<0,则一定成立的一个式子是( A.a <ab
2

)
2 2

B.a >ab>b

2

2

C.a <b

D.a >b >ab ) D.b >c
2 2

2

2

2.已知 abc>0,且 a>b>c,下列不等式中恒成立的一个是( A.ac>bc B.ab>ac C.a >b
2 2

3.经过点 P(-2,1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( A.一条 B.二条 C.三条
2 2

)

D.四条 )

4.设 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 A.a+b B.a +b
2 2

,a +b ,2ab 中最小的是( C.2 ) D.2ab

5.a,b∈R,ab<0,则下列不等式正确的是( A.|a+b|<|a-b| C.|a+b|<|a|-|b| 6.不等式| A.{x|x>6} C.{x|x<2} 7.如果直线 2x-y+m=0 和直线 xA.m=2,n=1 8.不等式 logx A.{x|x< C.{x| } <x<1} B.m=2n <1 的解集是( ) -3|>1 的解集为(

B.|a-b|<|a+b| D.|a+b|<||a|-|b|| ) B.{x| D.{x| y+n=0 平行,那么( C.m=0,n=0 ≤x<2} ≤x<2 或 x>6 ) D.m≠2n

B.{x|0<x< D.{x|0<x<

} 或 x>1} )

9.若 A>0,B>0,C<0,那么直线 Ax+By+C=0 必经过( A.一、三象限 C.二、三象限

B.一、二、四象限 D.二、三、四象限

10.直线(a+2)x+(2-a)y=2a 在 x 轴上的截距为 3,则 a 的值是( A. B.C.6
2

)

D.-6 A,则 a 的取值范围是( D.a≤-1 ) D.2 或-2 )

11.已知 A={x|x+a>0},B={x|x -2x-3<0}且 B A.a≥1
2

B.a≤1

C.a≥-1

12.若不等式 0≤x +ax+5≤4 恰有一解,则实数 a 的值是( A.2 B.-2 C.4 或-4

二、填空题(4′?4) 13.已知 x>0,y>0 且 x+y=a(a 为定值),则 的最大值为 . .

14.两条直线 l1 和 l2 关于直线 x-y=0 对称, 如果 l1 的斜率为 3, l2 的斜率为 则 15.|x -2x-3|>x -2x-3 的解集是 16.若 0<x≤1,则函数 y=x(1-x) 的最大值是
2 2 2

. ,此时的 x= .

三、解答题(8′?6) 17.解不等式: >x-2.

18.若关于 x 的不等式(a +a-2)x<sina 无解,试求 a 的值,并解不等式|1-x| .

2

<

19.设 f(x)=x -(a+3)x+3a(a∈R), 若集合 M= {x||x-a|<1} {x|f(x)>0} 且 M∪N ,N= , =R,求 a 的范围.

2

20.一束光线 y=x+3,穿过厚 1 厘米的玻璃片(折射率为 1.5),设横轴位于这玻璃片的表面 上,而纵轴垂直于此片(坐标系的单位长度为厘米,如图),试求在此玻璃片内和出玻璃片后的光

线方程,以及光线在玻璃片内的行程.(折射率=

,其中 α 为入射角,β 为折射角)

21.△ABC 的两条高线的方程为 2x-3y+1=0 和 x+y=0, A(1, 点 2)是它的一个顶点, (1)BC 求: 边所在的直线方程;(2)三角形的三内角.

22.某水库建有 10 个泄洪闸,由于连日阴雨,水库的水位已经超过了安全线,且已知超安 全线水位的水量为 am ,上游河水还在按一不变的速度增加,为了防洪,须调节泄洪速度.假设每 个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30 个小时水位降至安全线,若同时打开 两个泄洪闸,10 个小时水位降至安全线,现在抗洪指挥部要求 3 小时使水位降至安全线以下, 问:至少要同时打开几个闸门?
3

参考答案 【同步达纲练习】 一、1.B 二、13. 2.B 3.C 14. 4.D 5.A 6.D 7.D 8.D 16. 9.B 10.D 11.B 12.D

15.{x|-1<x<3}

三、 {x|-1≤x≤ 17. (x+3) 21.(1)2x+3y+7=0

(4+3

)} 18. {x|2<x<3 或 0<x< B=180°-2arctan5

} 19.2<a<4 C=arctan5

20.y= 22.至少打开

(2)A=arctan5

6 个闸门

人教版\期中复习\ 下学期期中测试题
一、选择题 1.在下列命题中,假命题是( )

A.若平面 α 内的一条直线 l 垂直于平面 β 内的任一直线,则 α ⊥β B.若平面 α 内的任一直线平行于平面 β ,则 α ∥β C.若平面 α ⊥平面 β ,任取直线 l D.若平面 α ∥平面 β ,任取直线 l α ,则必有 l⊥β α ,则必有 l∥β

2.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,如果 AB=BC=a,AA1=2a,那以点 A 到直线 A1C 的距离等于 ( )

A.

a

B.

a

C.

a

D.

a

3.如图 A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1,F1 分别是 A1B,A1C1 的中点,若 BC= CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.

