上海市浦东新区2014届高三二模数学(文)试卷_图文

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上海市浦东新区 2014 年高考预测(二模) 数学(文)试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸编号的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 已知全集 U= ?1,2,3,4,5? ,若集合 A= ?2,3? ,则 ?U A =__ ?1, 4,5? ___ 2. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 9 16
sin x 4 cos x 1 3

4 y?? x 3

.

3.函数 f ? x ? ?

的最大值为__5_____

4.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 1 ? 0 和 l2 : 2 x ? ? a ? 1? y ? 3 ? 0 ? a ? R ? , 若 l1 ? l2 , 则a ? 5.函数 y ? f ? x ? 的反函数为 y ? f 函数 y ? f 6.
?1 ?1

1 . 3

? x ? ,如果函数 y ? f ? x ? 的图像过点 ? 2, ?2 ? ,那么

? x ? ? 1 的图像一定过点___ (?2,3) ___. 已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? 4 , a2 ? a4 ? 10 ,则 ?an ? 的前 n 项的和

3 5 S n ? __ n 2 ? n ___. 2 2
7.一个与球心距离为 3 的平面截球所得的圆的面积为 ? ,则球的体积为 __

32 ? __ . 3

8.(文) 把 3 本不同的语文书、7 本不同的数学书随机的排在书架上,则语文书排在一起的 概率是__

1 __ 15
7 , 则

8 9. 设 a ? R , (ax ? 1) 的 二 项 展 开 式 中 含 x 3 项 的 系 数 为

1 lim(a ? a 2 ? L ? an ) ? __ ? __. n ?? 3
10.(文) 一个用若干块大小相同的立方块搭成的立体图形,主视图和俯视图是同一 图形(如图),那么搭成这样一个立体图形最少需要 5 个小立方块. 11.(文) 已知数据 3, 4, x, y,11 的均值为 6,方差为 8,则 x ? y =____2 _. 12.在 ?ABC 中, 角 B 所对的边长 b ? 6 , ?ABC 的面积为 15 ,外接圆半径 R ? 5 ,则

?ABC 的周长为_____ 6 ? 6 6 __
13.抛物线 y ? 4mx(m ? 0) 的焦点为 F,点 P 为该抛物线上的动点,又点 A( ? m, 0) ,则
2

PF PA

的最小值为

2 2

.

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14.(文) 已知函数 f ( x) 的定义域为 ?1, 2,3? ,值域为集合 ?1, 2,3, 4? 的非空真子集,设点

uuu r uuu r uuu r A ?1, f (1) ? , B ? 2, f (2) ? ,C ? 3, f (3) ? ,且 BA ? BC ? AC ? 0 ,则满足条件的函数 f ( x)

?

?

有_12_个. 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. “ x ? 1 ”是“

1 ? 1 ”的( A ) x
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

16. (文)设 x、y 均是实数,i 是虚数单位,复数 ( x ? 2 y ) ? (5 ? 2 x ? y )i 的实部大于 0, 虚部不小于 0,则复数 z=x+yi 在复平面上的点集用阴影表示为下图中的( A )

17.能够把椭圆

x2 + y 2 = 1 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可分函 4
3

数” ,下列函数不是 椭圆的“可分函数”为( D ) .. (A) f ( x) = 4 x + x (B) f ( x) ? ln
2

5? x x x -x (C) f ( x) ? arctan (D) f ( x) = e + e 5? x 4

18. (文)方程 lg x ? 4 ? (| x | ?200)(| x | ?202) 的解的个数为( C ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规 定的区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分. (文)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? AC ,

AA1 ? AB ? AC ? 1 , ?ABC ?

?
4

, D 是 CC1 的中点,点 M 在线段 A1 B1 上.

(1)当 M 为 A1 B1 中点时,求异面直线 DM 与 AB 所成角的大小. (2)指出直线 CC1 与平面 MAB 的位置关系(不用证明) ,并 求三棱锥 D ? MAB 的体积. 解: (1)∵ AB // A1 B1 ∴ ?A1MD 或其补角是异面直线 DM 与 AB 所成的

重庆青学园教育咨询有限公司 角. ?????????????3 分

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连接 A1 D ,则三角形 A1 DM 为直角三角形,且 ?DA1M ? 900 , A1 D ?

