高中数学 3-3-2 两点间的距离公式课件 新人教A版必修(1)

第三章
直线与方程

第三章
3.3 直线的交点坐标与距离公式

第三章
3.3.2 两点间的距离公式

课前自主预习

方法警示探究 课堂基础巩固

思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答

课前自主预习

温故知新 1.在平面直角坐标系中,易知x轴上的两点A(x1,0)、
|x1-x2| B(x2,0)间的距离为|AB|=_______;在y轴上两点C(0,y1)、 |y1-y2| D(0,y2)间的距离为|CD|=________. 平行且相等 2.平行四边形的性质:平行四边形的对边__________, 互相平分 对角线____________.

3.勾股定理: 在直角三角形ABC中,若∠B为直角,则AC2=
AB2+BC2 ___________.

4.直线l1:2x+3y+4=0与l2:4x+6y+8=0的位置关系 是( ) A.重合 C.垂直
[答案] A

B.平行 D.相交但不垂直

5.直线y=2x+10,y=x+1,y=ax-2交于一点,则a的 值是( )

2 A.1 B.- 3 2 C.3 D.-1

[答案] C

6.过直线2x-y+4=0与x-y+5=0的交点,且平行于直
x-2y+11=0 线x-2y=0的直线方程是_________________.

新课引入

国际油价不断上涨,为了节约成本,很多航空公司都在 调整航线,如果把城市看成坐标系上的点,那么如何计算出 两点间的距离呢?本节,我们共同研究——两点间的距离.

自主预习 阅读教材P104~106,回答下列问题. 1.两点间的距离公式 (1)公式:点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2. (2)文字叙述:平面内两点的距离等于这两点的横坐标之 差与纵坐标之差的平方和的算术平方根. [破疑点]坐标平面内两点间的距离公式是数轴上两点间距 离公式的推广.

已知点P1(5,1),P2(2,-2),则|P1P2|=________.

[答案] [解析]

3 2 |P1P2|= ?5-2?2+?1+2?2=3 2.

2.坐标法

代数 (1)定义:通过建立平面直角坐标系,用______方法解决
几何问题的方法称为坐标法.

坐标系 (2)步骤:①建立________,用坐标表示有关的量:②进 翻译 代数运算 行有关_________;③把代数运算结果“_____”成几何关
系.

用坐标法证明:矩形的对角线相等.

[证明]

如图所示,以矩形ABCD的顶点A为原点,以AB

所在直线为x轴建立直角坐标系. 设|AB|=m,|AD|=n, 则A(0,0),B(m,0),C(m,n),D(0,n). ∴|AC|= m2+n2, |BD|= ?0-m?2+?n-0?2= m2+n2. ∴|AC|=|BD|,即矩形的对角线相等.

思路方法技巧

命题方向

求平面上两点间距离

[例1] [分析]

已知A(a,3)和B(3,3a+3)的距离为5,求a的值. 利用两点间距离公式列方程解得a的值.

[解析]
2

∵|AB|= ?a-3?2+?3-3a-3?2=5,

8 即5a -3a-8=0,∴a=-1或a= . 5

规律总结:解析几何中的一些距离问题常与方程联系起 来,它体现了几何问题代数化处理的策略.

已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点 P的坐标为________.

[答案] (-5,0)或(11,0)

[分析] 求解. [解析]

设出点P的坐标,根据两点间距离公式,列方程

设点P的坐标为(x,0),由d(P,A)=10得

?x-3?2+?0-6?2=10, 解得x=11或x=-5. ∴点P的坐标为(-5,0)或(11,0).

命题方向

两点间距离公式的应用

[例2]

已知△ABC的三个顶点坐标是A(1,-1),B(-

1,3),C(3,0). (1)判定△ABC的形状; (2)求△ABC的面积. [分析] 可按照以下流程进行思考:

[解析] 证

(1)如图,△ABC可能为直角三角形,下面进行验

法一:∵|AB|= ?-1-1?2+[3-?-1?]2= 20=2 5, |AC|= ?3-1?2+[0-?-1?]2= 5, |BC|= [3-?-1?]2+?0-3?2= 25=5, ∴|AB|2+|AC|2=|BC|2, 即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.

3-?-1? 0-?-1? 1 法二:∵kAB= =-2,kAC= = , 2 -1-1 3-1 ∴kAB·AC=-1, k ∴AB⊥AC, ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形. (2)∵∠A=90° , 1 ∴S△ABC= |AB|· |AC|=5. 2

规律总结:判定三角形形状的依据是三角形的分类标 准,由边的分类或角的分类进行解决.

已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)求证:△ABC为等腰三角 形.

