2014高三数学二轮专题复习课件:1-5导数及其应用


走向高考· 数学
新课标版 ·二轮专题复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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专题一

集 与 用 辑 语 函 合 常 逻 用 、 数 与导数

专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数

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专题一
第五讲 导 及 应 数 其 用

专题一

第五讲

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考向聚焦

3

高频考点

核心整合

4

课后强化作业

专题一

第五讲

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考向聚焦

专题一

第五讲

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考向分析 () 利用导数的几何意义求曲线的切线方程. 1 () 利用导数的有关知识,研究函数的单调性、极值和最 2 值,进而解(证)不等式. () 用导数解决日常生活中的一些实际问题,以及与其他 3 知识相结合,考查常见的数学思想方法. () 理)考 定 分 性 及 何 义 4 ( 查积的质几意.

专题一

第五讲

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命题规律 这是高考的重点必考内容, 一般命制一个大题或一大一小 两个题. () 导数的几何意义是高考考查的重点内容,常与解析几 1 何的知识交汇命 , 以 择 、 空 的 式 查 有 也 题多 选 题填 题 形 考 ,时 会出现在解答题中的关键一步. () 利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生 2 活中的优化问题,已成为近几年高考的主要考点.

专题一

第五讲

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() 选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和 3 极 ;答 侧 于 数 函 、析 何不 式数 等 值解 题 重 导 与 数解 几 、等 、列 知识的综合应用,一般难度较大,属于中高档题. () 理)对 积 部 的 查 利 微 分 本 理 定 4 ( 定 分 分 考 以 用 积 基 定 求 积分和曲边平面图形面积为主,高考出题较少,一般是一个小 题,有时也可能在大题中的一个问题中涉及.

专题一

第五讲

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核心整合

专题一

第五讲

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知识方法整合 1.导数的定义 f?x+Δx?-f?x? Δy f ′(x)=lim Δx=lim . Δx→0 Δx→0 Δx 2.导数的几何意义 () 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f ′(x0)就是曲线 y=f(x) 1 在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即 k=f ′(x0). () 曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处 切 方 为 2 的线程 ′(x0)(x-x0). y-f(x0)=f

专题一

第五讲

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3.导数的运算 () 基本初等函数的导数公式 1 ①c′=0(c 为常数); ③( x)′=cs x s n i o ; ⑤(ex)′=e;x ②(xm)′=mxm-1;

④(o x)′=-s x; cs n i

⑥(ax)′=axlna; 1 ax)′= xlna.

1 ⑦( x)′= x; ⑧(g n l o l

专题一

第五讲

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() 导数的四则运算法则 2 ①[f(x)± g(x)]′=f ′(x)± g′(x); ②[f(x)· g(x)]′=f ′(x)g(x)+f(x)g′(x); f ′?x?g?x?-f?x?g′?x? f?x? ③[ ]′= . 2 g?x? g ?x? ④(理)设 y=f(u),u=φ(x),则 y′x=y′uu′x.

专题一

第五讲

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4.函数的性质与导数 在区间(a,b)内,如果 f ′(x)0 ,那么函数 f(x)在区间(a, > b)上单调递增. 在区间(a,b)内,如果 f ′(x)0 ,那么函数 f(x)在区间(a, < b)上单调递减.

专题一

第五讲

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5.导数的应用 () 求可导函数 f(x)极 的 骤 1 值步 ①求导数 f ′(x); ②求方程 f ′(x)=0 的 ; 根 ③检验 f ′(x)在方程 f ′(x)=0 的 的 、 的 号 根左右符, 如

果在根的左侧附近为正, 右侧附近为负, 那么函数 y=f(x)在这 个根处取得极大值; 如果在根的左侧附近为负, 右侧附近为正, 那么函数 y=f(x)在 个 处 得 小 . 这根取极值

专题一

第五讲

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() 求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤 2 ①求 f(x)在区间[a,b]上的极值; ②求区间端点的函数值 f(a),f(b); ③比较极值与 f(a),f(b)的大小,下结论. () 利用导数解决优化问题的步骤 3 ①审 , 未 数 题设 知 ; ②结合题意列出函数关系式;③确定

函数的定义域;④在定义域内求极值、最值;⑤下结论.

专题一

第五讲

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() 定积分在几何中的应用(理) 4 被积函数为 y=f(x),曲 由线 y=f(x)与直线 x=a, x=b(a<b)

和 y=0 所围成的曲边梯形的面积为 S. ①当 f(x)0 时,S=?bf(x)dx; > ? ?
?

a

②当 f(x)0 时,S=-?bf(x)dx; < ? ?
?a

③当 x∈[a,c]时,f(x)0 ;当 x∈[c,b]时,f(x)0 ,则 S > < =?c f(x)dx-?bf(x)dx. ? ? ? ?
?a ?c

专题一

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疑误警 难区示 1.( x)′=cs x 与(o x)′=-s x,(xn)′=n s n i o cs n i x
* x x n -1

