江苏省高考数学二轮复习 专题6 三角函数的图象与性质

江苏省 2013 届高考数学(苏教版)二轮复习专题 6 图象与性质

三角函数的

回顾 2008~2012 年的考题,2008 年第 1 题考查了三角函数的周期性,2009 年第 4 题考 查了函数 y=A ω x+φ 的图象和周期,2010 年第 10 题考查了三角函数的图象和性质, ω x+φ 的图象和性质,2012 年没有考查.

2011 年第 9 题考查了函数 y=A 预测在 2013 年的高考题中:

填空题依然是考查三角函数图象与性质,随着题目设置的顺序,难度不一. 在解答题中,三角函数的化简以及三角函数的性质依然是解答题第一题的考查点, 也可能与解三角形或平面向量结合命题.

1.(2011·江苏高考) 函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A, ω, φ 为常 数,A>0,ω >0)的部分图象如图所示,则 f(0)的值是________. 解析:由图象可得 A= 2,周期为 4×? 2.将?

?7π -π ?=π ,所以 ω = ? ? 12 3 ?

?7π ,- 2?代入得 2×7π +φ =2kπ +3π ,即 φ =2kπ +π ,所以 f(0)= 2sin φ ? 12 2 3 ? 12 ?

π 6 = 2sin = . 3 2 答案: 6 2

2 . (2012· 南 京 第 二 次 模 拟 ) 已 知 函 数 y = Asin(ω x + π? ? φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的部分图象如图所示,则 ω 的值为________. 2? ? 解析:由图可知函数的最大值为 2,故 A=2.由 f(0)= 2,可得 sin

φ=

2 π π ?π ? ?ω π +π ?=1,故ω π +π =π + ,而|φ |< ,故 φ = ;再由 f? ?=2 可得 sin? 4? 2 2 4 12 4 2 ?12? ? 12 ?

T π π 2kπ ,又 > ,即 T> ,故 0<ω <6,故 ω =3. 4 12 3
答案:3

? π? 3.定义在区间?0, ?上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象的交点为 P,过点 2? ?
P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________.
解析:画出函数的图象,如图所示,由 y=6cos x 与 y=5tan x 联立成 5sin x 2 方程组得:6cos x=5tan x,即 6cos x= ,也即 6sin x+5sin x-6 cos x 2 3 2 =0,解得 sin x= 或 sin x=- (舍去),故 P1P2=sin x= . 3 2 3 2 答案: 3 π π? ? 4.设函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- <φ < ?,给出以下四个论断: 2 2? ? π ①它的图象关于直线 x= 对称; 12

?π ? ②它的图象关于点? ,0?对称; ?3 ?
③它的周期为 π ;

? π ? ④在区间?- ,0?上是增函数. ? 6 ?
以其中两个论断作为条件,余下论断作为结论,写出你认为正确的两个命题: (1)________________;(2)________________. π π 解析:①③成立时,f(x)的图象可能为下图中的一个.但图 2 不能满足- <φ < .在图 2 2

? π ? ?π ? 中可得端点 A?- ,0?,B? ,0?,故②④成立.同理②③成立时,①④成立. ? 6 ? ?3 ?

答案:①③? ②④;②③? ①④ 5 . (2012· 江 苏 命 题 专 家 原 创 卷 ) 已 知 函 数 f(x) = 3 sin(ω x + φ ) - cos(ω x + π φ )(0<φ <π ,ω >0)为偶函数,且函数 y=f(x)的图象的两条对称轴之间的最小距离为 ,则 2

f(x)的解析式为________.
π? 2π ? 解析: f(x) = 3sin(ω x + φ ) - cos(ω x + φ ) = 2sin ?ω x+φ - ? ,由题意得 = 6? ω ? π? π? π ? ? 2× , 所以 ω =2.则 f(x)=2sin?2x+φ - ?.因为 f(x)为偶函数, 所以 f(0)=2sin?φ - ? 6? 6? 2 ? ? π? π π π π ? =±2,φ - =kπ + (k∈Z),又因为 0<φ <π ,故 φ - = ,即 f(x)=2sin?2x+ ?, 2? 6 2 6 2 ? 所以 f(x)=2cos 2x. 答案:f(x)=2cos 2x