4.已知正方形 ABCD,沿对角线 AC 将三角形 ADC 折起,设 AD 与平面 ABC 所成角为 β ,当 β 取最大值时,二面角 B—AC—D 等于( )

A.45°

B.90°

C.arctg

D.arctg

5.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触上,经过 棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

6.正四面体 ABCD 的棱长为 a,M 为棱 DB 的中点,则截面 MAC 的面积是(

)

A.

a

2

B.

a

2

C.

a

2

D.

a

2

7.如图在正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中点,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角( )

A.

B.

C.

D.与 P 点位置有关

8.棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比是 1∶2,则这个截面把一条 侧棱分成的上、下两段之比为( A.1∶( -1) B.1∶( ) +1) C.1∶4 D.1∶

9.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a,则该四面体的体积最大值为(

)

A.

a

3

B.

a

3

C.

a

3

D.

a

3

10.在三棱锥 P—ABC 中,D、E、F 分别是 PA、PB、PC 上的三个点,且 AD∶DP=1∶3,BE∶EP =1∶2,CF=FP,则三棱锥 P—DEF 与三棱锥 P—ABC 的体积比是( A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6 )

11.把半径为 R 的球削成正方体,所得的正方体的体积最大可为(

)

A.2

R

3

B.

R

3

C.R

3

D.

R

3

12.两个多面体分别外切于两个半径相等的球,设这两个多面体的体积比为 p,表面积比为 q,则( ) B.p=q C.p<q D.不能确定

A.p>q

二、填空题 1.在 CH4 的空间分子结构中,各 C—H 键的夹角是 .

2.空间三条射线 PA、PB、PC,∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,则二面角 B—PA—C 的余 弦值为 .

3.E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD,各边 AB,BC,CD,DA 的中点,已知对角 BD=2,AC =4,则 EG +HF =
2 2

.
2

4.长方体全面积为 24cm ,各棱长总和为 24cm,则其对角线长为

.

三、解答题 1.直升飞机上一点 P 在地面 α 上的射影是 A,以 P 看地面 α 内一物体 B(不同于 A),且直 线 PB 垂直于飞机玻璃窗所在平面 β (如图),试证平面 α 与平面 β 必相交,且交线 l 与 BA 垂 直.

2.二面角 α —AB—β 为 60°,点 D∈α ,E∈β ,点 O∈AB,且∠EOB=30°,DO⊥OE, (1)求证 OD 不垂直于 AB; (2)求 DO 与平面 β 所成的角.

3.已知 Δ ABC 在平面 α 内,∠ABC=90°,PA⊥α ,BC=20,PB,PC 与 α 所成的角分别是 60°和 30°. (1)求线段 PA 的长; (2)求二面角 A—PC—B 的大小.

4.在 120°的二面角 α —l—β 的两个平面 α 和 β 内,分别有点 A 和 B,它们到棱的距离 各为 2、4,且 AB=10.求: (1)AB 与棱 l 所成的角; (2)AB 与平面 β 所成的角.

5.半径为 r 的球面上有三点 A、B、C,设 A 与 B 之间、A 与 C 之间的球面距离均为 C 之间的距离等于 π R,过 A、B、C 三点作一截面,求球心 O 到截面的距离.

R,B、

6.三棱锥 V—ABC,VA⊥底面 ABC,BA⊥AC,AC=a,AB=2a,VA=3a,求: (1)过 AB 的截面中面积的最小值; (2)三棱锥被上述截面分成的两部分的体积; (3)求上述截面与底面 ABC 所成二面角的余弦.

参考答案 一、1.C 2.C 3.A 4.B 5.B 2.6.A 7.C 4.2 8.A cm 9.C 10.B 11.B 12.B

二、1.π -arccos 三、1.用反证法

3.10

2.(1)若 OD⊥AB,则由 OD⊥OE,则 OD⊥β ,α ⊥β .矛盾.

(2)设 DH⊥β 于 D,DC⊥AB 于 C,∠DCH=60°,HO⊥OE,∠COH=60°,设 DH=a,CH= a,求得 OH= a,DO 与 β 所成角 θ ,则 tanθ = = θ =arctan .

3.(1)设 PA=x,∠PBA=60°,∠PCA=30°,AC=2 =5 .即 PA 的长为 5

x,AB=

x,由 AB +BC =AC ,得 x

2

2

2

(2)作 BD⊥AC 于 D, DE⊥PC 于 E, 可知∠BED 为所成二面角的平面角.在 RtΔ BPC 中, BE=



在 RtΔ ABC 中,DB=

,在 RtΔ EDB 中,∠BED=arcsin

4.(1)arcsin

(2)arcsin

5. 6.(1)

R a
2

(2)

a,

2

a

3

(3)

人教版\期中复习\ 期中综合测试
一、选择题(3′?12) 1.已知 a<b<0,则一定成立的一个式子是( A.a <ab
2

)
2 2

B.a >ab>b

2

2

C.a <b

D.a >b >ab ) D.b >c
2 2

2

2

2.已知 abc>0,且 a>b>c,下列不等式中恒成立的一个是( A.ac>bc B.ab>ac C.a >b
2 2

3.经过点 P(-2,1),且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( A.一条 B.二条 C.三条
2 2

)

D.四条 )

