甘肃省民勤县第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

民勤一中 2015-2016 学年度第二学期期中试卷 高 二 数 学(理)
(本卷共三个大题 22 个小题,满分 150 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.曲线 y=

x

x+2

在点(-1,-1)处的切线方程为( B.y=2x-1
3 2

) D.y=-2x-2

A.y=2x+1

C.y=-2x-3 )

2.函数 f(x)=x -3x +1 的减区间为( A.(2,+∞) B.(-∞,2) 3+i 3.i 是虚数单位,复数 等于 ( ) 1-i A.1+2i
3 2

C.(0,2)

D.(-∞,0)

B.2+4i

C.-1-2i

D.2-i )

4.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 处取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5

5.安排一张有 5 个独唱节目和 3 个合唱节目的节目单,要求合唱节目不连排而且不排第一个节目,那么 不同的节目单有( ) C.1200 种 ) D.20 ) D.第四象限 D.2880 种

A.7200 种 B.1440 种 1 ? 2 ?3 6.在?x + 2-2? 展开式中的常数项为(

?

x

?

A.-8

B.-12 C.-20 i 2 7.在复平面内,复数 +(1+ 3i) 对应的点位于( 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

8.由①正方形的对角线相等;②矩形的对角线相等;③正方形是矩形.写一个“三段论”形式的推理, 则作为大前提、小前提和结论的分别为( A.②①③ B.③①② ) C.①②③ ) D.27 D.②③①

9.数列 2,5,11,20,x,47,?中的 x 等于( A.28
3

B.32
2

C.33

10.函数 f(x)=x +2x -4x+5 在[-4,1]上的最大值和最 小值分别是( ) 95 A .13, B.4,-11 C.13,-11 D.13,最小值不确定 27 11.类比下列平面内的结论,在空间中仍能成立的是( ①平行于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两条直线平行; ③如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则必与另一条垂直; ④如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则必与另一条相交. A.①②④ ③④ 12. 如图所示,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲 线 y=x 和
1
2

)

B.①③

C .②④

D.①

曲线 y= x围成一个叶形图(阴影部分),向正方形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点 是等可能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是 ( 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 6 4 3 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.一个物体的运动方程为 s=1-t+t ,其中 s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在 3 秒末的瞬时速 度是________. 14.已知 x ??2, 3, 7? , y ???31 , ? 24, 4? ,则 xy 可表示不同的值的个数是 .
2

).

15. 在一次反恐演习中,我方三架武装直升机分别从不同 方位对同一目标发动攻击(各发射一枚导弹) , 由于天气原因,三枚导弹命中目标的概率分别为 0.9,0.9,0.8,若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧 毁,则目标被摧毁的概率为__________。 16.定义一种运算如下:?

?a b? ?1+i -1? ?=ad-bc,则复数? ?的共轭复数是__________. 3i? ?c d? ? 2

高 二 数 学(理)答 题 页 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 三、解答题 17. (本小题满分 10 分)有 A,B,C 三个城市,上午从 A 城去 B 城有 5 班汽车,2 班火车,都能在 12:00 前到达 B 城,下午从 B 城去 C 城有 3 班汽车,2 班轮船.某人上午从 A 城出发去 B 城,要求 12:00 前到达 , 然后他下午去 C 城,问有多少种不同的走法? 14. 15. 16.

2

18. (本小题满分 12 分))设 a 为实数,函数 f(x)=x -x -x+a,若函数 f(x)过点 A(1,0),求函数在区 间[-1,3]上的最值.

3

2

19. (本小题满分 12 分)用 0,1,2,3,4,5 共 6 个数字,可以组成多少个没有重复数字的 6 位奇数?

20. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=a +

x

x-2 (a>1). x+1

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
3

(2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负根.

21. (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗, 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层. 某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能源消耗 费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)= (0≤x≤10),若不建隔热层,每年 3x+5 能源消耗费用为 8 万元 .设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

k

4

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=-x +ax +bx+c 在点 P(1,f(1))处的切线方程为 y=-3x+ 1. (1)若函数 f(x)在 x=-2 时有极值,求 f(x)的解析式; (2)函数 f(x)在区间[-2,0]上单调递增,求实数 b 的取值范围.

3

2

高二数学(理科)答案 一、选择题 1-5:ACADA 二、填空题 13. 15. 5 米/秒 O.954 14. 16. 9 -1-3i 6-10: CBDBC 11-12: BD

三、解答题 17.解:由题意,从 A 地到 B 地每天有汽车 5 班,故坐汽车有 5 种走法,从 A 地到 B 地每天有火车 2 班, 故坐火车有 2 种走法,从 A 到 B 共有 5+2=7 种结果,从 B 到 C 有两类,一类有 3 种走法,另一类有 2 种走 法,共有 3+2=5 种走法。 综上,从 A 地到 C 地不同的走法数为 7×5=35 种 2 18. 因为函数过点 A(1,0),代入函数的解析式得 a=1;f′(x) =3x -2x-1.当 x 变化时,f′(x),f(x) 的变化情况见下表:

所以 f(x)的最大值是 f(3)=16, 最小值是 f(-1)=f(1)=0.
5

19.解:①确定末位数字,从 1,3,5 中任取一个有

种方法;

②确定首位数字,从另外的 4 个非零数字中任取一个有

种方法;

③将剩余的 4 个数字排中间有

种排法,

故共有
x

个六位奇数.

20.证明:(1)f′(x)=a ln a+

x+1-(x-2) x 3 =a ln a+ 2 2, (x+1) (x+1)

因为 a>1,所以 ln a>0,所以 f′(x)>0 在(-1,+∞)上恒成立,即 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)设存在 x0<0(x0≠-1)满足 f(x0)=0,则 ax0=- 所以 0<-

x0-2 ,且 0<ax0<1. x0+1

x0-2 1 <1,即 <x0<2,与假设 x0<0 矛盾. x0+1 2

故方程 f(x)=0 没有负数根. 21. 解析:(1)设隔热层厚度为 x cm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= 40 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)= . 3x+5 而建造费用为 C1(x)=6x. 40 800 最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+C1(x)=20× +6x= 3x+5 3x+5 +6x(0≤x≤10). 2 400 2 400 25 (2)f′(x)=6- (舍去). 2 ,令 f′ (x)=0,即 2=6,解得 x=5 或 x=- ?3x+5? ?3x+5? 3 当 0≤x<5 时,f′(x)<0; 当 5 <x≤10 时,f′(x)>0.故 x=5 时是 f(x)的最小值点, 800 对应的最小值为 f(5)=6×5+ =70. 15+5 当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元。 2 22.解:f′(x)=-3x +2ax+b,函数 f(x)在 x=1 处的切线斜率为-3, 所以 f′(1)=-3+2a+b=-3,即 2a+b=0, ① 又 f(1)=-1+a+b+c=-2 得 a+b+c=-1. (1)函数 f(x)在 x=-2 时有极值, 所以 f′(-2)=-12-4a+b=0, 由①②③解得 a=-2,b=4,c=-3,所以 f(x)=-x -2x +4x-3. (2)
3 2

k , 3x+5





6

7


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