高中数学32均值不等式教案设计新人教B版必修5

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3.2 均值不等式
整体设计 教学分析 均值不等式也称基本不等式.本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义,几何 的直观解释以及均值不等式的证明和应用.本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式 及证明,在思考与讨论过渡下,给出均值不等式的一个几何直观解释,以加深学生对均值不 等式的理解.教材用作差配方法证明均值不等式.作差配方法是证明不等式的基本方法,在 整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法.在解题中要让学生注意使用均值不等式的条 件,并掌握基本技能.一般说来,“见和想积,拆低次,凑积为定值,则和有最小值;见积 想和,拆高次,凑和为定值,则积有最大值”. 本节的《新课标》要求是:探索并了解均值不等式的证明过程;会用均值不等式解决简 单的最大(小)问题.从历年的高考来看,均值不等式是重点考查的内容之一,它的应用范围 几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,大多是大小判断、求最值、求取值范围等.不 等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能,同时也是高中数学的一个难点,题型广泛,涉 及面广,证法灵活,备受命题者的青睐,因而成为历届高考中的热点.几乎所有地区的高考 题都能觅到它的踪影.书中练习 A、B 和习题都是基本题,要求全做. 鉴于均值不等式的特殊作用,因此本节设计为 2 课时完成,但仅限于基本方法和基本技 能的掌握,不涉及高难度的技巧.第一课时重在均值不等式的探究,第二课时重在均值不等 式的灵活运用.且在教学中,将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来,让学生通过思 考与讨论建立均值不等式与不等式 a2+b2≥2ab 的联系.
三维目标 1.通过本节探究,使学生学会推导并掌握均值不等式,理解这个均值不等式的几何意 义,掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等. 2.通过对均值不等式的不同形式应用的研究,渗透“转化”的数学思想,提高学生运 算能力和逻辑推理能力.引发学生学习和使用数学知识的兴趣,发展创新精神,培养实事求 是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德. 3.通过本节学习,使学生体会数学来源于生活,帮助学生养成良好的学习习惯,形成 积极探索的态度,逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯.
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重点难点 教学重点:用数形结合的思想理解均值不等式,并从不同角度探索不等式a+2 b≥ ab的 证明过程;用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题.
a+b 教学难点:用均值不等式求最大值和最小值,均值不等式 2 ≥ ab等号成立条件的运 用,应用均值不等式解决实际问题.

课时安排

2 课时

教学过程

第 1 课时

导入新课

思路 1.(直接引入)像教材那样,直接给出均值定理,然后引导学生利用上节课的基本

性质来探究它的证明方法.因为有了上两节的不等式的探究学习,因此这样引入虽然直白却

也是顺其自然.

思路 2.(情境导入)教师自制风车,让学生把教师自制的风车转起来,这是学生小时候

玩过的得意玩具;手持风车把手,来了一个 360°的旋转,不但风车转得漂亮,课堂气氛也

活跃,学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐,情境引入达到高潮,此时教师再提出问

题.

推进新课

新知探究

提出问题

1 2 3 4

a2+b2≥2ab吗?

活动:教师引导学生阅读均值定理的内容,或直接用多媒体给出.点拨学生利用上两节

课所学知识进行证明,这点学生会很容易做到,只需作差配方即可.接着让学生明确,这个 结论就是均值不等式,也叫基本不等式.其中,任意两个正实数 a、b 的a+2 b叫做数 a、b 的算术平均值,数 ab叫做 a、b 的几何平均值.均值定理可以表述为:两个正数的算术平