4.设 0<a<1,0<b<1,且 a≠b,则 a+b,2 A.a+b B.a +b
2 2

,a +b ,2ab 中最小的是( C.2 ) D.2ab

5.a,b∈R,ab<0,则下列不等式正确的是( A.|a+b|<|a-b| C.|a+b|<|a|-|b| 6.不等式| A.{x|x>6} C.{x|x<2} 7.如果直线 2x-y+m=0 和直线 xA.m=2,n=1 8.不等式 logx A.{x|x< C.{x| } <x<1} B.m=2n <1 的解集是( ) -3|>1 的解集为(

B.|a-b|<|a+b| D.|a+b|<||a|-|b|| ) B.{x| D.{x| y+n=0 平行,那么( C.m=0,n=0 ≤x<2} ≤x<2 或 x>6 ) D.m≠2n

B.{x|0<x< D.{x|0<x<

} 或 x>1} )

9.若 A>0,B>0,C<0,那么直线 Ax+By+C=0 必经过( A.一、三象限 C.二、三象限

B.一、二、四象限 D.二、三、四象限 )

10.直线(a+2)x+(2-a)y=2a 在 x 轴上的截距为 3,则 a 的值是( A. B.C.6
2

D.-6 A,则 a 的取值范围是( D.a≤-1 )

11.已知 A={x|x+a>0},B={x|x -2x-3<0}且 B A.a≥1 B.a≤1 C.a≥-1

12.若不等式 0≤x +ax+5≤4 恰有一解,则实数 a 的值是( A.2 B.-2 C.4 或-4

2

) D.2 或-2

二、填空题(4′?4) 13.已知 x>0,y>0 且 x+y=a(a 为定值),则 的最大值为 . .

14.两条直线 l1 和 l2 关于直线 x-y=0 对称, 如果 l1 的斜率为 3, l2 的斜率为 则 15.|x -2x-3|>x -2x-3 的解集是 16.若 0<x≤1,则函数 y=x(1-x) 的最大值是
2 2 2

. ,此时的 x= .

三、解答题(8′?6) 17.解不等式: >x-2.

18.若关于 x 的不等式(a +a-2)x<sina 无解,试求 a 的值,并解不等式|1-x| .

2

<

19.设 f(x)=x -(a+3)x+3a(a∈R), 若集合 M= {x||x-a|<1} {x|f(x)>0} 且 M∪N ,N= , =R,求 a 的范围.

2

20.一束光线 y=x+3,穿过厚 1 厘米的玻璃片(折射率为 1.5),设横轴位于这玻璃片的表面 上,而纵轴垂直于此片(坐标系的单位长度为厘米,如图),试求在此玻璃片内和出玻璃片后的光

线方程,以及光线在玻璃片内的行程.(折射率=

,其中 α 为入射角,β 为折射角)

21.△ABC 的两条高线的方程为 2x-3y+1=0 和 x+y=0, A(1, 点 2)是它的一个顶点, (1)BC 求: 边所在的直线方程;(2)三角形的三内角.

22.某水库建有 10 个泄洪闸,由于连日阴雨,水库的水位已经超过了安全线,且已知超安 全线水位的水量为 am ,上游河水还在按一不变的速度增加,为了防洪,须调节泄洪速度.假设每 个闸门泄洪的速度相同,经测算,若打开一个泄洪闸,30 个小时水位降至安全线,若同时打开 两个泄洪闸,10 个小时水位降至安全线,现在抗洪指挥部要求 3 小时使水位降至安全线以下, 问:至少要同时打开几个闸门?
3

参考答案: 一、1.B 二、13. 2.B 3.C 14. 4.D 5.A 6.D 7.D 8.D 16. 9.B 10.D 11.B 12.D

15.{x|-1<x<3}

三、 {x|-1≤x≤ 17. (x+3) 21.(1)2x+3y+7=0

(4+3

)} 18. {x|2<x<3 或 0<x< B=180°-2arctan5

} 19.2<a<4 C=arctan5

20.y= 22.至少打开

(2)A=arctan5

6 个闸门

人教版\期中复习\ 期中综合测试题(一)
【期中综合测试】 一、选择题 1.在下列命题中,假命题是( )

A.若平面 α 内的一条直线 l 垂直于平面 β 内的任一直线,则 α ⊥β B.若平面 α 内的任一直线平行于平面 β ,则 α ∥β C.若平面 α ⊥平面 β ,任取直线 l D.若平面 α ∥平面 β ,任取直线 l α ,则必有 l⊥β α ,则必有 l∥β

2.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,如果 AB=BC=a,AA1=2a,那么点 A 到直线 A1C 的距离等于 ( )

A.

a

B.

a

C.

a

D.

a

3.如图 A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1,F1 分别是 A1B1,A1C1 的中点,若 BC= CA=CC1,则 BD1 与 AF1 所成角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.

4.已知正方形 ABCD,沿对角线 AC 将三角形 ADC 折起,设 AD 与平面 ABC 所成角为 β ,当 β 取最大值时,二面角 B—AC—D 等于( )

A.45°

B.90°

C.arctg

D.arctg

5.在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰与棱锥的四个面都接触上,经过 棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )

6.正四面体 ABCD 的棱长为 a,M 为棱 DB 的中点,则截面 MAC 的面积是(

)

A.

a

2

B.

a

2

C.

a

2

D.

a

2

7.如图在正方形 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是棱 DD1 的中点,O 为底面 ABCD 的中点,P 为棱 A1B1 上任意一点,则直线 OP 与直线 AM 所成的角( )

A.

