四边形、矩形、菱形、正方形、梯形


2011 年全国各地中考数学压轴题专集:平行四边形、矩形、菱形、 正方形、梯形
1.图形既关于点 O 中心对称,又关于直线 AC,BD 对称,AC=10,BD=6,已知点 E,M 是线段 AB 上的动点(不与端点重合) ,点 O 到 EF,MN 的距离分别为 h1,h2.△OEF 与△ OGH 组成的图形称为蝶形. B (1)求蝶形面积 S 的最大值; G E M (2)当以 EH 为直径的圆与以 MQ 为直径的圆重合时,求 h1 与 h2 P O 满足的关系式,并求 h1 的取值范围. C Q H D F N

A

2.如图 1,已知正方形 OABC 的边长为 2,顶点 A、C 分别在 x、y 轴的正半轴上,M 是 BC 的中点,P(0,m)是线段 OC 上一动点(C 点除外) ,直线 PM 交 AB 的延长线于点 D. (1)求点 D 的坐标(用含 m 的代数式表示) ; (2)当△APD 是等腰三角形时,求 m 的值; (3)设过 P、M、B 三点的抛物线与 x 轴正半轴交于点 E,过点 O 作直线 ME 的垂线,垂足 为 H(如图 2) .当点 P 从点 O 向点 C 运动时,点 H 也随之运动,请直接写出点 H 所经过 的路径长. (不必写解答过程) D M H B

y
C P M

D B

y
C

P O 图1 A x O A 图2 E x

3.以平行四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形,直 角顶点分别为 E、F、G、H,顺次连结这四个点,得四边形 EFGH,设∠ ADC=?(0° <? < H 90° ) . (1)求∠ HAE 的大小(用含 ? 的代数式表示) ; (2)求证:HE=HG; A E (3)判断四边形 EFGH 是什么四边形?并说明理由.

D
G

B

C

F
4.在□ABCD 中,∠BAD 的平分线交直线 BC 于点 E,交直线 DC 于点 F. (1)在图 1 中证明 CE=CF; (2)若∠ABC=90° ,G 是 EF 的中点(如图 2) ,直接写出∠BDG 的度数 (3)若∠ABC=120° ,FG∥CE,FG=CE,分别连结 DB、DG(如图 3) ,求∠BDG 的度

数. A A B D E C F B E G C D A E D

B

C F

G F 5.如图,有一张长为 5 宽为 3 的矩形纸片 ABCD,要通过适当的剪拼,得到一个与之面积 图1 图2 图3 相等的正方形. (1)该正方形的边长为____________; (2)现要求只能用两条裁剪线.请你设计一种裁剪的方法.在图中画出裁剪线,并简要说 明剪拼的过程. D C

A

B

6.如图,矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E 在射线 BM 上. (1)连接 OE,与边 CD 交于点 F.若 CE=OC,求 CF 的长; (2)连接 DE、AE,AE 与对角线 BD 相交于点 P.若△ADE 为等腰三角形,求 DP 的长. A O F B C E M B C 备用图 7.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠DCB=45° ,CD=2,BD⊥CD.过点 C 作 CE⊥AB 于 E,交对角线 BD 于 F,点 G 为 BC 中点,连结 EG、AF. A D (1)求 EG 的长; E (2)求证:CF=AB+AF. F M D A O D

B

G

C

8.如图,正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条平行线 l1、l2、l3、l4 上,这四条直线中相邻 两条之间的距离依次为 h1、h2、h3(h1>0,h2>0,h3>0) . (1)求证:h1=h3; 2 2 (2)设正方形 ABCD 的面积为 S,求证:S=( h1+h2) +h1 ; 3 (3)若 h1+h2=1,当 h1 变化时,说明正方形 ABCD 的面积为 S 随 h1 的变化情况. 2

l1 l2 l3 l4 B

A h1 h2 D C h3

9.如图,已知四边形 ABDE、ACFG 都是△ABC 外侧的正方形,连接 DF,若 M、N 分别为 DF、BC 的中点,求证:MN⊥BC 且 MN= 1 BC. 2

E

G D M A F B N C

10.矩形纸片 ABCD 中,AD=12cm,现将这张纸片按下列图示方式折叠,AE 是折痕. (1)如图 1,P,Q 分别为 AD,BC 的中点,点 D 的对应点 F 在 PQ 上,求 PF 和 AE 的长; (2)如图 2,DP= (3)如图 3,DP= 1 1 AD,CQ= BC,点 D 的对应点 F 在 PQ 上,求 AE 的长; 3 3 1 1 AD,CQ= BC,点 D 的对应点 F 在 PQ 上. n n

①直接写出 AE 的长(用含 n 的代数式表示) ; ②当 n 越来越大时,AE 的长越来越接近于_________. D P A
图1

E

C F Q B

D P A

E F

C Q B
图2

D P

E F

C Q

A
图3

B

11.如图,等腰梯形 ABCD 中,AD=4,BC=9,∠B=45° .动点 P 从点 B 出发沿 BC 向点 C 运动,动点 Q 同时以相同速度从点 C 出发沿 CD 向终 D 运动,其中一个动点到达端点时, 另一个动点也随之停止运动. (1)求 AB 的长; (2)设 BP=x,问当 x 为何值时△PCQ 的面积最大,并求出最大值; (3)探究:探究:在 AB 边上是否存在点 M,使得四边形 PCQM 为菱形?请说明理由. A D Q B P C

12.如图①,将矩形 ABCD 折叠,使点 B 落在边 AD(含端点)上,落点记为 E,此时折痕 与边 BC 或边 CD(含端点)交于点 F,然后展开铺平,则以 B、E、F 为顶点的△BEF 称为 矩形 ABCD 的“折痕三角形” . (1) 由 “折痕三角形” 的定义可知, 矩形 ABCD 的任意一个 “折痕△BEF” 是一个_________ 三角形; (2)如图②,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=4,当它的“折痕△BEF”的顶点 E 位于 AD 的中点时,画出这个“折痕△BEF” ,并求出点 F 的坐标; (3) 如图③, 在矩形 ABCD 中, AB=2, BC=4, 该矩形是否存在面积最大的 “折痕△BEF” ? 若存在,说明理由,并求出此时点 E 的坐标?若不存在,为什么?

y
A (B) O E D

y
A (B) O
图②

y
E D A (B) O
图③

D

F
图①

C

x

C

x

C

x

13.如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90° ,AB=3,CD=6,BE⊥BC 交直线 AD 于 点 E. (1)当点 E 与 D 恰好重合时,求 AD 的长; (2)当点 E 在边 AD 上时(E 不与 A、D 重合) ,设 AD=x,ED=y,求 y 关于 x 的函数关 系式,并写出自变量 x 取值范围; (3)是否可能使△ABE、△CDE 与△BCE 都相似?若能,请求出此时 AD 的长;若不能, 请说明理由. A B

