江苏省南京市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2016-2017 学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.若集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|x+1>0},则 A∩B= . 2.函数 f(x)=log2(1﹣x)的定义域为 . 3.函数 f(x)=3sin(3x+ )的最小正周期为 .

4.已知角 α 的终边过点 P(﹣5,12),则 cosα= . 5.若幂函数 y=xa(a∈R)的图象经过点(4,2),则 a 的值为 6.若扇形的弧长为 6cm,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为

. cm2.

7.设 , 是不共线向量, ﹣4 与 k + 共线,则实数 k 的值为 .

8.定义在区间[0,5π]上的函数 y=2sinx 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数 为.

9.若 a=log32,b=20.3,c=log 2,则 a,b,c 的大小关系用“<”表示为 . 10.函数 f(x)=2x+a?2﹣x 是偶函数,则 a 的值为 _. 11.如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点,若 ? =﹣2,则 ? 的值为

12.已知函数 f(x)对任意实数 x∈R,f(x+2)=f(x)恒成立,且当 x∈[﹣1, 1]时,f(x)=2x+a,若点 P 是该函数图象上一点,则实数 a 的值为 . 13.设函数 f(x)= ﹣3x2+2,则使得 f(1)>f(log3x)成立的 x 取值范围为 .

14.已知函数 f(x)=

,其中 m>0,若对任意实数 x,都有 f

(x)<f(x+1)成立,则实数 m 的取值范围为 .

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二、解答题(共 6 题,90 分)

15.已知

=2.

(1)求 tanα;

(2)求 cos( ﹣α)?cos(﹣π+α)的值.

16.已知向量 =(﹣2,1), =(3,﹣4). (1)求( + )?(2 ﹣ )的值; (2)求向量 与 + 的夹角. 17.如图,在一张长为 2a 米,宽为 a 米(a>2)的矩形铁皮的四个角上,各剪 去一个边长是 x 米(0<x≤1)的小正方形,折成一个无盖的长方体铁盒,设 V (x)表示铁盒的容积. (1)试写出 V(x)的解析式;

(2)记 y= ,当 x 为何值时,y 最小?并求出最小值.

18.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的最下正周期为 π, 且点 P( ,2)是该函数图象的一个人最高点. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 x∈[﹣ ,0],求函数 y=f(x)的值域; (3)把函数 y=f(x)的图线向右平移 θ(0<θ< )个单位,得到函数 y=g(x) 在[0, ]上是单调增函数,求 θ 的取值范围. 19.如图,在△ABC 中,已知 CA=1,CB=2,∠ACB=60°. (1)求| |; (2)已知点 D 是 AB 上一点,满足 =λ ,点 E 是边 CB 上一点,满足 =λ . ①当 λ= 时,求 ? ; ②是否存在非零实数 λ,使得 ⊥ ?若存在,求出的 λ 值;若不存在,请说明
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理由.
20.已知函数 f(x)=x﹣a,g(x)=a|x|,a∈R. (1)设 F(x)=f(x)﹣g(x). ①若 a= ,求函数 y=F(x)的零点; ②若函数 y=F(x)存在零点,求 a 的取值范围. (2)设 h(x)=f(x)+g(x),x∈[﹣2,2],若对任意 x1,x2∈[﹣2,2],|h (x1)﹣h(x2)|≤6 恒成立,试求 a 的取值范围.
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2016-2017 学年江苏省南京市高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.若集合 A={﹣1,0,1,2},B={x|x+1>0},则 A∩B= {0,1,2} . 【考点】交集及其运算. 【分析】先分别求出集合 A,B,由此利用交集定义能求出 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={﹣1,0,1,2}, B={x|x+1>0}={x|x>﹣1}, ∴A∩B={0,1,2}. 故答案为:{0,1,2}.
2.函数 f(x)=log2(1﹣x)的定义域为 {x|x<1} . 【考点】对数函数的定义域. 【分析】要使函数 f(x)=log2(1﹣x)有意义,只需对数的真数大于 0,建立不 等式解之即可,注意定义域的表示形式. 【解答】解:要使函数 f(x)=log2(1﹣x)有意义 则 1﹣x>0 即 x<1 ∴函数 f(x)=log2(1﹣x)的定义域为{x|x<1} 故答案为:{x|x<1}

3.函数 f(x)=3sin(3x+ )的最小正周期为 【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】利用利用函数 y=Asin(ωx+φ)的周期为

. ,得出结论.