(n∈

1 N )与(a )′=a lna(a>) , o ax)′=xlna(a>0 且 a≠1 , 0 而 (g l ) 这 是用式易易的方 应公中混错地. 2. 过 点 曲 的 线 程 求 线 某 处 切 求某的线切方与曲在点的线 方应分 程区. 3.f(x)的极大(小)值 最 与 大 (小)值 区 ; 数 零 点 要 分 导 为 的 不定极点 一是值. 4.(理)曲 梯 的 积 定 分 关 . 边形面与积的系
专题一 第五讲

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高频考点

专题一

第五讲

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导数的几何意义
(文)02 ( 1· 2 山四联 西校考 ) B.y=-3x-1 D.y=-2x-1 )曲线 y=xex+2x-1

在点(0,-1)处的切线方程为( A.y=3x-1 C.y=3x+1

[答案] A
[解析] k=y′|x=0=(ex+xex+2)|x=0=3,

∴切线方程为 y=3x-1,故选 A.
专题一 第五讲

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(理)已 曲 知线 () 求 线 点 1 曲在 () 求 线 点 2 曲过

1 y= . x P(1 1) , Q(0 1) , 处切方; 的线程 的线程 切方; 1 的线切方. 曲的线程 3

() 求 足 率 - 3 满斜为

专题一

第五讲

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[解析] 又 P(1 1) ,

1 () ∵y′=- 2. 1 x 是线的, 曲上点

∴P 是切点,所求切线的斜率为 k=f ′() =-1. 1 所以曲线在 P 点处的切线方程为 y-1=-(x-1). 即 y=-x+2.

专题一

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() 显 Q(0 2 然 1) ,

不曲 在线

1 y= 上 则 设 该 的 线 ,可过点切的 x k1=f ′(a)= - 1 . a2

1 切 为 A(a, ), 该 线 率 点 则切斜为 a 则线程 切方为

1 1 y-a= a2(x-a).① -

1 1 将 Q(1,) 代 方 0 入 程 ①得 0-a= a2(1-a), - 1 解 a=2, 得 故求线程 所切方为 y= 4x+4 - .

专题一

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1 () 设切点坐标为 A(a, ),切 的 率 3 则线斜为 a 解得 a=± 3, 3 3 ∴A( 3, 3 )或 A′(- 3,- 3 ). 代入点斜式方程得

1 1 k2=- 2=- , a 3

3 1 3 1 y- 3 =-3(x- 3)或 y+ 3 =-3(x+ 3). 即切线方程为 x+3y-2 3=0 或 x+3y+2 3=0.

专题一

第五讲

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[点评]

() 在点 P 处 切 即 以 1 的线是

P 为切点的切线, 一 P

定在曲线上. () 过点 Q 的切线即切线过点 Q,Q 不一定是切点,所以 2 本题的易错点是把点 Q 作为切点.因此在求过点 P 的切线方 程时,应首先检验点 P 是否在已知曲线上.

专题一

第五讲

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(02 21·

北京西城区期末)若曲线 y=x3+ax 在 标 点 的 坐原处 a=________.

切线方程是 2x-y=0, 实 则数
[答案] 2

[解析]

∵曲线 y=x3+ax 的切线斜率 k=y′=3x2+a,

又曲线在坐标原点处的切线方程为 2x-y=0, ∴3×02+a=2,故 a=2.

专题一

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[方法规律总结] 1.求曲线 y=f(x)的 线 程 类 及 法 切方的型方 () 已知切点 P(x0,y0),求 y=f(x)过点 P 的 线 程 1 切方: 求出切线的斜率 f ′(x0),由点斜式写出方程; () 已知切线的斜率为 k,求 y=f(x)的切线方程: 2 设切点 P(x0,y0), 过 程 通方 式写出方程; k=f ′(x0)解得 x0, 由 斜 再点

专题一

第五讲

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() 已 切 上 点 3 知线一

(非 点 ), y=f(x)的 线 程 切 求 切方: f ′(x0), 由 再

设 点 P(x0,y0), 用 数 得 线 率 切 利导求切斜 斜公求切斜,方 率式得线率列程 点写方. 式出程

(组)解 x0, 由 斜 或 得 再点式两

2.若曲线的切线与已知直线平行或垂直,求曲线的切线 方程时, 先由平行或垂直关系确定切线的斜率, 再由 k=f′ (x0) 求出切点坐标(x0,y0),最后写出切线方程.

专题一

第五讲

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利用导数研究函数单调性

(02 21· 1(a>) ,g(x)=x3+bx. 0

北京理,18)已知函数 f(x)=ax2 +

() 若曲线 y=f(x)与 线 y=g(x)在 们 交 1 曲 它的点 有公共切线,求 a、b 的值; () 当 a2=4b 时 求 数 2 ,函 在区间(-∞,-1]上 最 值 的大.

(1,c)处具

f(x)+g(x)的 调 间 并 其 单区,求

专题一

第五讲

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[分析]

() 运 导 的 何 义 可 解 1 用数几意即求;

() 根据导函数的正负可求出函数的单调区间; 2 根据导函数 的零点与-1 的关系分类讨论,求得函数的最值.
[解析] () f ′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b. 1 (1, c)处具有

因为曲线 y=f(x)与 线 y=g(x)在 们 交 曲 它的点 公共切线,所以 f() =g() ,且 f ′() =g′() . 1 1 1 1 即 a+1=1+b,且 2a=3+b. 解得 a=3,b=3.