[典例1] (1)给出下列六种图象变换方法: 1 ①图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变; 2 ②图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变; π ③图象向右平移 个单位长度; 3 π ④图象向左平移 个单位长度; 3 2π ⑤图象向右平移 个单位长度; 3 2π ⑥图象向左平移 个单位长度. 3

?x π ? 请用上述变换中的两种变换,将函数 y=sin x 的图象变换到函数 y=sin? + ?的图象, ?2 3 ?
那么这两种变换的序号依次是________(填上一种你认为正确的答案即可). (2) 函数 f(x) = Asin(ω x + φ )(A>0 , ω >0 , φ ∈ [0,2π )) 的图象如图所示,则 φ = ________.

? π? [解析] (1)y=sin x ④,y=sin?x+ ?②, 3? ?
1 ?x π ? y=sin? + ?,或 y=sin x ②,y=sin x⑥,

?2

3?

2

1? 2π ? ?x π ? y=sin ?x+ ?=sin? + ?. 3 ? 2? ?2 3 ? 2π π 3π ?π ? (2)T=2(7-3)=8,ω = = ,A=3,f(x)=3sin? x+φ ?,将(3,0)代入得 +φ 4 8 4 4 ? ? =2kπ +π ,即 φ =2kπ + π π .又 φ ∈[0,2π ),所以 φ = . 4 4

π [答案] (1)④②或②⑥(填出其中一种即可) (2) 4

(1)三角函数图象进行变换时,要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的 差异. (2)A, ω, φ 这三个值求解以 φ 最困难, 其中如果图象上没有给出最高点和最低点坐标, 而只给了函数的零点时,要区分对待,如点(3,0)在减区间内,则 3ω +φ =2kπ +π ,如点 (7,0)在增区间内,则 7ω +φ =2kπ .本题也可由对称性得到最低点坐标(5,-3),代入函数 式求 φ . [演练1] 1 使函数 y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的 ,然后再将其图 2 π 象沿 x 轴向左平移 个单位,得到的曲线与 y=sin 2x 相同. 6 (1)求 f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的单调递增区间. π? π ? π? ? 解: (1)y=sin 2x 的图象沿 x 轴向右平移 个单位得 y=sin 2?x- ?即 y=sin?2x- ?, 6? 3? 6 ? ? 再将每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍得

y=sin?x- ?. 3

? ?

π?

?

? π? ∴f(x)=sin?x- ?. 3? ?
π π π (2)由 2kπ - ≤x- ≤2kπ + ,k∈Z, 2 3 2 π 5π 解得 2kπ - ≤x≤2kπ + ,k∈Z. 6 6 ∴函数 y=f(x)的单调递增区间是

?2kπ -π ,2kπ +5π ?(k∈Z). ? 6 6 ? ? ?
[典例2]

π ?π ? (1)已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω >0)的图象关于直线 x= 对称,且 f? ?=0,则 3 ?12? ω 的最小值为________. π? ? (2)设函数 f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ )?ω >0,|φ |< ?的最小正周期为 π ,且 2? ?

f(-x)=f(x),则 f(x)的单调减区间为________.
[解析] (1)由题意得 ωπ π ωπ ωπ π +φ =kπ + ,又 +φ =k1π ,所以 =k′π + , 3 2 12 4 2

即 ω =4k′+2,又 ω >0,所以 ω 的最小值为 2. π? 2π π π ? (2)∵f(x)= 2sin?ω x+φ + ?,由题意知 =π ,且 φ + =kπ + (k∈Z), 4 ω 4 2 ? ? π 解得 ω =2,φ =kπ + (k∈Z). 4 π π 又∵|φ |< ,∴φ = . 2 4 π? ? ∴f(x)= 2sin?2x+ ?= 2cos 2x. 2? ? π 令 2kπ ≤2x≤2kπ +π ,得 kπ ≤x≤kπ + , 2 π? ? 故 f(x)的单调减区间为?kπ ,kπ + ?(k∈Z). 2? ? π? ? [答案] (1)2 (2)?kπ ,kπ + ?(k∈Z) 2? ?