[解析]

∵|AB|= ?4-2?2+?3-1?2=2 2,

|AC|= ?0-2?2+?5-1?2=2 5, |BC|= ?5-3?2+?0-4?2=2 5, ∴|AC|=|BC|. 又∵A、B、C三点不共线,∴△ABC为等腰三角形.

命题方向

坐标法的应用

[例3]

用坐标法证明:三角形的中位线平行于第三边

且等于第三边的一半. [分析] 以第三边所在直线为x轴,并以其中点为原点建

立坐标系,利用斜率相等证明平行,利用两点间距离公式证 明长度关系.

[证明] 点.

如图所示,E,F分别是△ABC的边AB和AC的中

以线段BC的中点为原点,直线BC为x轴,建立如图所示 的直角坐标系.

设A(a,b),C(c,0),则B(-c,0). a-c b 则AB的中点E的坐标是( , ),AC的中点F的坐标是 2 2 a+c b ( 2 ,2). 所以|EF|= |BC|=2|c|. a-c a+c 2 b b 2 ? - ? +? - ? =|c|; 2 2 2 2

1 ∴|EF|= |BC|. 2 又kEF=0,kBC=0, ∴EF∥BC. 综上所述,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边 的一半.

规律总结:解决本题的关键是建立适当的坐标系,以及 转化为代数问题,即转化为距离大小和斜率相等问题.

已知Rt△ABC,∠B为直角,AB=a,BC=b,建立适当 的坐标系,写出顶点A,B,C的坐标,并求证斜边AC的中点 M到三个顶点的距离相等.

[分析]

取直角边所在的直线为坐标轴建立坐标系,再写

出各顶点坐标,给出证明.

[解析]

取边BA所在的直线为x轴,边BC所在的直线为y

轴,建立直角坐标系,如图,则三个顶点的坐标分别为 A(a,0),B(0,0),C(0,b).由中点坐标公式得斜边AC的中点M a b 的坐标为( , ). 2 2 ∴|MA|= |MB|= |MC|= a2 b 1 2 2 ?a- ? +? -0? = a +b2, 2 2 2 a2 b2 1 2 ?0- ? +?0- ? = a +b2, 2 2 2 a2 b2 1 2 ?0-2? +?b-2? =2 a +b2,

∴|MA|=|MB|=|MC|.

[点评]

在建立坐标系时,适当的坐标系能使运算更加简

便(如本例以两直角边为坐标轴建立坐标系),故在建坐标系时 要有效地利用条件中的垂直、对称等关系.

课堂基础巩固

1.已知M(2,1),N(-1,5),则|MN|等于( A.5 B. 37

)

C. 13 D.4
[答案]
[解析]

A
|MN|= ?2+1?2+?1-5?2=5.

2.已知点A(2k,-1),B(k,1),且|AB|= 13 ,则实数k等 于( ) A.± 3 B.3

C.-3 D.0
[答案] A

[解析]

由题意得 ?2k-k?2+?-1-1?2= 13,

解得k=± 3.

3.已知△ABC的顶点A(2,3),B(-1,0),C(2,0),则△ ABC的周长是( A.2 3 ) B.3+2 3

C.6+3 2 D.6+ 10
[答案] C

4.一条线段的长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),另 一个端点B的横坐标是-1,则点B的纵坐标是( A.-3 B.5 )

C.-1或-3 D.-3或5

[答案]

D

5.若x轴上的点M到原点的距离与到点N(5,-3)的距离 相等,则M点的坐标是( A.(-2,0) B.(1,0) 3 C.(2,0) D.(3.4,0)
[答案] D

)

6.已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)、B(10,4)、C(2,- 4),则BC边上的中线AM的长为________.

[答案]

65

1 3 7.已知点A(3,-1),B( 2 , 2 ),C(3,4),试判断△ABC的 形状.

[解析] |AB|=

由两点间的距离公式,得 12 32 5 2 ?3- ? +?-1- ? = , 2 2 2

|AC|= ?3-3?2+?-1-4?2=5, |BC|= 1 3 5 2 2 2 ? -3? +? -4? = . 2 2 2

因为|AB|=|BC|,且|AC|2=|AB|2+|BC|2=25, 所以△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形.

8.正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的 中点,试建立坐标系,求证:BF⊥AE. [分析] 以AB和AD分别作为x轴、y轴建立平面直角坐标

系,转化为证明kAEkBF=-1即可.

[解析]

建立平面直角坐标系,如图所示,

则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0). 4-0 2 1 ∴kAE=4=2,kBF= =-2. 2-4 1 ∴kAEkBF= ×(-2)=-1,即BF⊥AE. 2


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