专题一

第五讲

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1 2 () 记 h(x)=f(x)+g(x).当 b= a 时, 2 4 1 h(x)=x3+ax2+4a2x+1, 1 2 h′(x)=3x +2ax+ a . 4
2

a a 令 h′(x)=0,得 x1=-2,x2=-6. a>0 时,h(x)与 h′(x)的变化情况如下表:

专题一

第五讲

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x h′(x) h(x)

a (-∞, ) - 2 + ↗

a - 2 0 极大值

a a (- , ) - 2 6 - ↘

a - 6 0 极小值

a (- , +∞) 6 + ↗

a a 所以函数 h(x)的单调递增区间为(-∞, )和(- , - +∞); 2 6 a a 单调递减区间为(-2,-6).

专题一

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a 当-2≥-1,即 0<a≤2 时, 函数 h(x)在区间(-∞, -1]上单调递增, h(x)在 间 (-∞, 区 1 2 -1]上的最大值为 h(-1)=a-4a . a a 当- <-1,且- ≥-1,即 2<a≤6 时, 2 6 a 函数 h(x)在区间(-∞,-2)内 调 增 在 间 单递,区 1]上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上 最 值 的大为 1.
专题一 第五讲

a (-2,- a h(-2)=

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a a 当- <-1,即 a>6 时,函数 h(x)在区间(-∞,- )内单 6 2 a a 调递增,在区间(-2,-6)内 调 减 在 间 单递,区 单调递增, a 1 2 1 又因 h(-2)-h(-1)=1-a+4a =4(a-2)2>0,所以 h(x) 在区间(-∞,-1]上 最 值 的大为 a h(-2)=1. a (-6,-1]上

专题一

第五讲

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[点评]

本 考 了 线函 单 性极 等 础 识 题 查 切 、数 调 、值 基 知 ,

考查分类讨论的数 思 . 题 较 规 题 , 生 般 学 想本 是 常 的 目学 一 都 能 握难 在 第 问两 极 点 最 的 解对 生 掌 ,点 于 二 ,个 值 和 值 求 ,学 的概念理解要求很高,数学思维也要清晰,因此在复习中,应 加大这方面的训练.

专题一

第五讲

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(02 21·

无锡市调研)已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0,x∈

R)为奇函数,且 f(x)在 x=1 处取得极大值 2. () 求函数 y=f(x)的 析 ; 1 解式 f?x? () 记 g(x)= +(k+1 x,求函数 y=g(x)的 调 间 2 n ) l 单区; x () 在() 的条件下, k=2 时 若 数 3 2 当 ,函 线 y=x+m 的 方 求 下, m 的取值范围. y=g(x)的图象在直

专题一

第五讲

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[解析]

() f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)为 函 , 1 奇数

所以 f(-x)=-f(x). 代入得 b=0. 所以 f ′(x)=3ax2+c,且 f(x)在 x=1 取 极 值 得大
?f ′?1?=0, ? 所以? ?f?1?=2, ? ?3a+c=0, ? ?? ?a+c=2. ?

2.

解得 a=-1,c=3,所以 f(x)=-x3+3x.

专题一

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() 因为 g(x)=-x2+3+(k+1)lnx, 2
2 1 -2x +?k+1? 所以 g′(x)=-2x+(k+1)·= . x x

因为函数定义域为(0,+∞),所以 ①当 k=-1 时,k+1=0,g′(x)=-2x<0,函数在(0, +∞)上单调递减; ②当 k<-1 时,k+1<0,因为 x>0, -2x2+?k+1? 所以 g′(x)= <0. x 所以函数在(0,+∞)上单调递减;
专题一 第五讲

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③k>-1 时,k+10 , > -2x2+?k+1? 令 g′(x)0 ,得 > >0, x 因为 x>0,所以-2x2+(k+10 , ) > 即- k+1 <x< 2 k+1 ,结合 x>0,得 0<x< 2 k+1 ; 2

-2x2+?k+1? 令 g′(x)0 ,得 < <0, x 同上得 2x >(k+1),x>
2

k+1 2 ,

专题一

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所以 k>-1 时,单调递增区间为(0, 区间为( k+1 ,+∞). 2

k+1 2 ),单调递减

综上,当 k≤-1 时 函 的 ,数 无单调递增区间;

单调递减区间为(0,+∞),

当 k>-1 时 函 的 调 增 间 ,数单递区为 单调递减区间为( k+1 2 ,+∞).

(0,

k+1 ), 2

专题一

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() 当 k=2 时,g(x)=-x2+3+3 x, 3 n l 令 h(x)=g(x)-(x+m)=-x2-x+3 x+3-m, n l 3 h′(x)=-2x-1+x , -2x2-x+3 令 h′(x)=0, =0,得 x 3 x=1,x=-2(舍去).

