二倍角公式(习题课)


高一数学教案

必修 4

三角恒等变换(第 7 课时)

郭锐

二倍角的三角函数(习题课)
教学目的: 要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、恒等证明,使学生进一步提高运用联 系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性,提高灵活运用数学知识和逻辑推理能力. 教学重点:二倍角公式的应用. 教学难点:灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 授课类型:习题课 课时安排:1 课时 教学过程:

知识回顾:
二倍角公式:

sin 2? ? 2sin ? cos ? , ( S 2? )

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? , (C2? )
tan 2? ? 2 tan ? , (T2? ) 1 ? tan 2 ?

cos2? ? 2 cos2 ? ? 1,

cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? (C2? )

⑴二倍角公式的作用在于用单角的三角函数来表达二倍角的三角函数,它适用于二倍 角与单角的三角函数之间的互化问题. ⑵二倍角公式不局限于 2? 是 ? 的二倍的形式,尤其是“倍角”的意义是相对的
王新敞
奎屯 新疆

⑶二倍角公式是从两角和的三角函数公式中,取两角相等时推导出,记忆时可联想相 应角的公式.

?? ) , (T2? ) 成立的条件是:公式 (T2? ) 成立的条件是 ⑷ 公式 ( S 2? ) , (C2? ) , (C2

? ? R,? ? k? ?

?
2

,? ? k? ?

?
4

, k ? Z .其他 ? ? R

王新敞
奎屯

新疆

⑸熟悉“倍角”与“二次”的关系(降次——扩角,升次——缩角) ⑹特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,sin 2 ? ? 这两个形式今后常用 2 2

王新敞
奎屯

新疆

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三角恒等变换(第 7 课时)

郭锐

方法、技巧篇
化简:三角函数式的化简是对给定的三角函数式,利用诱导公式、三角函数的基本公
式、同角三角函数关系等进行适当的等价变换,化为较为简单的形式.它是三角恒等变换 里最重要的应用之一,也是高考常见题型.

【例 1】 cos 20 cos 40 cos 60 cos80 ?
? ? ? ?



? co ? s? 分析:解的过程中反复使用二倍角公式 s i n
系的余弦函数的连乘积问题,可采用类似方法解之. 解:原式 ?

1 2

s i? n,要注意凡是二倍角关 2

1 sin 20? cos 20? cos 40? cos80? sin 40? cos 40? cos80? cos 20? cos 40? cos80? ? ? 2 2sin 20? 4sin 20? sin 80? cos80? sin160? 1 ? ? ? . ? ? 8sin 20 16sin 20 16

【例 2】若

3? 1 1 1 1 ? ? ? 2? ,化简: ? ? cos 2? . 2 2 2 2 2
1 ? cos 2? 达到去根号的目的, ? cos2 ? , 2

分析: 根据本题的结构特点, 可重复使用公式 这是解决此类问题的常规思路. 解:?

3? 3? ? ? ? ? 2? ,? ? ? ? 2 4 2

原式 ?

1 1 1 ? cos 2? 1 1 1 1 ? ? ? cos 2 ? ? ? cos ? 2 2 2 2 2 2 2
1 ? cos ? ? ? ? cos 2 ? ? cos 2 2 2

?

【例 3】化简: 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ,? ? (0, ? ) . 分析:本题关键在于使被开方式变为完全平方式,以便脱掉根号,应自然联系到“ 1 ” 的代换问题,由于原式为算术平方根,因此在去根号时,应注意角的范围对三角函数值符 号的影响. 解:原式 ? sin 2

?
2

? cos 2

?

? 2sin cos ? sin 2 ? cos 2 ? 2sin cos 2 2 2 2 2 2 2
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?

?

?

?

?

?

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三角恒等变换(第 7 课时)

郭锐

? (sin 2

?

? cos 2 )2 ? (sin 2 ? cos 2 ) 2 ?| sin ? cos | ? | sin ? cos | 2 2 2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?? ? (0,? ),? ? (0, ) 2 2
① 当 ② 当

?

?

?
?

