湖南省宁远二中2015届高三5月周考文科数学试题


2015 年宁远二中高三文科数学试卷(周考)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 A ? {1, 2,3} ,集合 B ? {?2, 2} ,则 A ? B ? A. ? B. {2} C. {?2, 2} ( D. {?2,1, 2,3} ( ) )

2.实部为-2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 ( )

2 3.命题“对任意 x ? R ,都有 x ? 0 ”的否定为
2 A.对任意 x ? R ,使得 x ? 0 2 B.不存在 x ? R ,使得 x ? 0

2 C.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

2 D.存在 x0 ? R ,都有 x0 ?0

4..函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是
2

(

)

A. B. C. D. 5.从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同的字母,则取到字母 a 的概率( A.

)

1 2

B.

1 3

C.

2 5

D.

3 5

6.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则该棱柱的体积为 ( )

A. 12 3

B. 36 3

C. 27 3

D.6

7.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且 最大值为5,那 么f(x)在区间[-7,-3]上是 ( ) A、增 函数且最小值是-5 C、减函数且最大值是-5 8.函数 y ? 2 ? 3x ? A. 2 ? 2 3 B、增函数且最大值是-5 D、减函数且最小值是-5 )
[来源:学科网 ZXXK]

4 ? x ? 0? 的最大值是( x
2?4 3

B.

C. 2 ? 2 3

D. 2 ? 4 3 )

??? ? ???? 9.已知点 A(?1, 1) 、 B(1, 2) 、 C (?2, ? 1) 、 D(3, 4) ,则向量 AB 在 CD 方向上的投影为(

3 2 3 15 3 2 3 15 B. C. ? D. ? 2 2 2 2 10.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-3x,则函数 g(x)=f(x)-x+3 的 零点的集合为( ) A.{1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{2- 7,1,3} D.{-2- 7,1,3}
A.

二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.) 11. lg 5 ? lg 20 的值是___________. 12.右图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是____.
? x ? t2 13.圆锥曲线 ? (t 为参数)的焦点坐标是____________ . ? y ? 2t

开始

s ? 0, n ? 1 s ? ( s ? n) ? n
n ? n ?1


14. 等比数列 ?an ? 的各项均为正数且 a1a5 ? 4 ,则

log2 a1 ? log2 a2 ? log 2 a3 ? log 2 a4 ? log 2 a5 =

.

n ? 3?
是 输出 s 结束

15. 设 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,对任意 x ? R ,都有

f ? x ?1? ? f ? x ? 1? , 且 当 x ? ? 0, 1 ? 时 , f ? x ? ? 2x ? 1 . 若

x ???1, 4 ? 时,关于 x 的方程 f ? x? ? loga ? x ? 2? ? 0 恰有 3 个不同的实数根,则 a 的
取值范围是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)等差数列 {an } 满足: a 2 ? a 4 ? 6 , a 6 ? S 3 ,其中 S n 为数列 {an } 前 n 项和. (Ⅰ)求数列 {an } 通项公式; (Ⅱ)若 k ? N * ,且 a k , a3k , S 2 k 成等比数列,求 k 的值.

17. (本小题满分 12 分)某城市持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康,汽车的尾气排 放是造成雾霾天气的重要因素之一,为此该城市实施了机动车尾号限行政策。现有家报社想 调查了解该市区公民对“车辆限行”的态度,在该城市里随机抽查了 50 人,将调查情况进行 整理后制成下表: 年龄(岁) 频 数 支持的人数

[15, 25) [25, 35) [35, 45) [45, 55) [55, 65) [65, 75] 2 4 20 14 5 5 1 3 15 11 4 4

(Ⅰ)请估计该市公民对“车辆限行”的支持率(答案用百分比表示); (Ⅱ)若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中采用分层抽样选取 3 人进行跟踪调查, 求选取的 3 人中有 2 人不支持“车辆限行”的概率.

