北京市昌平区2011-2012学年第一学期高三年级期末质量抽测理科2012.1

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北京市昌平区 2011北京市昌平区 2011-2012 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数 学 理科) 试 卷(理科)
2012 .1

考生注意事项: 1.本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2.答题前,考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚.答题卡上第一部分(选择题)必 须用 2B 铅笔作答,第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答,作图时可以使用 2B 铅笔. 3.修改时,选择题用塑料橡皮擦干净,不得使用涂改液.请保持卡面整洁,不要折叠、折皱、 破损.不得在答题卡上作任何标记. 4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作 答均不得分.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.) 1.已知集合 M = {x | ?3 < x ≤ 5}, N = {x | x < ?5或x > 5} , M U N 等于 A. {x | ?5 < x < 5} B. {x | x < ?5或x > ?3} C. {x | ?3 < x ≤ 5} D. {x | x < ?3或x > 5}

2. 已知两条直线 l1 : x + y ? 1 = 0 , l 2 : 3 x + ay + 2 = 0 且 l1 ⊥ l 2 ,则 a = A.

?

1 3
2

B.
0.3

1 3

C. -3

D.3

3.设 a = 0.3 , b = 2 A.

, c = log 0.3 4 ,则
C. b < a < c D. b < c < a
2 2

c<a<b

B. c < b < a

4. 若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是

A.12

B.8
主视图 左视图

C.6

D.4
2

俯视图

5.从甲、乙等 6 名同学中挑选 3 人参加某公益活动,要求甲、乙至少有 1 人参加,不同的挑选方法 共有 A.16 种 B.20 种 C. 24 种 D.120 种

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6. 已知 α 、 β 是两个不同平面, m 、 n 是两条不同直线,下列命题中假命题是 ... A.若 m ∥ n , m ⊥ α , 则 n ⊥ α C.若 m ⊥ α , m ⊥ β , 则 α ∥ β B.若 m ∥ α , α I β = n , 则 m ∥ n D.若 m ⊥ α , m ? β , 则 α ⊥

β

7. 某类产品按工艺共分 10 个档次,最低档次产品每件利润为 8 元.每提高一个档次,每件利润增加 2 元. 用同样工时,可以生产最低档产品 60 件,每提高一个档次将少生产 3 件产品.则获得利润最 大时生产产品的档次是 A.第 7 档次 B.第 8 档次

C.第 9 档次

D.第 10 档次

8. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f ( 2) = 1, f ′(x ) 为

f ′(x)

f (x) 的导函数.已知 y = f ′(x) 的图象如图所示,若两个正
数 a, b 满足 f ( 2a + b) > 1 ,则 A.( ?

1 ,1) 8

b ?1 的取值范围是 a?2 1 B. ( ?∞ , ? ) U ( 1 , + ∞) 8

o

x

C. (?8 , 1 )

D. (?∞ , ? 8 ) U (1 , + ∞) 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) .
9.已知函数 y = sin ωx cos ωx 的最小正周期是

π
,那么正数???.

b 那么 k = ???. 10. 已知向量 a = (1,2) , = ( k ,1) ,若向量 a//b ,
11.已知过点 ?2, 3 的直线 l 与圆 C: x 2 + y 2 + 4 x = 0 相交 的弦长为 2 3 ,则圆 C 的圆心坐标是___________ , 直线 l 的斜率为??????. k = k +1 S =2S + k 12. 某程序框图如图所示,则输出的 S = ????? .

2

(

)

开始

S =1, k =1



k>3
是 输出 S

结束

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13. 已知 ( x ? m) = a 0 + a1 x + a 2 x + L + a 7 x 的展开式中 x 的系数是 ? 35 ,则
7 2 7
4

m = ????; a1 + a 2 + a3 + L + a 7 = ???????????.
14. 设函数 f ( x) 的定义域为 R ,若存在与 x 无关的正常数 M ,使 | f ( x ) |≤ M | x | 对一切实数 x 均 成 立 , 则 称 f ( x ) 为 有 界 泛 函 . 在 函 数 ① f ( x ) = ?5 x , ② f ( x ) = x , ③ f ( x ) = sin x , ④
2 2

1 f ( x) = ( ) x ,⑤ f ( x) = x cos x 中,属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号) . 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,

1 cos 2 A = cos 2 A ? cos A . 2

(I)求角 A 的大小; (II)若 a = 3 , sin B = 2sin C ,求 S ?ABC .