E D C

14.如图,矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,M 为 CD 中点,点 E 在线段 MC 上运动,FG 垂直平分 AE,垂足为 O,分别交 AD、BC 于 F、G. F A D AE (1)求 的值; FG (2)设 CE=x,四边形 AGEF 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式;当 y 取最大值时,判断四边形 AGEF 的 形状,并说明理由. B G O M E C

15.如图 1,矩形 ABCD 中,AB=10cm,BC=6cm,在 BC 边上取一点 E,将△ABE 沿 AE 翻折,使点 B 落在 DC 边上的点 F 处. (1)求 CF 和 EF 的长; (2)如图 2,一动点 P 从点 A 出发,以每秒 1cm 的速度沿 AF 向终点 F 作匀速运动,过点

P 作 PM∥EF 交 AE 于点 M,过点 M 作 MN∥AF 交 EF 于点 N.设点 P 运动的时间为 t(0 <t <10) ,四边形 PMNF 的面积为 S,试探究 S 的最大值? (3)以 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴,建立平面直角坐标系,如图 3,在(2)的条 件下,连接 FM,若△AMF 为等腰三角形,求点 M 的坐标. D F C E A
(图 1)

D P M

F N

C E

y
D P F N M A
(图 3)

C E

B

A
(图 2)

B

B

x

16.如图,四边形 OABC 是矩形,点 A、C 的坐标分别为(6,0) , (0,2) ,M 是线段 BC 上的动点(与端点 B、C 不重合) ,过点 M 的直线 y=- 2 x+m 交折线 OAB 于点 N. 3

(1)记△MOE 的面积为 S,求 S 与 m 的函数关系式,并写出 m 的取值范围; (2)当点 N 在线段 OA 上时,若矩形 OABC 关于直线 MN 的对称图形为四边形 O1A1B1C1. ①当 m 为何值时,B、N、B1 三点在同一直线上; ②试探究四边形 O1A1B1C1 与矩形 OABC 重叠部分的面积是否发生变化, 若不变, 求出该 重叠部分的面积;若改变,请说明理由.

y
C O M B A x C O

y
B A 备用图 x C O

y
B A 备用图 x

N

︵ 17.如图,边长为 1 的正方形 ABCD 中,以 A 为圆心,1 为半径作 BD ,将一块直角三角板 ︵ 的直角顶点 P 放置在 BD (不包括端点 B、D)上滑动,一条直角边通过顶点 A,另一条直 角边与边 BC 相交于点 Q,连接 PC,设 PQ=x. (1)△CPQ 能否为等边三角形?若能,求出 x 的值;若不能,说明理由; (2)求△CPQ 周长的最小值; (3)当△CPQ 分别为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形时,求 x 的取值范围. D P Q C D C D C

A

B

A 备用图

B

A 备用图

B

18.如图,菱形 ABCD 中,AB=10,sinA=

4 ,点 E 在 AB 上,AE=4,过点 E 作 EF∥AD, 5

交 CD 于 F,点 P 从点 A 出发,以每秒 1 个单位长的速度沿线段 AB 向终点 B 匀速运动,同 时点 Q 从点 E 出发,以相同的速度沿线段 EF 向终点 F 匀速运动,设运动时间为 t(秒) . (1)当 t=5 秒时,求 PQ 的长; (2)当 BQ 平分∠ABC 时,直线 PQ 将菱形 ABCD 的周长分成两部分,求这两部分的比; (3)以 P 为圆心,PQ 长为半径的⊙P 是否能与直线 AD 相切?如果能,求此时 t 的值;如 果不能,说明理由. B C B

C

E P A

Q

F D A

E D 备用图

F

19.如图,在平面直角坐标系中,四边形 ABCD 为菱形,AB=10,AB 边在 x 轴上,点 D 在 y 轴上,点 A 的坐标是(-6,0) . (1)求点 C 的坐标; (2)连接 BD,点 P 是线段 CD 上一动点(点 P 不与 C、D 两点重合),过点 P 作 PE∥BC 交 BD 于点 E,过点 B 作 BQ⊥PE 交 PE 的延长线于点 Q.设 PC 的长为 x,PQ 的长为 y, 求 y 与 x 之间的函数关系式(直接写出自变量 x 的取值范围) ; (3)在(2)的条件下,连接 AQ、AE,当 x 为何值时,S△BQE + S△AQE = 4 S ?并判断 5 △DEP

此时以点 P 为圆心,以 5 为半径的⊙P 与直线 BC 的位置关系,请说明理由.

y
D C

y
D C

A

O

B

x

A

O

B
备用图

x

20.在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E,作 EF⊥AB 交 BD 于点 F,如图 1. (1)将图 1 中的△BEF 绕点 B 逆时针旋转 90° ,取 DF 的中点 G,连接 EG,CG,如图 2, 则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系?请直接写出你的猜想; (2)将图 1 中的△BEF 绕点 B 逆时针旋转 180° ,取 DF 的中点 G,连接 EG,CG,如图 3, 则线段 EG 和 CG 有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明; (3)将图 1 中的△BEF 绕点 B 逆时针旋转任意角度,取 DF 的中点 G,连接 EG,CG,如 图 3,则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量关系和位置关系?请写出你的猜想,并加以证明. A D A G E F C F C B G F C C D A D A G D

21.如图,将矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中,点 D 在边 OC 上,点 E 在边 OA 上, 4 把矩形沿直线 DE 翻折,使点 O 落在边 AB 上的点 F 处,且 tan∠BFD= .若线段 OA 的 3 2 长是一元二次方程 x -7x-8=0 的一个根,又 2AB=3OA.请解答下列问题: (1)求点 B、F 的坐标; (2)求直线 ED 的解析式; (3)在直线 ED、FD 上是否存在点 M、N,使以点 C、D、M、N 为顶点的四边形是等腰梯 形?若存在,求点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

y
A E C O D x F B

22.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是梯形,BC∥OA,点 A 的坐标为(10,0) , 点 C 的坐标为(0,8) ,OA=OB. (1)求点 B 的坐标; (2)点 P 从点 A 出发,沿线段 AO 以 1 个单位/秒的速度向终点 O 匀速运动,过点 P 作 PH⊥OA,交折线 A-B-O 于点 H,设点 P 的运动时间为 t 秒(0≤t≤10) . ①是否存在某个时刻 t,使△OPH 的面积等于△OAB 面积的 3 ?若存在,求出 t 的值, 20