B.

C.

D.与 P 点位置有关

8.棱锥被平行于底面的平面所截,若截面面积与底面面积之比是 1∶2,则这个截面把一条 侧棱分成的上、下两段之比为( A.1∶( -1) B.1∶( ) +1) C.1∶4 D.1∶ )

9.四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a,则该四面体的体积最大值为(

A.

a

3

B.

a

3

C.

a

3

D.

a

3

10.在三棱锥 P—ABC 中,D、E、F 分别是 PA、PB、PC 上的三个点,且 AD∶DP=1∶3,BE∶EP =1∶2,CF=FP,则三棱锥 P—DEF 与三棱锥 P—ABC 的体积比是( A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶6 ) )

11.把半径为 R 的球削成正方体,所得的正方体的体积最大可为(

A.2

R

3

B.

R

3

C.R

3

D.

R

3

12.两个多面体分别外切于两个半径相等的球,设这两个多面体的体积比为 p,表面积比为 q,则( ) B.p=q C.p<q D.不能确定

A.p>q

二、填空题 1.在 CH4 的空间分子结构中,各 C—H 键的夹角是 .

2.空间三条射线 PA、PB、PC,∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°,则二面角 B—PA—C 的余 弦值为 .

3.E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD,各边 AB、BC、CD、DA 的中点,已知对角线 BD=2, AC=4,则 EG +HF =
2 2

.
2

4.长方体全面积为 24cm ,各棱长总和为 24cm,则其对角线长为

.

三、解答题

1.直升飞机上一点 P 在地面 α 上的射影是 A,以 P 看地面 α 内一物体 B(不同于 A),且直 线 PB 垂直于飞机玻璃窗所在平面 β (如图),试证平面 α 与平面 β 必相交,且交线 l 与 BA 垂 直.

2.二面角 α —AB—β 为 60°,点 D∈α ,E∈β ,点 O∈AB,且∠EOB=30°,DO⊥OE, (1)求证:OD 不垂直于 AB; (2)求 DO 与平面 β 所成的角.

3.已知 Δ ABC 在平面 α 内,∠ABC=90°,PA⊥α ,BC=20,PB,PC 与 α 所成的角分别是 60°和 30°. (1)求线段 PA 的长; (2)求二面角 A—PC—B 的大小.

4.在 120°的二面角 α —l—β 的两个平面 α 和 β 内,分别有点 A 和 B,它们到棱的距离 各为 2、4,且 AB=10.求: (1)AB 与棱 l 所成的角; (2)AB 与平面 β 所成的角.

5.半径为 r 的球面上有三点 A、B、C,设 A 与 B 之间、A 与 C 之间的球面距离均为 C 之间的距离等于 π R,过 A、B、C 三点作一截面,求球心 O 到截面的距离.

R,B、

6.三棱锥 V—ABC,VA⊥底面 ABC,BA⊥AC,AC=a,AB=2a,VA=3a,求: (1)过 AB 的截面中面积的最小值; (2)三棱锥被上述截面分成的两部分的体积; (3)求上述截面与底面 ABC 所成二面角的余弦.

参考答案 【期中综合测试】 一、1.C 2.C 3.A 4.B 5.B 2.6.A 7.C 4.2 8.A cm 9.C 10.B 11.B 12.B

二、1.π -arccos 三、1.用反证法

3.10

2.(1)若 OD⊥AB,则由 OD⊥OE,则 OD⊥β ,α ⊥β .矛盾.

(2)设 DH⊥β 于 D,DC⊥AB 于 C,∠DCH=60°,HO⊥OE,∠COH=60°,设 DH=a,CH= a,求得 OH= a,DO 与 β 所成角 θ ,则 tanθ = = θ =arctan .

3.(1)设 PA=x,∠PBA=60°,∠PCA=30°,AC=2 =5 .即 PA 的长为 5

x,AB=

x,由 AB +BC =AC ,得 x

2

2

2

(2)作 BD⊥AC 于 D, DE⊥PC 于 E, 可知∠BED 为所成二面角的平面角.在 RtΔ BPC 中, BE=



在 RtΔ ABC 中,DB=

,在 RtΔ EDB 中,∠BED=arcsin

4.(1)arcsin

(2)arcsin

5. 6.(1)

R a
2

(2)

,

a

3

(3)

人教版\期中复习\ 期中综合测试题(二)
【期中综合测试】 一、选择题 1.不共面的四个点可以确定的平面数为( A.1 个 B.2 个 C.3 个 ) D.4 个

2.设 α 、 是平面, n 是直线, α ⊥β , ∩β =m, P∈α , β m、 若 α 点 P∈n,则 n⊥m 是 n⊥β 的( ) A.充分非必要条件 C.充分必要条件 B.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 )

3.用 α 表示一个平面,a 表示一条直线,则 α 内至少有一条直线一定与 a( A.平行 B.相交 ) C.垂直 D.异面

4.下列命题正确的是(

A.