16.(每小题满分 13 分) 某人进行射击训练,击中目标的概率是

4 ,且各次射击的结果互不影响. 5

(Ⅰ)假设该人射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (Ⅱ)假设该人每射击 5 发子弹为一组,一旦命中就停止,并进入下一组练习,否则一直打完 5 发子弹才能进入下一组练习,求: ① 在完成连续两组练习后,恰好共使用了 4 发子弹的概率; ② 一组练习中所使用子弹数 ξ 的分布列,并求 ξ 的期望.

17.(本小题满分 14 分) 如图在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, PA ⊥ 底面ABCD ,垂足为点 A ,

PA = AB = 1 ,点 M , N 分别是 PD , PB 的中点.
(I)求证: PB // 平面ACM ; (II)求证: MN ⊥ 平面 PAC ;
N

P

M

(III) PF = 2 FC ,求平面 FMN 与平面 ABCD 所成二面 若
A

F D

角的余弦值.
B

C

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18. (本小题满分 13 分) 已知数列 {a n } 是等差数列, a 3 = 10 , a 6 = 22 ,数列 {bn } 的前 n 项和是 Tn ,且 Tn + (I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证:数列 {bn } 是等比数列; (III)记 c n = a n ? bn ,求证: c n +1 < c n .

1 bn = 1 . 3

19. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = ( x ? x ? )e ( a > 0 ).
2 ax

1 a

(I)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)若不等式 f ( x ) +

5 ≥ 0 对 x ∈ R 恒成立,求 a 的取值范围. a

20. (本小题满分 14 分) 已 知 函 数 f (x ) 是 奇 函 数 , 函 数 g (x ) 与 f (x ) 的 图 象 关 于 直 线 x = 1 对 称 , 当 x > 2 时 ,

g ( x) = a ( x ? 2) ? ( x ? 2) 3 ( a 为常数).
(I)求 f (x ) 的解析式; (II)已知当 x = 1 时, f (x ) 取得极值,求证:对任意 x1 , x2 ∈ ( ?1,1), | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |< 4 恒成立; (III)若 f (x ) 是 [1,+∞) 上的单调函数,且当 x0 ≥ 1, f ( x0 ) ≥ 1 时,有 f ( f ( x0 )) = x0 , 求证: f ( x0 ) = x0 .

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昌平区 2011-2012 学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学(理科)试卷参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.) 题号 答案 1 B C 2 3 A D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 2012.1

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.) 9.2 12. 26 10.

1 2

11.(-2,0) ± ; 14. ①③⑤

2

13. 1 ; 1

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(本小题满分 13 分)

1 解: (I)由已知得: (2 cos 2 A ? 1) = cos 2 A ? cos A ,……2 分 2

∴ cos A =

1 . 2

……4 分

Q0 < A < π ,
(II)由

b c = sin B sin C ∴ b = 2c

. …………6 分 3 sin B b 可得: = = 2 ………7 分 sin C c
…………8 分

∴A=

π

b 2 + c 2 ? a 2 4c 2 + c 2 ? 9 1 cos A = = = 2bc 2 4c 2
解得: c =

………10 分

3 ,b = 2 3

………11 分

S=

1 1 3 3 3 bc sin A = × 2 3 × 3 × = . 2 2 2 2

……13 分

16.(本小题满分 13 分) 解: (I)设射击 5 次,恰有 2 次击中目标的事件为 A .

4 4 32 P ( A) = C 52 ? ( ) 2 ? (1 ? ) 3 = 5 5 625

……4 分

(Ⅱ)①完成两组练习后,恰好共耗用 4 发子弹的事件为 B ,则

P ( B ) = 0.8 ? (1 ? 0.8) 2 ? 0.8 + (1 ? 0.8) ? 0.8(1 ? 0.8) ? 0.8 + (1 ? 0.8) 2 ? 0.8 ? 08 = 0.0768
……8 分 ② ξ 可能取值为 1,2,3,4,5. …… 9 分

.