若不存在,请说明理由; ②以 P 为圆心,PA 长为半径作⊙P,当⊙P 与线段 OB 只有一个公共点时,求 t 的值或 t 的取值范围.

y
C B

y
C B

y
C B

O

A

x

O
备用图

A

x

O
备用图

A

x

23.如图,在 Rt△OAB 中,∠A=90° ,∠ABO=30° ,OB=

8 3 ,边 AB 的垂直平分线 CD 3

分别与 AB、x 轴、y 轴交于点 C、E、D. (1)求点 E 的坐标; (2)求直线 CD 的解析式; (3)在直线 CD 上和坐标平面内是否分别存在点 Q、P,使得 以 O、D、P、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

y
D

E O C A

B x

24.在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,设锐角∠DOC=α,将△DOC 绕点 O 按逆时针方向旋转得到△D′OC′(0° <旋转角<90° ) ,连接 AC′、BD′,AC′ 与 BD′ 相交于点 M. (1)当四边形 ABCD 是矩形时,如图 1,请猜想 AC′ 与 BD′ 的数量关系以及∠AMB 与 α 的 大小关系,并证明你的猜想; (2)当四边形 ABCD 是平行四边形时,如图 2,已知 AC=kBD,请猜想此时 AC′ 与 BD′ 的 数量关系以及∠AMB 与 α 的大小关系,并证明你的猜想; (3)当四边形 ABCD 是等腰梯形时,如图 3,AD∥BC,此时(1)AC′ 与 BD′ 的数量关系 是否成立?∠AMB 与 α 的大小关系是否成立?不必证明,直接写出结论. D′ A M C′ D O B 图1 C B 图2 A M O C′ C B 图3 D D′ A M O C D′ D C′

25.如图 l,己知正方形 ABCD,点 E、F 分别在边 AB、AD 上,且 AE=AF. (1)如图 2,将△AEF 绕点 A 顺时针旋转∠α,当 0° <α<90° 时,连接 BE、DF,判断线段 BE、DF 的数量关系和位置关系,并加以证明; (2)如图 3,将△AEF 绕点 A 顺时针旋转∠α,当 α=90° 时,连接 BE、DF,当 AE 与 AD 满足什么数量关系时,直线 DF 垂直平分 BE?请说明理由; (3)如图 4,将△AEF 绕点 A 顺时针旋转∠α,当 90° <α<180° 时,连接 BD、DE、EF、 FB 得到四边形 BDEF,则顺次连接四边形 BDEF 各边中点所组成的四边形是什么特殊四边 形?请说明理由. D C D C D C D C

F F A E B A E 图1 图2 B A E 图3 F B A E F 图4 B

26.如图,ABCD 是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形 ABCD 的边 AB 上取 一点 M,在 CD 上取一点 N,将纸片沿 MN 折叠,使 MB 与 DN 交于点 K,得到△MNK. C D A C B D A B K M N
1

(1)若∠1=70° ,求∠MKN 的度数; 1 (2)△MNK 的面积能否小于 ?若能,求出此时∠1 的度数;若不能,试说明理由; 2 (3)如何折叠能够使△MNK 的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值. D A C B D A C B

27.如图,等腰梯形 MNPQ 的上底长为 2,腰长为 3,一个底角为 60° .正方形 ABCD 的边 长为 1,它的一边 AD 在 MN 上,且顶点 A 与 M 重合.现将正方形 ABCD 在梯形的外面沿 边 MN、NP、PQ 进行翻滚,翻滚到有一个顶点与 Q 重合即停止滚动. (1)请在所给的图中,用尺规画出点 A 在正方形整个翻滚过程中所经过的路线图; (2)求正方形在整个翻滚过程中点 A 所经过的路线与梯形 MNPQ 的三边 MN、NP、PQ 所 围成图形的面积 S. N P

C B D A(M) Q

28.已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形,以 AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上的 动点(不与点 A、B 重合) ,连接 PA、PB、PC、PD. (1)如图①,当 PA 的长度等于_________时,∠PAB=60° ; 当 PA 的长度等于_________时,△PAD 是等腰三角形; (2)如图②,以 AB 边所在直线为 x 轴、AD 边所在直线为 y 轴,建立如图所示的直角坐标 系(点 A 即为原点 O) ,记△PAD、△PAB、△PBC 的面积分别为 S1、S2、S3.设 P 点坐标 为(a,b) ,试求 2S1S3-S2 的最大值,并求出此时 a、b 的值. y D C D S1 P S2 A (图①) B A (O) (图②) B x S3 C
2

P

29.如图,把边长为 1 的正方形纸片 OABC 放在直线 l 上,OA 边与直线 l 重合.将正方形 纸片绕着顶点 A 按顺时针方向旋转 90° ,此时点 O 运动到了点 O1 处(即点 B 处) ,点 C 运 动到了点 C1 处,点 B 运动到了点 B1 处;再将正方形纸片 AO1C1B1 绕顶点 B1 按顺时针方向 旋转 90° ,??,按上述方法经过若干次旋转.请解答下列问题: (1)求正方形纸片 OABC 经过 3 次旋转,顶点 O 经过的路程以及顶点 O 在此过程中所形 成的图形与直线 l 围成图形的面积; (2)求正方形纸片 OABC 经过 5 次旋转,顶点 O 经过的路程; (3)正方形纸片 OABC 经过多少次旋转,顶点 O 经过的路程是 C B(O1) 41+20 2 π? 2

C1

l O A B1

30.如图,将矩形纸片 ABCD 按如下顺序进行折叠:对折、展平,得折痕 EF(如图①) ; 沿 GC 折叠,使点 B 落在 EF 上的点 B′ 处(如图②) ;展平,得折痕 GC(如图③) ;沿 GH 折叠,使点 C 落在 DH 上的点 C′ 处(如图④) ;沿 GC′ 折叠(如图⑤) ;展平,得折痕 GC′、 GH(如图⑥) . (1)求图②中∠BCB′ 的大小; (2)图⑥中的△GCC′ 是正三角形吗?请说明理由. A E D A G B F
图①

E D B′

A G

D

A G

D C′

A

D C′ A′

A

E D C′ H F
图⑥

H G C
图④

H G C
图⑤

C

B

F
图②

C

B
图③

C

B

B

B

C

31.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,P 为 AB 的中点,Q 为边 CD 上一动点,设 DQ =t(0≤t≤2) ,线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点 M、N,过 Q 作 QE⊥AB 于点 E,过 M 作 MF⊥BC 于点 F. (1)当 t≠1 时,求证:△PEQ≌△NFM; (2)顺次连接 P、M、Q、N,设四边形 PMQN 的面积为 S,求出 S 与自变量 t 之间的函数 关系式,并求 S 的最小值. D Q C N M F

