高一数学(人教新课标A版)函数与方程 学生版

函数与方程
一、目标认知 学习目标
(1)进一步了解函数的广泛应用; (2)结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数零点与方程根的联 系; (3)根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解,了解这种方法是求函数零点 近似解的常用方法.

重点
理解函数零点的概念,判定二次函数零点的个数,会求函数的零点,能够借助计算器或计算机用二分法 求函数零点的近似解.

难点
对函数零点的性质,二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解.

二、知识要点梳理 知识点一、函数的零点
1.函数的零点 一般地,如果函数 要点诠释: 函数 归纳:方程 的零点就是方程 有实数根 函数 的实数根,亦即函数 的图象与 轴有交点 的图象与 轴交点的横坐标. 函数 有零点. 在实数 处的值等于零,即 ,则 叫做这个函数的零点.

2.二次函数零点的判定 二次函数 的零点个数,方程 判别式 方程的根 两个不相等的实根 两个相等的实根 无实根 的实根个数见下表. 函数的零点 两个零点 一个二重零点 无零点

3.二次函数零点的性质 ①二次函数的图象是连续的,当它通过零点时(不是二重零点),函数值变号. ②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号. 引伸:对任意函数,只要它的图象是连续不间断的,上述性质同样成立.

4.二次函数的零点的应用 ①利用二次函数的零点研究函数的性质,作出函数的简图. ②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号,观察函数的一些性质. 引伸:二次函数的零点的应用可推广到一般函数.

5.变号零点与不变号零点 如果函数 在一个区间 上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即 ,使 .如

,则这个函数在这个区间上,至少有一个零点,即存在一点

果函数图象通过零点时穿过 x 轴,则称这样的零点为变号零点,如果没有穿过 x 轴,则称这样的零点为不变 号零点.

知识点二、二分法
1.二分法 所谓二分法就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而 得到零点近似值的方法.

2.用二分法求函数零点的一般步骤: 已知函数 定义在区间 D 上,求它在 D 上的一个零点 x0 的近似值 x,使它满足给定的精确度. ,使 与 异号,即 ,零点位于

第一步:在 D 内取一个闭区间 区间 中. 第二步:取区间

的中点,则此中点对应的坐标为

. 计算 和 ,并判断:

①如果 ②如果 ③如果 第三步:取区间

,则

就是

的零点,计算终止; 中,令 中,令 ;

,则零点位于区间 ,则零点位于区间

的中点,则此中点对应的坐标为

. 计算 ①如果 ②如果 ③如果 ?? 继续实施上述步骤,直到区间 ,函数的零点总位于区间 上,当 和 按照给定的精确度 的近 和 ,并判断: ,则 就是 的零点,计算终止; 中,令 中,令 ; ;

,则零点位于区间 ,则零点位于区间

所取的近似值相同时,这个相同的近似值就是函数 似零点满足给定的精确度.

的近似零点,计算终止.这时函数

三、规律方法指导
1.如何求函数的零点? 答:求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与 轴交点的横坐标. 2.如果函数 在其定义域内为单调函数,则函数 在其定义域内最多有几个零点?

答:单调函数在其定义域内最多有一个零点.

经典例题透析 类型一、求函数的零点
1.求下列函数的零点. (1) (2) ; .

举一反三: 【变式 1】求函数:(1) ;(2) 的零点.

【变式 2 】( 2011 山东理 16 )已知函数 时,函数 的零点 ,则

,当 ___________. .

类型二、确定函数零点的个数
2.二次函数 A.1 B.2 C.0 中, D.无法确定 ,则函数的零点的个数是( )

类型三、用二分法求函数的零点的近似值
3.求函数 的一个正数零点(精确到 0.1).

举一反三: 【变式 1】用二分法求函数 的一个正零点(精确到 )

类型四、用二分法解决实际问题
4.中央电视台有一档娱乐节目“幸运 52”,主持人李咏给选手在限定时间内猜 某一物品的售价的机会,如果猜中,就把物品奖给选手,同时获得一枚商标.某次猜一种品 牌的手机,手机价格在 500~1000 元之间,选手开始报价:1000 元,主持人说:高了,紧 接着报价 900 元,高了;700 元,低了;880 元,高了;850 元,低了;851 元,恭喜你,猜 中了.表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分,实际上,游戏报价过程体现了“逼近”的 数学思想,你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗?

学习成果测评 基础达标
一、选择题 1.(2011 东北四市 6)已知函数 零点的是( ) 有唯一零点,则下列区间必存在

A.

B.

C. ) C.可以是增函数

D.

2.有两个互为相反数的零点的函数( A.只能是偶函数 B.可以是奇函数

D.可以是减函数

3.(2011 广东广州 3 月 6)若函数 是( ) A. B. C. D.

没有零点,则实数 的取值范围

4.设函数

是[-1,1]上的增函数,且

,则方程

在[-1,1]内( ) A.可能有 3 个实数根

B.可能有 2 个实数根

C.有唯一的实数根

D.没有实数根

5.若已知 A. B. C. D. 在 在 在 在

,则下列说法中正确的是( 上必有且只有一个零点 上必有正奇数个零点 上必有正偶数个零点

)

上可能有正偶数个零点,也可能有正奇数个零点,还可能没有零点

6.函数 A.大于等于 0

在区间 B.小于等于 0

内的函数值( C.大于 0 D.小于 0

)

7.如图,下列函数图象与 x 轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是(

)

二、填空题 1.三次方程 在下列连续整数____________之间有根.

①-2 与-1 ②-1 与 0 ③0 与 1 ④1 与 2 ⑤2 与 3

2.函数 三、解答题 1.用二分法求

的零点是__________.

在区间

的一个实根(精确到 0.01).


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