P (ξ = 1) = 0.8 ;

P (ζ = 2) = (1 ? 0.8) ? 0.8 = 0.16
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P(ζ = 3) = (1 ? 0.8) 2 ? 0.8 = 0.032 P(ζ = 4) = (1 ? 0.8) 3 ? 0.8 = 0.0064 P(ζ = 5) = (1 ? 0.8) 4 ? 0.8 = 0.0016 ……11 分
3 4 5

ζ
P

1

2

0.8

0.16

0.032

0.0064 ……13 分

0.0016

∴ Eζ = 1.2496 .

17(本小题满分 14 分) 证明: 连接 AC , BD, AM , MC , MO, MN , 且AC I BD = O Q 点O, M分别是PD, BD的中点 (I)

∴ MO // PB, PB ? 平面ACM

P

∴ PB // 平面ACM .
(II) Q PA ⊥ 平面ABCD

…… 4 分
M
N

∴ PA ⊥ BD

Q 底面ABCD是正方形


A
O

BD ? 平面ABCD
∴ AC ⊥ BD
B

D



C

Q PA ∩ AC = A ∴ BD ⊥ 平面PAC …… 7 分
在 ?PBD中 ,点 M , N 分别是 PD , PB 的中点.

∴ MN // BD ∴ MN ⊥ 平面PAC .
(III)
P

z

…… 9 分
M N A D F

Q PA ⊥ 平面ABCD , 底面ABCD是正方形
以 A 为原点,建立空间直角坐标系 由 PF = 2 FC 可得
B

y

C

1 1 1 1 2 2 1 A(0,0,0), M (0, , ), N ( ,0, ), F ( , , ) 2 2 2 2 3 3 3
设平面 MNF 的法向量为 n = ( x, y , z )

x

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平面 ABCD 的法向量为 AP = (0,0,1)

1 1 1 2 1 NM = (? , ,0), NF = ( , ,? ) 2 2 6 3 6

…… 11 分

? x y ?? 2 + 2 = 0 ?y = x ? 可得: ? 解得: ? 令 x = 1, 可得 n = (1,1,5) …… 13 分 ? z = 5x ?x + 2y ? z = 0 ?6 3 6 ?

cos< AP , n >=

5

5 27 27 27 =

……14 分

18. (本小题满分 13 分) 解: (1)由已知 ?

?a1 + 2d = 10, ?a1 + 5d = 22.

解得 a1 = 2, d = 4.

∴ a n = 2 + (n ? 1) × 4 = 4n ? 2. ………………4 分
(2)由于 Tn = 1 ?

1 bn , ① 3 1 3 1 令 n =1,得 b1 = 1 ? b1 . 解得 b1 = ,当 n ≥ 2 时, Tn ?1 = 1 ? bn ?1 ② 3 4 3 1 1 1 ① -②得 bn = bn ?1 ? bn , ∴ bn = bn ?1 3 3 4

又 b1 =

b 1 3 ≠ 0, ∴ n = . 4 bn ?1 4

∴数列 {bn } 是以

3 1 为首项, 为公比的等比数列.……………………9 分 4 4 3 3(4n ? 2) (3)由(2)可得 bn = n . ……9 分 ……10 分 c n = a n ? bn = 4 4n 3[4(n + 1) ? 2] 3(4n ? 2) 30 ? 36n c n +1 ? c n = ? = . 4 n +1 4n 4 n +1 ∴ c n+1 < c n . ……………………13 分

Q n ≥ 1 ,故 c n +1 ? c n < 0.

19. (本小题 13 分) 解: 对函数 f ( x ) 求导得: f ′( x ) = e ax (ax + 2)( x ? 1) ……………2 分 (Ⅰ)当 a = 1 时, f ′( x ) = e( x + 2)( x ? 1) 令 f ′( x ) > 0 解得 x > 1 或 x < ?2

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f ′( x) < 0 解得 ? 2 < x < 1
所以, f ( x ) 单调增区间为 (?∞,?2) 和 (1, +∞) ,

f ( x) 单调减区间为 (-2 ,1) .

