江苏省南通市合作盟校2013届高三考前全真模拟密卷数学卷


江苏省南通市合作盟校 2013 届高三考前全真模拟密卷数学卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷纸的相应位置上. ......... 1.若全集 U ? R ,集合 A ? ? x | x ? 1 ? 0? , B ? ? x | x ? 3 ? 0? ,则集合 (CU A) ? B = 2.已知复数 z ? (a ? 4) ? 3i, a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ z 为纯虚数”的
2



条件. (填写“充要” 、 7 9 8 4 4 4 6 7 9 1 3 6
第3题

“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一个) 、 、 3.如图是青年歌手大奖赛上9名评委给某位选手打分的茎叶图,去掉一个 最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数为 .

22? 4.若 ?an ? 为等差数列, S n 是其前 n 项的和,且 S11 = ,则 tan a6 3
的值为 . .

5.如图所示程序框图中,输出的数是

6.已知 a ? (1, 2), b ? (?2, log 2 m) ,若 a ? b ? a b ,则正数 m 的值等于 . 7.已知正六棱锥 P ? ABCDEF 的底面边长为1cm, 侧面积为 3cm 2 ,则该棱锥的体积为

?

? ?

? ?

cm3 .

8.投掷两颗骰子得到其向上的点数分别为 m, n , 设 a ? (m, n) ,则满足 a ? 5 的概率为

?

?



9. 函数 y ? cos(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 为奇函数,该函数 的部分图像如右图所示, A, B 分别为最高与最低点,并且两点 间的距离为 2 2 ,则该函数在区间 (0, ? ) 上的对称轴为 10.已知椭圆的一个焦点为 F ,若椭圆上存在点 P ,满足以 椭圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点,则该 椭圆的离心率为__________. 11.已知不等式 xy ≤ ax ? 2 y ,若对任意 x ? ?1, 2? 且 y ? ?2 , 3?,该不等式恒成立,则实
2 2



数 a 的取值范围是



12.已知线段 AB ? 3 ,动点 P, Q 满足 PA ? 1, QA ? 2QB ,则线段 PQ 长 的范围是 . 13.如图,一块曲线部分是抛物线形的钢板,其底边长为 2,高为 1,将此 钢板切割成等腰梯形的形状,则切割后所得到的梯形的面积的最大值 为 . 14.已知 a, b ? 0 ,且 于 .

1 1 ? ? 4 , (a ? b) 2 ? 16(ab)3 ,则 a ? b 的值等 a b

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二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P 、 Q 是单位圆上两点, O 是坐标原点, 且 ?AOP ?

?
6

, ?AOQ ? ? , ? ? ? 0, ? ? .

(1)若点 Q 的坐标是 ? m,

? ?

? 4? ? ,求 cos(? ? ) 的值; 6 5?

(2)设函数 f (? ) ? OP ? OQ ,求 f (? ) 的值域.

??? ???? ?

16. (本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中. (1)若 BB1 ? BC , B1C ? A1 B ,证明:平面 AB1C ? 平面 A1 BC1 ; (2)设 D 是 BC 的中点, E 是 A1C1 上的点,且 A1 B // 平面 B1 DE ,求

A1 E 的值. EC1

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17. (本小题满分 14 分)某单位有员工 1000 名,平均每人每年创造利润 10 万元.为了增加企业竞争力, 决定优化产业结构,调整出 x (x ∈ N ? )名员工从事第三产业,调整后他们平均每人每年创造利润为

3x ? ? 10 ? a ? ? 万元(a>0),剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%. 500 ? ?
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员 工从事第三产业? (2)在(1)的条件下,若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,则 a 的 取值范围是多少?

