2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-3-4 平面向量共线的坐标表示

能 力 提 升 一、选择题 1.(2011~2012· 北京西城高三第一学期期末)已知点 A(-1,1),点 → B(2,y),向量 a=(1,2),若AB∥a,则实数 y 的值为( A.5 C.7 [答案] C → → [解析] AB=(3,y-1),又AB∥a, 所以(y-1)-2×3=0,解得 y=7. 2.(2013· 陕西文)已知向量 a=(1,m),b=(m,2),若 a∥b,则实 数 m 等于( A.- 2 C.- 2或 2 [答案] C [解析] 本题考查了向量的坐标运算,向量平行的坐标表示等.由 a∥b 知 1×2=m2,即 m= 2或 m=- 2. → 1→ 3.若点 M(3,-2),点 N(-5,-1),且MP=2MN,则点 P 的坐 标为( ) 3? ? B.?-1,-2? ? ? ) B.6 D.8 ) B. 2 D.0 A.(-8,1) 3? ? C.?1,2? ? ? D.(8,-1) [答案] B → [解析] 设 P(x,y),则MP=(x-3,y+2), → MN=(-8,1), 1 ? → 1→ ?x-3=2×?-8?, ∵MP=2MN,∴? 1 ? y + 2 = ? 2×1, 3 解得 x=-1,y=-2. 4.已知向量 a=(1,3),b=(2,1),若 a+2b 与 3a+λb 平行,则 λ 的值等于( A.-6 C.2 [答案] B [解析] a+2b=(5,5),3a+λb=(3+2λ,9+λ), 由条件知,5×(9+λ)-5×(3+2λ)=0, ∴λ=6. 5.(2013· 济南模拟)若 a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb), 则 m=( 1 A.-2 C.2 [答案] A [解析] 2a+b=2(1,2)+(-3,0)=(-1,4) ) 1 B.2 D.-2 ) B.6 D.-2 a-mb=(1,2)-m(-3,0)=(1+3m,2) ∵(2a+b)∥(a-mb) ∴-1=(1+3m)×2 1 ∴6m=-3,解得 m=-2 6.(2011~2012· 湖南长沙)已知 O 是平面上一定点,A、B、C 是 → → → → 平面上不共线的三点,动点 P 满足OP=OA+λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( A.外心 C.内心 [答案] D → → → [解析] 设AB+AC=AD,则可知四边形 BACD 是平行四边形,而 → → AP=λAD表明 A、P、D 三点共线. 又 D 在 BC 的中线所在直线上,于是点 P 的轨迹一定通过△ABC 的重心. 二、填空题 7.(2011· 北京高考)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1),c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________. [答案] 1 [解析] a-2b=( 3,3).因为 a-2b 与 c 共线, 所以 k 3 = 3 ,解得 k=1. 3 ) B.垂心 D.重心 8.已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),且 a∥b,则 tanα 等于 ________. 3 [答案] tanα=4 [解析] ∵a∥b,∴3cosα-4sinα=0. 3 ∴4sinα=3cosα.∴tanα=4. 9.若三点 P(1,1)、A(2,-4)、B(x,-9)共线,则 x 等于 ________. [答案] 3 → → → → [解析] PA=(1,-5),PB=(x-1,-10),因为PA与PB共线,所 以 1×(-10)-(-5)(x-1)=0,解得 x=3. 三、解答题 10.平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求 3a+b-2c; (2)求满足 a=mb+nc 的实数 m 和 n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k. [解析] (1)3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)- (8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6). (2)∵a=mb+nc,m,n∈R, ∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n). ? ?-m+4n=3, ∴? ? ?2m+n=2. 5 ? m = ? 9, 解得? 8 ? n = ? 9. 5 8 ∴m=9,n=9. (3)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2). 又∵(a+kc)∥(2b-a), ∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. 16 ∴k=-13. 11.已知点 P1(2,-1),点 P2(-1,3),点 P 在线段 P1P2 上,且 → 2 → |P1P|=3|PP2|.求点 P 的坐标. [解析] 设点 P 的坐标为(x,y), → 2→ 由于点 P 在线段 P1P2 上,则有P1P=3PP2, → → 又P1P=(x-2,y+1),PP2=(-1-x,3-y), 2 ? x - 2 = ? 3?-1-x?, 由题意得? 2 ? y + 1 = ? 3?3-y?, ?4 3? ∴点 P 的坐标为?5,5?. ? ? 4 ? x = ? 5, 解得? 3 ? y = ? 5, 12.已知 A、B、C 三点的坐标分别为(-1,0)、(3,-1)、(1,2), → 1→ → 1→ 并且AE=3AC,BF=3BC. (1)求 E,F 的坐标; → → (2)判断EF与AB是否共线. [解析] (1)设 E(x1,y1)、F(x2,y2), → → 依题意得AC=(2,2),BC=(-2,3). → 1→ 1 由AE=3AC可知(x1+1,y1)=3(2,2), 2 ? x + 1 = 1 ? 3 即? 2 ? y 1= ? 3 1 ? x =- 1 ? 3 ,解得? 2 ? y 1= ? 3 1 2 ,∴E(-3,3). → 1→ 由BF=3BC可知 1 (x2-3,y2+1)=3(-

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