专题一

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由函数 y=h(x)定 域 义 为 (0,+∞)知, 当 0<x<1 时,h′(x)0 ,当 x>1 时 h′(x)0 , > < 所以当 x=1 时,函数 h(x)取得最大值 1-m. 要使函数 y=g(x)的 象 直 图在线 m<0,所以 m>. 1 故 m 的取值范围是(1,+∞). y=x+m 的 方 则 下, 1-

专题一

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[方法规律总结] 1.() 若求单调区间(或 明 调 1 证单性 ), 需 函 只在数 f(x)的定

义域内解(或证明)不等式 f ′(x)0 或 f ′(x)0 > <. () 若已知函数的单调性求参数的值或取值范围, 2 只需转化 为不等式 f ′(x)≥0 或 f ′(x)≤0 在 调 间 恒 立 问 单区内成的题 求 ,题 程 要 解解 过 中 注 意 类 论函 单 性 题 及 些 分 讨 ;数 调 问 以 一

相关的逆向问题,都离不开分类讨论思想.

专题一

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2.利用导数研究函数的单调性的步骤. () 找出函数 f(x)的 义 ; 1 定域 () 求 f ′(x); 2 () 在定义域内解不等式 f ′(x)0 ,f ′(x)0 3 > <.

专题一

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用导数研究函数的极值与最值
(文)函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有 极小值 10,求 a、b 的值.
[解析] f ′(x)=3x2+2ax+b,由题意知 f ′(1)=0,且 f(1)=10,即 2a+b+3=0,且 a2+a+b+1=10, 解之得 a=4,b=-11 或 a=-3,b=3.

专题一

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当 a=4,b=-11 时, f ′(x)=3x2+8x-11=(3x+1) x-1)在 x=1 附近两侧的 1 ( 符号相反, ∴a=4,b=-11 满足题意; 当 a=-3, b=3 时, ′(x)=3(x-1)2 在 x=1 附近两侧的 f 符号相同, ∴a=-3,b=3 应舍去. 综上所述,a=4,b=-1. 1

专题一

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[点评]

此 中 “f(x)在 x=1 处有极值 10”与“f ′() =0 题 1

且 f() =10”不等价.事实上,“f(x)在 x=1 处有极值 10”? 1 “1 是 f ′(x)=0 的 号 点 变零且 f() =10”. 1 准确理解极值的定

义才能准确解答与极值有关的函数问题.

专题一

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1 2 (理)已知函数 f(x)= ax +lnx,其中 a∈R. 2 () 求 f(x)的单调区间; 1 () 若 f(x)在(1 2 0] ,
[解 ] 析

上的最大值是-1,求 a 的值.

ax2+1 () f ′(x)= x ,x∈(0,+∞). 1

当 a≥0 时,f ′(x)>0,从而函数 f(x)在(0,+∞)上单调递 增; a<0 时, f ′(x)=0, 当 令 解得 x= 1 -a, 舍去 x=- 1 -a .

专题一

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此时,f(x)与 f ′(x)的情况如下: x f ′(x) f(x) (0, + ↗ f( 1 - ) a 1 - a 0 1 - ) a 1 -a); ( 1 - ,+∞) a - ↗

所以,f(x)的单调递增区间是(0, 单调递减区间是( 1 -a,+∞).

专题一

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() ①当 a≥0 时由 () 得 数 f(x)在(1 2 , 1 函 0] , a =2.

上最值 的大为

f() 1

a 令2= 1, a= 2, 与 a≥0 矛 , 去 - 得 - 这 盾舍 ②当 1≤a<0 时 - , 的大为 最值 a f() =2. 1 1 -a≥1, () 得 数 由1 函

a= 2 - . f(x)在(1 0] , 上

a 令2= 1, a= 2, 与 - 得 - 这 - 1≤a<0 矛 , 去 盾舍 2 .
专题一

a= -

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③当 a<-1 时,0< 最大值为 f( 令 f( 1 -a).

1 - <1,由() 得函数 f(x)在(1 1 0] , a

上的

1 -a)=-1,解得 a=-e,满足 a<-1. 上的最大值是-1 时,a=-e.

综上,当 f(x)在(1 0] ,

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1 2 (文)设 a>0 且 a≠1, 数 f(x)= x -(a+1)x+alnx. 函 2 () 当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在(3,f() 处 线 斜 ; 1 3 切的率 () 求函数 f(x)的 值 . 2 极点
[解 ] 析 () 由 知 x>0, 1 已

2 当 a=2 时 f ′(x)=x-3+x , , 曲线 y=f(x)在(3,f() 处 线 斜 为 3 切的率 2 f ′() =3. 3

专题一

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2 a x -?a+1?x+a () f ′(x)=x-(a+1 + = 2 ) x x

?x-1??x-a? = . x 由 f ′(x)=0 得 x=1 或 x=a, ①若 0 a<1, < 则 当 x∈(0,a)时 f ′(x)0 , 数 f(x)单 递 ; , > 函 调增 当 x∈(a 1 时 f ′(x)0 , 数 f(x)单 递 ; , ) , < 函 调减 当 x∈(1, ∞)时 f ′(x)0 , 数 f(x)单 递 . + , > 函 调增 此 x=a 是 f(x)的极 值 , 时 大点 x=1 是 f(x)的 小 点 极值.
专题一 第五讲

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②若 a>1,则 当 x∈(1 0) , 时,f ′(x)0 ,函数 f(x)单调递增; >