5 1 , A1M ? 2 2

∴ tan ?A1MD ?

A1 D ? 5 A1M

??????????5 分

∴异面直线 DM 与 AB 所成的角为 arctan

5 .???6 分

(2) CC1 //平面 AA1 B1 B 即 CC1 ∥平面 MAB (不必证明)??????????7 分 ∵ CA ? AB , CA ? AA1 , ? CA ? 平面 AA1 B1 B 所以 C 到平面 AA1 B1 B 的距离为 CA=1.

CC1 ∥平面 AA1 B1 B ,
可知 D 到平面 AA1 B1 B 的距离与 C 到平面 AA1 B1 B 的距离相等,为 CA=1. ????9 分 又 AB // A1 B1 ,∴ ?MAB 的面积 S
ABM

?

1 1 AB ? AA1 ? ???????????11 分 2 2

1 ? VD ? MAB ? S 3

ABM

1 1 1 ? CA ? ? ? AC ? .?????????????????12 分 3 2 6

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 如图,ABCD 是边长为 10 海里的正方形海域.现有一架飞机在该海域失事,两艘海事搜 救船在 A 处同时出发,沿直线 AP 、 AQ 向前联合搜 索, 且 ?PAQ ? D Q C

?
4

(其中点 P 、Q 分别在边 BC 、CD

上) ,搜索区域为平面四边形 APCQ 围成的海平面.设

?PAB ? ? ,搜索区域的面积为 S . (1)试建立 S 与 tan ? 的关系式,并指出 ? 的取值范
围; (2)求 S 的最大值,并求此时 ? 的值. 解: (1) S ? S ABCD ? S ?ABP ? S ?ADQ A

P
)

?
B

????????????????????2 分

? 100 ? 50 tan ? ? 50 tan( ? ? ) 4

?

?????????????????4 分

1 ? tan ? ? ? ? ? 100 ? 50 ? tan ? ? ? , (0 ? ? ? ) ?????????????6 分 1 ? tan ? ? 4 ? (2)令 t ? 1 ? tan ? , t ? (1, 2) ??????????????????????8 分

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?1 ? (t ? 1) 2 ? 2 2 S ? 100 ? 50 ? ? 100 ? 50(t ? ? 2) ? 200 ? 50(t ? ) ? t t t ? ?

?????10 分

t?

2 2 2 ? 2 t? ? 2 2, (当且仅当 t ? 时,即 t ? 2 ? ?1, 2 ? ,等号成立)?12 分 t t t
??????????????????????14 分

? 当 t ? 2 时,搜索区域面积 S 的最大值为 200 ? 100 2 (平方海里)
此时,? ? arctan( 2 ? 1) 21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. ( 文 ) 已 知 定 义 在 N* 上 的 函 数 f ( x) , 对 任 意 正 整 数 n1 、 n2 , 都 有

f ( n1 ? n2 ) ? 1 ? f ( n1 ) ? f ( n2 ) ,且 f (1) ? 1 .
(1)若对任意正整数 n ,有 an ? f (2n ) ? 1 ,求 a1 、 a2 的值,并证明 {an } 为等比数列; (2)若对任意正整数 n , f (n) 使得不等式 取值范围. 解: (1)令 n1 ? n2 ? 1 ,得 f (2) ? 1 ? f ?1? ? f ?1? , 则 f (2) ? 3 , a1 ? f (2) ? 1 ? 4 ??????????????????????1 分 ??2 分 令 n1 ? n2 ? 2 ,得 f (4) ? 1 ? f ? 2 ? ? f ? 2 ? ,则 f (4) ? 7 , a2 ? f (4) ? 1 ? 8 令 n1 ? n2 ? 2n ,得 f (2 ? 2 ) ? 1 ? f (2 ) ? f (2 ) ,
n n n n

f ( n) 3 ? log 2 ( x ? 1) 恒成立,求实数 x 的 2n 8

即 f (2

n ?1

) ? 1 ? 2 f (2n ) , ???????????????????????4 分

n 则 f (2n ?1 ) ? 1 ? 2 ? ?1 ? f (2 ) ? ? , an ?1 ? 2an

所以,数列 {an } 是等比数列,公比 q ? 2 ,首项 a1 ? 4 . ??????????6 分 (2)令 n1 ? n, n2 ? 1 ,得 f (n ? 1) ? 1 ? f (1) ? f (n) ,即 f (n ? 1) ? f (n) ? 2 则 { f (n)} 是等差数列,公差为 2,首项 f (1) ? 1 . 故 f (n) ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 . ???????????????????8 分