? (0, ] 时, cos ? sin ,原式 ? 2sin . 2 4 2 2 2 ? ( , ) 时, cos ? sin ,原式 ? 2cos . 2 4 2 2 2 2

?

?

?

?

? ?

?

?

?

【练习】若 ? ? ? ?

3? 1 ? sin ? ,化简: ? 2 1 ? cos ? ? 1 ? cos ?

1 ? sin ? . 1 ? cos ? ? 1 ? cos ?

分析:根据本题的结构特点,用升幂公式去根号,利用分子、分母为平方式达到分式 的分子与分母约简的目的. 解:?? ? ? ?

3? ? ? 3? ,? ? ? 2 2 2 4

1 ? cos? ? ? 2 cos
(sin

?
2

, 1 ? cos? ? 2 sin

?
2

? cos ) 2 ? 2 2 ? ? ? 2 cos 原式 ? ? ? ? ? 2 ? 2(sin ? cos ) 2(sin ? cos ) 2 2 2 2 (sin

?

? cos ) 2 2 2

?

?

?

给角求值:解决这类问题的一般规律是恰当的应用诱导公式、三角函数公式合理的
进行角的变换,并利用和角、差角、二倍角公式使其转化为特殊角的三角函数值的求解问 题.

【例 4】 (tan10? ? 3) ? sin 40? ?



解析:首先采用“切化弦” ,然后逆用差角公式与倍角公式化向同角(特殊角) .

原式 ?

2(sin10? cos 60? ? cos10? sin 60? ) sin10? ? 3 cos10? ? ? ? sin 40? ? sin 40 cos10? cos10? ? 2 sin 5 0 si? n 40 2 ?s i n 4 0? c o s 4 0 ? sin 80 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? cos10 cos10 cos10
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三角恒等变换(第 7 课时)

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条件求值:解决这类问题的一般规律是将所给的三角函数式(条件)根据问题的需
要进行变形,使其转为为所求函数式需要的条件,也可将所求的三角函数式经过适当的变 形后再利用条件.

【例 5】若 sin(

?
6

??) ?

1 2? ? 2? ) ? ,则 cos( 3 3



解析:角的拆分——如何将要求的角用已知角表示 2(

2? ? 2? ) ? ? . 6 3 2? ? ? ? 7 cos( ? 2? ) ? cos[? ? 2( ? ? )] ? ? cos[2( ? ? )] ? 2sin 2 ( ? ? ) ?1 ? ? . 3 6 6 6 9 ? ?) ? (

?

【例 6】已知 tan(? ?

1 ? 1 ) ? , tan( ? ? ) ? ? ,求 tan(? ? ? ) 的值. 2 2 2 3 ? ? ??? 解析:拆角变换仍然是本题的核心,观察发现 (? ? ) ? (? ? ) ? ,这是本题
2 2 2

?

的突破口,由此推得 tan(? ? ? ) 的值.

an ?( ) ?? ? ? ? t a n?( ? 2 ?) t ? 2 ?1 tan ? t a? n[ ?( ? ? )? ( ? )] 2 2 2 1 ? tan(? ? ? ) tan( ? ? ? ) 7 2 2 tan(? ? ? ) ? tan(2 ?

?

?

? ??
2

)?

7 2 ? ? ? ? 24 1 ? tan 2 2

2 tan

? ??

【练习】已知 sin(

?
4

? x) ?

5 ? , 0 ? x ? ,求 13 4

cos 2 x

解析:?sin(

?
4

? x) ?

? 5 , 0 ? x ? ,? cos( ? x) ? 4 13 4 13
? ? ?

cos( ? x) 4 ? 12

?

的值.

s i n ( ? x2 ) 2 s i ? nx ( ) c?oxs ( ) ? 24 2 4 4 ? ? ? ? 2 cos( x ? )? ? ? ? 4 13 cos(?x ) s i n? (x ) s? in x( ) 4 4 4 cosx 2

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【例 7】已知 sin(

2 破口,由此推得 cos 2? ,进而求得 sin 2? ,再利用二倍角公式求得 sin 4? 的值.

