18学年高中数学第二章统计2.1随机抽样2.1.1简单随机抽样教学案新人教B版必修3

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2.1.1

简单随机抽样

预习课本 P49~51,思考并完成以下问题 (1)什么是简单随机抽样?简单随机抽样有什么特点?

(2)什么是抽签法?在抽取样本时用抽签法有哪些优点和缺点?

(3)什么是随机数表法?在抽取样本时用随机数表法有哪些优点和缺点?

(4)用随机数表法抽取样本的步骤有什么?

[新知初探] 1.统计的相关概念 (1)总体:统计中所考察对象的某一数值指标的全体构成的集合全体叫做总体. (2)个体:总体中的每一个元素叫做个体. (3)样本:从总体中抽出的若干个个体组成的集合叫做样本. (4)样本容量:样本的个体的数目叫做样本容量. (5)随机抽样:满足每一个个体都可能被抽到且被抽到的机会是均等的抽样. 2.简单随机抽样 (1)定义:从元素个数为 N 的总体中不放回地抽取容量为 n 的样本,如果每一次抽取时 总体中的各个个体有相同的可能性被抽到,这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)常用方法:抽签法、随机数表法. (3)抽签法的优缺点: ①优点:简单易行. ②缺点:当总体的容量非常大时,费时、费力又不方便;如果标号的纸片或小球搅拌得 不均匀,可能导致抽样的不公平.
? ?随机数表 (4)随机数表法? ?计算器或计算机产生的随机数 ? 1

[小试身手] 1.在简单随机抽样中,某一个个体被抽到的可能性( A.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最大 B.与第几次抽样有关,第一次抽到的可能性最小 C.与第几次抽样无关,每一次抽到的可能性相等 D.与第几次抽样无关,与样本容量也无关 解析:选 C 由简单随机抽样的定义知 C 正确. 2.为了了解全校 240 名高一学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量.下列说法 正确的是( ) B.个体是每一个学生 D.样本容量是 40 )

A.总体是 240 名学生 C.样本是 40 名学生

解析:选 D 在这个问题中,总体是 240 名学生的身高,个体是每个学生的身高,样本 是被抽取的 40 名学生的身高,样本容量是 40.因此选 D. 3.下列抽样试验中,适合用抽签法的有( )

A.从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D.从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 解析:选 B A、D 中总体的个数较大,不适于用抽签法;C 中甲,乙两厂生产的两箱产 品性质可能差别较大,因此未达到搅拌均匀的条件,也不适于用抽签法;B 中个体数和样本 容量均较小,且同厂生产的两箱产品,性质差别不大,可以看做是搅拌均匀了,故选 B. 4.用抽签法进行抽样有以下几个步骤:①制签;②抽签;③将签摇匀;④编号;⑤将 抽取的号码对应的个体取出,组成样本.这些步骤的正确顺序为________. 答案:④①③②⑤

简单随机抽样的概念 [典例] 下面抽样方法是简单随机抽样的是( A.从平面直角坐标系中抽取 5 个点作为样本 B.可口可乐公司从仓库中的 1 000 瓶可乐中一次性抽取 20 瓶进行质量检查 C.某连队从 200 名战士中,挑选出 50 名最优秀的战士去参加抢险救灾活动 D. 从 10 个手机中不放回地随机抽取 2 个进行质量检验(假设 10 个手机已编好号, 对编 号随机抽取) [解析] A 中平面直角坐标系中有无数个点,这与要求总体中的个体数有限不相符,故 )

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错误;B 中一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点,故错误;C 中 50 名战士是最优 秀的,不符合简单随机抽样的等可能性,故错误. [答案] D

简单随机抽样的判断策略 判断一个抽样能否用简单随机抽样, 关键是看它是否满足四个特点: ①总体的个体数目 有限;②从总体中逐个进行抽取;③是不放回抽样;④是等可能抽样. 同时还要注意以下几点:①总体的个体性质相似,无明显的层次;②总体的个体数目较 少,尤其是样本容量较小;③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性,个体间无固定的距 离. [活学活用] 下列问题中,最适合用简单随机抽样方法抽样的是( )

A.某电影院有 32 排座位,每排有 40 个座位,座位号是 1~40,有一次报告会坐满了 听众,报告会结束后为听取意见,要留下 32 名听众进行座谈 B.从 10 台冰箱中抽出 3 台进行质量检查 C.某学校有在编人员 160 人,其中行政人员 16 人,教师 112 人,后勤人员 32 人,教 育部门为了解在编人员对学校机构改革的意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本 D.某乡农田有:山地 800 公顷,丘陵 1 200 公顷,平地 2 400 公顷,洼地 400 公顷, 现抽取农田 48 公顷估计全乡农田平均每公顷产量 解析:选 B A 的总体容量较大,用简单随机抽样法比较麻烦;B 的总体容量较少,用 简单随机抽样法比较方便;C 由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异很大,不宜采用 简单随机抽样法;D 总体容量大,且各类田地的差别很大,也不宜采用简单随机抽样法. 抽签法的应用 [ 典例 ] 某师范大学为支援西部教育事业发展,计划从应届毕业生中选出一批志愿

者.现从符合报名条件的 18 名志愿者中,选取 6 人组成志愿小组,请用抽签法设计抽样方 案. [解] 第一步,将 18 名志愿者编号,号码为 1,2,3,…,18. 第二步,将号码分别写在 18 张大小、形状都相同的纸条上,揉成团,制成号签. 第三步,将制好的号签放入一个不透明的袋子中,并搅拌均匀. 第四步,从袋子中依次抽取 6 个号签,并记录上面的编号. 第五步,所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员.

