(课堂设计)2014-2015高中数学 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4

1.4.3

正切函数的性质与图象
自主学习

知识梳理 正切函数的图象和性质 (1)图象:如下图所示.

(2)性质:如下表所示

函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 单 增区间 调 减区间 性

y=tan x

________函数 ______________(k∈Z) 无

自主探究 仔细观察正切函数的图象,完成下列问题. (1)正切函数的图象有________条渐近线,它们的方程为 x=__________(k∈Z).相邻 两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增. (2) 正 切 函 数 的 图 象 是 中 心 对 称 图 形 , 对 称 中 心 有 ______ 个 , 它 们 的 坐 标 是 __________(k∈Z);正切函数的图象不是轴对称图形,不存在对称轴. (3)函数 y=Atan(ω x+φ )(ω ≠0)的周期是 T=________. 对点讲练 知识点一 与正切函数有关的定义域问题 例1 求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域.

回顾归纳 求定义域时, 要注意正切函数自身的限制条件, 另外解不等式时要充分利用 三角函数的图象或三角函数线. 变式训练 1 求下列函数的定义域. 1 (1)y= ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x
1

知识点二 正切函数的单调性及周期性 例2

? 1 π? 求函数 y=tan?- x+ ?的单调区间及周期. 4? ? 2

回顾归纳 y=tan(ω x+φ ) (ω >0)的单调区间的求法即是把 ω x+φ 看成一个整体, π π 解- +kπ <ω x+φ < +kπ ,k∈Z 即可.当 ω <0 时,先用诱导公式把 ω 化为正值再求 2 2 单调区间. π? ? 变式训练 2 求函数 y=tan?2x- ?的单调区间及周期. 3? ?

知识点三 正切函数单调性的应用 利用正切函数的单调性比较下列两个函数值的大小. ? 6π ? ? 13π ?;(2)tan 2 与 tan 9. (1)tan?- ?与 tan?- ? 7 ? ? 5 ? ? 例3

回顾归纳 比较两个函数值的大小, 只需将所涉及的两个角通过诱导公式转化到同一个 π ? π ? k∈Z. 单调区间内, 再借助单调性即可. 正切函数的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?, 2 ? 2 ? ? π π ? ?π 3π ? 故在?- , ?和? , ?上都是增函数. 2 ? ? 2 2? ?2 变式训练 3 比较下列两组函数值的大小. (1)tan(-1 280°)与 tan 1 680°;(2)tan 1,tan 2,tan 3.

2

π π? ? 1.正切函数 y=tan x 在每段区间?kπ - ,kπ + ? (k∈Z)上是单调递增函数,但 2 2? ? 不能说正切函数在其定义域内是单调递增函数. 并且每个单调区间均为开区间, 而不能写成 π ? π ? 闭区间?- +kπ , +kπ ?(k∈Z).正切函数无单调减区间. 2 2 ? ? 2.正切函数是奇函数,图象关于原点对称,并且有无穷多个对称中心,对称中心坐标 ?kπ ,0?(k∈Z).正切函数的图象无对称轴,但图象以直线 x=kπ +π (k∈Z)为渐近线. 是? ? 2 ? 2 ? 课时作业 一、选择题 π? ? 1.函数 y=2tan?3x+ ?的最小正周期是( ) 4? ? π π π 2π A. B. C. D. 6 3 2 3 ?1 π ? 2.函数 y=tan? x- ?在一个周期内的图象是( 3? ?2

)

3.下列函数的最小正周期为 A.y=tan 3x

2π 的函数是( 3

)

?2 ? C.y= 2tan? x-1? ?3 ?

π? ? B.y=tan?6x- ? 7? ? ?3 π ? D.y=tan? x+ ? 3? ?2

? π? 4.下列函数中,在?0, ?上单调递增,且以 π 为周期的偶函数是( ) 2? ? A.y=tan|x| B.y=|tan x| C.y=|sin 2x| D.y=cos 2x π π ?π ? 5. 函数 f(x)=tan ω x (ω >0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 , 则 f? ? 4 4 ?4? 的值是( )

3

A.0 二、填空题

B.1

C.-1

D.

π 4

π? ? 6.不等式 tan?2x- ?≥-1 的解集是____________. 4? ? ? π? 7.函数 y=3tan?x+ ?的对称中心的坐标是 3? ? _____________________________________________________________________. π? ? 8.函数 y=2tan?3x+ ?-5 的单调递增区间是________________. 4? ? 三、解答题 9.判断函数 f(x)=lg tan x+1 的奇偶性. tan x-1

?x π ? 10.求函数 y=tan? - ?的定义域、周期、单调区间和对称中心. ?2 3 ?

1.4.3

正切函数的性质与图象 答案

知识梳理 (2) 函数 性质 定义域 值域 周期 奇偶性 单 调 性 自主探究 (1)无数 对点讲练 增区间 减区间 π 2

y=tan x
? ? π ?x|x≠kπ + ,x∈R?,(k∈Z) 2 ? ?

R π 奇函数 ?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z) ? 2 2? ? ? 无

kπ +

π ? kπ ? (2)无数 ? ,0? (3) |ω | ? 2 ?

4

?tan x+1≥0 ? 解 由题意得? , ?1-tan x>0 ? 即-1≤tan x<1. ? π π? ? π π? 在?- , ?内,满足上述不等式的 x 的取值范围是?- , ?.又 y=tan x 的周期为 ? 2 2? ? 4 4? π, π π? ? 所以所求 x 的范围是?kπ - ,kπ + ? (k∈Z). 4 4? ? π π? ? 即函数的定义域为?kπ - ,kπ + ? (k∈Z). 4 4? ? 1 变式训练 1 解 (1)要使函数 y= 有意义, 1+tan x

例1

1+tan x≠0, ? ? 只需? π x≠ +kπ ? 2 ?

