广东省揭阳一中2012-2013学年高二上学期阶段考 数学理试

高二第一学期第一次阶段考数学(理)试卷
一、 选择题(每小题 5 分,共 8 小题,共 40 分)
1、三个数 a,b,c 既是等差数列,又是等比数列,则 a,b,c 间的关系为 (

)

A.b-a=c-b

B.b =ac

2

C.a=b=c

D.a=b=c≠0


2. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,则数列 {an } 的通项公式为 ( A. an ? 2 n?1 ? 3 B. an ? 3n ? 2 C. an ? 2n ? 1

D. an ? 2n ? 1 )

? ? 3、在 ?ABC 中, a ? 6 , B ? 30 , C ? 120 ,则 ?ABC 的面积是(

A. 9 4. 函数 y ? x ? A. 4

B. 18

C. 9 3 ) C. 6

D. 18 3

4 ( x ? 1) 的最小值是 ( x ?1
B. 5

D. 7

5.△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c 成等比数列,且 c=2a, 则 cosB 等于( ) A.
1 4
)

B.

3 4

C.

2 4

D.

2 3

6.若函数 y=ax2+bx+a 的图象与 x 轴没有交点,则点(a,b)在 aOb 平面上的区域(不含边 界)为(

7.右边给出一个“直角三角形数阵” : 满足每一列成等差数列;从第三行起,每一行 的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第

i 行第 j 列的数为 aij (i ? j, i, j ? N ? ) ,则

1 4 1 2 3 4

1 4 3 8

3 16

a83 =
A.

( B.



ks5u C.

1 8

1 4

1 2

D. 1
?

8.数列 ?an ? 的首项为 3, 且 bn ? an?1 ? an (n ? N ) , 若 b3 ? ?2 , ?bn ?为等差数列, b10 ? 12 ,

则 a8 ? ( A.0

) B.3 C.8 D.11

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分)
9. 不等式

x ?1 ? 3 的解集为 x

.

10.设数列 (?1) n?1 ? n 的前 n 项和为 S n ,则 S2013 11、在等比数列 {an } 中, a3 ? 7, S3 ? 21,则公比 1 12、求函数 y=x+x 的值域 .

?

?

?
.

.

? x ? y ≥ ?1 ? 13.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 4 ,则目标函数 z =2 x +4 y 的最大值为 ?y≥ 2 ?
14.已知等比数列 {an } 满足 an ? 0, n ? 1, 2, 则当 n ? 1 时, log2 a1 ? log2 a3 ? ,且 a5 ? a2n?5 ? 22n (n ? 3) , .

.

? log2 a2n?1 ?

三、解答题(共 6 小题)
15. (本小题 12 分)已知锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c , 且 a ? 2b sin A. (1)求 B 的大小;ks5u (2)若 a ? c ? 7, 三角形 ABC 的面积为 1 ,求 b 的值。
2 2

16. (本小题 12 分)设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,已知 a3 = 24 , S11 ? 0 . (1) 求数列{ an }的通项公式; (2)当 n 为何值时, Sn 最大,并求 Sn 的最大值. 17.(本小题 14 分)二次函数 f ( x) 满足 f (?3) ? ?73, f (?2) ? ?1,且对称轴 x ? ?

3 2

2 2 (1)求 f ( x) ; (2)求不等式 f ( x) ? ?35x ? (108? 3m) x ? 2m ? 73 (m ? R) 的解集.

18. (本小题 14 分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产 品的市场需求量非常大,有多少就能销售多少,因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动 力) 确定产品的月供应量, 以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资

金和劳动力,通过调查,得到关于这两种产品的有关数据如下表:

资 成 本



单位产品所需资金(百元) 空调机 30 5 6 洗衣机 20 10 8

月资金供应量(百元) 300 110

劳动力(工资) 单位利润

试问:怎样确定两种货物的月供应量,才能使总利润达到最大,最大利润是多少? 19. (本小题 14 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N .
*

(Ⅰ)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.
20.(本小题 14 分)已知点(1,

1 x )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点, 3

等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足

Sn - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? . } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn ? 2009 bn bn?1

(3)设 c n ?

2bn , 求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Pn ks5u an

高二第一学期第一次阶段考数学科(理)试卷答案
一、选择题 DACB BDCB

二、填空题 9. ? x | x ? 0或x ?

? ?

1? ? 2?

10. 1007

11.

q=-1/2 或 1;

12.

(-∞,-2]∪[2,+∞)

13.

13

14.

n2

三、解答题 15.解:解: (1)由 a ? 2b sin A, 根据正弦定理得 sin A ? 2 sin B sin A, 又 sin A ? 0 所以 sin B ? 2分

由 ?ABC 为锐角三角形得 B ? (2)由 ?ABC 的面积为 1 得

? . 5 分 ks5u 6

1 , 3分 2

1 1 ac sin B ? 1 6 分 又 sin B ? 2 2
2

? ac ? 4

8分
2 2

由余弦定理得 a ? c ? 2ac cos B ? b 又 cos B ?