(1)三角函数的对称轴和对称中心都可以转化为关于 ω ,φ 的二元方程. (2)由周期性可确定 ω 的值,由 f(-x)=f(x)可求出 φ 的值,确定解析式后,即可求出 三角函数的性质. [演练2]

? π? (1) 若 f(x) = Asin(ω x + φ ) + 1(ω >0 , |φ |<π ) 对 任 意 实 数 t , 都 有 f ?t+ ? = 3? ?
f?-t+ ?.记 g(x)=Acos(ω x+φ )-1,则 g? ?=________. 3 3

? ?

π?

?

?π ? ? ?

π? 4π ? (2)设 ω >0,函数 y=sin?ω x+ ?+2 的图象向右平移 个单位后与原图象重合, 则ω 3? 3 ? 的最小值是________. π? ? π? ? 解析:(1)由于任意实数 t,函数 f(x)有 f?t+ ?=f?-t+ ?成立,故 f(x)的图象关于 3? ? 3? ?

π ?π ? ?π ? ?π ? 直线 x= 对称,即 sin? ω +φ ?=±1,从而 cos? ω +φ ?=0,故 g? ?=-1. 3 ?3 ? ?3 ? ?3? π? 4π ? ? 4π ? π ? ? (2)将 y=sin?ω x+ ?+2 的图象向右平移 个单位后为 y=sin?ω ?x- ?+ ?+2 3 ? 3? 3? 3 ? ? ? π 4ω π ? 4ω π 3k ? =sin?ω x+ - ?+2,所以有 3 =2kπ ,即 ω = 2 . 3 3 ? ? 3k 3 又因为 ω >0,所以 k≥1,故 ω = ≥ , 2 2 3 所以 ω 的最小值是 . 2 3 答案:(1)-1 (2) 2 [典例3] π? π? 2? 2? 已知函数 f(x)=sin ?x- ?+cos ?x- ?+sin xcos x,x∈R. 6? 3? ? ? (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 的值; (2)求 f(x)在[0,π ]上的单调增区间. π? 2π ? ? ? 1-cos?2x- ? 1+cos?2x- ? 3? 3 ? 1 ? ? [解] (1)f(x)= + + sin 2x 2 2 2 π? 1 2 ? =1+ (sin 2x-cos 2x)= sin?2x- ?+1. 4? 2 2 ? π π 3π 当 2x- =2kπ + ,即 x=kπ + ,k∈Z 时, 4 2 8

f(x)取得最大值为

2 +1. 2

π π π (2)由 2kπ - ≤2x- ≤2kπ + , 2 4 2 π 3π 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8

? 3π ? ?7π ? 又因为 0≤x≤π ,所以 f(x)在[0,π ]上的增区间为?0, ?和? ,π ?. 8 ? ? 8 ? ?

三角函数性质的研究,关键是三角函数的化简,本题所给函数的解析式中方次均为二次, π 故需要用二倍角公式进行降幂, 再观察角分别为 2x- 与 2x, 还需要用和差角公式进行统一, 3 最终化归为 y=Asin(ω x+φ )+B 的形式,即可将 ω x+φ 看做整体,研究函数的性质. [演练3]

π? π? ? ? 2 已知函数 f(x)=sin?2x+ ?-cos ?2x+ ?+2cos x. 6? 3? ? ?

?π ? (1)求 f? ?的值; ?12?
(2)求 f(x)的最大值及相应 x 的值.

