安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版11(精汇教案)

3.2.3 直线的一般式方程

.掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于和的一次方程的

对应关系,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度

教学 目标

和求简的数学精神. .会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距式, 培养学生归纳、概括能力,渗透分类讨论、化归、数形结合等数学思想.

.通过教学,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言表

述能力的训练.

教学 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化.

重、 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于和的一次方程的对应关系,关

难点 键是直线方程各种形式的互化.

教学 准备

多媒体课件

导入新课

由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.

()斜率是,经过点(,);()在轴和轴上的截距分别是,;()经过两点(-,)、

(,);()轴上的截距是,倾斜角是°.

教学过 程

由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为、 x ? y 、 ?7 7
y ? 6 ? x ?1 、,教师利用计算机动态显示,发现上述条直线在同一坐标 9?6 2?1
系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成:.这样前几种直线方程有

了统一的形式,这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式.

提出问题

①坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于的二元一次方程?

②关于的一次方程的一般形式(其中、不同时为零)是否都表示一条直线?

③我们学习了直线方程的一般式,它与另四种形式关系怎样,是否可互相

转化?

④特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互

化?

⑤我们学习了直线方程的一般式,系数、、有什么几何意义?什么场合下需

要化成其他形式?各种形式有何局限性?

讨论结果:①分析:在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α .

°当 α ≠°时,它们都有斜率,且均与轴相交,方程可用斜截式表示:.

°当 α °时,它的方程可以写成的形式,由于在坐标平面上讨论问题,所

以这个方程应认为是关于、的二元一次方程,其中的系数是零.

结论°:直线的方程都可以写成关于、的一次方程.

②分析:当≠时,方程可化为 A C ,这就是直线的斜截式方程,它表示 BB

斜率为 A ,在轴上的截距为 C 的直线当时,由于、不同时为零必有≠,

B

B

方程化为 C ,表示一条与轴平行或重合的直线. A

结论°:关于的一次方程都表示一条直线.

综上得:这样我们就建立了直线与关于的二元一次方程之间的对应关系.

我们把(其中不同时为)叫做直线方程的一般式.

注意:一般地,需将所求的直线方程化为一般式.

在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式(初中时学过的一次函数)把

新旧知识联系起来.

③引导学生自己找到答案,最后得出能进行互化.

④待学生通过练习后师生小结:特殊形式必能化成一般式;一般式不一定

可以化为其他形式(如特殊位置的直线),由于取点的任意性,一般式化

成点斜式、两点式的形式各异,故一般式化斜截式和截距式较常见;特殊

形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成

一般式.各种形式互化的实质是方程的同解变形(如图).

图 ⑤列表说明如下:

形式

方程

局限

各常数的几何意义

点斜式

()

除外

()是直线上一个定 点是斜率

斜截式

除外

是斜率是轴上的截 距

两点式

y ? y1 ? x ? x1 y2 ? y1 x2 ? x1

除和外

()、()是直线上两 个定点

截距式

x? y ab

除、及外

是轴上的非零截距 是轴上的非零截距

一般式 应用示例

当≠时 A 是斜率



B

C 是轴上的截距

B

例 已知直线经过点(),斜率为 4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3

解:经过点()且斜率为 4 的直线方程的点斜式方程为 4 ().

3

3

化成一般式,得.

变式训练

.已知直线,

()系数为什么值时,方程表示通过原点的直线?

()系数满足什么关系时,与坐标轴都相交?

()系数满足什么条件时,只与轴相交?

()系数满足什么条件时,是轴?

()设()为直线上一点,

证明这条直线的方程可以写成()().

答案:();

()≠且≠;

()且≠;

()且≠;

()证明:∵()在直线上,

∴. ∴()(). .(上海高考,理)若直线与平行,则.
答案: 2 3
例 把直线的方程化成斜截式,求出直线的斜率和它在轴与轴上的截距, 并画出图形. 解:由方程一般式-+,①
移项,去系数得斜截式 x +.② 2
由②知在轴上的截距是,又在方程①或②中,令,可得-. 即直线在轴上的截距是-. 因为两点确定一条直线,所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点(即 在轴,轴上的截距点),过这两点作出直线(图).
图 点评:要根据题目条件,掌握直线方程间的“互化”. 变式训练 直线过点(),且它在轴上的截距是它在轴上的截距的倍,求直线的方程. 答案:或. 知能训练 课本本节练习、2、3. 拓展提升 求证:不论取何实数,直线(2m-)-()-(-)恒过一个定点,并求出此定 点的坐标. 解:将方程化为()(), 它表示过两直线与的交点的直线系.

解方程组

?x ??2

?3 x?

y y

?11 ? 0, ?1 ? 0,

,得

?x

? ?

y

? ?

2, 3

.

∴直线恒过()点.

课堂小结

通过本节学习,要求大家:

()掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于和的一次方程

的对应关系;

()会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距

式;

()通过学习,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意语言表

述能力的训练.

作业

习题组.

板书设 计

教学反 思

生活不是等待风暴过去,而是学会在雨中翩翩起舞,不要去考虑自己能够走多快,只要知道自己在不断努力向前就行,路对了,成功就不远了。放弃了,就不该后悔。失去了,就不该回忆。放 下该放下,退出那没结局的剧。我们需要一点点的眼泪去洗掉眼中的迷雾,一点点的拥抱去疗愈受伤的心,一点点的休息去继续前行,少壮不努力,老大徒伤悲,每个人的人生都是不一样的,处

同样的位置,也是有人哭,有人笑,有人沉默。穷人缺什么:表面缺资金,本质缺野心,脑子缺观念,机会缺了解,骨子缺勇气,改变缺行动,事业缺毅力世界上最聪明的人是借用别人撞的 头破血流的经验作为自己的经验,世界上最愚蠢的人是非用自己撞得头破血流的经验才叫经验,不要抱着过去不放,拒绝新的观念和挑战,每个人都有退休的一天,但并不是每个人都能拥有退休 后的保障。觉得为时已晚的时候,恰恰是最早的时候,勿将今日之事拖到明日,学习时的苦痛是暂时的,未学到的痛苦是终生的,学习这件事,不是缺乏时间,而是缺乏努力,幸福或许不排名次, 学习并不是人生的全部。但既然连人生的一部分——学习也无法征服,还能做什么呢.


相关文档

安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版10(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版9(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版13(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版4(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版12(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版17(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版14(精汇教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版11(优秀教案)
安徽省宿松县2016-2017学年高中数学必修2全一册教案(35份) 人教课标版8(精汇教案)
电脑版