a⊥b

B.

a∥b

C.

b∥α

D.

b⊥α )

5.正方体的一条对角线和正方体的棱可以组成的异面直线的对数是( A.2 对 B.3 对 C.6 对 D.12 对

6.正四棱锥 P—ABCD 的高 PO,AB=2PO=2cm,则 AB 与侧面 PD 的距离为( A. cm B.2cm C. cm D.3cm

)

7.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 为异面直线 A1D 和 AC 的公垂线, EF 与 BD1 的关系是( EF 则 A.异面直线 C.相交且垂直 B.平行 D.相交但不垂直

)

8.PA、 PC 是空间从 P 引出三条射线, PB、 若∠APB=∠BPC=∠CPA=45°, 则二面角 B—PA—C 的平面角的余弦值为( )

A.

-1

B.

C.

D.0

9.A1B1C1—ABC 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 D1、F1 分别是 A1B1、A1C1 的中点,若 BC=CA= CC1,则 BD1 与 AF1 所成的角的余弦值是( )

A.

B.

C.

D.

9 题图

10 题图

10.二面角 α —AB—β 的平面角是锐角,C 是 α 内一点(不在棱上),点 D 是点 C 在 β 内的 射影,点 E 是棱上满足∠CEB 是锐角的任一点,那么( A.∠CEB>∠CED C.∠CEB<∠CED B.∠CEB=∠CED D.∠CEB 和∠CED 不能确定大小 )

11.如图,是一个无盖的正方体盒子的平面展开图,A、B、C 为其上三个点,在正方体盒子 中,∠ABC 的值为( )

A.120°

B.180°

C.60°

D.45° β ; ②a∥ ,

12.α 、 、 是三个平面, β a、b 是两条直线,有下列三个条件,①α ∥ ,b b∥β ,a 入的条件是( A.①或② 命题“α ∩β =a,b ) B.①或③ C.② ,且

,则 a∥b 是真命题,所有可以在横线处填

D.②或③

二、填空题 13.在直四棱柱 A1B1C1D1—ABCD 中, 当底面四边形 ABCD 满足条件 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形.) 14.正方形 ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成 60°的二面角, 则异面直线 AD 与 BF 所 成角的余弦值是 . 时, A1C⊥B1D1.(注: 有

13 题图

14 题图

15.A 表示点,a、b、c 表示直线,M、N 表平面,给出如下命题: (1)a⊥M,b M,若 b∥M,则 b⊥a;

(2)a⊥M,若 a⊥N,则 M∥N; (3)a M,b∩M=A,c 是 b 在 M 上的射影,若 a⊥c,则 a⊥b;

(4)a⊥M,若 b⊥M,c∥a,则 a⊥b,c⊥b; 其中逆命题成立的是 . x∥y”为

16.设 x、y、z 是空间不同的直线或平面,对下列四种情形,使“x⊥z 且 y⊥z 真命题的是

.(1)x、y、z 是直线;(2)x、y 是直线,z 是平面;(3)z 是直线,x、y 是平

面;(4)x、y、z 是平面.

三、解答题 17.如图,ABCD 是矩形,E 是半圆周上异于 C、D 的任意一点,且平面 CDE⊥平面 ABCD.(1) 求证 AD 与 BE 所在直线是异面直线;(2)求证 DE 是异面直线 AD 和 BE 的公垂线;(3)若 AD=DE= AB,求异面直线 BD 和 CE 所成角的余弦值.

18.已知平面 α ⊥平面 ,α ∩ =a,平面 β ⊥平面 ,β ∩ =b,且 a∥b,试判断平面 α 与平面 β 的位置关系,并加以证明.

19.三棱锥 P—ACB 中,PB⊥面 ABC 于 B,∠BCA=90°,PB=BC=CA=4,E 为 PC 的中点, 点 F 在 PA 上且 3PF=FA.(1)求证:侧面 PAC⊥侧面 PBC;(2)求异面直线 PA 与 BE 所成角的大小.

20.如图, 假设 P—ABC 是河流东岸的一座小山, 欲在河流西岸一侧用简单的量角器和皮尺(分 别可测出仰角、夹角和直线距离),测出山高 h,请你给出测量方案和计算方案.

21.ABCD 是边长为 a 的菱形, ∠ABC=120°, PC⊥平面 ABCD, PC=a, 为线段 PA 的中点.(1) E 求证:平面 EBD⊥平面 ABCD;(2)求点 E 到平面 PBC 的距离;(3)求二面角 A—BE—D 的正切值.

22.在 Δ ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,DA=1,DB=2,将 Δ ACD 绕 CD 旋转至 A′CD, 使二面角 A′—CD—B 为 60°.(1)证明 BA′⊥面 A′CD;(2)求异面直线 A′C 与 BD 所成的角.

参考答案 【期中综合测试】 一、1.D 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.A 11.C 12.B

二、13.AC⊥BD 或 ABCD 是正方形或菱形等.

14.

15.(1)(2)(3)

16.(2)(3)

三、17.(1)(2)略

(3)

18.提示:α ∥β ,方法一:在 内作直线 l⊥α ,可证 l⊥α ,同理 l⊥β .故 α ∥β . 方法二:利用面面平行的判定定理.