?π ? ? π π? ? π π? 2π 解:(1)f? ?=sin?2× + ?-cos?2× + ?+2cos 12 ?12? ? 12 6 ? ? 12 3 ?
π π π =sin -cos +1+cos 3 2 6 = 3 3 -0+1+ = 3+1. 2 2

π? π? ? ? 2 (2)∵f(x)=sin?2x+ ?-cos?2x+ ?+2cos x 6? 3? ? ? π π π π =sin 2xcos +cos 2xsin -cos 2xcos +sin 2xsin +cos 2x+1 6 6 3 3 π? ? = 3sin 2x+cos 2x+1=2sin?2x+ ?+1, 6? ? π? ? 当 sin?2x+ ?=1 时,f(x)max=2+1=3, 6? ? π π π 此时,2x+ =2kπ + ,即 x=kπ + (k∈Z). 6 2 6 [专题技法归纳] (1)三角函数的图象和性质的研究主要涉及的方向为正余弦函数相加后所得函数,首先需 要对所给函数进行化简,在化简的过程中要注意“角”“名”“次”的统一,化简后的函数 需要整体处理(换元),再研究其性质,对 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的性质必须掌握. (2)在三角函数的性质研究时,要注意“形”和“式”之间的联系,即 A,ω ,x,φ 对 函数性质和图象的影响. (3)三角函数图象的变换中要注意先伸缩变换后平移变换与先平移变换后伸缩变换的差 异.

π 1.把函数 f(x)=sin(ω x+φ )(ω >0,φ 为锐角)的图象沿 x 轴向右平移 个单位长度 8 3π 或向左平移 个单位长度都可以得到 g(x)的图象,若 g(x)为奇函数,则函数 f(x)的图象的 8 对称轴方程为________.

解析:根据题意可以画出函数 f(x)的部分草图,如图所示.故易 知函数 f(x)的一条对称轴应为 y 轴, 其方程为 x=0, 再结合函数的周 1?3π ? π ?? 期性,可得所求的对称轴方程为 x= ? -?- ??·k+0(k∈Z), 2? 8 ? 8 ?? 即 x=


4

(k∈Z).

答案:x=


4

(k∈Z)

? π π? 2.已知函数 f(x)=2sin ω x(ω >0)在区间?- , ?上的最小值是-2,则 ω 的最小值 ? 3 4?
等于________. 解析:∵f(x)=2sin ω x(ω >0)的最小值是-2 时,

x=

2kπ π - (k∈Z), ω 2ω

π 2kπ π π ∴- ≤ - ≤ . 3 ω 2ω 4 3 3 ∴ω ≥-6k+ 且 ω ≥8k-2.∴ω min= . 2 2 3 答案: 2 π 5π ? π π ? 3.(2012·盐城第二次模拟)函数 f(x)=sin 2xsin -cos 2xcos 在?- , ?上的 6 6 ? 2 2? 单调递增区间为________. π? π 5π ? 解析: 依题意得 f(x)=cos?2x- ?, 当 2kπ -π ≤2x- ≤2kπ , 即 kπ - ≤x≤kπ 6 6 12 ? ? π + , 12

? π π? 其中 k∈Z 时,函数 f(x)是增函数,因此函数 f(x)在区间?- , ?上的单调递增区间是 ? 2 2? ?-5π ,π ?. ? 12 12? ? ? ? 5π π ? 答案:?- , ? ? 12 12?
π? ? 4.函数 y=Asin(ω x+θ )?其中A>0,ω >0,|θ |< ?的图象的一条对称轴的方程是 x= 2? ? π? π ? ,一个最高点的纵坐标是 3,要使该函数的解析式为 y=3sin?2x+ ?,还应给出一个条件 6? 6 ? 是________.