【解答】解:函数 f(x)=3sin(3x+ )的最小正周期为 ,

故答案为: .

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4.已知角 α 的终边过点 P(﹣5,12),则 cosα=



【考点】任意角的三角函数的定义. 【分析】先求出角 α 的终边上的点 P(﹣5,12)到原点的距离为 r,再利用任

意角的三角函数的定义 cosα= 求出结果.

【解答】解:角 α 的终边上的点 P(﹣5,12)到原点的距离为 r=13,

由任意角的三角函数的定义得 cosα= =﹣ .

故答案为﹣ .

5.若幂函数 y=xa(a∈R)的图象经过点(4,2),则 a 的值为



【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【分析】根据幂函数 y=xa 的图象过点(4,2),代入数据求出 a 的值. 【解答】解:幂函数 y=xa(a∈R)的图象经过点(4,2), 所以 4a=2,

解得 a= .

故答案为: .

6.若扇形的弧长为 6cm,圆心角为 2 弧度,则扇形的面积为 9 cm2. 【考点】扇形面积公式. 【分析】由题意求出扇形的半径,然后求出扇形的面积. 【解答】解:因为:扇形的弧长为 6cm,圆心角为 2 弧度, 所以:圆的半径为:3, 所以:扇形的面积为: 6×3=9. 故答案为:9.

7.设 , 是不共线向量, ﹣4 与 k + 共线,则实数 k 的值为 ﹣ . 【考点】平行向量与共线向量.
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【分析】e1﹣4e2 与 ke1+e2 共线,则存在实数 λ,使得满足共线的充要条件,让它 们的对应项的系数相等,得到关于 K 和 λ 的方程,解方程即可.

【解答】解:∵e1﹣4e2 与 ke1+e2 共线,





∴λk=1,λ=﹣4,





故答案为﹣ .

8.定义在区间[0,5π]上的函数 y=2sinx 的图象与 y=cosx 的图象的交点个数为 5. 【考点】正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【分析】画出函数 y=2sinx 与 y=cosx 在一个周期[0,2π]上的图象,即可得出结 论. 【解答】解:画出函数 y=2sinx 与 y=cosx 在一个周期[0,2π]上的图象如图实数:

由图可知,在一个周期内,两函数图象在[0,π]上有 1 个交点,在(π,2π]上 有 1 个交点, 所以函数 y=2sinx 与 y=cosx 在区间[0,5π]上图象共有 5 个交点. 故答案为:5.
9.若 a=log32,b=20.3,c=log 2,则 a,b,c 的大小关系用“<”表示为 c<a <b . 【考点】对数值大小的比较.
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【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 【解答】解:∵a=log32∈(0,1),b=20.3>1,c=log 2<0, ∴c<a<b. 故答案为:c<a<b.
10.函数 f(x)=2x+a?2﹣x 是偶函数,则 a 的值为 1 _. 【考点】函数奇偶性的判断. 【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可. 【解答】解:∵f(x)=2x+a?2﹣x 是偶函数, ∴f(﹣x)=f(x), 即 f(﹣x)=2﹣x+a?2x=2x+a?2﹣x, 则(2﹣x﹣2x)=a(2﹣x﹣2x), 即 a=1, 故答案为:1
11.如图,点 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点,若 ? =﹣2,则 ? 的值为 3
【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】建立直角坐标系,设出正方形的边长,利用向量的数量积求出边长,然 后求解数量积的值. 【解答】解:以 A 为坐标原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,设正方形的边长为 2a, 则:E(a,2a),B(2a,0),D(0,2a) 可得: =(a,2a), =(2a,﹣2a). 若 ? =﹣2,可得 2a2﹣4a2=﹣2,解得 a=1,
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=(﹣1,2), =(1,2), 则 ? 的值:﹣1+4=3. 故答案为:3.
12.已知函数 f(x)对任意实数 x∈R,f(x+2)=f(x)恒成立,且当 x∈[﹣1, 1]时,f(x)=2x+a,若点 P 是该函数图象上一点,则实数 a 的值为 2 . 【考点】抽象函数及其应用;函数的图象. 【分析】求出函数的周期,然后利用点的坐标满足函数的解析式,推出结果即可. 【解答】解:函数 f(x)对任意实数 x∈R,f(x+2)=f(x)恒成立,可得函数 的周期为:2, f=f(1).且当 x∈[﹣1,1]时,f(x)=2x+a, 点 P 是该函数图象上一点, 可得 21+a=8,解得 a=2. 故答案为:2.
13.设函数 f(x)= ﹣3x2+2,则使得 f(1)>f(log3x)成立的 x 取值范围为 0<x<3 或 x>3 . 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】由题意,f(﹣x)=f(x),函数是偶函数,x>0 递减,f(1)>f(log3x), 1<|log3x|,即可得出结论. 【解答】解:由题意,f(﹣x)=f(x),函数是偶函数,x>0 递减 ∵f(1)>f(log3x) ∴1<|log3x|,
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∴0<x<3 或 x>3, ∴使得 f(1)>f(log3x)成立的 x 取值范围为 0<x<3 或 x>3, 故答案为 0<x<3 或 x>3.

