2018-2019学年高中数学(人教B版)必修1课件:3.3 幂函数_图文

幂函数 预习课本 P108~110,思考并完成以下问题 (1)幂函数是如何定义的? (2)幂函数的解析式具有什么特点? (3)常见幂函数的图象是什么?它具有哪些性质? [新知初探] 1.幂函数的概念 α x 是自变量,__ y = x α 是常数. 函数______叫做幂函数,其中__ [点睛] 幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为 自变量. 2.常见幂函数的图象与性质 1 1 解析式 y= x y= x2 y= x3 y= y= x x 2 图象 定义域 值域 __ R __ R __ R __ R __ R {x|x≠0} _________ [0,+∞) ________ [0,+∞) {y|y≠0} _________ ________ [0,+∞) _________ 解析式 y= x y=x 2 y=x 3 1 y= x 奇 函数 奇偶性 ___ 在 ( - 偶 函数 ___ 在 (-∞, 0] 奇 函数 ___ 在 ( - 奇 函数 ___ 在 (-∞,0) 上 单 1 y= x 2 非奇非偶 _________ 函数 上 单 调 ∞,+ ∞,+ 递减 , 单调性 _____ 在(0, ∞) 上 单 ∞ ) 上单 + ∞) 上 单 递增 调_____ 调_____ 递增 递增 调_____ 定点 调 在[0, +∞) 递减 , 在 上 单 调 _____ 递增 (0 ,+∞ )上 _____ 递减 单调_____ (1,1) _____ [点睛] 幂函数在区间(0,+∞)上,当 α>0 时,y=xα 是 增函数;当 α<0 时,y=xα 是减函数. [小试身手] 1.判断.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=x0(x≠0)是幂函数. (2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1). (3)幂函数的图象都不过第二、四象限. 2.下列函数中不是幂函数的是 A.y= x C.y=2x 答案:C (√ ) ( × ) ( × ) ( ) B.y=x3 D. y=x-1 3.已知 f(x)=(m-1)xm2+2m 是幂函数,则 m= A.2 C.3 答案:A ( ) B.1 D.0 ? 图象过点? ?2, ? 4.已知幂函数 f(x)=x α 1 答案: 2 2? ? ,则 f(4)=________. ? 2? 幂函数的概念 [典例] 已知幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3, 求此幂 函数的解析式,并指出定义域. [解] ∵y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为幂函数, ∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,m2-2m-3=-3,则 y=x 3,且有 x≠0; - 当 m=-1 时,m2-2m-3=0,则 y=x0,且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y=x 3,定义域为{x|x≠0}或 y - =x0,定义域为{x|x≠0}. 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否 为 y= xα(α 为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的 形式,且需满足: (1)指数为常数; (2)底数为自变量; (3)系数为 1. [活学活用] 下列函数中不是幂函数的是 A.y= x C.y=22x B.y=x 3 ( ) D.y=x-1 解析:选 C 显然 C 中 y=22x=4x,不是 y=xα 的形式, 1 所以不是幂函数,而 A、B、D 中的 α 分别为 , 3,-1, 2 符合幂函数的结构特征,故选 C. 比较幂值的大小 [典例] 比较下列各组数中两个数的大小. 2 3 ?2 ?0.5 ?1?0.5 ? 2?-1 ? 3?- 1 ?2 ? ?3 ? (1)? ? 与? ? ;(2)?- ? 与?- ? ;(3)? ? 4 与? ? 3 . ?5 ? ?3? ? 3? ? 5? ?3 ? ?4 ? [解] (1)∵幂函数 y= x0.5 在 (0,+ ∞)上是单调递增的, ?2 ?0.5 ?1 ?0.5 2 1 又 > ,∴? ? >? ? . 5 3 ?5 ? ?3 ? - (2)∵幂函数 y= x 1 在 (- ∞, 0)上是单调递减的, ? 2? - 1 ? 3? - 1 2 3 又- <- ,∴?- ? >?- ? . 3 5 ? 3? ? 5? 2 3 ?2 ?x ?2 ? ?2 ? 3 2 (3)∵函数 y1=? ? 为 R 上的减函数,又 > ,∴? ? 3 >? ? 4 . 4 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ? 2 3 2 又∵函数 y2= x 3 在 (0,+ ∞)上是增函数,且 > , 4 3 2 2 2 3 ?3 ? ?2 ? ?3? ?2 ? ∴? ? 3 >? ? 3 ,∴? ? 3 >? ? 4 . ?4 ? ?3 ? ?4? ?3 ? 比较幂值大小的方法 (1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数; (2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数; (3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数,使这 个数的底数与所比较数的一个底数相同, 指数与另一个数 的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而 比较大小. [活学活用] 比较下列各组值的大小: (1)(-0.31) ,0.35 . 6 5 6 5 6 5 (2)1.2 ,1.4 ,1.42. 1 2 1 2 解: (1)∵ y= x 为 R 上的偶函数, ∴ (- 0.31) = 0.31 . 又函数 y= x 为 [0,+∞)上的增函数,且 0.31< 0.35, ∴ 0.31 < 0.35 ,即(- 0.31) < 0.35 . (2)∵ y= x 在 [0,+∞ )上是增函数,且 1.2<1.4,∴1.2 <1.4 . 1 1 1 1 又∵ y= 1.4x 为增函数, 且 <2, ∴1.4 2 <1.42, ∴ 1.2 2 <1

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