【金版学案】2014-2015学年高中数学(人教必修五)课时训练:1.1.1.3 正、余弦定理综合

数学· 必修 5(人教 A 版)

1.1.3 正、余弦定理综合

?基础达标 sin A cos B 1.在△ABC 中,若 a = b ,则角 B 的值为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° sin A cos B 解析:由 a = b 及正弦定理得: sin A cos B = , sin A sin B cos B ∴ =1,tan B=1.又∵0° <B<180° , sin B ∴B=45° ,故选 B. 答案:B

2.已知三角形的三边长分别是 a,b, a2+b2+ab,则此三角 形中最大的角是( ) A.30° B.60° C.120° D.150° a2+b2+ab >b , ∴ 最 大 边 是 a2+b2-? a2+b2+ab?2 2 2 a +b +ab, 设其所对的角为 θ, 则 cos θ= = 2ab 1 - ,θ=120° . 2 答案:C 解析:∵ a2+b2+ab >a ,

3.在△ABC 中,下列关系式( ) ①asin B=bsin A ②a=bcos C+ccos B C ④b=csin A+asin C 一定成立的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案:C

③a2+b2-c2=2abcos

4.△ABC 中,cos A= 3- 3sin A,则 A 的值为( π π 2π π π A. B. C. D. 或 6 2 3 6 2 解析:解法一:代入检验,故选 D.

)

解法二: 由 cos A= 3- 3sin A?cos A+ 3sin A= 3? 1 3 3 + cos A= ,∴sin (A+30° )= , 2 2 2 ∵30° <A+30° <210° ∴A+30° =60° 或 120° ,故 A=30° 或 90° ,选 D. 答案:D

3 sin A 2

π 5.(2013· 天津卷)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3, 4 则 sin∠BAC=( ) 10 10 3 10 5 A. B. C. D. 10 5 10 5 答案:C ?巩固提高 6.锐角三角形 ABC 中,sin A 和 cos B 的大小关系是( A.sin A=cos B B.sin A<cos B C.sin A>cos B D.不能确定

)

解析:在锐角三角形 ABC 中,A+B>90° ,

∴A>90° -B, ∴sin A>sin(90° -B)=cos B.故选 C. 答案:C 7.在△ABC 中,B=60° ,b2=ac,则△ABC 一定是( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

)

解析:因为 B=60° ,b2=ac,由余弦定理 b2=a2+c2-2acos B, 得 ac=a2+c2-ac,所以(a-c)2=0,所以 a=c.所以△ABC 是等边三 角形. 答案:D a b c 8.在△ABC 中,已知 = = ,则△ABC 的形状是 cos A cos B cos C ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰或直角三角形

(

a b c 解析:由正弦定理得: = = =2R, sin A sin B sin C 所以 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C sin A sin B sin C a b c 由已知得: = = ,所以 = = ,所 cos A cos B cos C cos A cos B cos C 以 tan A=tan B=tan C,可得 A=B=C,即三角形为等边三角形. 答案:C

9.已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,c= 3asin C-ccos A. (1)求 A; 解析:由 c= 3asin C-ccos A 及正弦定理得 3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.

? π? 1 由于 sin C≠0,所以 sin?A- 6?= . ? ? 2 π 又 0<A<π,故 A= . 3

(2)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c. 1 解析:△ABC 的面积 S= bcsin A= 3,故 bc=4. 2 2 2 2 而 a =b +c -2bccos A,故 b2+c2=8. 解得 b=c=2.

10.在△ABC 中,已知∠B=45° ,D 是 BC 边上的一点, AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

解析:在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得 AD2+DC2-AC2 100+36-196 1 cos∠ADC= = =- . 2AD· DC 2 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° , 在△ABD 中,AD=10,∠B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = . sin∠ADB sin B 3 10× AD· sin∠ADB 10sin 60° 2 ∴AB= = = =5 6. sin B sin 45° 2 2

1.正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具,正确选

择适合试题特点的公式极为重要,当使用一个定理无法解决问题时, 要及时考虑另外一个定理. 2.三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的,应该 养成应用三角公式列式化简的习惯. 3.注意 A+B+C=π 式的运用,sin A=sin(B+C).


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