2018年人教版高三数学一轮复习讲义:必修四第06讲 平面向量的基本概念及线性运算

平面向量的基本概念及线性运算 【知识概述】 1.向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫向量,向量可以用 有向线段表示. (2)向 量 AB 的大小 ,也就是向量 AB 的长度(又称模),记作 AB ; 长度为 0 的向量叫零向量,记作 0 ; 长度为 1 个单位的向量叫单位向量; 方向相同或相反的非零向量叫平行向量,规定 0 / / a ,平行向量又叫共线向量; 长度相等且方向相同 的向量叫相等向量. 2.向量加法运算及其几何意义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 设 A,B,C 是平面上的任意 三点,则 AB ? BC ? AC . ( 1 ) 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 : 如 图 , 已 知 非 零 向 量 a, b , 在 平 面 内 任 取 一 点 A , 作 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? a, BC? b ,则 a + b = AC . a C a+b b b A a B ( 2 )向量加法的平行四边形法则 :如图 , 已知向量 OA ? a, OB ? b ,以 OA, OB 为邻边作 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ABCD ,则 a ? b ? OC . C B A O 3.向量减法运算及其几何意义 求两个向量差的运算叫向量的减法, 若a ? b + c, 则a ? b = c . 向量减法的几何意义: 两个向量共起点, 两终点连线指向被减向量的向量就是这两个向量的 差: OA ? OB ? BA . ??? ? ??? ? A ??? ? a a-b O b B 4.向量数乘运算及其几何意义 实数?与向量a的积是一个向量, 记为?a ,规定: (1) ?a ? ? ?a ; (2)当? ? 0时,?a与a方向相同;当? ? 0时, ?a与a方向相反. 由(1)知,当? ? 0时, ?a ? 0 . 5.平面向量的基本运算律 (1)a ? b ? b ? a ; (2) ? a ? b? ? c ? a ? ? b ? c ? ; (3)? ? ?a ? ? ? ?? ? a ; (4) ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ; [来源:学科网] (5)? ? a ? b? ? ?a ? ?b . 6.平面向量的坐标运算 (1)设a ? ? x1, y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? , 则a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ?a ? ? ? x1, ? y1 ? ; ??? ? (2)设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? . 7.两个向量平行的充要条件 向量a ? a ? 0? 与b平行当且仅当存在唯一实数?, 使b ? ?a 【学前诊断】 1. [难度] 易 ) [来源:学科网 ZXXK] 下列结论正确的是( A.2008m 长的线段不可能表示单位 向量 B.若 O 是直线 e 上的一点, 单位长度已选定, 则 e 上有且只有两个点 A,B, 使 OA, OB 是单位向量 C.若 a 是单位向量, b 也是单位向量,则 a = b ,或 a = ?b D.一个人从点 A 向东走 500 米到达 B 点, 则向量 AB 不能表示这个人从 A 点到 B 点的 位移 2. [难度] 易 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? 向量 AB ? DF ? CD ? BC ? FA ? ______ . 3. [难度] 易 已知 A(2, ?4), B(0,6), C (?8,10) ,求向量 AB ? 2 BC ? ??? ? ??? ? 1 ???? AC 的坐标. 2 [来源:学科网 ZXXK] 【经典例题】 例1. 判断下列说法是否正确,并说明理由 (1)任何两 个单位向量都是平行向量; (2)零向量是没有方向的; (3)在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 的中点,则向量 DE与CB 是平行向量; ???? ??? ? [来 源:Z,xx,k.Com] (4) 对于向量a,b,c, 若a / / b且b ? c, 则a / /c ; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (6)非零向量 AB与BA 是模相等的平行向量. (5)若非零向量 AB与CD 是平行向量,则直线 AB 与直线 CD 平行; 例2. 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100km 到达 B 点,然后又改变方向向西偏北 50° 行 驶了 200km 到达 C 点,最后又改变方向,向东行驶了 100km 到达 D 点. (1)作出向量 AB , BC, CD ; (2)求 AD . ??? ? ??? ? ??? ? ???? 例3. 如图,菱形 ABCD,对角线 AC 与 BD 交于点 O,且∠DAB=60° (1)写出图中相等向量; (2)写出图中平行向量; (3)写出图中模相等向量. 例4. O 是△ABC 内一点,且 OA ? OB ? OC ? 0 ,判断 O 是△ABC 的什么心? ??? ? ??? ? ??? ? 例5. 化简下列各式 (2a+3b-c)-(3a-2b+c)+2(c-3b); (1) (2) 2? 1 1 . ? 4a ? 3b ? ? b ? ? 6a ? 7b ?? ? ? 3? 3 4 ? 例6. 已知非零向量 e1和e2 不共线 (1) 如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2 , CD ? 3 ? e1 ? e2 ? ,

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