? 1 ? ? ? ) sin( ? ? ) ? ,且 ? ? ( , ? ) ,求 sin 4? 的值. 4 4 6 2 ? ? ? 解析:拆角变换仍然是本题的核心,观察发现 ( ? ? ) ? ( ? ? ) ? ,这是本题的突
4 4

?

? ? 1 ? ? 1 ?sin( ? ? )sin( ? ? ) ? ,?2sin( ? ? )cos( ? ? ) ? , 4 4 6 4 4 3 ? 1 1 ?sin( ? 2? ) ? ,即 cos 2? ? . 2 3 3 2 2 ? 又?? ? ( , ? ) ? 2? ? (? ,2? ) ,? sin 2? ? ? 1 ? cos 2 2? ? ? 3 2 4 2 ? sin 4? ? 2sin 2? cos 2? ? ? . 9

恒等式证明:通过三角恒等变换,消除三角等式两端的差异,证明的基本思路是化
繁为简,左右归一或变更论证. 【例 8】求证:

1 ? sin 2? . 1 ? 4 ? tan ? 2 tan 2
?
2
,右边为 2? ,等式左边为余弦.正切且为

cos2 ?

解析:观察被证等式,左边角为 ? 与

分式,于是应从切化弦入手,利用倍角公式化 左边 ?

?
2

为 ? ,再化 ? 为 2? .

cos sin

? ?

cos 2 ? 2 ? sin cos

? ?
2 2

? cos 2

cos 2 ?

?

2

? sin 2 cos

?
2

?

2

sin

?
2

?
2

cos 2 ? 1 1 ? sin ? cos ? ? sin 2? ? 右边 2cos ? 2 4 sin ?

所以,原等式成立. 【练习】已知 sin ? ? m sin(2? ? ? ) ,且 ? ? ? ? 求证: tan(? ? ? ) ?

?

k? ? k ? ,k? Z ,? ? , k ? Z , m ? 1, 2 2

1? m tan ? . 1? m 解析:? sin ? ? m sin(2? ? ? ) , sin[(? ? ? ) ? ? ] ? m sin[(? ? ? ) ? ? ]
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三角恒等变换(第 7 课时)

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?s i n ? (? ? ) c ?o? s ? c? o? s( ? ? )m s i n ? ? ?s i n? ( ? m ) c? o? s? ? ( 1? m ) s i? n? (? ) ?c? o s ? m (1 ? ? )? c o s (? ) sin

? cos(

) sin

?? ? ? ?

k? , k ? Z , m ? 1 得 cos ? ? 0,cos(? ? ? ) ? 0,1 ? m ? 0 2 2 1? m 两边同除 (1 ? m)cos ? cos(? ? ? ) 得 tan(? ? ? ) ? tan ? 1? m ? k? , k ? Z ,? ?

?

方法梳理:常用方法为化弦法、化切法、拆项拆角法、常数代换法等等,要熟练
掌握基本公式,善于从中选择巧妙的简捷方法.

函数的性质及最值问题:一般是先利用和差倍半公式,对三角函数式通过恰当的
三角变换化为单一三角函数的形式,从而研究等价转化后的函数的性质. 【例 9】求函数 y ? sin 4 x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x 的最小正周期和最小值,并写出该函 数在 [0, ? ] 上的单调的增区间. 解析:

y ? sin 4 x ? 2 3sin x cos x ? cos4 x ? (sin2 x ? cos2 x)(sin2 x ? cos2 x) ? 3sin 2x
? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2(sin 2 x ?
故函数的最小正周期为 T ? ? ;

3 1 ? ? cos 2 x ? ) ? 2sin(2 x ? ) 2 2 6

3? 5? ,即 x ? k? ? , k ? Z ,函数有最小值为 ?2 ; 6 2 6 5? ? 函数在 [0, ? ] 上的单调增区间为 [0, ] 和 [ , ? ] . 6 3
当且仅当 2 x ?

?

? 2k? ?

方法规律总结:在解决三角函数的化简、求值、证明中常常从减少三角
函数的角、 名入手, 在化简中应注意角的范围所确定的三角函数值的符号, “切 化弦” 以及用非特殊角化特殊角是三角函数式的求值、化简、证明的常用手段.

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