浙江省温州市瓯海区三溪中学高中数学 2.3.1双曲线及其标准方程导学案(无答案)新人教A版选修2-1


2.3.1
【学习目标】 1.掌握双曲线的定义; 2.掌握双曲线的标准方程. 【重点难点】 双曲线的概念,双曲线标准方程

双曲线及其标准方程

双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法 【学习过程】 一、 自主预习 (预习教材理 P52~ P55,文 P45~ P48 找出疑惑之处) 复习 1:椭圆的定义是什么?椭圆的标准方程是什么?

复习 2:在椭圆的标准方程 合条件的椭圆方程.

x2 y 2 ? ? 1 中, a , b, c 有何关系?若 a ? 5, b ? 3 ,则 c ? ? 写出符 a 2 b2

二、合作探究 归纳展示 ※ 学习探究 问题 1:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?

如图 2-23,定点 F1 , F2 是两个按钉, MN 是一个细套管,两条细绳分别拴在按钉上且穿过套 管,点 M 移动时, MF1 ? MF2 是常数,这样就画出一条曲线;由 MF2 ? MF1 是同一常数, 可以画出另一支.

三、讨论交流 点拨提升 新知 1:双曲线的定义:

平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的 两定点 F1 , F2 叫做双曲线的

等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹叫做双曲线。 .

,两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的

反思:设常数为 2 a ,为什么 2a ? F1 F2 ?
2a ? F1 F2 时,轨迹是 2a ? F1 F2 时,轨迹

; . .

试试:点 A(1,0) , B (?1, 0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是

x2 y 2 ? 2 ? 1,(a ? 0, b ? 0, c2 ? a2 ? b2 ) (焦点在 x 轴) 2 a b 其焦点坐标为 F1 (?c,0) , F2 (c, 0) .
新知 2:双曲线的标准方程:

思考:若焦点在 y 轴,标准方程又如何?

四、学能展示 课堂闯关 例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5, 0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对 值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

变式:已知双曲线 离为 .

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距 16 9

例 2 已知 A, B 两地相距 800 m ,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,且声速为 340 m / s , 求炮弹爆炸点的轨迹方程.

变式:如果 A, B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么?

小结:采用这种方法可以确定爆炸点的准确位置.

※ 动手试试 练 1:求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 4 , b ? 3 ; (2)焦点为 (0, ?6),(0,6) ,且经过点 (2, ?5) .

练2 .点 A, B 的坐标分别是 (?5,0) , (5, 0) ,直线 AM , BM 相交于点 M ,且它们斜率之积 4 是

9

,试求点 M 的轨迹方程式,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状.

五、学后反思 ※ 学习小结 1 .双曲线的定义; 2 .双曲线的标准方程.

【课后作业】 : 1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程式: (1)焦点在 x 轴上, a ? 2 5 ,经过点 A( ?5, 2) ; (2)经过两点 A(?7, ?6 2) , B(2 7,3) .

2.相距 1400m A, B 两个哨所,听到炮弹爆炸声的时间相差 3s ,已知声速是 340 m / s ,问炮 弹爆炸点在怎样的曲线上,为什么?


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