2018-2019学年高二数学苏教版必修五课件:第2章 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式_图文

第2章 数列 2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念 2.2.2 等差数列的通项公式 第1课时 等差数列的概念及通项公式 学习目标:1.理解等差数列的概念,能在具体问题情境中,发现数列的等 差关系.(重点)2.会推导等差数列的通项公式,并能应用该公式解决简单的等 差数列问题.(重点)3.等差数列的证明及其应用.(难点) [自 主 预 习· 探 新 知] 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得的差都等 于 同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列,这个 常数 叫做等差数列 的 公差,公差通常用 d 表示. 思考 1:等差数列定义中,为什么要注明“从第二项起”? [提示] 第 1 项前面没有项,无法与前一项作差. 思考 2:等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗? [提示] 不可以.如果差是常数,而这些常数不相等,则不是等差数列. 2.等差数列的通项公式 对于等差数列{an}的第 n 项 an,有 an=a1+ (n-1) d=am+( n-m )d. 思考 3 已知等差数列{an}的首项 a1 和公差 d 能表示出通项公式 an=a1 +(n-1)d,如果已知第 m 项 am 和公差 d,又如何表示通项公式 an? [提示] 设等差数列的首项为 a1, 则 am=a1+(m-1)d, 变形得 a1=am-(m-1)d, 则 an=a1+(n-1)d =am-(m-1)d+(n-1)d =am+(n-m)d. [基础自测] 1.思考辨析 (1)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数列就叫等差 数列.( ) (2)一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,这个数列就 叫等差数列.( ) (3)一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于常数,这个数 列就叫等差数列.( ) (4)一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这个数列就叫等差数列.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.若{an}是等差数列,且 a1=1,公差 d=3,则 an=________. [解析] ∵a1=1,d=3,∴an=1+(n-1)×3=3n-2. [答案] 3n-2 3.若{an}是等差数列,且 a1=2,d=1,若 an=7,则 n=________. [解析] ∵a1=2,d=1, ∴an=2+(n-1)×1=n+1. 由 an=7,即 n+1=7,得 n=6. [答案] 6 [合 作 探 究· 攻 重 难] 等差数列的判定与证明 判断下列数列是否为等差数列. (1)在数列{an}中,an=3n+2; (2)在数列{an}中,an=n2+n. [思路探究] 作差an+1-an ―→ 代数运算 ―→ 利用等差数列定义判断 [解] (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*).由 n 的任意性知, 这个数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2, 不是常数, 所以这个数列 不是等差数列. [规律方法] 1.定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤为: (1)作差 an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当 an+1-an 是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 an+1 -an 不是常数,是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列. 2.应注意等差数列的公差 d 是一个定值,它不随 n 的改变而改变. 提醒: 当 n≥2 时, an+1-an=d(d 为常数), 无法说明数列{an}是等差数列, 因为 a2-a1 不一定等于 d. [跟踪训练] 3x 1.已知函数 f(x)= ,数列{xn}的通项由 xn=f(xn-1)(n≥2 且 x∈N*)确 x+3 定. ? ?1? ? ? (1)求证:数列?x ? 是等差数列; ? ? n? 1 (2)当 x1= 时,求 x2 017. 2 [解] 3x (1)因为 f(x)= ,数列{xn}的通项 xn=f(xn-1), x+3 ? 3xn-1 1 1 1 1 1 1 ?1? ? ?是等差数 所以 xn= ,所以 = + ,所以 - = ,所以? ? x xn xn-1 3 xn xn-1 3 xn-1+3 ? n? ? 列. n+5 1 1 1 1 3 (2)x1= 时, =2, 所以 =2+ (n-1)= , 所以 xn= , 所以 x2 017 2 x1 xn 3 3 n+5 3 = . 2 022 等差数列的通项公式 已知数列{an}是等差数列,且 a5=10,a12=31. (1)求{an}的通项公式; (2)若 an=13,求 n 的值. [思路探究] 建立首项 a1 和 d 的方程组求 an;由 an=13 解方程得 n. [解] (1)设{an}的首项为 a1,公差为 d,则由题意 ? ?a1=-2, 解得? ? ?d=3, ? ?a1+4d=10, 可知? ? ?a1+11d=31, ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5. (2)由 an=13,得 3n-5=13,解得 n=6. [规律方法] 1.从方程的观点看等差数列的通项公式,an=a1+(n-1)d 中包含了四个 量,已知其中的三个量,可以求得另一个量,即“知三求一”. 2.已知数列的其中两项,求公差 d,或已知一项、公差和其中一项的序 号,求序号的对应项时,通常应用变形 an=am+(n-m)d. [跟踪训练] 2.已知递减等差数列{an}前三项的和为 18,前三项的积为 66.求该数列 的通项公式,并判断-34 是该数列的项吗? [解] ? ?a1+a2+a3=18, 依题意得? ? ?a1a2a3=66, ? ?3a1+3d=18, ∴? ? ?a1+d?

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