(k∈Z).

? ? π π ∴函数的定义域为?x|x∈R,x≠kπ + 且x≠kπ - ,k∈Z?. 2 4 ? ?

(2)由 3-tan x>0,得 tan x< 3. π π 根据正切函数图象,得- +kπ <x< +kπ (k∈Z), 2 3 ? ? π π ∴函数的定义域是?x|- +kπ <x< +kπ ,k∈Z?. 2 3 ? ? 1 π ? ? 例 2 解 y=tan?- x+ ? 4? ? 2 ?1 π ? =-tan? x- ?, 4? ?2 π 1 π π 由 kπ - < x- <kπ + (k∈Z), 2 2 4 2 π 3 得 2kπ - <x<2kπ + π ,k∈Z, 2 2 π 3 ? ? 1 π? ? ∴函数 y=tan?- x+ ?的单调递减区间是?2kπ - ,2kπ + π ?,k∈Z. 4? 2 2 ? ? 2 ? π 周期 T= =2π . ?-1? ? 2? ? ? π ? π ? 变式训练 2 解 ∵y=tan x 在 x∈?- +kπ , +kπ ? (k∈Z)上是增函数, 2 ? 2 ? π π π ∴- +kπ <2x- < +kπ ,k∈Z. 2 3 2 π kπ 5π kπ 即- + <x< + ,k∈Z. 12 2 12 2 π? ? ∴函数 y=tan?2x- ?的单调递增区间是 3? ? ?-π +kπ ,5π +kπ ? (k∈Z). ? 12 2 ? 12 2 ? ? π 周期 T= . 2

5

π? ? 6 ? ? 解 (1)∵tan?- π ?=tan?-π - ? 5? ? 5 ? ? π ? ? =tan?- ?, ? 5? π? π ? 13 ? ? tan?- π ?=tan?-2π + ?=tan , 7? 7 ? 7 ? ? π π ? ? 又函数 y=tan x 在?- , ?上是增函数, ? 2 2? π π π π 而- <- < < . 2 5 7 2 π ? π? ∴tan?- ?<tan , 7 ? 5? ? 6 ? ? 13 ? 即 tan?- π ?<tan?- π ?. ? 5 ? ? 7 ? π (2)∵tan 9=tan(9-2π ),而 <2<9-2π <π . 2 ?π ? 由于函数 y=tan x 在? ,π ?上是增函数, 2 ? ? ∴tan 2<tan(9-2π ),即 tan 2<tan 9. 变式训练 3 解 (1)∵tan(-1 280°) =tan(-4×360°+160°) =tan(180°-20°)=tan(-20°), tan 1 680°=tan(4×360°+240°) =tan(180°+60°)=tan 60°, 而函数 y=tan x 在(-90°,90°)上是增函数, ∴tan(-20°)<tan 60°, 即 tan(-1 280°)<tan 1 680°. (2)∵tan 2=tan(2-π ),tan 3=tan(3-π ), π π 又∵ <2<π ,∴- <2-π <0, 2 2 π π ∵ <3<π ,∴- <3-π <0, 2 2 π π 显然- <2-π <3-π <1< , 2 2 ? π π? 且 y=tan x 在?- , ?上是增函数, ? 2 2? ∴tan(2-π )<tan(3-π )<tan 1, 即 tan 2<tan 3<tan 1. 课时作业 1.B 2.A 3.D 4.B π π 5.A [由题意,T= = ,∴ω =4. ω 4 π ? ? ∴f(x)=tan 4x,f? ?=tan π =0.] ?4? k π k π 3 π ? , + ? (k∈Z) 6.? 2 8 ? ? 2 ? π π π 解析 由 kπ - ≤2x- <kπ + ,k∈Z, 4 4 2 例3

6

解得


2

2 π - ,0? 7.? ? (k∈Z) 3 ? 2 ? π kπ 解析 由 x+ = (k∈Z), 3 2 kπ π 得 x= - (k∈Z). 2 3 ?kπ π ? ∴对称中心坐标为? - ,0? (k∈Z). 3 ? 2 ? π k π π k π ? ? 8.?- + , + ?,k∈Z 3 12 3 ? ? 4 tan x+1 9.解 由 >0,得 tan x>1 或 tan x<-1. tan x-1 ∴函数定义域为 ?kπ -π ,kπ -π ?∪?kπ +π ,kπ +π ?(k∈Z) ? ? ? ? 2 4? ? 4 2? ? 关于原点对称. tan?-x?+1 tan x+1 f(-x)+f(x)=lg +lg tan?-x?-1 tan x-1 ?-tan x+1·tan x+1?=lg 1=0. =lg? ? ?-tan x-1 tan x-1? ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. x π π 10.解 ①由 - ≠kπ + ,k∈Z, 2 3 2 5π 得 x≠2kπ + ,k∈Z. 3 ? ? 5 ∴函数的定义域为?x|x∈R且x≠2kπ + π ,k∈Z?. 3 ? ? π ②T= =2π , 1 2 ∴函数的周期为 2π . π x π π ③由 kπ - < - <kπ + ,k∈Z, 2 2 3 2 π 5π 解得 2kπ - <x<2kπ + ,k∈Z. 3 3 π 5π ? ? ∴函数的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ?,k∈Z. 3 3 ? ? x π kπ 2π ④由 - = ,k∈Z,得 x=kπ + ,k∈Z. 2 3 2 3 2 π ? ? ∴函数的对称中心是?kπ + ,0?,k∈Z. 3 ? ?

≤x<





3π ,k∈Z. 8

?kπ

7


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