14.已知函数 f(x)=

,其中 m>0,若对任意实数 x,都有 f

(x)<f(x+1)成立,则实数 m 的取值范围为 (0, ) . 【考点】分段函数的应用. 【分析】由 f(x)的解析式,可得 f(x+1)的解析式,画出 f(x)的图象,向左 平移一个单位可得 f(x+1)的图象,由 x≤﹣m,f(x)的图象与 x≥m﹣1 的图 象重合,可得 m 的一个值,进而通过图象可得 m 的范围.

【解答】解:由函数 f(x)=

,其中 m>0,

可得 f(x+1)=



作出 y=f(x)的简图,向左平移 1 个单位,可得 y=f(x+1), 由对任意实数 x,都有 f(x)<f(x+1)成立, 只要 f(x)的图象恒在 f(x+1)的图象上, 由 x≤﹣m,f(x)的图象与 x≥m﹣1 的图象重合,可得 2m=1﹣2m,解得 m= ,
通过图象平移,可得 m 的范围为 0<m< .
故答案为:(0, ).

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二、解答题(共 6 题,90 分)

15.已知

=2.

(1)求 tanα;

(2)求 cos( ﹣α)?cos(﹣π+α)的值.

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】(1)直接利用同角三角函数的基本关系,求得 tanα 的值. (2)利用同角三角函数的基本关系、诱导公式,求得要求式子的值.

【解答】解:(1)∵已知

=2=

,∴tanα=5.

(2)cos( ﹣α)?cos(﹣π+α)=sinα?(﹣cosα)=

=

=﹣ .

16.已知向量 =(﹣2,1), =(3,﹣4). (1)求( + )?(2 ﹣ )的值; (2)求向量 与 + 的夹角. 【考点】平面向量数量积的运算;数量积表示两个向量的夹角. 【分析】(1)利用向量的坐标求解所求向量的坐标,利用数量积运算法则求解即 可. (2)利用数量积求解向量的夹角即可. 【解答】解:(1)向量 =(﹣2,1), =(3,﹣4). ( + )=(1,﹣3),(2 ﹣ )=(﹣7,6). 所以( + )?(2 ﹣ )=﹣7﹣18=﹣25. (2) + =(1,﹣3),

cos< , + >=

=

=﹣ .

向量 与 + 的夹角为 135°.

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17.如图,在一张长为 2a 米,宽为 a 米(a>2)的矩形铁皮的四个角上,各剪 去一个边长是 x 米(0<x≤1)的小正方形,折成一个无盖的长方体铁盒,设 V (x)表示铁盒的容积. (1)试写出 V(x)的解析式;
(2)记 y= ,当 x 为何值时,y 最小?并求出最小值.

【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】(1)利用小反弹的体积公式,写出 V(x)的解析式;

(2)记 y= ,利用配方法,即可得到当 x 为何值时,y 最小,并求出最小值.