32.已知,矩形 ABCD 中,AB=4cm,BC=8cm,AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于 点 E、F,垂足为 O. (1)如图 1,连接 AF、CE.求证四边形 AFCE 为菱形,并求 AF 的长; (2)如图 2,动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一 周.即点 P 自 A→F→B→A 停止,点 Q 自 C→D→E→C 停止.在运动过程中, ①已知点 P 的速度为每秒 5cm,点 Q 的速度为每秒 4cm,运动时间为 t 秒,当 A、C、P、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 t 的值. ②若点 P、Q 的运动路程分别为 a、b(单位:cm,ab≠0) ,已知 A、C、P、Q 四点为顶点 的四边形是平行四边形,求 a 与 b 满足的数量关系式. A E D A P O B F
图1

E

D Q

A P B F

E

D Q C

C

B

F
图2

C

备用图

33.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90° ,AB=6,BC=8,AD=14,点 E、F、 G 分别在 BC、AB、AD 上,且 BE=3,BF=2,以 EF、FG 为邻边作□EFGH,连接 CH、 DH. (1)直接写出点 H 到 AD 的距离; (2)若点 H 落在梯形 ABCD 内或其边上,求△HGD 面积的最大值与最小值; (3)当△EHC 为等腰三角形时,求 AG 的长. B F H A G D E C

34.已知菱形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 BC、CD 上(点 E、F 分别不与点 C、D 重合) , 且 AE=AF,∠EAF=54° . (1)如图 1,当 AC 平分∠EAF 时,若 AB=AE,求∠AEB 的度数; (2)如图 2,当 AC 不平分∠EAF 时,若△ABE 是一个等腰三角形,求∠AEB 的度数. A A B E C 图1 F EC 图2 D B F D

35.如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90? ,BC=2,D 是线段 BC 上一点,以 AD 为边,在 AD 的右侧作正方形 ADEF.直线 AE 与直线 BC 交于点 G,连接 CF. (1)猜想线段 CF 与线段 BD 的数量关系和位置关系,并说明理由; (2)连接 FG,当△CFG 是等腰三角形时,求 BD 的长. A F B D G E 36.在矩形 ABCD 中,点 E 是 AD 边上一点,∠ABE=30° ,BE=DE,连接 BD.动点 M 从 点 E 出发沿射线 ED 运动,过点 M 作 MN∥BD 交直线 BE 于点 N. (1)如图 1,当点 M 在线段 ED 上时,求证:BE=PD+ 3 MN; 3 C B
备用图

A

C

(2)若 BC=6,设 MN 长为 x,以 M、N、D 为顶点的三角形面积为 y,求 y 关于 x 的函数 关系式; (3)在(2)的条件下,当点 M 运动到线段 ED 的中点时,连接 NC,过点 M 作 MF⊥NC 于 F,MF 交对角线 BD 于点 G(如图 2) ,求线段 MG 的长. A E M D A E D A N F B
图1

E

M G

D

N C B
备用图

C

B
图2

C

37.在矩形 ABCD 中,点 P 在 AD 上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在 P 处,直角尺 的两边分别交 AB、BC 于点 E、F,连接 EF(如图 1) . (1)当点 E 与点 B 重合时,点 F 恰好与点 C 重合(如图 2) ,求 PC 的长; (2) 探究: 将直尺从图 2 中的位置开始, 绕点 P 顺时针旋转, 当点 E 和点 A 重合时停止. 在 这个过程中,请你观察、 A P D A P 猜想,并解答: ①tan∠PEF 的值是否发 E 生变化?请说明理由; B ②直接写出从开始到停 B C F (E ) 止,线段 EF 的中点经过 图1 图2 的路线长.

D

C (F)

38.已知菱形 ABCD 的边长为 1,∠ADC=60° ,等边△AEF 两边分别交边 DC、CB 于点 E、 F. (1)特殊发现:如图 1,若点 E、F 分别是边 DC、CB 的中点,求证:菱形 ABCD 对角线 AC、BD 的交点 O 即为等边△AEF 的外心; (2)若点 E、F 始终分别在边 DC、CB 上移动,记等边△AEF 的外心为点 P. ①猜想验证:如图 2,猜想△AEF 的外心 P 落在哪一直线上,并加以证明; ②拓展运用:如图 3,当△AEF 面积最小时,过点 P 任作一直线分别交边 DA 于点 M,交 边 DC 的延长线于点 N,试判断 说明理由. N C F B C F B E A
图2

1 1 + 是否为定值.若是,请求出该定值;若不是,请 DM DN

C

F

B

E D

O A
图1

E D

P D

P M
图3

A

39.如图,在直角梯形 ABCD 中,∠D=∠BCD=90° ,∠ B=60° ,AB=6,AD=9,点 E 是 CD 上的一个动点(E 不与 D 重合) ,过点 E 作 EF∥AC,交 AD 于点 F(当 E 运动到 C 时, EF 与 AC 重合) ,把△DEF 沿着 EF 对折,点 D 的对应点是点 G.设 DE=x,△GEF 与梯 形 ABCD 重叠部分的面积为 y. (1)求 CD 的长及∠1 的度数; (2)若点 G 恰好在 BC 上,求此时 x 的值; (3)求 y 与 x 之间的函数关系式,并求 x 为何值时,y 的值最大?最大值是多少? A F
1

D

E B G C

40.如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90° ,AD=10,AB=3,BC=14,点 E、F 分别 在 BC、DC 上,将梯形 ABCD 沿直线 EF 折叠,使点 C 落在 AD 上一点 C′,再沿 C′G 折叠 四边形 C′ABE,使 AC′ 与 C′E 重合,且 C′A 过点 E. (1)试证明 C′G∥EF; (2)若点 A′ 与点 E 重合,求此时图形重叠部分的面积. A B C′ D F C A′ B′
备用图

A B

D

G

E

C

41.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=1,BC=2.将点 A 折叠 到 CD 边上,记折叠后 A 点对应的点为 P(P 与 D 点不重合) ,折痕 EF 只与边 AD、BC 相 交,交点分别为 E、F.过点 P 作 PN∥BC 交 AB 于 N,交 EF 于 M,连结 PA、PE、AM, EF 与 PA 相交于 O. (1)指出四边形 PEAM 的形状(不需证明) ; (2)记∠EPM=α,△AOM、△AMN 的面积分别为 S1 、S2 . S1 1 2 ①求证: = PA ; α 8 tan 2 ②设 AN=x,y= 范围. S1 - S2 ,试求出以 x 为自变量的函数 y 的解析式,并确定 y 的取值 α tan 2 A O N B F M P C E D