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l:2 2x -y+3+ 8 2 =0 和圆 C1 :x 2 + y 2 +8x+F=0.若直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3 . (1)求圆 C1 的方程; (2)设圆 C1 和 x 轴相交于 A,B 两点,点 P 为圆 C1 上不同于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 交 y 轴于 M,

N 两点.当点 P 变化时,以 MN 为直径的圆 C2 是否经过圆 C1 内一定点?请证明你的结论;
(3)若△RST 的顶点 R 在直线 x=-1 上,点 S,T 在圆 C1 上,且直线 RS 过圆心 C1 ,∠SRT= 30? ,求点 R 的纵坐标的范围.

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19. (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 的首项为 a (a ? 0) ,前 n 项和为 S n ,且有 S n ?1 ? tS n ? a (t ? 0) ,

bn ? S n ? 1 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)当 t ? 1 时,若对任意 n ? N * ,都有 bn ? b5 ,求 a 的取值范围; (3)当 t ? 1 时,若 cn ? 2 ?

? b ,求能够使数列 ?c ? 为等比数列的所有数对 (a, t ) .
i ?1 i

n

n

20. (本小题满分 16 分)若函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? cx ? d .
4 3 2

(1)当 a ? d ? ?1 , b ? c ? 0 时,若函数 f ( x) 的图像与 x 轴所有交点的横坐标的和与积分别为 m, n . (ⅰ) 求证: f ( x) 的图像与 x 轴恰有两个交点. (ⅱ)求证: m 2 ? n ? n3 . (2)当 a ? c, d ? 1 时,设函数 f ( x) 有零点,求 a 2 ? b 2 的最小值.

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1. (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A = ?





?3 1 ? ? ,求 A 的特征值 ?1 , ?2 及对应的特征向量 α1 , α2 . ?0 ?1?

2. (本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? , M 是曲线 C 上的动点.以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建 立平面直角坐标系,直线的参数方程为 ?

? x ? ?4 ? t , (t 为参数) ,求点 M 到直线距离的最小值. ? y ? 3 ? t.

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3. (本小题满分 10 分) 在一次数学考试中,第 21 题和第 22 题为选做题.规定每位考生必须且只须在其中选做一题.设 4 名考生 选做每一道题的概率均为

1 . 2

(1)求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率; (2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ? ,求 ? 的概率分布及数学期望.

4. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,焦点 F 的坐标为 (1, 0) . (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设 M , N 是抛物线 C 的准线上的两个动点,且它们的纵坐标之积为 ?4 ,直线 MO , NO 与抛物线的 交点分别为点 A, B ,求证:动直线 AB 恒过一个定点.

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参考答案
1、 ? ?1,3? ; 2、充分不必要; 3、87; 4、 ? 3 ; 5、16 ; 6、

1 ; 16

7、 14、2

3 13 ; 8、 ; 4 36

9、 x ? 1 或 x ? 3 ;

10、

5 32 ; 11、 a ? ?1 ; 12、?1, 7 ? ; 13、 ; 3 27

4 . 5 ? ? ? ?3 3 ? 4 所以 cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? ?? 6 6 6 10 (2) (1)若 P 、 Q 在 x 轴一侧. ??? ???? ? ? ? ? ? 5? f (? ) ? OP ? OQ ? cos(? ? ) .因为 ? ? ? 0, ? ? ,则 ? ? ? ? ? , 6 6 ? 6 6
15.解: (1)由已知可得 m ? cos ? ? ? ,sin ? ? 所以 ?

3 5

7 分

? ?, ?

? 3 ? 3 ? . ? cos(? ? ) ? 1 .故 f (? ) 的值域是 ? ? ? 2 ,1? 2 6 ? ? ?? 12 分 (2)若 P 、 Q 在 x 轴两侧. ??? ???? ? ? ? ? ? 7? ? f (? ) ? OP ? OQ ? cos(? ? ) .因为 ? ? ? 0, ? ? ,则 ? ? ? ? , ?, 6 6 ?6 6 ? ? ? 3 3? 所以 ?1 ? cos(? ? ) ? .故 f (? ) 的值域是 ? ?1, ?? 14 分 ?. 6 2 2 ? ? 16.解: (1)因为 BB1 ? BC ,所以侧面 BCC1 B1 是菱形,所以 B1C ? BC1 .又因为 B1C ? A1 B ,且