18.(本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2asinB= 3b . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

19.(本小题满分 13 分) 如图,已知四棱锥的侧棱 PD⊥底面 ABCD,且底面 ABCD 是直角梯 形,AD⊥CD,AB∥CD,AB =AD= (1)求证:BC⊥平面 BDP; (2)若侧棱 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值为 PA 所成角的余弦值.

1 CD=2,点 M 在侧棱 PC 上. 2 1 ,点 M 为侧棱 PC 的中点,求异面直线 BM 与 2

2 20.(本小题满分 13 分)已知以点 ? 为圆心的圆: ? x ? 1? ? y ? 16 及定点 ? ?1,0 ? , 2

??? ? ???? 点 ? 是 圆 ? 上 的 动 点 , 点 Q 在 ?? 上 , 点 G 在 ?? 上 , 且 满 足 ?? ? 2?Q , ???? ??? ? GQ ? ?? ? 0 ,令点 G 的轨迹为 C . ?1? 求曲线 C 的方程;

? 2 ? 若直线 l :

3 ,试判断 4 ????的面积是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定值,请说明理由.

y ? kx ? m与曲线 C 相交于 ? , ? 两点,且 k?? ? k?? ? ?

21、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ? x ? ?

ln x 1 , g ? x? ? 1? . x x ?1? 令 F ? x ? ? xg ? x ? ? xf ? x ? ,求函数 F ? x ? 的最小值;

? 2 ? 若 x ? 1 且 x ? ?? ,试证明 f ? 2 ?1? ? f ? 3 ? 2 ? ? ??? ? f ? ? x ? x ? 1? ? ? ? x ? x ?1 .

1

数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本题有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 A 5 C 6 B 7 A 8 B 9 A 10 D

二、填空题:本题有 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11.1; 12.27; 13.(1,0); 14.5;

15. ? 3,5?

三、解答题:本题有 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.解: (1)由条件, (2) S n ?

a1 ? d ? a1 ? 3d ? 6? ?a1 ? 1 ? an ? n ; ??? a1 ? 5d ? 3a1 ? 3d ? ?d ? 1

??6 分

n(n ? 1) , ∵ a3k 2 ? ak ? S2k , ?9k 2 ? k ? k (2k ? 1) ? k ? 4 . ? ? 12 分 2

17.解(1)由表中可得支持率是

38 ,可以估计该市公民对“车辆限行”的支持率是 76%。 50

???5 分 (2)在[15,25),[25,35)的被调查者中的六人编号: 把[15,25)中的两人编号:1 号为不支持,2 号为支持; 把[25,35)中的四人编号:3 号为支持,4 号为支持,5 号为支持,6 号为不支持。 利用分层抽样则应该在[15,25)、[25,35)分别抽取 1 人、2 人,则所有可能如下: (1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),(1,4,6),(1,5,6) (2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6) 以上共有 12 种情形,其中有 2 人不支持的有 3 种情形,

所以选取的 3 人中有 2 人不支持“车辆限行”的概率为

3 1 ? . 12 4

???12 分

18. 【 答 案 】 解 :(Ⅰ) 由 已 知 得 到 :

2sin Asin B ? 3sin B

, 且

? ? ? 3 ,且 A ? (0, ) ? A ? ; B ? (0, ) ?sin B ? 0 ?sin A ? 2 3 2 2
(Ⅱ)由(1)知 cos A ?

1 ,由已知得到: 2

1 28 36 ? b2 ? c2 ? 2bc ? ? (b ? c)2 ? 3bc ? 36 ? 64 ? 3bc ? 36 ? bc ? 2 3
, 所以 S? ABC 19.

?