均值大于或等于它的几何平均值.强调这个结论的重要性,在证明不等式、求函数的最大值

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最小值时有着广泛的应用,是高考的一个热点.可以通过反例或特例让学生进一步认识这个 结论成立的条件,a、b 必须是正数,等号成立当且仅当 a=b,以加深学生对此结论的理解, 为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础.
利用不等式的性质对均值不等式两边平方,则很容易得到 a2+b2≥2ab.这是一个很重要 的结论.一般地,如果 a、b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”)也可让学生 重新证明这个结论:
∵a2+b2-2ab=(a-b)2, 当 a≠b 时,有(a-b)2>0. 当 a=b 时,有(a-b)2=0,所以(a-b)2≥0,即 a2+b2≥2ab. 这个不等式对任意实数 a,b 恒成立,是一个很重要的不等式,应用非常广泛.请同学 们注意公式的结构形式,成立的条件是 a、b 为实数,等号成立的条件是当且仅当 a=b 时成 立.“当且仅当”即指充要条件. 下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究. 如图 1,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上一点,AC=a,BC=b.过点 C 作垂直于 AB 的弦 DD′, 连结 AD、BD.你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗?
图1 (本节课开展到这里,学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方 法,对均值不等式也已经很熟悉,这就具备了探究这个问题的知识与情感基础) 这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形.容易证明△ACD∽△DCB.所以可得 CD = ab.或由射影定理也可得到 CD= ab.从图中我们可直观地看到 ab表示的是半弦长, a+2 b表示的是半径长.由于半弦长不大于半径,即 CD 小于或等于圆的半径,用不等式表示 为: a+b 2 ≥ ab. 显然,上述不等式当且仅当点 C 与圆心重合,即当 a=b 时,等号成立.
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还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式.如若 a、b∈R+,则 ab≤a+2 b,当且仅当 a =b 时,式中等号成立.好多书上就把它称为基本不等式.在同样条件下还可写成:a+b≥

2 ab或 2 ab≤a+b 等.

讨论结果:

(1)(2)略.

(3)均值不等式的几何解释是:半径不小于半弦长.

(4)若 a、b∈R+,则

a+b ab≤ 2 ,当且仅当 a=b 时,式中等号成立;

若 a、b∈R+,则 a+b≥2 ab,当且仅当 a=b 时,式中等号成立;

若 a、b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时,式中等号成立.

应用示例

例 1(教材本节例 1)

活动:本例是均值不等式的简单应用,教师点拨学生证明时注意式中成立的条件,本例 中的ba和ab相当于均值不等式中的 a、b.因此必须有ba,ab∈R+.
点评:初用均值不等式,学生往往容易忽视不等式成立的条件,点拨学生注意,只要使

用均值定理,马上先想到条件,养成良好的解题习惯.

变式训练

已知 a、b、c 都是正实数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

证明:∵a>0,b>0,c>0,

∴a+b≥2 ab>0,b+c≥2 bc>0,c+a≥2 ca>0.

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2 ab·2 bc·2 ac=8abc,

即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

例 2 已知(a+b)(x+y)>2(ay+bx),求证:xa- -yb+ax- -by≥2. 活动:教师引导学生探究题目中的条件与结论.本题结论中,注意xa- -yb与ax- -by互为倒数, 它们的积为 1,故此题应从已知条件出发,经过变形,说明xa- -yb与ax- -by为正数开始证题.
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证明:∵(a+b)(x+y)>2(ay+bx),

∴ax+ay+bx+by>2ay+2bx.

∴ax-ay+by-bx>0.

∴(ax-bx)-(ay-by)>0.

∴(a-b)(x-y)>0,

即 a-b 与 x-y 同号.

∴xa--yb与ax- -by均为正数.

x-y a-b

x-y a-b

x-y a-b

∴a-b+x-y≥2 a-b·x-y=2(当且仅当a-b=x-y时取“=”).

∴xa--yb+ax- -by≥2.

点评:本题通过对已知条件变形,恰当地因式分解,从讨论因式乘积的符号来判断xa- -yb

与ax- -by是正还是负,是我们今后解题中常用的方法.

例 3 若 a>b>1,P= lga·lgb,Q=12(lga+lgb),R=lga+2 b,则(

)

A.R<P<Q

B.P<Q<R

C.Q<P<R

D.P<R<Q

活动:这是均值不等式及其变形式的典型应用.根据 P、Q、R 三个式子的结构特点,应

考虑利用均值不等式,再运用函数 y=lgx 的单调性.

答案:B

解析:∵a>b>1,

∴lga>lgb>0.

1

1

∴2(lga+lgb)>2·2 lga·lgb,即 Q>P.

又∵a+2 b> ab,

∴lga+2 b>lg ab=12(lga+lgb).

∴R>Q.故 P<Q<R.

点评:应准确理解均值不等式成立的条件,创造性地应用均值不等式.

例 4(教材本节例 2)

活动:这是一个实际问题.教师引导学生分析,根据题意在(1)中,矩形的长与宽的积

是一个常数,求长与宽的和的两倍的最小值;在(2)中,矩形的长与宽的和的两倍是一个常

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数,求长与宽的积的最大值.联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积,因此建立均

值不等式的数学模型.