f ( n) 2n ? 1 ? n ,则 2n 2 2n ? 1 2n ? 1 3 ? 2n g (n ? 1) ? g (n) ? n ?1 ? n ? n ?1 2 2 2 当 n ? 1 时, g (n ? 1) ? g (n) ? 0 ,即 g (2) ? g (1)
设 g ( n) ? 当 n ? 2 时, g (n ? 1) ? g (n) ? 0 ,即 n ? 2 时, {g (n)} 是递减数列. 所以, g max ? g (2) ? 从而 log 2 ( x ? 1) ?

3 ????????????????????????11 分 4

3 8

3 ,即 log 2 ( x ? 1) ? 2 ????????????????12 分 4

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则?

?x ?1 ? 0 ,解得 x ? (3, ??) .????????????????????14 分 ?x ?1 ? 4

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分. (文)定义区间 (c, d ) , [c, d ) , (c, d ] , [c, d ] 的长度均为 d ? c ,其中 d ? c . (1)已知函数 y ? 2 ? 1 的定义域为 ? a, b ? ,值域为 ? 0, ? ,写出区间 ? a, b ? 长度的最大值 2
x

? 1? ? ?

与最小值. (2)已知函数 f ( x) ? 2sin x ,将函数 y ? f ( x) 的图像的每点横坐标缩短到原来的 然后向左平移

1 倍, 2

个单位, 再向上平移 3 个单位, 得到函数 y ? g ( x ) 的图像, 区间 [a, b] 8 ( a, b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x ) 在 [a, b] 上至少含有 2014 个零点,在所有满足上 述条件的 [a, b] 中,求区间 [a, b] 长度的最小值. (3)已知函数 f M ? x ? 的定义域为实数集 D ? [?2, 2] ,满足 f M ? x ? ? ?

?

? x, x ? M (M 是 ? ? x, x ? M

D 的非空真子集 ) . 集合 A ? ?1, 2? , B ? ? ?2, ?1? ,求 F ? x ? ?
所在区间长度的总和. 解: (1) 2 ? 1 ?
x

fA B ? x? 的值域 f A ? x? ? fB ? x? ? 3

1 3 ,解得 x ? ?1 或 x ? log 2 , 2 2

2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? 0 ,????????2 分
画图可得:区间 ? a, b ? 长度的最大值为 log 2 3 ,最 小值为 log 2 (

3 . ???????4 分 2
2 )

g ( x) ? 2sin(2( x ? )) ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 ???????????6 分 8 4

?

?

? 3 11? 7 或 x ? k? ? g ( x) ? 0 ? sin(2 x ? ) ? ? ? x ? k? ? ?,k ?Z , 4 2 24 24 ? 5? 即 g ( x) 的零点相离间隔依次为 和 , ????????????????8 分 6 6 故若 y ? g ( x ) 在 [a, b] 上至少含有 2014 个零点,则 b ? a 的最小值为
1007? ? 5? 1 ? 1006 ? .??????????????????????10 分 6 6

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?x ,x? A B ? ?3 (3) F ? x ? ? ? ???????????????????12 分 ? x , x ? (?1,1) ? 2x ? 3 ?
当 x? A

B,
?1 2 ? , ,?????????????????????13 分 ? ?3 3? ?

? 2 1? F ( x) ? ? ? , ? ? ? 3 3?

当 x ? (?1,1) , F ( x) ? ( ?1, ) ,????????????????????14 分 所以 x ? [?2, 2] 时, F ( x) ? ( ?1, ) 所以值域区间长度总和为

1 5

1 5

?1 2 ? ??????????????15 分 , ? ?3 3 ? ?