19.提示:(1)先证 AC⊥侧面 DBC.(2)90°. 20.在河岸上取点 M、N,测出 M 处 P 点折仰角 α 和∠PMN=β ,测出∠PNM=r,由 MN=α , 可测,则在 Δ PMN 中,由正弦定理求出 MP.∴h=PMsinα .

21.(1)略

(2)

a

(3)

22.提示:(1)易证∠BDA′是二面角 A′—CD—B 的平面角,先证:BA′⊥DA′.

(2)作 A′E∥AB,作 DE⊥A′E 于 E,∠CA′E=arccos

为所求.

人教版\期末复习\期末测试题(一)
一、选择题 1.以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是( A.C8 C7
1 3

) D.C8 -12
4

B.C8

4

C.C8 -6

4

2.a、b、c 是空间三条直线,下面给出四个命题: (1)如果 a⊥b,b⊥c,则 a∥c. (2)如果 a、b 是异面直线,b,c 也是异面直线,则 a、c 也是异面直线. (3)如果 a 与 b,b 与 c 都相交,则 a 与 c 也相交. (4)如果 a、b 共面,b、c 共面,则 a、c 共面. 则上述命题中,真命题的个数是( A.0 个 B.1 个 ) C.2 个 D.3 个

3.棱长为 1 的正四面体内有一点 P 向各面引垂线, 垂线长分别记为 h1,h2,h3,h4, h1+h2+h3+h4 则 等于( )

A.

B.

C.

D.

4.已知(1+x)+(1+x) +?+(1+x) =a0+a1x+?+anx .若 a0+a1+?+an=30.则自然数 n 等于( A.2 B.3 C.4 D.5

2

n

n

)

5.将一枚均匀的硬币掷两次,事件 A:“一次正面朝上,一次反面朝上”,事件 B:“至少 一次正面朝上”的概率分别是( A.P(A)= C.P(A)= ,P(B)= ,P(B)= ) B.P(A)= D.P(A)= ,P(B)= ,P(B)=

6.如图,A1B1C1D1—ABCD 是正方体,若 E1F 分别是棱 AB 和棱 BB1 的中点,则 A1E 和 CF 所成的 角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

7.平行六面体各棱长均为 4,在交于 P 点的三条棱上分别取 A、B、C 三点,使 PA=1,PB= 2,PC=3,则棱锥 P—ABC 的体积是平行六面体体积的( A. B. C. ) D.

8.不共面的两等边三角形 A′BC 与 ABC 公共底边 BC,且 BC=1,则三棱锥 A′—ABC 的最大 体积为( )

A.

B.

C.

D.

9.从 1、2、3、4、5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数,当三个数字中有 2 和 3 时,则 2 需排在 3 的前面(不一定相邻),这样的三位数有( A.9 个 B.15 个 C.45 个 )

D.51 个

10.在 5 件产品中,有 3 件一等品和 2 件二等品,从中任取 2 件,那么以 是( ) A.都不是一等品 C.至少有一件一等品 B.恰有 1 件一等品 D.至多有 1 件一等品

的概率的事件

11.设有编号为 1、2、3、4、5 的五个球和编号为 1、2、3、4、5 的五个盒子,现将这五个 球投放入这五个盒子内,要求每个盒内放一个球,若恰好有两个球的编号与盒子相同,则这样的 投放方法有( A.20 种 ) B.40 种 C.60 种 D.120 种

12.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,上平面 A1B1C1D1 内有一点 P,则在平面 A1B1C1D1 内过 P 点的所有 直线中与直线 BD1 所成的最小角为( )

A.arccos

B.arccos

C.45°

D.60°

二、填空题 1.3 个同学同时做一生物实验,成功的概率分别为 0.8,0.7,0.6.则此实验成功的概率 为 .

2.正方形 ABCD 的边长为 2,E、F 分别为 AB、CD 的中点,P 点在 EF 上,且 PE= EF 将正方形 ABCD 折成度数为 α 的二面角,使∠APB=∠FPA=∠FPB,则 α 角的度数是 3.二项式(2
m+1 m-1

,若沿 .

+3)

2n+1

(n∈N+)展开式中所有无理项的系数之和为 .

.

4.化简 Cn +Cn +2Cn =

m

三、解答题 1.已知(3x +
2

) 展开式中含有 x 项,求自然数 n 的最小值.

n

3

2.自半径为 R 的球面上一点 A,引三条长相等且彼此夹角为 2α 的弦 AB、AC、AD(球面两点 的连线段为球的弦),求弦长.

3.摸球兑奖,口袋中装有 4 红 4 白共 8 个小球,其大小和手感都无区别,交 4 元钱摸 4 个 球,具体奖金如下:4 红(10 元)、3 红(5 元)、2 红(1 元)、1 红(1 包 0.2 元的葵花籽),试解释 其中的奥秘.

4.用平行于四面体 ABCD 相对的棱 AC,BD 的平面去截这个四面体,如截面和它的四条棱 AB、 BC、CD、DA 的交点分别是 E、F、G、H. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形. (2)如果使四边形 EFGH 的面积最大,E 应在 AB 的什么位置上.