点评:本例也可用函数模型解决,课后可让学生试一试.这里用均值不等式来解,一是

说明利用均值不等式求最值的方法,二是说明这种方法的快捷.解完本例后,让学生领悟到:

两个正数的积为常数时,它们的和有最小值;两个正数的和为常数时,它们的积有最大值.简

单地说就是:在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”.正是正数,定是定

值,相等是能取到等号.

知能训练

1

a

1.“a=8”是“对任意的正数 x,2x+x≥1”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.若正数 a、b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________.

答案: 1.A 解析:一方面,当 a=18时,对任意的正数 x,有 2x+ax=2x+81x≥1;另一方面, 对任意正数 x,都有 2x+ax≥1,只要 2x+ax≥2 2a≥1,即得 a≥18.

2.[9,+∞) 解法一:令 ab=t(t>0),

由 ab=a+b+3≥2 ab+3,得 t2≥2t+3,

解得 t≥3,即 ab≥3,故 ab≥9.

解法二:由已知得 ab-b=a+3,b(a-1)=a+3,

∴b=aa+ -31(a>1).

a+3

a+3

a+3

a-1+4

∴ab=a·a-1=[(a-1)+1]a-1=a+3+a-1=a-1+4+ a-1

=a-1+a-4 1+5≥2

a-1

a-4 1+5=9.

4 当且仅当 a-1=a-1时取等号,即 a=b=3 时,ab 的最小值为 9.

∴ab 的取值范围是[9,+∞).

点评:此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力.通过思考 a

+b 与 ab 的关系联想到均值不等式,或建立在函数思想上,求函数的值域.

由于视角的不同,有多种方法,以上仅是其中的两种解法.

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课堂小结 1.由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法?有哪些收获? 2.教师强调,本节课,我们学习了重要不等式 a2+b2≥2ab;两正数 a、b 的算术平均 数(a+2 b),几何平均数( ab)及它们的关系(a+2 b≥ ab).两关系式成立的条件不同,前者 只要求 a、b 都是实数,而后者要求 a、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具,又是 求函数最值的重要工具.
作业 习题 3—2A 组,4,5,6.习题 3—2B 组,1,2.
设计感想 1.本节设计突出重点.均值不等式的功能在于求最值,这是本节的重点,要牢牢地抓 住.但使用均值不等式求函数最值时要注意:①x,y 都是正数;②积 xy(或和 x+y)为定值; ③x 与 y 必须能够相等. 2.本节课我们探究了均值不等式,拓展了我们的视野;证明不等式是高中数学的重点, 也是难点,在设计中加强了证明不等式的题量,但难度并不大,重在让学生体会方法.将解 题思路转化为解题过程,往往不是一帆风顺的,谈思路可能头头是道,具体求解却可能会处 处碰壁,消除思路与求解的差异,要靠探究,在探究中不断更新,在探究中逐步完善.
(设计者:郑吉星) 第 2 课时 导入新课 思路 1.(复习导入)让学生回忆上节课我们探究的重要结果:一是如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab(当且仅当 a=b 时取“=”);二是均值不等式:如果 a,b 是正数,那么a+2 b≥ ab(当且仅当 a=b 时取“=”).在这个不等式中,a+2 b为 a,b 的算术平均数, ab为 a, b 的几何平均数,这样均值不等式就有了几何意义:半弦长不大于半径.a2+b2≥2ab 与a+2 b ≥ ab成立的条件是不同的,前者只要求 a,b 都是实数,而后者要求 a,b 都是正数.本节 课我们进一步探究均值不等式的应用.由此展开新课. 思路 2.(直接导入)通过上节课 a2+b2≥2ab(a、b∈R)与a+2 b≥ ab(a>0,b>0)的探究 证明,我们熟悉了不等式的一些证明方法.本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法, 进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路.教师打开多媒体课件,从而展开新
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课.

推进新课

新知探究

提出问题

1 2 3

最值时,应注意什么问题?

活动:教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式,以及均值不等式与 a2+b2 ≥2ab 的联系.给出了均值不等式的一个几何直观解释.均值不等式与 a2+b2≥2ab 都有着

广泛的应用.对这两个重要不等式,要明确它们成立的条件是不同的.后者成立的条件是 a

与 b 都为实数,并且 a 与 b 都为实数是不等式成立的充分必要条件;而前者成立的条件是 a

与 b 都为正实数,并且 a 与 b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件,如 a=0,b=0, 仍然能使a+2 b≥ ab成立.
两个不等式中等号成立的条件都是 a=b,故 a=b 是不等式中等号成立的充要条件.