23 。 ????????????????????16 分 15

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 8 分. (文)已知中心在原点 O ,左焦点为 F1 (?1, 0) 的椭圆 C 的左顶点为 A ,上顶点为 B , F1 到 直线 AB 的距离为

7 | OB | . 7

(1) 求椭圆 C 的方程; (2) 过 P (3, 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 R 、 S 两点,交直线 x ? 1 于 Q 点,若 | PQ | 是 | PR | 、

| PS | 的等比中项,求直线 l 的方程;
(3) 圆 D 以椭圆 C 的两焦点为直径,圆 D 的任意一条切线 m 交椭圆 C 于两点 M 、

y

N

m x

M O x

N ,试求弦长 | MN | 的取值范围.
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

解 : (1) 设 椭 圆 C 方 程 为 : (a ? b ? 0) 所以直线 AB 方程为:

x y ? ? 1 ??????????????????1 分 ?a b | b ? ab | 7 ∴ F1 (?1, 0) 到直线 AB 距离为 d ? ? b ? a 2 ? b 2 ? 7(a ? 1) 2 ??2 分 2 2 7 a ?b
又 b 2 ? a 2 ? 1 ,解得: a ? 2 , b ? 3 ?????????????????3 分 故:椭圆 C 方程为:

x2 y 2 ? ? 1 .??????????????????? 4 分 4 3

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2

(2) 当直线 l 与 x 轴重合时, 而 | PR | ? | PS |? 1 ? 5 ? 5 , 所以 | PQ | ?| PR | ? | PS | | PQ |? 2 , 故可设直线 l 方程为: x ? my ? 3 ,??????????????????? 5 分 代人椭圆 C 的方程,得: 3(my ? 3) ? 4 y ? 12 ,即: (3m ? 4) y ? 18my ? 15 ? 0
2 2 2 2

∴ ? ? (18m) ? 4 ? 15(3m ? 4) ? 48(3m ? 5)
2 2 2

记 R ( x1 , y1 ) , S ( x2 , y2 ) , Q ( x0 , y0 ) ∵ | PQ | ?| PR | ? | PS | ,即
2

∴ y1 y2 ?

15 2 , y0 ? ? ??? 7 分 2 3m ? 4 m

| PR | | PQ | y y 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ y1 y2 ? y0 y0 y2 | PQ | | PS |



4 3 15 4 16 ????? 9 分故 ? 2 ,解得: m 2 ? ,符合 ? ? 0 ,所以 m ? ? 2 3 3m ? 4 m 3 4 3 3 y ? 3 ,即: y ? ? ( x ? 3) ????????? 10 分 3 4
2 2

直线 l 的方程为 x ? ?

(3) 椭圆 C 的两焦点为 F1 (?1, 0) 、 F2 (1, 0) ,所以圆 D 的方程为: x ? y ? 1 ①若切线 m 垂直于 x 轴,则其方程为: x ? ?1 ,易求得 | MN |? 3 ?????? 11 分 ②若切线 m 不垂直于 x 轴,可设其方程为: y ? kx ? b 所以

|b| k ?1
2

? 1 ? b2 ? k 2 ? 1
2 2 2

将 y ? kx ? b 代人椭圆 C 方程,得: (3 ? 4k ) x ? 8kbx ? 4b ? 12 ? 0 ∴ ? ? (8kb) ? 4(3 ? 4k )(4b ? 12) ? 48(4k ? 3 ? b ) ? 48(3k ? 2) ? 0 (*)?13 分
2 2 2 2 2 2

记 M 、 N 两点的坐标分别为 ( x3 , y3 ) 、 ( x4 , y4 ) 此时: x3 ? x4 ? ?

4 3(4k 2 ? 3 ? b 2 ) 4b 2 ? 12 8kb , x x ? ? | x ? x | ? 3 4 3 4 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 4 3(4k 2 ? 3 ? b 2 ) 4 3(3k 2 ? 2) 2 ??????15 分 ? 1 ? k ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
t ?3 4



| MN |? 1 ? k 2 ?

令 3 ? 4k 2 ? t ,所以 t ? 3 , k 2 ?

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t ?1 ∴ | MN |? f (t ) ? ? 4

4 3?

3t ? 1 4 ? 3(t ? 1)(3t ? 1) ? 3(? 1 ? 2 ? 3) t t t2 t

4 6 1 1 1 2 32 ????17 分 t ?3 ? 0? ? ?3? ? 2 ? ?3? ? 3 ?| MN |? 3 t 3 t t 9
综合①②,得:弦长 | MN | 的取值范围为 [3,

4 6 ] .???????????????18 分 3


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