当 x∈(1,a)时,f ′(x)0 ,函数 f(x)单 递 ; < 调减 当 x∈(a,+∞)时,f ′(x)0 ,函数 f(x)单 递 . > 调增 此时 x=1 是 f(x)的 大 点 极值, 综, 上当 的极小值点; 当 a>1 时,x=1 是 f(x)的极大值点,x=a 是 f(x)的极小值 点.
专题一 第五讲

x=a 是 f(x)的 小 点 极值. x=1 是 f(x)

0<a<1 时,x=a 是 f(x)的 大 点 极值,

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(理)已知函数 f(x)=x2-4x+(2-a) x,(a∈R,a≠0). n l () 当 a=18 时,求函数 f(x)的单调区间; 1 () 求函数 f(x)在区间[e,e2]上的最小值. 2

专题一

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[解析]

() f(x)=x2-4x-1n x, 1 6 l

16 2?x+2??x-4? f ′(x)=2x-4- = . x x 由 f ′(x)0 及 x>0 得 x>. > 4 所以函数 f(x)的 调 增 间 单递区是 由 f ′(x)0 及 x>0 得 0<x<4, < 所以函数 f(x)的 调 减 间 单递区是 综所,数 上述函 区间是(0,4). (4 0) , . (4,+∞).

f(x)的单调增区间是(4,+∞), 调 减 单递

专题一

第五讲

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() 在 x∈[e,e2]时,f(x)=x2-4x+(2-a) x, 2 n l 2-a 2x2-4x+2-a 所以 f ′(x)=2x-4+ = , x x 设 g(x)=2x2-4x+2-a. 当 a<0 时,有 Δ=16-4×2 -a)=8a<0, 时 g(x)0 , ( 2 此 > 所以 f ′(x)0 ,f(x)在[e,e2]上单调递增. > 所以 f(x)m =f() =e2-4e+2-a. e n i 当 a>0 时,Δ=16-4×2 -a)=8a>0, ( 2

专题一

第五讲

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2a 令 f ′(x)0 ,即 2x -4x+2-a>0,解得 x>1+ > 或 x<1 2
2

2a - 2 ; 2a 2a 令 f ′(x)0 , 2x -4x+2-a<0,得 1- 2 <x<1+ 2 . < 即 解
2

专题一

第五讲

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2a 2 ①若 1+ ≥e , a≥2(e2-1)2 时,f(x)在区间[e,e2] 即 2 单调递减,所以 f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4-2a. 2a 2 ②若 e<1+ 2 <e ,即 2(e-1)2<a<2(e2-1)2 时,f(x)在区 2a 2a 2 间[e,1+ ]上单调递减,在区间[1+ ,e ]上单调递增,所 2 2 2a a 2a 以 f(x)min=f(1+ 2 )=2- 2a-3+(2-a)ln(1+ 2 ).

专题一

第五讲

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2a ③若 1+ ≤e,即 0<a≤2(e-1)2 时,f(x)在区间[e,e2] 2 单调递增,所以 f(x)m =f(e)=e2-4e+2-a. n i 综上所述,当 a≥2(e2-1)2 时,f(x)m =e4-4e2+4-2a; n i 当 2(e-1) <a<( e -1) 时,f(x)m 2 n i a)( n l1 2a + 2 ); 当 a≤2(e-1)2 时,f(x)m =e2-4e+2-a. n i
2 2 2

a = - 2a-3+(2- 2

专题一

第五讲

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1 3 1 2 (文)设 f(x)=- x + x +2ax 3 2 2 () 若 f(x)在(3,+∞)上存在单调递增区间,求 a 的取值范 1 围. () 当 0<a<2 时,f(x)在[4 2 1] , 该区间上的最大值. 上最值- 的小为 16 ,求 f(x)在 3

专题一

第五讲

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[解析]

12 1 () 由 f ′(x)=-x +x+2a=-(x- ) + +2a 1 2 4
2

2 2 2 当 x∈[3,+∞)时,f ′(x)的最大值为 f ′(3)=9+2a;令 2 1 +2a>0,得 a>- 9 9 所, 以当 1 2 a>-9时,f(x)在(3,+∞)上存在单调递增区间.

专题一

第五讲

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() 令 f ′(x)=0, 两 2 得根

1- 1+8a 1+ 1+8a x1= , 2= x . 2 2 (x1,x2)

所以 f(x)在(-∞,x1)、(x2,+∞)上 调 减 在 单递, 上单调递增 当 0<a<2 时 有 x1<< x2<4, 以 f(x)在[4 , 1 所 1] , f(x2), 27 又 f() -f() =- 2 +6a<0,即 f() f() 4 1 4 1 <

上最值 的大为

专题一

第五讲

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所以 f(x)在[4 1] , =1,x2=2, 从而 f(x)在[4 1] ,

上最值 的小为

40 16 f() =8a- =- ,得 a 4 3 3

上最值 的大为

10 f() = . 2 3

专题一

第五讲

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(理)03 ( 1· 2

江 八 联 西 校考

1 2 )已知函数 f(x)=x- ax -l( + n 1 2

x),其中 a∈R. () 求 f(x)的单调区间; 1 n l2 n l3 n l4 n n n 5n+6 l3 () 求证: + + +?+ n <3 - 2 (n∈N*). 2 3 4 3 6