解析:确定了一条对称轴和最高点的纵坐标后,如果不知周期性,还是不能确定 ω ,解 析式不能确定. 答案:周期为 π π 5.y=sin 2x+acos 2x 的图象关于 x=- 对称,则 a 等于________. 8 π ? π ? 即 a=sin?-π ? 解析: y=sin 2x+acos 2x 的图象关于 x=- 对称, 则 f(0)=f?- ?, ? 2? 8 ? 4? ? ? =-1. 答案:-1 6.设函数 f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为 f(x)在[a,b]上 2 ? π? * 的面积,已知函数 y=sin nx 在?0, ?上的面积为 (n∈N ),

?

n?

n

? 2π ? (1)y=sin 3x 在?0, ?上的面积为________; 3 ? ? ?π 4π ? (2)y=sin(3x-π )+1 在? , ?上的面积为________. 3 ? ?3
2 4 ? 2π ? ?π 4π ? 解析:y=sin 3x 在?0, ?上的面积为 ×2= ,y=sin(3x-π )+1 在? , ?上的 3 3 ? 3 3 ? ? ?3 2 图象为一个半周期结合图象分析其面积为 +π . 3 4 2 答案:(1) (2) +π 3 3 πx 7.当 0≤x≤1 时,不等式 sin ≥kx 成立,则实数 k 的取值范围是________. 2 πx πx 解析:作出 y1=sin 与 y2=kx 的图象,要使不等式 sin ≥kx 成立, 2 2 由图可知需 k≤1. 答案:(-∞,1] π? ? 8.(2012·新课标全国卷改编)已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在 4? ?

?π ,π ?上单调递减.则 ω 的取值范围是________. ?2 ? ? ?
π? π ? 解析: 函数 f(x)=sin?ω x+ ?的图象可看作是由函数 f(x)=sin x 的图象先向左平移 4? 4 ? 1 ? π? 个单位得 f(x)=sin?x+ ?的图象,再将图象上所有点的横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标 4? ω ?

? π? ? π 5π ? 不 变 得 到 的 , 而 函 数 f(x) = sin ?x+ ? 的 减 区 间 是 ? , ? , 所 以 要 使 函 数 f(x) = 4? 4 ? ? ?4

π 1 π × ≤ , ? ?4 ω 2 π ? ?π ? ? sin?ω x+ ?在? ,π ?上是减函数,需满足? 4? ?2 ? ? 5π 1 × ≥π , ? ?4 ω

1 5 解得 ≤ω ≤ . 2 4

?1 5? 答案:? , ? ?2 4?
π? ? ?π ? ?π ? ?π π ? 9.已知 f(x)=sin?ω x+ ?(ω >0),f? ?=f? ?,且 f(x)在区间? , ?有最小值, 3 6 3 ? ? ? ? ? ? ?6 3? 无最大值,则 ω =________. π π 3π 14 解析:由题意知 ω + = ,解之得 ω = . 4 3 2 3 14 答案: 3

? ?π ?? 10.设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤?f? ??对一切 x∈R ? ? 6 ??
恒成立,则 ①f?

?11π ?=0;②?f?7π ??<?f?π ??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调 ? ? ? 10 ?? ? ? 5 ?? ? 12 ? ? ? ?? ? ? ??

π 2π ? ? 递增区间是?kπ + ,kπ + ?(k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相 6 3 ? ? 交. 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号)

? ?π ?? 2 2 2 2 解 析 : f(x) = asin 2x + bcos 2x = a +b sin(2x + φ )≤ a +b , 又 ?f? ?? = ? ? 6 ?? ?asinπ +bcosπ ?=? 3 1 ?≥0,由题意 f(x)≤?f?π ??对一切 x∈R 恒成立,则 a2+b2 ? ? ? 6 ?? ? a+ b? 3 3? ? ? ?2 ? ? ?? 2 ?
≤? 3 2 1 2 3 ? 3 1 ? 2 2 2 2 a+ b?对一切 x∈R 恒成立,则 a +b ≤ a + b + ab,a +3b ≤2 3ab(ab≠0)恒成 4 4 2 2 ? ?2
2 2 2 2

立,而 a +3b ≥2 3ab,所以 a +3b =2 3ab,此时 a= 3b>0. π? ? 所以 f(x)= 3bsin 2x+bcos 2x=2bsin?2x+ ?. 6? ? ①f?