9分

3 2

b2 ? 7 ? 4 3 ?
12 分

?

2?

?3
2

11 分

?b ? 2 ? 3

?a1 ? 2d ? 24 ?a1 ? 40 ? 16 解: (1)依题意有 ? ,解之得 ? ,∴ an ? 48 ? 8n . 11? 10 11a1 ? d ?0 ?d ? ?8 ? 2 ?
(2)由(1)知, a1 =40, an ? 48 ? 8n ,

(a ? an )n (40 ? 48 ? 8n) n ? 11 ? 2 ? ∴ Sn = 1 = ?4n ? 44n =-4 ? n ? ? +121, 2 2 2? ?
故当 n ? 5 或 n ? 6 时, S n 最大,且 S n 的最大值为 120. 17 解: (1)设 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0)
2

2

? f (?3) ? ?73, f (?2) ? ?1,且 f ( x) 的最大值是 8,
?a ? 0 ?9a ? 3b ? c ? ?73 ? ? ? ?4a ? 2b ? c ? ?1 ? ?? b ? ? 3 ? 2 ? 2a
?a ? ?36 ? 解得 ?b ? ?108 ?c ? ?73 ?

? f ( x) ? ?36x 2 ? 108x ? 73

(2)由(1)知不等式 f ( x) ? ?35x 2 ? (108? 3m) x ? 2m 2 ? 73 等价于

? 36x 2 ? 108x ? 73 ? ? 35x 2 ? (108? 3m) x ? 2m 2 ? 73
即 x ? 3mx ? 2m ? 0
2 2

即 ( x ? m)(x ? 2m) ? 0

当 m ? 0 时,所求不等式的解集为空集;ks5u 当 m ? 0 时,所求不等式的解集为 ?m | m ? x ? 2m?; 当 m ? 0 时,所求不等式的解集为 ?m | 2m ? x ? m?. 18.解:设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台,总利润是 P, 则 P=6x+8y,

约束条件为

?30x ? 20 y ? 300 ?5 x ? 10 y ? 1 1 0 ? ? ? x ? 0, y ? 0 ? ?x ? N , y ? N

可行域如图所示

3 1 3 P ? 6 x ? 8 y 可化为 y ? ? x ? P ,可看作一组斜率为 ? 的直线, 4 8 4 3 1 由图知直线 y=- x+ P 过点 M 时,纵截距最大这时 P 也取最大值, 4 8
由?

?30x ? 20y ? 300 ?5x ? 10y ? 110

解得 M (4,9)

? Pmax=6×4+8×9=96(百元)
故当月供应量为空调机 4 台,洗衣机 9 台时,可获得最大利润 9600 元 19 解(Ⅰ)证明:由题设 an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得

an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .
又 a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为 1 ,且公比为 4 的等比数列.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知 an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为

an ? 4n?1 ? n .
所以数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ?
4n ? 1 n(n ? 1) ? . 3 2

(Ⅲ)证明:对任意的 n ? N* ,

Sn ?1 ? 4Sn ?

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3

1 ? ? (3n 2 ? n ? 4) ≤ 0 .ks5u 2

所以不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N* 皆成立.
1 20 解: (1)? f (1) ? a ? , 3

?1? ? f ? x? ? ? ? ? 3?

x

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 3 9 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 . 4 2 a 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? 2 ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
又 公 比

a 1 q? 2 ? a1 3







2? ?1 ? ? an ? ? ? ? ? ?2 ? ? 3? ?3 ? ?

n ?1

n

1 n? N* 3



? S n ? S n?1 ? ( S n ? S n?1 )( S n ? S n?1 ) ? S n ? S n?1
又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1( n ? 2 ) ∴数列 公差为 1 的等差数列, ∴ ? S ? 构成一个首项为 1,
n
2

? n ? 2?

∴ Sn ? n 2 Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n ,

2 当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1

(*)

又 b1 ? S1 ? 1, 适合(*)式 (2)?

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * )

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) bn bn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

? Tn ?
?

1 1 1 1 ? ? ??? b1b2 b2 b3 b3b4 bn bn?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2n ? 1 2n ? 1

1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,故满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009

(3) cn ?

2bn ? (1 ? 2n) ? 3n. an
① ②

∴ Pn ? (?1) ? 3 ? (?3) ? 32 ? (?5) ? 33 ? ? ? (1 ? 2n) ? 3n

3Pn ? (?1) ? 32 ? (?3) ? 33 ? (?5) ? 34 ? ? ? (3 ? 2n) ? 3n ? (1 ? 2n) ? 3n?1
②—① 得 2Pn ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ? ? 2 ? 3n ? (1 ? 2n) ? 3n?1

32 (1 ? 3n?1 ) ? 3? 2? ? (1 ? 2n) ? 3n ?1 ? (2 ? 2n) ? 3n ?1 ? 6. 1? 3


Pn ? (1 ? n) ? 3n?1 ? 3. ks5u


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