A1 B ? BC1 ? B , 所 以 BC1 ? 平 面 A1 BC1 , 又 B1C ? 平 面 AB1C , 所 以 平 面 AB1C ? 平 面 ?? 7 分 A1 BC1 .
(2)设 B1 D 交 BC1 于点 F ,连结 EF ,则平面 A1 BC1 ? 平面 B1 DE = EF , 因为 A1 B // 平面 B1 DE , A1 B ? 平面 A1 BC1 ,所以

A1 E BF BF BD 1 .又因为 ? ? ? , EC1 FC1 FC1 B1C1 2

所以

A1 E 1 ? . EC1 2

??

14 分

17. (1)由题意,得 10(1000-x)(1+0.2x %)≥10×1000, 即 x 2 -500x≤0,又 x>0,所以 0<x≤500. 即最多调整 500 名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10 ? a ?

(4 分)

(6 分)

? ?

3x ? ? x 万元,从事原来产业的员工的年总利润为 500 ?

1 ? 3x ? 1 ? ? ? ? 10(1000 ? x) ?1 ? x ? 万元,则 10 ? a ? x? , (10 分) ? x ≤ 10(1000 ? x) ?1 ? 500 ? ? 500 ? ? ? 500 ?
所以 ax -

1 2 2x 1000 3x 2 2 x2 x ,所以 ax ≤ ≤1000+2x - x - +1000+ x ,即 a ≤ + +1 恒成 500 500 x 500 500

第 7 页 共 11 页

立. 因为

(12 分)

2 x 1000 2x 1000 2x 1000 ? + ≥2 =4,当且仅当 = ,即 x=500 时等号成立,所以 a≤5,又 a 500 x 500 x 500 x
所以 a 的取值范围为(0, 5] .
2 2
2

>0,所以 0<a≤5.

(14 分)
2

? ?8 2 ? 3 ? 8 2 ? 18. (1)圆 C1 : ( x ? 4) + y =16-F.由题意,可得 ( 3) + ? ? =16-F,所以 F=12, ? ? 3 ? ?
所以圆 C1 的方程为 ( x ? 4) 2 + y 2 =4. (4 分)

2 (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ≠0),则 ( x0 ? 4) 2 + y0 =4.又 A(-6,0),B(-2,0),

所以 lPA :y=

y0 6 y0 y0 2 y0 (x+6),M(0, ), lPB :y= (x+1),N(0, ). 分) (6 x0 ? 6 x0 ? 6 x0 ? 2 x0 ? 2
2 2

6 y0 2 y0 ? 2 y0 ? ? ? 6 y0 ? ? ? ? x ?6 ? x ?2 ? 6 y0 2 y0 x ? 6 x0 ? 2 0 ? =? 0 ? . 圆 C2 的方程为 x 2 + ? y ? 0 化简得 x 2 + y 2 -( + )y-12 2 2 x0 ? 6 x0 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
=0,令 y=0,得 x= ?2 3 (9 分) 又点( ?2 3 ,0)在圆 C1 内,所以当点 P 变化时,以 MN 为直径的圆 C2 经过圆 C1 内一定点( ?2 3 , 0). (10 分)

(3)设 R(-1,t),作 C1 H ⊥RT 于 H,设 C1 H =d,由于∠ C1 RH = 30? ,所以 RC1 =2d. 由题意 d≤2,所以 RC1 ≤4,即 9 ? t 2 ≤4,所以 ? 7 ≤t≤ 7 . 所以点 A 的纵坐标的范围为[ ? 7 , 7 ]. (16 分)

19.解: (1)当 n ? 1 时,由 S 2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at ,当 n ? 2 时, S n ? tS n ?1 ? a , 所以 S n ?1 ? S n ? t ( S n ? S n ?1 ) ,即 an ?1 ? an t , 又 因 为 a1 ? a ? 0 , 综 上 , 有

an ?1 ? t (n ? N * ) , 所 以 ?an ? 是 首 项 为 a , 公 比 为 的 等 比 数 列 , 所 以 an

an ? at n ?1 .