抽签法的 5 个步骤

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[活学活用] 学校举办元旦晚会,需要从每班选 10 名男生,8 名女生参加合唱节目.某班有男生 32 名,女生 28 名,试用抽签法确定该班参加合唱的同学. 解:第一步,将 32 名男生从 0 到 31 进行编号; 第二步,用相同的纸条做成 32 个号签,在每个号签上写上这些编号; 第三步,将写好的号签放在一个容器内摇匀,不放回地逐个从中抽出 10 个号签; 第四步,相应编号的男生参加合唱; 第五步,用相同的办法从 28 名女生中选出 8 名参加合唱. 随机数表法的应用 [典例] 为适应山东 2016 年体育高考, 舜耕中学从 800 名应届毕业生中, 抽取 60 名学 生进行身体素质测试,请设计抽样方法. [解] (1)将 800 名同学进行编号,可以编为 000,001,002,003,…,799. (2)在教材的随机数表中任选一个数,例如选出第 3 行第 4 列数 5. (3)从选定的数开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等,每次读 3 个数), 得到一个号码 593,由于 593<799,将它取出,继续向右读,得到 907,由于 907>799,将它 去掉,继续向右读,得到 379,242,203,722,…,依次下去,直到取出 60 个号码,取出这 60 个号码对应的学生,就得到一个容量为 60 的样本.

随机数表法抽样的 3 个步骤 (1)编号:这里的所谓编号,实际上是新编数字号码. (2)确定读数方向:为了保证选取数字的随机性,应在面对随机数表之前就指出开始数 字的纵横位置,然后确定读数方向. (3)获取样本:读数在总体编号内的取出,而读数不在总体编号内的和已取出的不算, 依次下去,直至得到容量为 n 的样本. [活学活用] 现有一批编号为 10,11,…,99,100,…,600 的元件,打算从中抽取一个容量为 6 的 样本进行质量检验,如何用随机数表法设计抽样方案?
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解:第一步,将元件的编号调整为 010,011,012,…,099,100,…,600. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 6 行第 7 个数 3. 第三步,从数 3 开始,向右读,每次读取三位,凡不在 010~600 中的数跳过去不读, 前面已经读过的也跳过去不读,依次可得到 321,273,279,600,552,254. 第四步,以上这 6 个号码所对应的 6 个元件就是所要抽取的对象.(答案不唯一)

[层级一 学业水平达标] 1.为抽查汽车排放尾气的合格率,其环保局在一路口随机抽查,这种抽查是( A.简单随机抽样 C.随机数法抽样 B.抽签法抽样 D.有放回抽样 )

解析:选 D 这是有放回抽样,而不是简单随机抽样.故选 D. 2.某次考试有 70 000 名学生参加,为了了解这 70 000 名考生的数学成绩,从中抽取 1 000 名考生的数学成绩进行统计分析,下列说法正确的是( A.1 000 名考生是总体的一个样本 B.70 000 名考生是总体 C.样本容量是 1 000 D.以上说法都不对 解析:选 C 由于考察的对象是考生的数学成绩,因此 A、B 错误,抽取的样本数为样 本容量,因此 C 正确.故选 C. 3.已知下列抽取样本的方式: ①从无限多个个体中抽取 100 个个体作为样本; ②盒子里共有 80 个零件,从中选出 5 个零件进行质量检验,在抽样操作时,从中任意 拿出 1 个零件进行质量检验后再把它放回盒子里; ③从 20 件玩具中一次性抽取 3 件进行质量检验; ④某班有 56 名同学,指定个子最高的 5 名同学参加学校组织的篮球赛. 其中,不是简单随机抽样的是________(填序号). 解析:①不是简单随机抽样,因为被抽取的总体的个体数是无限的,而不是有限的;② 不是简单随机抽样,因为它是放回抽样;③不是简单随机抽样,因为这是“一次性”抽取, 而不是“逐个”抽取;④不是简单随机抽样,因为指定个子最高的 5 名同学是 56 名同学中 特指的,不存在随机性,不是等可能抽样. 答案:①②③④ 4.某中学高一年级有 400 人,高二年级有 320 人,高三年级有 280 人,若每人被抽到 )