42.如图 1,边长为 2 的正方形 ABCD 中,E 是 BA 延长线上一点,且 AE=AB,点 P 从点 D 出发,以每秒 1 个单位长度的速度沿 D→C→B 向终点 B 运动,直线 EP 交 AD 于 F,过点 F 作直线 FG⊥DE 于 G,交 AB 于 Q.设点 P 运动时间为 t(秒) . (1)求证:AF=AQ; (2)当 t 为何值时,四边形 PQBC 是矩形? (3)如图 2,连接 PB,当 t 为何值时,△PQB 是等腰三角形? D G F E A 图1 Q B E P C G F A 图2 Q B D P C

43.如图 1,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠A=90° ,AB=AD=4,BC=6.点 E 为 AB 边上一点,EF∥DC,交 BC 边于点 F,FG∥ED,交 DC 边于点 G. (1)若四边形 DEFG 为矩形,求 AE 的长; (2)如图 2,将(1)中的∠DEF 绕 E 点逆时针旋转,得到∠D′EF′,EF′ 交 BC 边于 F′ 点, 且 F′ 点与 C 点不重合,射线 ED′ 交 AD 边于点 M,作 F′N∥ED′ 交 DC 边于点 N.设 AM 的 长为 x,△NF′C 中,F′C 边上的高为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并确定自变量 x 的取值 范围. D′ A D G A M D N E E

44.如图,四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0) ,A(8,0) ,B(4,4) ,C(0, 4) ,直线 l:y=kx+b 保持与四边形 OABC 的边交于点 M、N(M 在折线 AOC 上,N 在折线 ABC 上)设四边形 OABC 在 l 右下方部分的面积为 S1,在 l 左上方部分的面积为 S2,记 S= | S1-S2|. (1)求∠OAB 的大小; (2)当 M、N 重合时,求 l 的解析式; (3)当 b≤0 时,问线段 AB 上是否存在点 N 使得 S=0?若存在,求 b 的值;若不存在, 请说明理由; (4)求 S 与 b 的函数关系式。 y
4 2

C

B N

l

O
-2

M D

5

A x

45.如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB=4,AD=5,BD=3,以 B 点为坐标原点、AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系.将平行四边形 ABCD 绕 B 点逆时针方向旋转,使 C 点落在 y 轴正半轴上,C、D、A 三点旋转后的位置分别是 E、F 和 G 三点. (1)求证:点 D 在 y 轴上; (2)若直线 y=kx+b 经过 E、F 两点,求直线 EF 的解析式; (3)将平行四边形 EFGB 沿 y 轴正半轴向上平移,得平行四边形 E′F′G′B′.设 BB′=m(0 <m≤3) ,平行四边形 E′F′G′B′ 与平行四边形 ABCD 重叠部分的面积为 S,求 S 关于 m 的函 数关系式.

y
E D F A G B x C

46. 已知矩形 ABCD 中, AB=7, AD=6, 菱形 EFGH 的三个顶点 E、 G、 H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、CD、DA 上,且 AH=2,连接 CF. G C D (1)当四边形 EFGH 为正方形时,求 DG 的长; (2)当△FCG 的面积为 1 时,求 DG 的长; F (3)当△FCG 的面积最小时,求 DG 的长. H A E B

47.如图,在平面直角坐标系中,已知点 A(0,2) ,点 P 是 x 轴上一动点,以线段 AP 为 一边,在其一侧作等边三角线 APQ.当点 P 运动到原点 O 处时,记 Q 的位置为 B. (1)求点 B 的坐标; (2)求证:当点 P 在 x 轴上运动(P 不与 O 重合)时,∠ABQ 为定值; (3)是否存在点P,使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐 标;若不存在,请说明理由. y A B P O Q 48.如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,AB=m(m>4) ,点 P 是 AB 边上的任意一(不与点 A、B 重合) ,连结 PD,过点 P 作 PQ⊥PD,交直线 BC 于点 Q. (1)当 m=10 时,是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合?若存在,求出此时 AP 的长;若不 存在,说明理由; (2)连结 AC,若 PQ∥AC,求线段 BQ 的长(用含 m 的代数式表示) (3)若△PQD 为等腰三角形,求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函 数关系式,并写出 m 的取值范围. D C Q A P B x

49.已知正方形 ABCD,点 P 是对角线 AC 所在直线上的动点,点 E 在 DC 边所在直线上, 且始终保持 PE=PD. (1)如图 1,当点 P 在对角线 AC 上时,请你通过测量、观察,猜想 PE 与 PB 有怎样的关 系?(直接写出结论不必证明) ; (2)如图 2,当点 P 运动到 CA 的延长线上时, (1)中猜想的结论是否成立?如果成立, 请给出证明;如果不成立,请说明理由;

(3)如图 3,当点 P 运动到 CA 的反向延长线上时,请你利用图 3 画出满足条件的图形, 并判断此时 PE 与 PB 有怎样的关系?(直接写出结论不必证明) P A P D E
图1

B

A

B

A

B

C

E

D
图2

C

D
图3

C

P

50.已知菱形 ABCD 的边长为 5,∠DAB=60° .将菱形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转得到菱形 AEFG,设∠EAB=α,且 0° <α<90° ,连接 DG、BE、CE、CF. (1)如图 1,求证:△AGD≌△AEB; (2)当 α=60° 时,在图 2 中画出图形并求出线段 CF 的长; (3)若∠CEF=90° ,在图 3 中画出图形并求出△CEF 的面积. F D C E A
图1

D

C

D

C

B

A
图2

B

A
图3

B

51.如图:菱形 ABCD 由两个等边三角形组成,点 P 是△ABD 内任一点,将△BPD 绕点 B 旋转到△BQC 的位置.则: D (1)当四边形 BPDQ 是平行四边形时,求∠BPD; (2)当△PQD 是等腰直角三角形时,求∠BPD; (3)若∠APB=100° ,且△PQD 是等腰三角形时,求∠BPD. A Q P C

B 52.探究问题: (1)方法感悟: 如图①,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 DC,BC 边上的点,且满足∠EAF=45° ,连 + EF DE BF = EF 接 ,求证 . 感悟解题方法,并完成下列填空: 将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到△ABG,此时 AB 与 AD 重合,由旋转可得: AB=AD,BG=DE,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90° +90° ∴∠ABG+∠ABF=90° =180° 因此,点 G,B,F 在同一条直线上

-45° ∵∠EAF=45° ,∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90° =45° ∵∠1=∠2,∴∠1+∠3=45° 即∠GAF=∠_________. 又 AG=AE,AF=AF,∴△GAF≌_________. ∴_________=EF,故 DE+BF=EF. (2)方法迁移: 如图②, 将 Rt△ABC 沿斜边 AC 翻折得到△ADC, 点 E, F 分别为 DC, BC 边上的点, 且∠EAF 1 = ∠DAB.试猜想 DE,BF,EF 之间有何数量关系,并证明你的猜想. 2 (3)问题拓展: 1 如图③, 在四边形 ABCD 中, AB=AD, E, F 分别为 DC, BC 上的点, 满足∠EAF= ∠DAB, 2 试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时,可使得 DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说 明理由) .

