数学高考复习名师精品教案:第27课时:第四章 三角函数-任意角的三角函数

数学高考复习名师精品教案
第 27 课时: 第四章 三角函数——任意角的三角函数

一.课题:任意角的三角函数 二.教学目标:1.掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角,终边相同的角 的表示, 2.掌握弧度制、弧度与角度的转化关系,扇形面积及弧长公式. 三.教学重点:与 ? 角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用. 四.教学过程: (一)主要知识: 1.角的概念的推广;象限角、轴线角;与 ? 角终边相同的角为 2 k ?
? ? (k ? Z ) ;

2.角的度量;角度制、弧度制及其换算关系;弧长公式 l ?| ? | r 、扇形面积公式
S ? 1 2 lr



3.任意角的三角函数. (二)主要方法: 1.本节内容大多以选择、填空题形式出现,要重视一些特殊的解题方法,如数 形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运 用一些基本结论.

(三)例题分析:
1

例 1.若 ? , ? ? (0,
( A) ? ? ?

?
2

) ,且 sin ? ? cos ? ? 0 ,


?
2


(D) ? ? ? ?

C



(B)

? ??

(C ) ? ? ? ?

?
2

例 2.(1)如果 ? 是第一象限的角,那么 是第几象限的角?
3

?

(2)如果 ? 是第二象限的角,判断 解:(1)∵ 2 k ? ∴
2k? 3 ? ? ? ? 2k? ?

sin(cos ? ) cos(sin ? )

的符号.

?
2

,k ? Z



?
3

?

2k? 3

?

?
6

,k ? Z


?
3 ? 2 n? ? 2? 3 4? 3 ? ?

当k 当k

? 3 n ( n ? Z ) 时, 2 n? ?

?
6

,n? Z

, 是第一象限的角,
3 5? 6 3? 2 ,n? Z ,n? Z

?

? 3 n ? 1( n ? Z ) 时, 2 n? ?

?
3

? 2 n? ? ? 2 n? ?

, 是第二象限的角,
3

?

当 k ? 3n ? 2( n ? Z ) 时, 2 n?
?
3

?

?
3

, 是第三象限的角.
3

?

∴ 是第一,二,三象限的角. (2) ? 是第二象限的角, ? 1 ? cos ?
sin(cos ? ) ? 0 , cos(sin ? ) ? 0 ,∴
? 0 , 0 ? sin ? ? 1 ,

sin(cos ? ) cos(sin ? )

? 0.

例 3.(《高考 A 计划》考点 24“智能训练第 6 题”) 已知锐角 ? 终边上的一 点 P 坐标是 (2 sin 2, ? 2 cos 2) ,则 ?
( A) 2 (B) ?2 (C ) 2 ?

?


(D)

C



?
2

?
2

?2

例 4. 扇形 AOB 的中心角为 2? , 半径为 r , 在扇形 AOB 中作内切圆 O1 及与圆 O1 外 切,与 OA, OB 相切的圆 O 2 ,问 sin
?

为何值时,圆 O 2 的面积最大?最大值是多少?

解:设圆 O1 及与圆 O 2 的半径分别为 r1 , r2 ,
? ( r ? r1 ) sin ? ? r1 ? 则? ? ? ( r1 ? r2 ) cos( ? ? ) ? r1 ? r2 ? 2
r1 (1 ? sin ? ) 1 ? sin ?

r sin ? ? ? r1 ? 1 ? sin ? ,得 ? , ? r1 (1 ? sin ? ) ?r ? ? 2 1 ? sin ? ?

∴ r2

?

?

r sin ? (1 ? sin ? ) (1 ? sin ? )
2


2

∵ 0 ? 2?
2

? 2?

,∴ 0 ? ?

??

,令 t ? sin ? ? 1(1 ? t ? 2) , ,即 sin ?
? 1 3

r2 ?

? t ? 3t ? 2 t
2

1 3 1 3 2 1 ? ? 2( ? ) ? ,当 ? t 4 t 4 8

时,
?
64

圆 O 2 的半径最大,圆 O 2 的面积最大,最大面积为 (四)巩固练习: 1.设 0 ? ?
( A) ? ? ? ?



? 2?

,如果 sin ?
(B)

? 0 且 cos 2? ? 0 ,则 ?
(C )

的取值范围是(
3? 4
(D)

D



3? 2

3? 2

? ? ? 2?

?
4

?? ?

5? 4

?? ?

7? 4

2.已知 ? 的终边经过点 (3a ? 9, a ? 2) ,且 sin ?
9 ( ? 2, ] . 3

? 0, cos ? ? 0

,则 a 的取值范围是

3.若 sin ?
( A) (?

? tan ? ? cot ? ( ? )

?
2

?? ?

?
2

)

,则 ? ?
( C ) (0,


?
4 )

B


(D) (

?
2

,?

?
4

( B ) (?

?
4

, 0)

? ?

, ) 4 2

3


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