高中数学北师大版选修2-2第3章《导数的实际应用》(第2课时)word教案

第二课时 一、教学目标: 导数的实际应用(二) 1、使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题 中的作用; 2、提高将实际问题转化为数学问题的能力。 二、教学重点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 教学难点:利用导数解决生活中的一些优化问题. 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程: (一).创设情景 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称 为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大(小)值的有力工 具.这一节,我们利用导数,解决一些生活中的优化问题. (二).新课探究 导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题, 主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题; 2、与物理学有关的最值问题; 3、与利润及其成本有关的最值问题; 4、效率最值问题。 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系,建立适 当的函数关系,并确定函数的定义域,通过创造在闭区间内求函数取值的情境,即 核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使 问题得以解决,在这个过程中,导数是一个有力的工具. 利用导数解决优化问题的基本思路: 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题 (三).典例分析 例 1、海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如 图 1.4-1 所示的竖向张贴的海报,要求版心面积为 128dm2,上、下两边各空 2dm, 左、右两边各空 1dm。如何设计海报的尺寸,才能使四周空心面积最小? 解:设版心的高为 xdm,则版心的宽为 S ( x)? ( x ? 128 4)( ? x ? 2 ) ?1 2 ? 8 x 128 dm,此时四周空白面积为 x ?x 。 8, 0 512 2? x 求导数,得 S ' ( x) ? 2 ? 512 。 x2 512 ? 0 ,解得 x ? 16( x ? ?16 舍去)。 x2 令 S ' ( x) ? 2 ? 于是宽为 128 128 ? ?8。 x 16 当 x ? (0,16) 时, S ' ( x) <0;当 x ? (16, ??) 时, S ' ( x) >0. 因此, x ? 16 是函数 S ( x) 的极小值,也是最小值点。所以,当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,能使四周空白面积最小。 答:当版心高为 16dm,宽为 8dm 时,海报四周空白面积最小。 例 2、饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 (1)你是否注意过,市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些? (2)是不是饮料瓶越大,饮料公司的利润越大? 【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本 是 0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的半径,单位是厘米。已知每出售 1 mL 的饮料,制 造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题:(1)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子的 半径多大时,每瓶的利润最小? 解:由于瓶子的半径为 r ,所以每瓶饮料的利润是 ? r3 ? 4 y ? f ? r ? ? 0.2 ? ? r 3 ? 0.8? r 2 ? 0.8? ? ? r 2 ? , 0 ? r ? 6 3 ?3 ? 令 f ? ? r ? ? 0.8? (r 2 ? 2r) ? 0 解得 r ? 2 ( r ? 0 舍去) 当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 ;当 r ? ? 2 , 6? 时, f ? ? r ? ? 0 . 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递增,即半径越大,利润越高; 当半径 r ? 2 时, f ? ? r ? ? 0 它表示 f ? r ? 单调递减,即半径越大,利润越低. (1)半径为 2 cm 时,利润最小,这时 f ? 2? ? 0 ,表示此种瓶内饮料的利润 还不够瓶子的成本,此时利润是负值. (2)半径为 6 cm 时,利润最大. 换一个角度:如果我们不用导数工具,直接从函数的图像上观察,会有什么 发现? 有图像知:当 r ? 3 时, f ? 3? ? 0 ,即瓶子的半径为 3cm 时,饮料的利润与饮 料瓶的成本恰好相等;当 r ? 3 时,利润才为正值. 当 r ? ? 0 , 2? 时, f ? ? r ? ? 0 , f ? r ? 为减函数,其实际意义为:瓶子的半径小于 2cm 时,瓶子的半径越大,利润越小,半径为 2 cm 时,利润最小. (四).课堂练习 1.用总长为 14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制作的容器的 底面的一边比另一边长 0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容 积.(高为 1.2 m,最大容积 1.8 m3 ) 2.课本 P65 练习题 (五).回顾总结:1.利用导数解决优化问题的基本思路: 建立数学模型 优化问题 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题 2.解决优化问题的方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模 型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程 中,导数往往是一个有利的工具。 (六).布置作业:1、一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面 尺寸时,希望在断面 ABCD 的面积为定值 S 时,使得湿周 l=AB+BC+CD 最小,这样 可使水流阻力小,渗透少,求此时的高 h 和下底边长 b. 解:由梯形面积公式,得 S= ∴AD= ∵CD= 1 3 (AD+BC)h,其中 AD=2DE+BC,DE= h,BC=b 2 3 2 3 1 2 3 3 h+b, ∴S= ( h ? 2b)h ? ( h

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