5.在一场篮球比赛即将结束时,甲队总得分比乙队少 1 分,但甲队利用迫使对方犯规的战 术,前后共获得 3 次罚球的机会,如果至少罚中 2 次,甲队将获得这场比赛的胜利,假定罚球的 队员每次罚中的概率是 0.6,且各次罚球之间相互没有影响,求甲队赢得这场比赛的概率.

6.四面体 V—ABC 中,AB=AC=VB=VC,VA=BC,若 Δ ABC 的面积为定值 S 时. (1)求四面体的全面积, (2)若令∠BAC=2θ ,求四面体 V—ABC 的体积关于 θ 的函数式 V(θ ).

参考答案 一、1.D 2.A 3.C 4.C 5.D 3. (5 6.D
2n+1

7.C

8.C
m+1

9.C

10.D

11.A

12.A

二、1.0.976 三、1.4 2.4 R

2.120°

+1)

4.Cn+2

3.摸出 4 球有 C8 =70 种可能性,四“红”只有一种,三“红”:C4 C4 =16 种,2“红”: C4 C4 =36 种.1“红”:C4 C4 =16 种
2 2 1 3

4

3

1

共计:赌 70 次收参赌费 280 元,平均奖金

1?10+16?5+36?1+16?0.2=129.2(元).所以,每赌 70 次,该赌者可净赚 150.8 元. 4.(1)AC∥平面 EFGH,AC∥EF∥HG,BD∥EH∥FG,故 EFGH 为平行四边形. (2)设∠HEF=θ ,由相似关系可得 SEFGH= AB 中点时,EFGH 面积最大. 5.P=C3 ?0.6 ?0.4+C3 ?0.6 =0.648 6.(1)S 全=4S. (2)令 VD=AD=a, VO=h, Δ VAD 中, 高 在 由余弦定理得 cos∠VAD=tanθ , h=VAsin∠VAD, V(θ )= ,(0°<θ <45°).
2 2 3 3

?AE?EBsinθ ,由 AE+EB=AB,∴E 为

人教版\期末复习\期末测试题(二)
一、选择题 1.(1+x)+(1+x) +(1+x) +?+(1+x) 展开式中,x 的系数是( A.55 B.56 C.50 D.1024
2 3 10 8

)

2.在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,P 是 BC 的中点,沿 AP、PD 折起使 B、C 重合为 θ ,这 时,直线 PQ 与平面 PAD 所成角为 α ,则 cosα 等于( A. B. C. ) D.

3.A、B、C、D、E5 人并排站在一起,如果 A、B 必须相邻,并在 B 在 A 的右边,那么不同的 排法有( A.60 种 ) B.48 种 C.36 种 D.24 种

4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1,BD1 的中点,P1Q 分别为线段 A1M,D1N 的中 点,则有( A.MN>PQ ) B.MN<PQ C.MN>MQ D.MN>PN

5.从 1、2、3、4、5 这五个数字中任取 3 个组成无重复数字的三位数,当三个数字有 2 和 3 时,则 2 需排在 3 的前面(不一定相邻),这样的三位数有( A.9 个 B.15 个 C.45 个 ) D.51 个

6.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 个同样大小的正方体,若这些小正方体均匀搅 混在一起,则任意取出的一小正方体其两面均涂有油漆的概率是( A. B. C. D. )

7.如图,用 5 种不同颜色给图中标有 1、2、3、4 各部分涂色,每部分只涂一种颜色,且相 邻两部分涂不同颜色.则不同的涂色方法共有( )

A.160 种

B.240 种

C.260 种

D.360 种

8.如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,BC= 成角的大小是( )

,CD=

),DD1=

,则 A1C 和 B1D1 所

A.90°

B.45°

C.30°

D.60°

9.平面 α 内的∠MDN=60°,PO 是平面 α 的斜线,PO=3,∠POM=∠PON=45°,那么点 P 到平面 α 的距离是( )

A.

B.

C.

D.

10.学校文娱队每个队员唱歌,跳舞至少会一门,已知会唱歌的有 5 人,会跳舞的有 7 人, 现从中选 3 人,且至少要有一位既会唱歌,又会跳舞的概率是 A.3 人 B.9 人 C.12 人 ,该队有( )

D.10 人

11.某学生通过英语测试的概率是 是( A. ) B.

,他连续测试 3 次,那么其中恰有 1 次获得通过的概率

C.

D.

12.三棱锥 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EFC1B1 将三棱柱分成体积为 V1 和 V2 两部分,那么 V1∶V2 的比值为( A.3∶2 B.4∶3 ) C.5∶6 D.7∶5

二、填空题 1.侧面与底面所成角均为 α ,侧面积等于 S 的棱锥,其全面积等于 . .

2.3 个人坐在一排 8 个座位上, 若每个人的两边都需要有空位, 则不同的坐法种数为

3.将棱长为 1 的正方体木块的 8 个角分别截掉一个侧棱长为 体,这个几何体的表面有 F 个面,E 条棱,V 个顶点,则 F+V+E= 4.正四面体的内切球与外接球的体积之比为 .

的正三棱锥后得到一个几何 .