A
1 3

2

D E

A D

A

D E

E G B F
图①

C

B

F
图②

C

B

F
图③

C

53.如图,已知在直角梯形 ABCD 中,AD∥ BC,AB⊥ BC,AD=11,BC=13,AB=12.动 点 P、 Q 分别在边 AD 和 BC 上, 且 BQ=2DP. 线段 PQ 与 BD 相交于点 E, 过点 E 作 EF∥ BC, 交 CD 于点 F,射线 PF 交 BC 的延长线于点 G,设 DP=x. (1)求 DF 的值. CF

(2)当点 P 运动时,试探究四边形 EFGQ 的面积是否会发生变化?如果发生变化,请用 x 的代数式表示四边形 EFGQ 的面积 S;如果不发生变化,请求出这个四边形的面积 S. (3)当△ PQG 是等腰三角形时,求 x 的值. P A D E F

B

Q

C

G

54. 已知 P 为正方形 ABCD 的边 BC 上任意一点, BE⊥AP 于点 E, 在 AP 的延长线上取点 F, 使 EF=AE,连接 BF、CF. (1)如图 1,求证:BF=BC; (2)如图 2,∠CBF 的平分线交 AF 于点 G,连接 DG,求证:BG+DG= 2AG; (3)若正方形 ABCD 的边长为 2,当 P 点为 BC 的中点时,求 CF 的长. A E B P F D C D C A E B P G F

55. (1)如图①,在正方形 ABCD 中,△AEF 的顶点 E,F 分别在 BC,CD 边上,高 AG 与 正方形的边长相等,求∠EAF 的度数; (2)如图②,在 Rt△ABD 中,∠EAF=90° ,AB=AD,点 M,N 是 BD 边上的任意两点, 且∠MAN=45° ,将△ABM 绕点 A 逆时针旋转 90° 至△ADH 位置,连接 NH,试判断 MN, ND,DH 之间的数量关系,并说明理由. (3)在图①中,连接 BD 分别交 AE,AF 于点 M,N,若 EG=4,GF=6,BM=3 2,求 AG,MN 的长. A A B E G C
图①

D F B M
图②

H N D

56.如图,点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点(不与点 A,B 重合) ,连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90° 得到线段 PE,PE 交边 BC 于点 F.连接 BE,DF. C D (1)求证:∠ ADP=∠ EPB; (2)求∠ CBE 的度数; (3)当 AP 的值等于多少时,△ PFD∽ △ BFP?并说明理由. AB A P F B E

57.如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90° ,AB=8,CD=6,P 是 AB 边上一动点, 连接 DP,作 PQ⊥DP,交射线 BC 于点 E,设 AP=x,BE=y. (1)当 BC=4 时, ①试写出 y 关于 x 的函数关系式; ②若△APD 是等腰三角形,求 BE 的长; ③点 E 能否与 C 点重合,若能,求出相应的 AP 的长;若不能,请说明理由; (2)当 BC 在什么范围内时,存在点 P,使得 PQ 经过 C(直接写出结果) . ...... . D C Q E A P B A
备用图

D

C

D

C

B

A
备用图

B

58.如图,直线 l1 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(8,0) 、点 B,经过原点的直线 l2 与 AB 交于 15 点 C(3, ) ,与过点 A 且平行于 y 轴的直线交于点 D.E 是直线 AB 上的动点,过点 E 作 4

y 轴的平行线,与直线 CD 交于点 F,以 EF 为边向右侧作正方形 EFGH.设 E 点的横坐标 为 t. (1)点求直线 l1 的解析式; (2)当点 E 在线段 AC 上时,求正方形 EFGH 与△ACD 重叠部分的面积的最大值; 9 (3)设点 M 坐标为(4, ) ,在点 E 的运动过程中,点 M 能否在正方形 EFGH 内部?若 2
能,求 t 的取值范围;若不能,请说明理由.

y
D l1 B C E l2 O A H x F G

59.如图,在梯形 ABCD 中,已知 AD∥BC,∠B=90° ,AB=7,AD=9,BC=12,在线段 BC 上任取一点 E,连结 DE,作 EF⊥DE,交直线 AB 于点 F. (1)若点 F 与 B 重合,求 CE 的长; (2)若点 F 在线段 AB 上,且 AF=CE,求 CE 的长; (3)设 CE=x,BF=y,写出 y 关于 x 的函数关系式(直接写出结果即可) . A D A D

F B E C B
备用图

C

60.如图,等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=60° ,M 是 BC 的中点. (1)求证:△MDC 是等边三角形; (2)将△MDC 绕点 M 旋转,当 MD(即 MD′)与 AB 交于一点 E,MC(即 MC′)同时与 AD 交于点 F 时,点 E、F 和点 A 构成△AEF.试探究△AEF 的周长是否存在最小值,如果 不存在,请说明理由;如果存在,请计算出△AEF 周长的最小值. C′ A D F D′ E B C

M

61.如图,正方形 ABCD 的边长是 4,M 是 AD 的中点.动点 E 在边 AB 上运动.连接 EM 并延长交射线 CD 于点 F,过 M 作 EF 的垂线交射线 BC 于点 G,连接 EG、FG. (1)求证:△EFG 是等腰三角形; (2)设 AE=x,△EFG 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范 围; (3)在点 E 运动过程中,△EFG 是否可以成为等边三角形?请说明理由. M

F D

A E

B

C

G

62.如图,已知矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,点 E 是 AD 延长线上一点,且 DE=9,BE 交 AC 于点 P. (1)求 AP 的长; (2)试判断以点 A 为圆心、AP 为半径的⊙A 与线段 BE 的位置关系,并说明理由; (3)若以点 A 为圆心,r1 为半径的动⊙A,使点 D 在动⊙A 的内部,点 B 在动⊙A 的外部. ①求动⊙A 的半径 r1 的取值范围; ②当以点 C 为圆心,r2 为半径的动⊙C 与动⊙A 相切时,求 r2 的取值范围. B P A C

D

E

63.如图,在□ABCD 中,点 E、F 分别是 AB、CD 的中点,CE、AF 与对角线 BD 分别相 交于点 G、H. D F C (1)求证:DH=HG=BG; H (2)如果 AD⊥BD,求证:四边形 EGFH 是菱形. G A E B

64.如图,点 F 是正方形 ABCD 的边 CD 上的动点(可与 C、D 重合) ,AE 平分∠BAF 交 BC 边于点 E. 点 F 在线段 CD 上运动,AE 平分∠BAF 交 BC 边于点 E. (1)求证:AF=BE+DF; (2)若正方形 ABCD 的边长为 1,△ABE 与△ADF 的面积之和为 S.问:S 是否存在最大 A D F

值?若存在,求出这个最大值及此时 DF 的长;若不存在,请说明理由.