……………5 分

(Ⅱ) 令 f ′( x ) = 0 ,即 ( ax + 2)( x ? 1) = 0 ,解得 x = ? 当 a > 0 时,列表得:

2 或 x =1 a

6分

x

2 (?∞, ? ) a
+

?

2 a

2 (? ,1) a


1

(1, +∞)
+

f ′( x) f ( x)

0

0



极大值



极小值



……………8 分 对于 x < ? ∴ f ( x ) >0 对于 x ≥ ?

2 2 1 2 2 时,因为 x > 0, ? x > , a > 0 ,所以 x ? x ? > 0 , a a a
……… 10 分

2 1 a 时,由表可知函数在 x = 1 时取得最小值 f (1) = ? e < 0 a a 1 a 所以,当 x ∈ R 时, f ( x ) min = f (1) = ? e …… 11 分 a 5 由题意,不等式 f ( x ) + ≥ 0 对 x ∈ R 恒成立, a 1 a 5 所以得 ? e + ≥ 0 ,解得 0 < a ≤ ln 5 ……………13 分 a a
20.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ) 当 x < 0 时,必有 ? x > 0 ,则 2 ? x > 2, 而若点 P ( x, y ) 在 y = f (x ) 的图象上, 则 P ( x, y ) 关于 x = 1 的对称点 P ( 2 ? x, y ) 必在 g (x ) 的图象上,即当 x < 0 时, 1

y = f ( x) = g (2 ? x) = a[(2 ? x) ? 2] ? [(2 ? x) ? 2]3 = ?ax + x 3
由于 f (x) 是奇函数,则任取 x > 0, 有 ? x < 0, 且

f ( x) = ? f (? x) = ?[? a (? x) + (? x) 3 ] = ? ax + x 3
又当 x = 0 时,由 f ( ?0) = ? f (0) 必有 f (0) = 0

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综上,当 x ∈ R 时 f ( x) = x ? ax .
3

……5 分

2 (Ⅱ)若 x = 1 时 f (x ) 取到极值,则必有当 x = 1 时 f ′( x ) = 3 x ? a = 0 ,即 a = 3

又由 f ′( x ) = 3 x ? 3 = 3( x ? 1)( x + 1) 知,当 x ∈ (?1,1) 时, f ′( x ) < 0 , f (x ) 为减函数
2

∴当x ∈ [?1,1]时 , f (?1) ≥ f ( x) ≥ f (1) = (?1) 3 ? 3(?1) = 2 ≥ f ( x) ≥ f (1) = ?2 ∴当x1 , x2 ∈ (?1,1)时 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |<| f (?1) ? f (1) |= 4 .
2

……9 分

(Ⅲ)若 f (x ) 在 [1,+∞) 为减函数,则 f ′( x ) = 3 x ? a < 0 对任意 x ∈ [1,+∞) 皆成立,这样的实 数 a 不存在 若 f (x ) 为 增 函 数 , 则 可 令 f ′( x ) = 3 x 2 ? a > 0 . 由 于 f ′(x ) 在 [1,+∞) 上 为 增 函 数 , 可 令

f ′( x) = 3 x 2 ? a ≥ f ′(1) = 3 ? a ≥ 0 ,即当 a ≤ 3 时, f (x) 在 [1,+∞) 上为增函数
由 x0 ≥ 1, f ( x0 ) ≥ 1 , f ( f ( x0 )) = x0 设 f ( x 0 ) > x 0 ≥ 1 ,则 f [ f ( x 0 )] > f ( x 0 )

∴ x0 > f ( x 0 ) 与所设矛盾
若 x0 > f ( x 0 ) ≥ 1 则 f ( x 0 ) > f [ f ( x 0 )] ∴ f ( x 0 ) > x 0 与所设矛盾 故必有 f ( x 0 ) = x 0 ……14 分

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