在使用“和为常数,积有最大值”和“积为常数,和有最小值”这两个结论时,应把握

“一正、二定、三相等”.当条件不完全具备时,应创造条件.

本节课我们将进一步探究均值不等式的应用.

讨论结果:

(1)(2)略.

(3)应注意不等式成立的条件,即把握好“一正,二定,三相等”. 应用示例

例 1(教材本节例 3)

活动:本例是求函数的最值.教师引导学生将 f(x)变形,注意观察代数式中可否出现

和或积的定值.本例可放手让学生自己探究,教师给予适当点拨.

点评:解完本例后,让学生反思并领悟在求函数最值时,如何使用均值不等式的条件,

并掌握基本技能.

变式训练

函数 y=loga(x+3)-1(a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上, 其中 mn>0,则1m+2n的最小值为________.

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答案:8 解析:∵y=loga(x+3)-1 恒过点(-2,-1),∴A(-2,-1). 又∵A 在直线上, ∴-2m-n+1=0,即 2m+n=1. 又∵mn>0,∴m>0,n>0. 而1m+2n=2mm+n+4m+n 2n
n 4m =2+m+2+ n ≥4+2×2=8,
11 当 n=2,m=4时取“=”. ∴1m+2n的最小值为 8.

5

1

例 2(1)已知 x<4,求函数 y=4x-2+4x-5的最大值;

(2)已知 a、b 为实数,求函数 y=(x-a)2+(x-b)2 的最小值.

活动:(1)因为 4x-5<0,所以首先要“调整”符号.又(4x-2)·4x1-5不是常数,所

以应对 4x-2 进行拆(添)项“配凑”.(2)从函数解析式的特点看,本题可化为关于 x 的二次

m2+n2 函数,再通过配方法求其最小值.但若注意到(x-a)+(b-x)为定值,则用变形不等式 2 ≥(m+2 n)2 更简捷.
5 解:(1)∵x<4,∴5-4x>0. ∴y=4x-2+4x1-5=-(5-4x+5-14x)+3≤-2+3=1. 当且仅当 5-4x=5-14x,即 x=1 时,上式等号成立.

∴当 x=1 时,ymax=1.

(2)∵y=(x-a)2+(x-b)2=(x-a)2+(b-x)2

x-a ≥2[

2

b-x

]2=

a-b 2

2


当且仅当 x-a=b-x,即 x=a+2 b时,上式等号成立.

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a+b

a-b 2

∴当 x= 2 时,ymin= 2 .

点评:若 x、y∈R+,x+y=s,xy=p.若 p 为定值,则当且仅当 x=y 时,s 的值最小;

如果 s 为定值,则当且仅当 x=y 时,p 的值最大.简称“和定积最大,积定和最小”.从本

例的解答可以看出,求最值时往往需要拆(添)项,其目的是创设应用均值不等式的情境和使

等号成立的条件,即满足“一正,二定,三相等”的要求.

变式训练

已知在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=3,AC=4,P 是 AB 上的点,则点 P 到 AC、BC 的距离

乘积的最大值是__________.

答案:3

解析:方法一:以 CA、CB 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,则直线 AB 方程为x4+y3= 1,设 P(a,b),则a4+b3=1(a>0,b>0).
ab ∴ab=12·a4·b3≤12(4+2 3)2=3,
4b 当且仅当“a= 3 ”时等号成立. 方法二:设 P 到 BC 的距离为 a,到 AC 的距离为 b. 由相似三角形易得a4=P5B,b3=P5A, ∴a4+b3=PB+5 PA=1.以下解法同一.
x2-3x+1 例 3 当 x>-1 时,求函数 f(x)= x+1 的值域.
x2-3x+1 活动:教师引导学生观察函数 f(x)的分子、分母特点,可作如下变形:f(x)= x+1
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x+1 2-5 x+1



x+1

5=x+1+x+5 1-5.

这样就可以应用均值不等式了.

解:∵x>-1,

∴x+1>0.

x2-3x+1

x+1 2-5 x+1

∴ f(x) = x+1 =

x+1

5



x



1



5 x+1



5



2

x+1

5 x+1

-5=2 5-5,当且仅当(x+1)2=5 时,即 x= 5-1 时取“=”.

另一解 x=- 5-1<-1(舍去),故函数值域为[2 5-5,+∞).