?? 4 分

(2)当 t ? 1 时, S n ? na, bn ? na ? 1, bn ?1 ? bn ? a ,此时 ?bn ? 为等差数列; 当 a ? 0 时, ?bn ? 为单调递增数列,且对任意 n ? N * , an ? 0 恒成立,不合题意; ? 6 分 当 a ? 0 时,?bn ? 为单调递减数列,由题意知得 b4 ? 0, b6 ? 0 ,且有 ?

?b4 ? b5 2 2 ? ,解得 ? ? a ? ? .综 9 11 ??b6 ? b5 ?

第 8 页 共 11 页

上 a 的取值范围是 ? ?

? 2 2? . ,? ? 9 11 ? ?

? 10 分

(3)因为 t ? 1 , bn ? 1 ?

a at n , ? 1? t 1? t

a a a a (t ? t n ?1 ) 2 n )n ? (t ? t ? ? ? t ) ? 2 ? (1 ? )n ? 所以 cn ? 2 ? (1 ? 1? t 1? t 1? t (1 ? t )2 ? 2? at 1? t ? a at n ?1 ? n? ,由题设知 ?cn ? 为等比数列,所以有 (1 ? t ) 2 1? t (1 ? t ) 2

at ? ?2 ? (1 ? t ) 2 ? 0 ?a ? 1 ? ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? ?t ? 2 ?1 ? t ? a ? 0 ? 1? t ?
(或通过 ?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 ( a, t ) ,再进行证明) 20.解:(1)(ⅰ)因为 f ?( x) ? 4 x ? 3 x ? x (4 x ? 3) ,所以 x ?
3 2 2

? 16 分

3 是使 f ( x) 取得最小值的唯一的值,且 4

在 区 间 ? ??, ? 上 , 函 数 f ( x) 单 调 递 减 ; 在 区 间 ?

? ?

3? 4?

?3 ? , ?? ? 上 , 函 数 f ( x) 单 调 递 增 ; ?4 ?

3 f ( ) ? 0, f (?1) ? 0, f (2) ? 0 .所以 f ( x) 的图像与 x 轴恰有两个交点. ?? 4 分 4
(ⅱ)设 x1 , x2 是方程 f ( x) ? 0 的两个根,则 f ( x) 有因式 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? x 2 ? mx ? n , 且可令 f ( x) ? ( x ? mx ? n)( x ? px ? q ) ,于是有
2 2

( x 2 ? mx ? n)( x 2 ? px ? q ) ? x 4 ? x 3 ? 1 ①

得 nq ? ?1, p ? m ? ?1 ,解得

1 1 q ? ? , p ? m ? 1 ,所以 x 4 ? x3 ? 1 ? ( x 2 ? mx ? n)( x 2 ? (m ? 1) x ? ) ; n n m 分别比较①式中含 x 和 x 2 的项的系数,得 ? n(m ? 1) ? 0 ② n 1 ?? 8 分 ③ 由② ?m ? ③ ?n 得 m 2 ? n ? n3 ? ? n ? m(m ? 1) ? 0 n a 1 1 ( 2 ) 方 程 化 为 : x 2 ? ax ? b ? ? 2 ? 0 , 令 t ? x ? , 方 程 为 t 2 ? at ? b ? 2 ? 0 , t ? 2 , 设 x x x

g (t ) ? t 2 ? at ? b ? 2 , t ? 2 .
当?