?11π ?=2bsin?11π +π ?=0,故①正确; ? ? 6 6? ? 12 ? ? ?

? ?7π ?? ? ?7π π ?? ? ?47π ??=2bsin?13π ?, ②?f? ??=?2bsin? + ??=?2bsin? ?? ? 30 ? 6 ?? ? ? ? 10 ?? ? ? 5 ? 30 ?? ? ? ?f?π ??=?2bsin?2π +π ??=?2bsin?17π ?? ? ? 5 ?? ? ? 5 ? ? ? 30 ?? 6? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??

=2bsin?

?13π ?,所以?f?7π ??=?f?π ??,故②不正确; ? ? ? 10 ?? ? ? 5 ?? ? 30 ? ? ? ?? ? ? ??

③f(-x)≠±f(x),所以③正确; π? π π ? ④因为 f(x)= 3bsin 2x+bcos 2x=2bsin?2x+ ?,b>0,由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ 6 2 6 ? ? π π π + ,得 kπ - ≤x≤kπ + ,所以④不正确; 2 3 6 ⑤由以上知 a= 3b>0,要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,则此直线与 横轴平行,又 f(x)的振幅为 2b>b,所以直线必与 f(x)图象有交点,⑤不正确. 答案:①③ π? ? 11.如图,函数 y=2sin(π x+φ ),x∈R,?其中0≤φ ≤ ?的图象与 2? ?

y 轴交于点(0,1).
(1)求 φ 的值; (2)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 夹角的余弦值. 解:(1)因为函数图象过点(0,1), 1 所以 2sin φ =1,即 sin φ = . 2 π π 又因为 0≤φ ≤ ,所以 φ = . 2 6 π? ? ? 1 ? ?1 ? ?5 ? (2)由函数 y=2sin?π x+ ?及其图象,得 M?- ,0?,P? ,2?,N? ,0?, 6 ? ? ? 6 ? ?3 ? ?6 ?

? 1 ? ?1 ? 所以 PM =?- ,-2?, PN =? ,-2?, ? 2 ? ?2 ?
PM · PN 15 从而 cos〈 PM , PN 〉= = , | PM |·| PN | 17
15 即 PM 与 PN 夹角的余弦值为 . 17 12.(2012·湖北高考)设函数 f(x)=sin ω x+2 3sin ω x·cos ω x-cos ω x+λ (x∈
2 2

?1 ? R)的图象关于直线 x=π 对称,其中 ω ,λ 为常数,且 ω ∈? ,1?. ?2 ?
(1)求函数 f(x)的最小正周期;

?π ? (2)若 y=f(x)的图象经过点? ,0?,求函数 f(x)的值域. ?4 ?
解:(1)因为 f(x)=sin ω x-cos ω x+2 3sin ω x·cos ω x+λ =-cos 2ω x+ 3sin π? ? 2ω x+λ =2sin?2ω x- ?+λ . 6? ?
2 2

由直线 x=π 是 y=f(x)图象的一条对称轴, π? ? 可得 sin?2ω π - ?=±1. 6? ? π π 所以 2ω π - =kπ + (k∈Z), 6 2

k 1 即 ω = + (k∈Z). 2 3
5 ?1 ? 又 ω ∈? ,1?,k∈Z,所以 k=1,故 ω = . 6 ?2 ? 6π 所以 f(x)的最小正周期是 . 5

?π ? ?π ? (2)由 y=f(x)的图象过点? ,0?得 f? ?=0, ?4 ? ?4?
π ?5 π π ? 即 λ =-2sin? × - ?=-2sin =- 2, 6 2 6 4 ? ? 即 λ =- 2.

?5 π ? 故 f(x)=2sin? x- ?- 2. 6? ?3
函数 f(x)的值域为[-2- 2,2- 2 ].


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