1 28 3 7 ? ? ? 3; 2 3 2 3

20

??? ? ???? ? ? ?? ? 2?Q .解: (1) ? ???? ??? ? Q 为 ?? 的中点,且 GQ ? ?? ? GQ 是 ?? 的中垂线 ? ? ?GQ ? ?? ? 0

? ?G ? G? ? G? ? G? ? G? ? G? ? 4 ? ?? ? 2 ……………………………………….…..4 分
?点 G 的轨迹是以 ? , ? 为焦点的椭圆, a ? 2 , c ? 1 ? b ? a2 ? c2 ? 3 ,?曲线 C 的轨迹方程是
(2)设 ? ? x1 , y1 ? , ? ? x2 , y2 ? ,

x2 y 2 ? ? 1 ……………………….…..6 分 4 3

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 y2 得 ? 3 ? 4k ? x ? 8mkx ? 4 ? m ? 3? ? 0 ……………7 分 ?1 ? ? 3 ?4
? ? 64m 2 k 2 ? 16 ? 3 ? 4k 2 ?? m 2 ? 3? ? 0 ,即 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0

4 m2 ? 3 8mk x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
2

?

?
2

y1 ? y2 ? ? kx1 ? m ?? kx2 ? m ? ? k x1 x2 ? mk ? x1 ? x2 ? ? m ?
3 3 yy 3 k?? ? k?? ? ? ,即 1 2 ? ? , y1 y2 ? ? x1 x2 4 4 x1 x2 4

3 ? m2 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2

.…………9 分

.………………10 分

?

3 ? m2 ? 4k 2 ? 3 ? 4k 2
2

2 3 4 ? m ? 3? 2 2 化简得 2m ? 4k ? 3 ?? ? 4 3 ? 4k 2

?? ? 1 ? k

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? k

2

48 ? 4k 2 ? m2 ? 3?

? 3 ? 4k ?

2 2

?

24 ?1 ? k 2 ? 3 ? 4k 2

d?

m 1? k 2

?

m2 3 ? 4k 2 ? 1? k 2 2 ?1 ? k 2 ?

.………………11 分

S????

2 1 1 24 ?1 ? k ? 3 ? 4k 2 ? ?? d ? ? ? 3 2 2 3 ? 4k 2 2 ?1 ? k 2 ?

故 ???? 的面积为定值 3 .………………13 分 21.解: (1) F ? x ? ? x ?1 ? ln x ,定义域为 ? 0, ?? ? 当 x ? 1 时, F ? x ? ? x ?1 ? ln x , F? ? x ? ? 1 ?

1 x ?1 ? ?0 x x
.………………3 分

? F ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是递增函数
当 0 ? x ? 1 时, F ? x ? ? 1 ? x ? ln x , F? ? x ? ? ?1 ?

1 ?0 x

? F ? x ? 在区间 ? 0,1? 上是递减函数
所以 F ? x ? 的增区间为 ?1, ?? ? ,减区间为 ? 0,1? 因此 F ? x ?min ? F ?1? ? 0 .………………6 分

(2)由(1)可知,当 x ? 1 时,有 x ? 1 ? ln x ? 0 ,即

ln x 1 ? 1 ? .………………8 分 x x

? f ? 2 ?1? ? f ? 3 ? 2 ? ? ??? ? f ? ? x ? x ? 1? ? ??

ln ? x ? x ? 1? ? ln ? 2 ?1? ln ? 3 ? 2 ? ? ? ? ??? ? ? 2 ?1 3? 2 x ? x ? 1?

? 1 ? ? 1 ? 1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ? ??? ? ?1 ? ? 2 ?1 ? ? 3 ? 2 ? ? x ? x ? 1? ? ? 1 1 1 ? ? x ?1? ? ? ? ??? ? ? x ? x ? 1? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 1 1 1 ? ? x ?1? ? ? ? ??? ? ? x ? x ? 1? ? ? 2 ? 3 3? 4

.………………10 分

.………………12 分

1 1 ? 1 ? ?1 1 1 1 ?1 ? x ? 1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? x ?1? ? ? ? x x ?1 ? ?2 3 3 4 ? 2 x ?1 ?
? x? 1 3 1 ? ? x? x ?1 2 x ?1
.………………13 分

故原不等式成立


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