65.如图,正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 边上的动点,满足∠EAF=45°. (1)求证:BE+DF=EF; A (2)若正方形 ABCD 的边长为 1,求△CEF 内切圆半径的最大值.

D

F

B

E

C

66.如图,直线 y=3x+6 交 x 轴、y 轴于 B、A 两点,点 C 在 x 轴上,点 D 的坐标为(6,6) , 四边形 ABCD 是等腰梯形. (1)求点 C 的坐标; (2)点 P 是坐标平面内一点,且△PAB、△PBC、△PCD、△PAD 都是等腰三角形,求点 P 的坐标.

y

y=3x+6
D

A

B

O

C

x

67.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 12,对角线 AC、BD 相交于点 O,正方形 A1B1C1D1 的顶点 A1 与点 O 重合,A1B1 交 BC 于点 E,A1D1 交 CD 于点 F, A D A1C1 交 BC 于点 G,连接 EF、GF. M (1)求证:△A1EG≌△A1FG; A1 (2)①若 FG=5,求 FC 的长; O F D1 M ②若 A1E=2 10,求 FC 的长; M M M (3)设 FC=x,△A1EF 的面积为 S,求 S 关于 x 的函数关系式; G C B E S 是否存在最小值,若存在,求出此时 x 的值,若不存在, M M 请说明理由. B1 M C1 M

68.已知:如图,在矩形 ABCD 中,AD<2AB,E 为 AD 的中点,EF⊥EC 交 AB 于 F,连 接 FC. (1)求证:△AEF∽△ECF; (2)设 AB =k,是否存在这样的 k 值,使得△AEF∽△BCF?若存在,请证明并求出 k 的 BC D M E M A F M M B C

值;若不存在,请说明理由.

69.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,以对角线 BD 为边作菱形 BEFD,点 C、E、F 在同一 直线上. (1)求∠EBC 的度数; F (2)求 CE 的长. A D

E B C

70.已知直线 l 过点 A(3,7) ,交 x 轴的正半轴于点 N,交 y 轴的正半轴于点 M. (1)如图 1,求△MON 面积的最小值; (2)如图 2,正方形 ABCD 内接于△MON,边 AD 在直线 l 上,顶点 B、C 分别在线段 OM、 ON 上,求此时直线 l 的解析式. y y M M

A

A D

B O 图1 N x O C 图2 N x

l

l

71.如图,将边长为 a 的正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、DC 上) , 使点 B 落在 AD 边上的点 G 处,点 C 落在点 H 处,GH 与 DC 交于点 M,连接 BG 与 EF 交 于点 N. H (1)求证:①BG=EF;②△DGM 的周长为定值; M F D C C (2)当四边形 AEFD 的面积最大时,求 AG 的长. C C

G C A

N E K B

72.如图,矩形 ABCD 中,AB=8,BC=6,点 E 在边 CD 上(与点 C、D 不重合) ,AF⊥AE 交边 CB 的延长线于点 F,连结 EF,交边 AB 于点 G. (1)设 DE=x,BF=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)若 AD=BF,求证:△AEF∽△DEA; (3)当点 E 在边 CD 上移动时,△AEG 能否成为等腰三角形?若能,求出 DE 的长;若不 能,请说明理由. A D M E M C

G F B

73.如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABCD 的顶点 A、D 在第二象限,顶点 B、C 在 x 轴的负半轴上.将正方形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转,C、D、A 的对应点分别为 C1、 D1、A1,且 A1、D1、O 三点在一条直线上.记点 A1 的坐标为 y (a,b) . (1)若∠ABA1=30° ,b= 3 ①求正方形 ABCD 的边长; ②求直线 A1D1 的解析式; (2)若∠ABA1<90° ,a、b 满足 a+b=-2,点 D1 与点 O 之 间的距离为 5,求直线 A1D1 的解析式. A A1 M D M D1 M

B

C C1 M

O M

x

74.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,对角线 AC⊥BD,垂足为 O,BC=13 2,设 AB=a,CD=b,且 a+b=34. (1)求:a、b 的值;
?x-2y=m+n ? (2)设-6 2<t<6 2,是否存在实数 m、n,使得方程组 ? 关于 x、y 的 2 2 ? ?x+y=m +n +2t ? ?x=a 解恰好为 ? ?若存在,请说明理由,并判断点(m,n)在第几象限?若不存在,请给 ?y=b ?

予证明. D O C

A

B

75.正方形 ABCD 中,点 M、N 分别在 CB、DC 的延长线上,且 MN=DN-BM,连接 AM、 AN. (1)如图 1,求证:∠MAN=45° ; (2)如图 2,过 D 作 DP⊥AN 交 AM 于点 P,连接 PC、求证:PA+PC= 2PD; (3)在(2)的条件下,若 AB=1,C 为 DN 的中点,如图 3,求 PC 的长. A D A D A D

P M B C 图1 N P M B 图2 C N M B 图3 N 76.正方形 ABCD 中,P 为 AB 边上任一点,AE⊥DP 于 E,点 F 在 DP 的延长线上,且 DE =EF,连接 AF、BF,∠BAF 的平分线交 DF 于 G,连接 GC. A D (1)求证:△AEG 是等腰直角三角形; (2)求证:AG+CG= 2DG; (3)若 AB=2,P 为 AB 的中点,求 BF 的长. G B PE C C

F

77.已知:在四边形 ABCD 中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点 E、F 分别在 BC、CD 上,且 ∠AEF=∠ACD. (1)如图 1,若 AB=BC=AC,求证:AE=EF; (2)如图 2,若 AB=BC, (1)中的结论是否仍然成立?证明你的结论; (3)如图 3,若 AB=kBC, (1)中的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请 写出 AE 与 EF 之间的数量关系,并证明. A A D A D F F F B E
图1