三、解答题 1.四棱锥 S—ABCD 的侧棱与底面边长相等,E、F 分别为 SD 和 BC 的中点,如图,

求:(1)异面直线 EF 与 SB 所成角的大小; (2)三棱锥 S—EBC 的体积与四棱锥 S—ABCD 的体积比.

2.如果(2x+
2

) =a0x+a1x+a2x +a3x +a4x .
2

4

2

3

4

求(a0+a2+a4) -(a1+a3) 的值.

3.一条铁路原有 n 个车站,为适应客运需要新增加了 m 个车站(m>1),客车车票增加了 62 种,问原有多少个车站?现有多少个车站?

4.r 个球随机放入 n 个盒子中,求 A=“至少有两个球放入同一个盒中”的概率.

5.用一个平面截斜三棱柱,已知三条侧棱夹在截面与下底面间的长度分别为 a、b、c,并记 这部分体积为 V,若这个三棱锥的直棱面面积为 S,求 V.

6.如图所示电路,该系统是由 4 个整流三极管(串、并)联结而成,已知每个二极管的可靠 度为 0.8(即正常工作时),若要求系统的可靠度大于 0.85,请你设计二极管的联结方式,并加以 说明.

参考答案 一、1.A 2.A 3.D 4.B 5.C 2.24 3.50 6.A 7.C 8.D 9.A 10.B 11.C 12.D

二、1.(1+cosα )S 三、1.①30°

4.1∶27

②1∶4

2.原式=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4) 在(2x+ ) =a0+a1x+a2x +a3x +a4x 中令 x=±1(即可得原式值为 1.)
2 2 2 2 4 2 3 4

3.原有车票 An 种,现有 Am+n 种车票,Am+n -An =62 即 (m+2)(m+n-1)-n(n-1)=62,∴n= (m-1).

∴ ∴

62>m -m. 1<m≤8

2



m -m-62<0.而 m>1,1<m<

2

当 m=2 时,n=15.当 m=3,4,5,6,7,8 时,n N. ∴ 原有车站 15 个,既有车站 17 个.

4.P( 5.

)= (a+b+c)S



.则

P(A)=1-P(

)=1-

6.(1)全是并联,如图 1,可靠度为 1-0.2 =0.9984>0.85 (2)2 个.2 个串联后再并联,如图 2,可靠度为 1-(1-0.8 ) =0.8704>0.85. (3)2 个,2 个并联后再串联,如图 3,可靠度为(1-0.2 ) =0.9216>0.85 (4)3 个串联后再与第 4 个并联,如图 4,可靠度为 1-0.2?(1-0.8 )=0.9024>0.85
3 2 2 2 2

4

人教版\期末复习\期末测试题(三)
一、选择题(3′?12)

1.不等式 A.(4,+∞)

>1 的解集是( B.(-∞,4)

) C.[3,4] D.(3,4) )

2.设集合 A={x|-2<x<3},B={x||x+1|>2,x∈R}则集合 A∪B=( A.{x|-2<x<1} C.{x|1<x<3} B.{x|-3<x<3} D.{x|x<-3 或 x>-2}

3.设 a,b,c 分别是△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对边的边长,则直线 sinA?x+ay+c=0 与 bx-sinB?y+sinC=0 的位置关系是( A.平行 C.垂直 ) B.重合 D.相交但不垂直 ) )

4.直线 bx+ay=ab(a<0,b<0)的倾斜角是( A.arctan(C.π -arctan 5.下列四个命题中的真命题是( ) )

B.arctan(D.π -arctan

A.经过定点 P0(x0,y0)的直线都可以用方程 y-y0=k(x-x0)表示 B.经过任意两个不同点 P1(x1,y1)、2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x2-x1)(y2-y1) P 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程 + =1 表示

D.经过定点 A(0,b)的直线都可以用方程 y=kx+b 表示 6.顶点为(-4,2),准线为 y=9 的抛物线方程为( A.(x-4) =-28(y+2) C.(y+2) =-14(x-4)
2 2 2 2

)

B.(x+4) =-28(y-2) D.(y-4) =-14(x-2)
2

7.已知 A、B 是抛物线 y =2px(p>0)上的两个点,O 为坐标原点,若|OA|=|OB|,且抛 物线的焦点恰为△AOB 的垂心,则直线 AB 的方程是( A.x=p B.x=
2

) D.x=3p
x x

p

C.x=

p

8.设函数 f(x)=ax +bx+c(a>0), 满足 f(1-x)=f(1+x), f(2 )与 f(3 )的大小关系是( 则 A.f(3 )>f(2 ) C.f(3 )≥f(2 )
x x x x

)

B.f(3 )<f(2 ) D.f(3 )≤f(2 )
x x

x

x

9.设双曲线

-

=1(a>0,b>0)的一条准线与两条渐近线交于 A、B 两点,相应的焦点为 )

F,若以 AB 为直径的圆恰好过 F 点,则双曲线的离心率为(

A.

B.

C.2

D.

10.P 是长轴在 x 轴上的椭圆

+

=1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半 )
2

焦距为 c,则|PF1|?|PF2|的最大值与最小值之差一定是( A.1 B.a
2

C.b

2

D.c

11.一个直角三角形的周长为 2p,其斜边长的最小值为(

)

A.

B.

C.

D.

12.设 a 适合不等式 A.h(x

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