点评:本题解法具有典型性,解后教师引导学生领悟反思.这种求值域的题目,在“函

数”一章中我们接触较多,其常用方法有单调性、图象法,还有判别式法.利用判别式法不

仅计算量大,而且极易因忽视某些条件而出错.本例给出了用均值不等式法求值域的方法,

既简单又不易出错.但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件:①各项均为正数;②和或

积有一个为定值;③等号一定取到,这三个条件缺一不可.

变式训练

已知 x1·x2·x3·…·x2 006=1,且 x1、x2、x3、…、x2 006 都是正数,则(1+x1)(1+x2)…(1 +x2 006)的最小值是__________. 答案:22 006

解析:∵x1>0,则 1+x1≥2 x1, 同理,1+x2≥2 x2, ……

1+x2 006≥2 x2 , 006 各式相乘,得

(1+x1)(1+x2)…(1+x2 006)≥22 · 006 x1·x2·x3·…·x2 006=22 . 006 取“=”的条件为 x1=x2=x3=…=x2 006=1, ∴所求最小值为 22 . 006

例 4 设 0<x<2,求函数 f(x)= 3x 8-3x 的最大值,并求相应的 x 值.试问 0<x
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<43时,原函数 f(x)有没有最大值?0<x≤1 时,f(x)有没有最大值?若有,请你求出来; 若没有,请你说明理由.

活动:对本例中的函数可变形为 f(x)= 24x-9x2,根号内是我们熟悉的二次函数,完

全可以用二次函数的知识方法解决,这种方法学生很熟悉.教师可引导学生利用均值不等式

求解,让学生自己探究,教师可适时地点拨.

解:∵0<x<2,∴8-3x>0.

∴f(x)= 3x 8-3x ≤

3x+8-3x 2

2=4,

4 当且仅当 3x=8-3x,即 x=3时取“=”.

∴函数 f(x)的最大值为 4,此时 x=43.

又 f(x)= -9x2+24x=

3x-4 2+16,

∴当 0<x<43时,f(x)递增;当 x>43时,f(x)递减.

∴当 0<x<43时,原函数 f(x)没有最大值.

当 0<x≤1 时,有最大值 f(1),即 f(1)= 15.

点评:通过本例再次加深对均值不等式条件的理解.体会不等式的功能在于“和与积”

的互化,构造均值不等式,解题的技巧是拆(添)项或配凑因式.

知能训练

1.函数 f(x)=x+x1的最大值为(

)

A.25

B.12

C.

2 2

D.1

2.求函数 y=x+1x(x>0)的最小值,以及此时 x 的值.

3.已知 x、y∈R+,且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值.

答案:
1.B 解析:当 x=0 时,f(x)=0;当 x>0 时,f(x)=x+x1= 1 1 ≤12,当且仅当 x+ x
x= 1 ,即 x=1 时取等号. x
2.解:∵x>0,∴x+1x≥2· x·1x=2,

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当且仅当 x=1x,即 x=1 时取等号. ∴当 x=1 时,x+1x的值最小,最小值是 2. 3.解:由 2x+8y-xy=0 得 y(x-8)=2x.

∵x>0,y>0,∴x-8>0.

2x

16

∴x+y=x-8+x=x-8+x-8+10≥2

x-8

16 x-8+10=18,

当且仅当 x-8=x1-68,即 x=12 时,x+y 取最小值 18.

课堂小结

1.由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法,回顾本节课解决了哪些问题?应

注意些什么?

2.教师点拨,本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题,在用均值不等式

求函数的最值时,应注意考查下列三个条件:(1)函数的解析式中,各项均为正数;(2)函数

的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值;(3)函数的解析式中,含变数的各

项均相等,取得最值.即用均值不等式求某些函数的最值时,应具备三个条件:一正、二定、

三相等.在利用均值不等式证明一些不等式时,也应注意均值不等式成立的条件及构建均值

不等式结构.

作业

习题 3—2A 组 2、3、7、8、9;习题 3—2B 组 3、4.

设计感想

1.本节设计意在体现均值不等式的应用,因此用不等式求解函数的最值与证明不等式

是穿插进行的,且强调一题多解的训练.

2.本节设计关注了教学进程的和谐发展.整个设计给人自然流畅的感觉,没有教师过

分自我展示的味道,能使学生的思维得到充分的锻炼,能力得到很大的提高.

3.本节设计重视了学生的主体地位,从例题到变式训练,从新课导入到课堂小结,都

注意了学生的主动思维活动,充分让学生占据思维的时空,这是提高学生思维能力的有效良

方.