D

C

B

E
图2

C

B

E C
图3

78.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,M 是 AB 的中点,点 P 是射线 DC 上的动点,过 P 作 PE⊥DM 于 E. (1)若以 P、E、M 为顶点的三角形与△ABM 相似,求 PD 的长;

(2)若以 C 为圆心,CP 为半径的⊙C 与线段 DM 只有一个公共点,求 PD 的长或 PD 的取 值范围. D E P C D C

A M B A M B 79.如图 1,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 AD 上,∠ABE=30° ,BE=DE,点 P 为线段 DE 备用图 上的任意一点,过点 P 作 PQ∥BD,交 BE 于点 Q. (1)若 AB=2 3,求边 AD 的长; (2)如图 2,在(1)的条件下,若点 P 为线段 DE 的中点,连接 CQ,过点 P 作 PF⊥QC 于 F,求线段 PF 的长; (3)试判断 BE、PQ、PD 这三条线段的长度之间有怎样的数量关系?请证明你的结论. A Q E P D A Q F B 图1 C B 图2 C E P D

80.如图,已知点 A(-2,0) ,B(2,0) ,以 AB 为边在 x 轴上方作正方形 ABCD,点 E 是 AD 边的中点,F 是 x 轴上一动点,连接 EF,过点 E 作 EG⊥EF,交 BC 所在的直线于点 G, 连接 FG. (1)当点 F 与点 A 重合时,易得 EF 1 EF = ;若点 F 与点 A 不重合时, 的值是否改变? EG 2 EG

请说明理由; (2)设点 F 的横坐标为 x(-2<x<2) ,△BFG 的面积为 S,求 S 关于 x 的函数关系式,并 求出 S 的最大值; (3)当点 F 在 x 轴上运动时,判断有几个位置能够使得以点 E、F、G 为顶点三角形和以点 B、F、G 为顶点的三角形全等?直接写出相应的点 F 的坐标. y D C G

E

A F O

B

x

81.如图,直角梯形 OABC 中,AB∥OC,O 为坐标原点,点 A 在 y 轴正半轴上,点 C 在 x 轴正半轴上,点 B 坐标为(2,2 3) ,∠BCO=60° ,OH⊥BC 于点 H.动点 P 从点 H 出发,

y
A B

沿线段 HO 向点 O 运动,动点 Q 从点 O 出发,沿线段 OA 向点 A 运动,两点同时出发,速 度都为每秒 1 个单位长度.设点 P 运动的时间为 t 秒. (1)求 OH 的长; (2)若△ OPQ 的面积为 S,求 S 与 t 之间的函数关系式. (3)设 PQ 与 OB 交于点 M. ① 当 t 为何值时,△ OPM 为等腰三角形? ② 求线段 OM 长度的最大值.

82.如图,直角梯形 OABC 的直角顶点 O 在坐标原点,∠OAB=60° ,顶点 A、C 的坐标分 别为(10,0) 、 (0,2 3) ,点 E 在线段 OA 上(不与 A 重合) ,点 F 在射线 AB 上.将△AEF 沿 EF 折叠,使点 A 落在射线 AB 上点 A′ 处,设点 E 的横坐标为 x,△A′ EF 与梯形 OABC 重叠部分的面积为 S. (1)当重叠部分的图形为四边形时,求 x 的取值范围; (2)求 S 关于 x 的函数关系式; (3)S 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求此时 x 的值;若不存在,请说明 理由.

y
C B A′ F
60°

y
C B

60°

O

E

A

x

O
备用图

A

x

83.已知在矩形 ABCD 中,AB=1,点 P 在对角线 AC 上,直线 l 过点 P 且与 AC 垂直,与 AD 相交于点 E. (1)若 AD=a,直线 l 与边 BC 相交于点 G(如图 1) ,AP= 1 AC,求 AE 的长(用含 a 的 3

代数式表示) ; (2)在(1)中,又直线 l 把矩形分成的两部分面积比为 2 : 5,求 a 的值; (3)若 AP= 1 AC,且直线 l 经过点 B(如图 2) ,求 AD 的长; 4 1 AC.设 AD 的长为 x,△AEF 的面 4

(4)若直线 l 分别与边 AD、AB 相交于点 E、F,AP=

积为 y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围. l A P B 图2 E D P E l D

B

G 图1

C

C

84.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB⊥BC,BC=5,CD=6,∠DCB=60° ,等 边△PMN(N 为固定点)的边长为 x,边 MN 在直线 BC 上,NC=8.将直角梯形 ABCD 绕 点 C 按逆时针方向旋转到①的位置,再绕点 D1 按逆时针方向旋转到②的位置,如此旋转下 去. (1)将直角梯形按此方法旋转四次,如果等边△PMN 的边长为 x≥5+3 3,求梯形 ABCD 与等边△PMN 重叠部分的面积; (2)将直角梯形按此方法旋转三次,如果梯形与等边三角形重叠部分的面积为 19 3 ,求 2

等边△PMN 的边长 x 的取值范围; (3)将直角梯形按此方法旋转三次,如果梯形与等边三角形重叠部分的面积是梯形面积的 一半,求等边△PMN 的边长 x. P M D A B1 ② M A1 ③ ① M l B M N D1 C M 85.如图,在矩形 ABCD 中,AB=4M ,AD=2,点 M 是 M AD 的中点,点 E 是边 AB 上的一动 M M 点. 连结 EM 并延长交射线 CD 于点 F, 过 M 作 EF 的垂线交 BC 的延长线于点 G, 连结 EG, 交边 DC 于点 H.设 AE 的长为 x,△MEG 的面积为 y. (1)求 sin∠MEG 的值; (2)求 y 关于 x 的函数解析式,并确定自变量 x 的取值范围; (3)设线段 MG 的中点为 N,连结 CN.是否存在 x 的值,使得以 N、C、G 为顶点的三角 形与△EFH 相似?若存在,求 x 和 y 的值;若不存在,请说明理由. F A E H B C G B C 备用图 M D A M D

86.如图,在平面直角坐标系中,直线 y=-

1 x+b(b>0)分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点, 2

以 OA、OB 为边作矩形 OACB,D 为 BC 的中点.以 M(4,0) 、N(8,0)为斜边端点作等 腰直角三角形 PMN,点 P 在第一象限,设矩形 OACB 与△PMN 重叠部分的面积为 S. (1)求点 P 的坐标; y (2)求 S 与 b 的函数关系式; MB D C P M O M A M N x M M

(3)若在直线 y=-

1 x+b(b>0)上存在点 Q,使∠OQM=90° ,求 b 的取值范围; 2

(4)在 b 值的变化过程中,若△PCD 为等腰三角形,求所有符合条件的 b 值.


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