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的可能性为 20%,用随机数法在该中学抽取容量为 n 的样本,则 n 等于________. 解析:由 =20%,解得 n=200. 400+320+280 答案:200 [层级二 应试能力达标] 1.下列抽样方法是简单随机抽样的是( )

n

A.从 50 个零件中一次性抽取 5 个做质量检验 B.从 50 个零件中有放回地抽取 5 个做质量检验 C.从实数集中随机抽取 10 个分析奇偶性 D.运动员从 8 个跑道中随机选取一个跑道 解析:选 D A 不是,因为“一次性”抽取与“逐个”抽取含义不同;B 不是,因为是 有放回抽样;C 不是,因为实数集是无限集. 2.抽签法中确保样本代表性的关键是( A.抽签 C.逐一抽取 )

B.搅拌均匀 D.抽取不放回

解析:选 B 逐一抽取,抽取不放回是简单随机抽样的特点,但不是确保样本代表性的 关键, 一次抽取与有放回抽取(个体被重复取出可不算再放回)也不影响样本的代表性, 抽签 也一样. 3.某工厂的质检人员对生产的 100 件产品,采用随机数表法抽取 10 件检查,对 100 件产品采用下面的编号方法 ①1,2,3,…,100;②001,002,…,100;③00,01,02,…,99;④01,02,03,…,100. 其中正确的序号是( A.②③④ C.②③ ) B.③④ D.①②

解析:选 C 根据随机数表法的步骤可知,①④编号位数不统一,②③正确. 4.用简单随机抽样方法从含有 10 个个体的总体中,抽取一个容量为 3 的样本,其中某 一个体 a“第一次被抽到”的可能性和“第二次被抽到”的可能性分别是( A. 1 1 , 10 10 B. D. 3 1 , 10 5 3 3 , 10 10 )

1 3 C. , 5 10

1 解析:选 A 简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等,都为 . 10 5.高一(1)班有 60 名学生,学号从 01 到 60,数学老师在上统计课时,利用随机数表 法选 5 名学生提问,老师首先选定从随机数表的倒数第 5 行(下表为随机数表的最后 5 行)

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第 6 列的“4”开始,向右读依次选学号提问,则被提问的 5 个学生的学号为________. 33021 44709 79262 77713 32822 64679 25853 30963 76729 64145 71516 11716 68585 22783 22621 33116 80907 77689 69696 48420 94095 95735 84535 74703 82890 87613 65538 68978 13157 78834 58309 89501 59717 56086 37459 54263 41128 12663 82362 61855

解析:依据选号规则,选取的 5 名学生的学号依次为:44,33,11,09,07,48. 答案:44,33,11,09,07,48 6.某校有 50 个班,每班 50 人,现抽查 250 名同学进行摸底考试,则每位同学被抽到 的可能性为________. 解析:根据简单随机抽样的特征,总量为 50×50=2 500 人.∴每位同学被抽到的可能 250 1 性为 = . 2 500 10 答案: 1 10

7.为了了解参加运动会的 2 000 名运动员的年龄情况,从中抽取 20 名运动员的年龄进 行统计分析.就这个问题,下列说法中正确的有________. ①2 000 名运动员是总体; ②每个运动员是个体; ③所抽取的 20 名运动员是一个样本; ④样本容量为 20; ⑤这个抽样方法可采用随机数法抽样; ⑥采用随机数法抽样时,每个运动员被抽到的机会相等. 解析:①2 000 名运动员不是总体,2 000 名运动员的年龄才是总体;②每个运动员的 年龄是个体;③20 名运动员的年龄是一个样本. 答案:④⑤⑥ 8.上海某中学从 40 名学生中选 1 人作为上海男篮拉拉队的成员,采用下面两种选法: 选法一 将这 40 名学生从 1~40 进行编号,相应地制作 1~40 的 40 个号签,把这 40 个号签放在一个暗箱中搅匀, 最后随机地从中抽取 1 个号签, 与这个号签编号一致的学生幸 运入选; 选法二 将 39 个白球与 1 个红球(球除颜色外,其他完全相同)混合放在一个暗箱中搅 匀,让 40 名学生逐一从中摸取一球,摸到红球的学生成为拉拉队成员. 试问这两种选法是否都是抽签法?为什么? 解:选法一满足抽签法的特征是抽签法,选法二不是抽签法,因为抽签法要求所有的号 签编号互不相同,而选法二中 39 个白球无法相互区分.
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9.某合资企业有 150 名职工,要从中随机抽出 15 人去参观学习.请用抽签法和随机数 表法进行抽取,并写出过程. 解:(抽签法)先把 150 名职工编号:1,2,3, …,150,把编号分别写在相同的小纸片上, 揉成小球,放入一个不透明的袋子中,充分搅拌均匀后,从中逐个不放回地抽取 15 个小球, 这样就抽出了去参观学习的 15 名职工. (随机数表法)第一步,先把 150 名职工编号:001,002,003,…,150. 第二步,从随机数表中任选一个数,如第 10 行第 4 列数 0. 第三步,从选定的数字开始向右读,每次读 3 个数字,组成一个三位数,把小于或等于 150 的三位数依次取出(凡不在 001~150 的数跳过不读,前面已读过也跳过去),直到取完 15 个号码,与这 15 个号码相应的职工去参观学习.

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