备课资料

一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)

(1)设 a1,a2,a3,…,an 为正实数,这 n 个数的算术平均值记为 A,几何平均值记为 G,

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即 A=a1+a2+n…+ an,G=n a1a2…an,即 A≥G,当且仅当 a1=a2=…=an 时,A=G.特别

地,当 n=2 时,a+2 b≥ ab;当 n=3 时,a+3b+c≥3 abc.

(2)用局部调整法证明均值不等式 A≥G.设这 n 个正数不全相等.不失一般性,设 0<a1

≤a2≤…≤an,易证 a1<A<an,且 a1<G<an.在这 n 个数中去掉一个最小数 a1,将 a1 换成 A,

再去掉一个最大数 an,将 an 换成 a1+an-A,其余各数不变,于是得到第二组正数:A,a2,

a3,…,an-1,a1+an-A.这一代换具有下列性质:①两组数的算术平均值不变,设第二组数 的算术平均值为 A1,那么 A1=A+a2+a3+…+nan-1+a1+an-A=A,②第二组数的几何平均

n 值最大.设第二组数的几何平均值为 G1,则 G1= Aa2a3…an-1 a1+an-A ,
∵A(a1+an-A)-a1an=(A-a1)(an-A),由 a1<A<an,得(A-a1)(an-A)>0,则 A(a1

+an-A)>a1an.∴Aa2a3…an-1(a1+an-A)>a1a2…an-1·an,即 G1>G.

二、备用习题

1.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则( )

A.ab≤12

B.ab≥12

C.a2+b2≥2

D.a2+b2≤3

2.若 a、b、c、d、x、y 是正实数,且 P= ab+ cd,Q= ax+cy· bx+dy,则(

)

A.P=Q

B.P<Q

C.P≤Q

D.P≥Q

3.若函数 y=f(x)的值域是[12,3],则函数 F(x)=f(x)+f

1 x

的值域是(

)

A.[12,3]

B.[2,130]

C.[52,130]

D.[3,130]

4.某公司一年购买某种货物 400 吨,每次都购买 x 吨,运费为 4 万元/次,一年的总存

储费用为 4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则 x=__________吨.

5.直线 l 过点 M(2,1)且分别交 x 轴,y 轴正半轴于点 A,B,O 为坐标原点,求△AOB

面积最小时 l 的方程.

6.经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路汽车的车流量 y(千辆/时)与汽车 920v
的平均速度 v(千米/时)之间的函数关系为 y=v2+3v+1 600(v>0).

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实用标准

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精

确到 0.1 千辆/时)

(2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?

参考答案:

1.C

解析:对于选项 C:a2+b2=a2+b2+2 a2+b2≥a2+b22+2ab=

a+b 2

2
=2.故 C 正

确.

2.C 解析:∵a、b、c、d、x、y 是正实数, bd
∴Q= ax+cy· x+y = ab+cd+adyx+bxcy

≥ ab+cd+2 abcd

= ab+ cd=P.

1 3.B 解析:令 t=f(x),则 t∈[2,3].

1

10

∴F(x)=G(t)=t+t.该函数在 t=1 处取得最小值 2,在 t=3 处取得最大值 3 .

故选 B.

4.20 解析:设一年总费用为 y 万元,则 y=4·4x00+4x=1 x600+4x≥2 =160,当且仅当1 x600=4x,即 x=20 时,等号成立.

1 x600·4x

5.解:设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2),即 y=kx+1-2k(k<0).

令 x=0,得 y=1-2k;

令 y=0,得 x=2k- k 1=2-1k.

1

1

1

∴S△AOB=2(1-2k)(2-k)=2+-2k+(-2k).

∵k<0,∴-2k>0.

1

1

∴S△AOB≥2+2=4,当且仅当-2k=-2k,即 k=-2时取等号.

1 此时 l 的方程为 y=-2x+2.

6.解: (1)依题意,得 y= 3

920

920

920

1 600 v+ v

≤ 3+2

1

= 600

83



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实用标准
当且仅当 v=1 v600,即 v=40 时,上式等号成立, 920
所以 ymax= 83 ≈11.1(千辆/时). 920v
(2)由条件得v2+3v+1 600>10, 整理,得 v2-89v+1 600<0, 即(v-25)(v-64)<0, 解得 25<v<64. 答:当 v=40 千米/时时,车流量最大,最大车流量约为 11.1 千辆/时.如果要求在该 时段内车流量超过 10 千辆/时,则汽车的平均速度应大于 25 千米/时且小于 64 千米/时.
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