专题一

第五讲

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[解 ] 析

x?1-a-a ? x () ∵f ′(x)= 1 ,x∈(-1, ∞), + x+1 1 (0, -1 , ) a

若 0 a<1, f(x)的 调 区 是 < 则 单增间 单减间 调区是

1 (-1) 和( -1, ∞); 0 , + a (-1, ∞), 增 间 + 无区, 1 ( -1) , 调 区 是 0 单减间 , a (-1,

若 a=1, f(x)的 调 区 是 则 单减间 若 a>1, f(x)的 调 区 则 单增间 1 -1 和(0, ∞). ) + a 若 a≤0,f(x)的 区 是 减间

(-1) , 区 是 0 , 增间

(0, ∞). +
专题一 第五讲

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() 由() 知:当 a=0 时,f(x)≥f() =0,即 x≥l( +x), 2 1 0 n 1 即 x-1≥lnx,x∈(0,+∞)恒成立, 1 lnx ∴1-x≥ x ,当且仅当 x=1 时取“=”, n l2 n l3 n l4 n n n l3 1 1 1 ∴ + + +?+ n <3 -1-( + +?+ n), 化 转 2 3 4 3 2 3 3 1 1 1 1 5n 为明 证 : 2+3+4+?+3n≥ 6 ,(n∈N*)用 学 纳 证 如 数归法明 下:

专题一

第五讲

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1 1 5 5 当 n=1 时,左端= + = ≥ =右端成立, 2 3 6 6 1 1 1 1 5 假设当 n=k(k≥1)时 有 2+3+4+?+3k≥6k 成立, , 1 1 1 1 1 1 则当 n=k+1 时,∵ + + +?+ k+ k +?+ k+1 2 3 4 3 3 +1 3 5k 1 1 1 1 5k 3k 3k ≥6+ k +?+ k k+ k +?+3 k> 6 +2 k +3 k 3 · 3 · 3 · 3 +1 3 +3 2 +1 3 · 5?k+1? = 6

专题一

第五讲

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1 1 1 1 5n 由数学归纳法原理知, + + +?+ n≥ 对 n∈N*均成 2 3 4 3 6 立, n l2 n l3 n l4 n n n 5n+6 l3 即有:2 + 3 + 4 +?+ 3n <3 - 6 (n∈N*)恒成立.

专题一

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(文)已知函数 f(x)=ex+2x2-3x. () 求证:函数 f(x)在 间 [1 1 区 0] , 上在一极点 存唯的值.

1 5 2 () 当 x≥2时,若关于 x 的不等式 f(x)≥2x +(a-3)x+1 2 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

专题一

第五讲

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[解析]

() f ′(x)=ex+4x-3, 1

∵f ′() =e0-3=-20 ,f ′() =e+10 , 0 < 1 > ∴f ′() f ′()0 0 · 1. < 令 h(x)=f ′(x)=ex+4x-3,则 h′(x)=ex+40 , > ∴f ′(x)在区间[1 0] , ∴f ′(x)在区间[1 0] , ∴f(x)在区间[1 0] , 上调增 单递, 上在一点 存唯零, 上在一极值. 存唯的小点

专题一

第五讲

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5 2 5 2 x 2 () 由 f(x)≥ x +(a-3)x+1, e +2x -3x≥ x +(a-3)x 2 得 2 2 +1, 1 2 即 ax≤e - x -1, 2
x

1 2 e -2x -1 1 ∵x≥2,∴a≤ . x
x

1 2 e - x -1 2 令 g(x)= ,则 x
x

专题一

第五讲

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1 2 e ?x-1?- x +1 2 g′(x)= . x2
x

1 2 令 φ(x)=e (x-1)-2x +1,则 φ′(x)=x(ex-1).
x

1 ∵x≥ ,∴φ′(x)0 >. 2 1 ∴φ(x)在[2,+∞)上单调递增. 1 7 1 ∴φ(x)≥φ( )= - e>. 0 2 8 2

专题一

第五讲

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1 因此 g′(x)0 , g(x)在[ , > 故 +∞)上 调 增则 单递, 2 1 1 e2-8-1 9 = =2 e-4, 1 2 9 ∴a 的取值范围是 a≤2 e- . 4

1 g(x)≥g( ) 2

专题一

第五讲

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(理)03 ( 1· 2

天十区联 津二县考

)已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=

(-x2+ax-3 x(其中 a 实数,e 是自然对数的底数). e ) · (Ⅰ)当 a=5 时,求函数 y=g(x)在点(1,e)处 切 方 ; 的线程 (Ⅱ)求 f(x)在区间[t,t+2 t>0)上的最小值; ] ( (Ⅲ)若存在 x1,x2∈[e-1,e x1≠x2),使方程 g(x)=2exf(x) ] ( .. 成立,求实数 a 的取值范围.

专题一

第五讲

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[解 ] 析

() 当 a=5 时 1 ,g(x)=(-x2+5x-3 x, e ) · g′(x)=(-

x2+3x+2 x, e ) · 故线斜为 切的率 g′() =4e, 1

所以切线方程为:y-e=4e(x-1), 即 4ex-y-3e=0.