【解答】解:(1)由题意,V(x)=(2a﹣2x)(a﹣2x)x(0<x≤1);

(2)y= =(2a﹣2x)(a﹣2x)=



∵a>2,0<x≤1,∴x=1 时,y 最小,最小值为 2(a﹣1)(a﹣2).

18.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的最下正周期为 π, 且点 P( ,2)是该函数图象的一个人最高点. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)若 x∈[﹣ ,0],求函数 y=f(x)的值域; (3)把函数 y=f(x)的图线向右平移 θ(0<θ< )个单位,得到函数 y=g(x) 在[0, ]上是单调增函数,求 θ 的取值范围. 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出 A,由周期求出 ω,由特殊点的坐标 求出 φ 的值,可得函数的解析式. (2)由 x 的范围可求 2x+ ∈[﹣ , ],利用正弦函数的性质可求其值域. (3)利用三角函数平移变换规律可求 g(x)=2sin(2x﹣2θ+ ),利用正弦函数
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的单调性可求函数的单调递增区间,进而可得

,k∈Z,结合范

围 0<θ< ,可求 θ 的取值范围. 【解答】解:(1)∵由题意可得,A=2, =π, ∴ω=2. ∵再根据函数的图象经过点 M( ,2),可得 2sin(2× +φ)=2,结合|φ| < ,可得 ω= , ∴f(x)=2sin(2x+ ). (2)∵x∈[﹣ ,0], ∴2x+ ∈[﹣ , ], ∴sin(2x+ )∈[﹣1, ],可得:f(x)=2sin(2x+ )∈[﹣2,1]. (3)把函数 y=f(x)的图线向右平移 θ(0<θ< )个单位, 得到函数 y=g(x)=2sin[2(x﹣θ)+ ]=2sin(2x﹣2θ+ ), ∴令 2kπ﹣ ≤2x﹣2θ+ ≤2kπ+ ,k∈Z,解得:kπ+θ﹣ ≤x≤kπ+θ+ , k∈Z, 可得函数的单调递增区间为:[kπ+θ﹣ ,kπ+θ+ ],k∈Z, ∵函数 y=g(x)在[0, ]上是单调增函数,