?? 10 分

a ? ?2 ,即 a ? 4 时,只需 ? ? a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ,此时 a 2 ? b 2 ? 16 ; 2 a 当 ? ? 2 ,即 a ? ?4 时,只需 ? ? a 2 ? 4b ? 8 ? 0 ,此时 a 2 ? b 2 ? 16 ; 2 a 4 2 当 ?2 ? ? ? 2 ,即 ?4 ? a ? 4 时,只需 (?2) ? 2a ? b ? 2 ? 0 或 22 ? 2a ? b ? 2 ? 0 ,此时 a 2 ? b 2 ? . 2 5
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a 2 ? b 2 的最小值为
附加题

4 . 5

?? 16 分

1.解:矩阵 A 的特征多项式为
f (? ) =

? ?3
0

?1

? ?1

= (? ? 3)(? ? 1)

???????????2 分

令 f (? ) =0,得到矩阵 A 的特征值为 ? 1=3, ? 2= ?1 .
?3 1 ? 当 ? 1=3 时,由 ? ? ?0 ?1? ?3x ? y ? 3x, ?x? ?x? , ? y ? =3 ? y ? ,得 ?? y ? 3 y ? ? ? ? ?

??????4 分

?1 ? ∴ y ? 0 ,取 x ? 1 ,得到属于特征值 3 的一个特征向量 α1 = ? ? ?0 ? ?3 1 ? 当 ? 2= ?1 时,由 ? ? ?0 ?1? ?x? ? y? = ? ? ? ?3x ? y ? ? x, ?x? , ? y ? ,得 ?? y ? ? y ? ? ?

; ????????7 分

?1? 取 x ? 1 ,则 y ? ?4 ,得到属于特征值 ?1 的一个特征向量 α2 = ? ? ? ?4 ?

??????10 分

2.解: 因为 ? ? 2 cos ? , 所以 ? ? 2 ? cos ? ,
2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 x, 即 ( x ? 1) ? y ? 1.
2 2 2 2

4分

? x ? ?4 ? t , ? y ? 3 ? t. 所以直线的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0. 8分 1? 0 ?1 所以点 M 到直线距离的最小值为 10 分 - 1 ? 2 - 1. 2 3.解: (1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题” ,事件 B 表示“乙选做第 21 题” , 则“甲选做第 22 题”为 A , “甲选做第 22 题”为 B , 进而可得,甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“ AB ? AB ” ,且事件 A 、 B 相互独立. 1 1 1 1 1 ∴ P ( AB ? AB ) ? ? ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ; 4分 2 2 2 2 2 1 (2)随机变量ξ 的可能取值为 0,1,2,3,4,且ξ ~ B (4, ) . 2
又 直线的参数方程为 ? ∴变量ξ 的分布列为: 0 ? 1 2 3 4

P

1 16 1 ?2. 2

1 4

3 8

1 4

1 16

E (? ) ? 4 ?

10 分
2

4.解:(1)设抛物线的标准方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,则 :

p ? 1 , p ? 2 ,所以抛物线 C 的标准方程为 2
2分

y2 ? 4x .

第 10 页 共 11 页

(2)抛物线 C 的准线方程为 x ? ?1 ,设 M (?1, y1 ) , N (?1, y2 ) ,其中 y1 y2 ? ?4 则直线 MO 的方程为: y ? ? y1 x ,将 y ? ? y1 x 与 y ? 4 x 联立方程,解得 A 点的坐标为 (
2

4 4 , ? ) ,同 2 y1 y1

理可得 B 点的坐标为 (

4 4 ,? ) 2 y2 y2

4 4 x? 2 y1 y1 则直线 AB 的方程为: ,整理,得 ( y1 ? y2 ) y ? 4 x ? 4 ? 0 ? 4 4 4 4 ? ? ? 2 y1 y2 y12 y2 y?
由?

?y ? 0 ?y ? 0 ,解得 ? ,故动直线 AB 恒过一个定点(1,0) . ?4 ? 4 x ? 0 ?x ? 1

10 分

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