专题一

第五讲

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() f′(x)=lnx+1, 2 1 令 f′(x)=0,得 x= , e 1 ①当 t≥ 时,在区间(t,t+2)上,f′(x)>0,f(x)为增函数, e 所以 f(x)min=f(t)=tlnt; 1 1 ②当 0<t< e时,在区间(t,e)上 f′(x)<0,f(x)为减函数, 1 在区间( ,e)上 f′(x)>0,f(x)为增函数, e 1 1 所以 f(x)min=f( )=- . e e
专题一 第五讲

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() 由 g(x)=2exf(x)可 2xlnx= x2+ax-3, 3 得 - 3 a=x+2 x+x, n l 3 令 h(x)=x+2 x+ , n l x 2 3 ?x+3??x-1? h′(x)=1+ x-x2= , x2 x h′(x) h(x) 1 (e ,1) - 单递 调减 1 0 (1,e) +

极 值 (最 值 ) 单 递 小 小 调增
专题一 第五讲

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1 1 3 h( )= +3e-2,h(1)=4,h(e)= +e+2, e e e 1 2 h(e)-h(e )=4-2e+ e<0, 3 ∴实数 a 的取值范围为(4,e+2+ ]. e

专题一

第五讲

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[方法规律总结] 1.利用导数研究函数最值的一般步骤 () 求定义域; 求导数 f ′(x); 求 值先 方 1 () 2 () 极 ,解 程 3 f ′(x)

=0,验证 f ′(x)在根左右两侧值的符号确定单调性,若在 x =x0 左侧 f ′(x)0 , 侧 f ′(x)0 , f(x0)为 大 ,之 > 右 < 则 极 值反 为极小值,若在 x=x0 两侧 f(x)的 不 号 则 值变, 的极值点; 求 值比 各 值 与 间 () 最 ,较 极 点 区 4 f(x0)

x=x0 不是 f(x)

[a, b]的端点值 f(a)、

f(b)的 小 其 最 的 个 最 值 最 的 个 最 值 大 ,中 大 一 为 大 ,小 一 为 小 . 2. 知 f(x)在某区间上的极值或极值的存在情况, 已 则转化 为方程 f ′(x)=0 的 的 小 存 情 根大或在况 .
专题一 第五讲

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导数的实际应用

(文)(2013· 江苏苏北四市调研)某开发商用 9000 万 元在市区购买一块土地,用于建一幢写字楼,规划要求写字楼 每层建筑面积为 2000 平方米.已知该写字楼第一层的建筑费用 为每平方米 4000 元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下 面一层每平方米增加 100 元.

专题一

第五讲

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() 若该写字楼共 x 层 总 发 用 1 ,开费为 f(x)的表达式;

y万 , 函 元求数

y=

(总开发费用=总建筑费用+购地费用) () 要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低, 2 该写字 楼应建为多少层?

专题一

第五讲

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[解析]

() 由 知 写 楼 下 一 的 建 费 为 1 已 , 字 最 面 层 总 筑 用

4000×2000=8000000(元)=800(万元), 从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多 100×2000=200000(元)=20(万元), 写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以 800 为首项, 20 为公差的等差数列, 所以函数表达式为 x?x-1? y=f(x)=800x+ ×20+9000 2 =10x2+790x+9000(x∈N*).
专题一 第五讲

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() 由() 知 字 平 米 均 发 用 2 1 写每方平开费为 5?10x2+790x+9000? f?x? g(x)= ×10000= 2000x x 900 =50(x+ x +79) 900 g′(x)=5( - 2 ),由 g′(x)=0 及 x∈N*得,x=30. 0 1 x 易知当 x=30 时,g(x)取得最小值. 答:该写字楼建为 30 层 , 平 米 均 发 用 低 时每 方 平 开 费 最 .

专题一

第五讲

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(理)水库的蓄水量随时间而变化,现用 t 表 时 , 月 示间以 为位年为点据年据某库蓄量 单,初起,历数,水的水 亿立方米)关于 t 的近似函数关系式为 1 ? 2 ??-t +14t-40?e t+50,0<t≤10. 4 V(t)=? ?4?t-10??3t-41?+50,10<t≤12. ? () 该水库的蓄水量小于 50 的时期称为枯水期,以 i-1< 1 t<i 表 第 示 期? () 求一年内该水库的最大蓄水量(取 e=2.7 计算) 2
专题一 第五讲

(单位:

i 月份(i=1,2?,12)问 年 内 几 月 是 水 一 哪个份枯

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[解析]

() ①当 0<t≤10 时, 1
2

1 V(t)=(-t +14t-4) 0 e t+50<50, 4 化简得 t2-14t+40>0, 解得 t<4,或 t>10,又 0<t≤10,故 0<t<4. ②当 10<t≤12 时,V(t)=4(t-1) 0 ( 3 化简得(t-1) 0 ( 3 t-41)<0, t-41)+50<50,

41 解得 10<t< 3 ,又 10<t≤12,故 10<t≤12. 综上得 0<t<4,或 10<t≤12. 故知枯水期为 1 月,2 月,3 月,11 月,12 月 共 5 个月. ,
专题一 第五讲

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() 由() 易知,V(t)的 大 只 在 2 1 最值能 1 12 3 由 V′(t)=e4t(-4t +2t+4 ) 1 1 =-4e4t(t+2 t-8 . ) ( )

(1) 40 ,

内达到.