∴解得: ∵0<θ< ,

,k∈Z,
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∴当 k=0 时,θ∈[ , ].
19.如图,在△ABC 中,已知 CA=1,CB=2,∠ACB=60°. (1)求| |; (2)已知点 D 是 AB 上一点,满足 =λ ,点 E 是边 CB 上一点,满足 =λ . ①当 λ= 时,求 ? ; ②是否存在非零实数 λ,使得 ⊥ ?若存在,求出的 λ 值;若不存在,请说明 理由.
【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】(1)利用余弦定理求出 AB 的长即得| |; (2)①λ= 时,D、E 分别是 BC,AB 的中点,求出 、 的数量积即可; ②假设存在非零实数 λ,使得 ⊥ ,利用 、 分别表示出 和 , 求出 ? =0 时的 λ 值即可. 【解答】解:(1)△ABC 中,CA=1,CB=2,∠ACB=60°, 由余弦定理得, AB2=CA2+CB2﹣2CA?CB?cos∠ACB =12+22﹣2×1×2×cos60° =3, ∴AB= ,即| |= ; (2)①λ= 时, = , = , ∴D、E 分别是 BC,AB 的中点, ∴=+=+ ,
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= ( + ),
∴ ? =( + )? ( + )
= ?+ ?+ ?+ =﹣ ×12+ ×1×2×cos120°+ ×2×1×cos60°+ ×22
=; ②假设存在非零实数 λ,使得 ⊥ , 由 =λ ,得 =λ( ﹣ ), ∴ = + = +λ( ﹣ )=λ +(1﹣λ) ; 又 =λ , ∴ = + =( ﹣ )+λ(﹣ )=(1﹣λ) ﹣ ; ∴ ? =λ(1﹣λ) ﹣λ ? +(1﹣λ)2 ? ﹣(1﹣λ) =4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ) =﹣3λ2+2λ=0, 解得 λ= 或 λ=0(不合题意,舍去);
即存在非零实数 λ= ,使得 ⊥ .
20.已知函数 f(x)=x﹣a,g(x)=a|x|,a∈R. (1)设 F(x)=f(x)﹣g(x). ①若 a= ,求函数 y=F(x)的零点; ②若函数 y=F(x)存在零点,求 a 的取值范围. (2)设 h(x)=f(x)+g(x),x∈[﹣2,2],若对任意 x1,x2∈[﹣2,2],|h (x1)﹣h(x2)|≤6 恒成立,试求 a 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;函数零点的判定定理. 【分析】(1)设 F(x)=f(x)﹣g(x). ①若 a= ,由 F(x)=0,即可求得 F(x)的零点; ②若函数 y=F(x)存在零点,则 x﹣a=a|x|,等号两端构造两个函数,当 a>0
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时,在同一坐标系中作出两函数的图象,即可求得满足题意的 a 的取值范围的一 部分;同理可得当 a<0 时的情况,最后取并即可求得 a 的取值范围. (2)h(x)=f(x)+g(x),x∈[﹣2,2],对任意 x1,x2∈[﹣2,2],|h(x1) ﹣h(x2)|≤6 恒成立?h(x1)max﹣h(x2)min≤6,分 a≤﹣1、﹣1<a<1、a ≥1 三类讨论,即可求得 a 的取值范围. 【解答】解:(1)F(x)=f(x)﹣g(x)=x﹣a﹣a|x|, ①若 a= ,则由 F(x)=x﹣ |x|﹣ =0 得: |x|=x﹣ , 当 x≥0 时,解得:x=1; 当 x<0 时,解得:x= (舍去); 综上可知,a= 时,函数 y=F(x)的零点为 1; ②若函数 y=F(x)存在零点,则 x﹣a=a|x|, 当 a>0 时,作图如下:
由图可知,当 0<a<1 时,折线 y=a|x|与直线 y=x﹣a 有交点,即函数 y=F(x) 存在零点; 同理可得,当﹣1<a<0 时,求数 y=F(x)存在零点; 又当 a=0 时,y=x 与 y=0 有交点(0,0),函数 y=F(x)存在零点; 综上所述,a 的取值范围为(﹣1,1). (2)∵h(x)=f(x)+g(x)=x﹣a+a|x|,x∈[﹣2,2], ∴当﹣2≤x<0 时,h(x)=(1﹣a)x﹣a; 当 0≤x≤2 时,h(x)=(1+a)x﹣a; 又对任意 x1,x2∈[﹣2,2],|h(x1)﹣h(x2)|≤6 恒成立,
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则 h(x1)max﹣h(x2)min≤6, ①当 a≤﹣1 时,1﹣a>0,1+a≤0,h(x)=(1﹣a)x﹣a 在区间[﹣2,0)上单 调递增; h(x)=(1+a)x﹣a 在区间[0,2]上单调递减(当 a=﹣1 时,h(x)=﹣a); ∴h(x)max=h(0)=﹣a,又 h(﹣2)=a﹣2,h(2)=2+a, ∴h(x2)min=h(﹣2)=a﹣2, ∴﹣a﹣(a﹣2)=2﹣2a≤6,解得 a≥﹣2, 综上,﹣2≤a≤﹣1; ②当﹣1<a<1 时,1﹣a>0,1﹣a>0,∴h(x)=(1﹣a)x﹣a 在区间[﹣2,0) 上单调递增, 且 h(x)=(1+a)x﹣a 在区间[0,2]上也单调递增, ∴h(x)max=h(2)=2+a,h(x2)min=h(﹣2)=a﹣2, 由 a+2﹣(a﹣2)=4≤6 恒成立,即﹣1<a<1 适合题意; ③当 a≥1 时,1﹣a≤0,1+a>0,h(x)=(1﹣a)x﹣a 在区间[﹣2,0)上单调 递减 (当 a=1 时,h(x)=﹣a),h(x)=(1+a)x﹣a 在区间[0,2]上单调递增; ∴h(x)min=h(0)=﹣a; 又 h(2)=2+a>a﹣2=h(﹣2), ∴h(x)max=h(2)=2+a, ∴2+a﹣(﹣a)=2+2a≤6,解得 a≤2,又 a≥1, ∴1≤a≤2; 综上所述,﹣2≤a≤2.
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2017 年 2 月 21 日
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