令 V′(t)=0,解得 t=8 t=-2 舍去). ( 当 t 变化时,V′(t)与 V(t)的变化情况如下表: t V′(t) V(t) (8 4) , + ↗ 8 0 极大值 (1) 80 , - ↘
专题一 第五讲

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由上表,V(t)在 t=8 时取得最大值 V() =8e2 +50= 8 108.32(亿立方米) 故知一年内该水库最大蓄水量是 108.32 亿立方米.

专题一

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(02 21· 自提的 己出

济模 南 拟 )济 市 “两 ”召 前 某 协 员 对 南 会 开 ,政 委 针 “环 提 保 案 ”对 处 环 状 进 了 地 研 某的境况行实调,

据 定该 的 染 数 附 污 源 强 成 比与 污 测 ,处 污 指 与 近 染 的 度 正 ,到 染的离反,例数 源距成比比常为 A、B 两 化 厂 家工 连上意点 线任一 指之. 数和设 k(k>) . 已 相 0 现知距 3k 6m 的

(污 源 )的 染 度 别 正 染 污强分为数 C处 污 指 的染数

a、b, 们 它

y等 两 工 对 处 污 于 化厂该的染

AC=x(m . k)

() 试 y 表 为 x 的 数 1 将 示 函; () 若 a=1 时 y 在 x=6 处 得 小 , 求 2 , 取最值试 b的 . 值
专题一 第五讲

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[解析]

ka () 设点 C 受 A 污染源污染指数为 ,点 C 受 B 1 x

kb 污染源污染指数为 ,其中 k 为比例系数,且 k>. 0 36-x ka kb 从而点 C 处污染指数 y= + (< x<6 . 0 3) x 36-x

专题一

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k kb () 因为 a=1,所以,y= + 2 , x 36-x 1 b y′=k[-x2+ ], ?36-x?2 36 令 y′=0,得 x= , 1+ b 36 36 当 x∈(0, )时,函数单调递减;当 x∈( ,+ 1+ b 1+ b ∞)时,函数单调递增.

专题一

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36 ∴当 x= 时,函数取得最小值, 1+ b 又此时 x=6,解得 b=25,经验证符合题意. 所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 25.

专题一

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[方法规律总结] 解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把 “问题情景”转化为数学语言,抽象为数学问题,选择合适的 求 方 .最 问 的 用 ,出 标 数 用 数 最 解 法而 值 题 应 题写 目 函 利 导 求 值是首选的方法,若在函数的定义域内函数只有一个极值点, 该极值点即为函数的最值点.

专题一

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定积分及其应用(理)

求曲线 y=x2,直线 y=x,y=3x 围成的图形 的面积. [分析] 画出函数图象,求出交点坐标,用积分求解.

专题一

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[解 ] 析

作曲 出线

y=x2, 线 y=x,y=3x 的 象 所 直 图,求

面为中影分面. 积图阴部的积

专题一

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解程 方组

?y=x2 ? ? ?y=x ? ?y=x2 ? ? ?y=3x ?

,交 得 点 (1 1) ,

、(0 0) ,



解程 方组

,交 得 点 (9 3) ,

、(0 0) ,



因,求形面为 此所图的积 S=?1(3x-x)dx+?3(3x-x2)dx ? ? ? ?
?0 ?1

= 2xdx+ (3x-x

?1 ? ? ?0

?3 ? ? ?1

2

3 1 21 ? x2- x3??3 )dx=x |0+ 1
?2

?

?? ??

3

?3 1 3? ?3 2 1 3? 13 2 3 3 1 1 =1+?2· -3· ?-?2· -3· ?= 3 . ? ? ? ?

专题一

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[点 ] 评

求函数 f(x)在某个区间上的定积分,关键是求出

满足 F′(x)=f(x)的原函数 F(x),要正确应用定积分的性质, 正确运用求导运算与求原函数 F(x)的运算互为逆运算的关系 及微积分基本定理.

专题一

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由直线 x-y-2=0 与 物 抛线 ________.
9 [答案] 2

y2=x 围 的 形 面 为 成图的积

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[解析]

如. 图

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?x-y-2=0 ? 解方程组? 2 ?y =x ?

得交点 A(1,-1),点 B(2 4) , 视 y 为自变量,所求面积为
?2 ?



-1 y+2)-y2]dy [ (

1 2 1 3 2 =(2y +2y-3y )|-1 1 1 1 1 2 3 2 =(2×2 +2×2-3×2 )-(2×(-1) +2×(-1)-3×(- 9 1) )=2.
3

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[方法规律总结] 1. 用 积 求 线 成 形 面 的 利定分曲围图的积步 骤:①画出图

形; ②确定被积函数;③求 交 坐 , 定 分 上 下 ; 出 点 标确 积 的 、限 ④运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.特 别注意平面图形的面积为正值,定积分值可能是负值. 2. 果 积 数 分 函 , 么 要 据 式 如被函为段数那需根公 =?c f(x)dx+?bf(x)dx 分 求 每 区 的 分 再 和 ? ? 别得段间积,求. ? ?
?a ?c ?b ? ? ?a

f(x)dx

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