湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题-理

武汉二中 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二理科数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题; 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求 的, 把正确选项的代号填在答题卡上. ) 1.两个事件对立是两个事件互斥的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系, 根据一组样本数据(xi, yi) ^ (i=1,2, ?, n), 用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x-85.71, 则下列结论中不 正确的是( ) . A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y )

C.若该大学某女生身高增加 1 cm, 则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm, 则可断定其体重必为 58.79 kg 3.下列命题正确的是( ) A.若 p , q 为两个命题, 则“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的必要不充分条件; B.若 p 为: ?x ? R, x2 ? 2x ? 0 , 则 ? p 为: ?x ? R, x2 ? 2 x ? 0 ;
? C.命题 p 为真命题, 命题 q 为假命题。则命题 p ? ( q) , (?p) ? q 都是真命题;

? D.命题“若 ? p , 则 q ”的逆否命题是“若 p , 则 q ”.
4.从 2003 件产品中选取 50 件, 若采用下面的方法选取:先用简单随机抽样从 2003 件产品中剔除 3 件, 剩下的 2000 件再按系统抽样的方法抽取, 则每件产品被选中的概率 ( ) A.不都相等 5.在下列命题中: B.都不相等 C.都相等, 且为

50 2003

D.都相等, 且为

1 40

b 共线, 则向量 a、 b 所在的直线平行; ①若向量 a、 b 所在的直线为异面直线, 则向量 a、 b 不共面; ②若向量 a、 b、 c 两两共面, 则向量 a、 b、 c 共面; ③若三个向量 a、
④ 已 知 空 间 不 共 面 的 三 个 向 量 a、 b、 c , 则 对 于 空 间 的 任 意 一 个 向 量 p , 总 存 在 实 数 x, y , z , 使 得

?? ??

??

??

???

???

???

??

?? ? ? ? ;其中正确的命题的个数是( p ? x a? y b ? z c
A.0 B. 1 C. 2

) D. 3

6. 一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为 a , b, c , 当且仅当其中有两个数字的 和等于第三 个数字时称为“有缘数”(如 213, 341 等). 若 a, b, c ??1,2,3,4? , 且 a , b, c 互不相同, 任取一个三位 自然数, 则它是“有缘数”的概率是( A. ) C.

1 2

B.

1 3

2 3

D.

3 4

1

7. 如果 ξ ~B ? ??, ? , 则使 P(ξ =k)取最大值时的 k 值为( A.5 或 6 B.6 或 7 C.7 或 8

? ?

?? ??

)

D.以上均错 )

8. 已知实数 x ??1,9? , 执行如图所示的程序框图, 则输出的 x 小于 55 的概率为( A.

5 8
2

B.

3 8

C.

2 3

D.

1 3
)

9. 若 ax ? x ? y

?

?

5

的展开式的各项系数和为 243,则 x5 y 2 的系数为(

A.10 B.20 C.30 D.60 10. 若某同学连续三次考试的名次(第一名为 1,第二名为 2,依次类推且可以有名次并列情况)均不超过 3,则称该同学 为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续三次考试的名次数据, 推断一定不是尖子生的是( ) A.甲同学:均值为 2, 中位数为 2 B. 乙同学:均值为 2, 方差小于 1 C.丙同学:中位数为 2, 众数为 2 D.丁同学:众数为 2, 方差大于 1 11. 设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为

3 4 和 , 且各次射击相互独立, 若按甲、乙、甲、乙??的次序轮 4 5
D.

流射击, 直到有一人击中目标就停止射击, 则停止射击时, 甲射击了两次的概率是( ) A.

3 80

B.

9 20

C.

9 25

19 400

12. 已 知 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 分 别 是 F1、F2 , 过 F2 的 直 线 交 双 曲 线 的 右 支 于 P、Q 两 点 , 若 PF 1 ? F 1F 2 ,且

3 PF2 ? 2 QF2 ,则该双曲线的离心率为(
A.

) D.

4 3

B.

10 3

C.2

7 5

二、填空题: (本大题共有 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把正 确答案填在答题卡的相应位置. ) 13. 有 5 名数学实习 老师 , 现将他们分配到高二年级的三个班实习 , 每班至少 1 名 , 最多 2 名 , 则不同的分配方案有 种(用数字作答) . 14.甲、乙两个小组各 10 名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示.现从这 20 名学生中随机抽取一人, 将“抽 出的学生为甲小组学生”记为事件 A ; “抽出的学生英语口语测试成绩不低于 85 分”记为事件 B . 则 P AB 值是________.

?

?的

第 14 题

第 15 题

15. 在一个正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , P 为正方形 A1 B1C1 D1 四边上的动点 , O 为底面正方形 ABCD 的中心 ,

M , N 分别为 AB, BC 的中点, 点 Q 为平面 ABCD 内一点, 线段 D1Q 与 OP 互相平分, 则满足 MQ ? ? MN 的实
数 ? 的值有_____个 16. 已知圆 P:x ? y ? 4 y 及抛物线 S:x ? 8 y ,过圆心 P 作直线 l ,此直线与上述两曲线的四个交点自左向右顺次
2 2 2

、C 、 D, 如 果 线 段 AB、BC、CD 的 长 度 按 此 顺 序 构 成 一 个 等 差 数 列 , 则 直 线 l 的 斜 率 为 记 为 A、 B ____________ 三、解答题: (本大题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. )
2

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆;命题 q:双曲线 ? ? 1的 17. (本小题满分 10 分)已知命题 p:方程 2m m ? 1 5 m
离心率 e ? (1,2) , 若 p、q 有且只有一个为真, 求 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c , 其中 b, c 是某范围内的随机数, 分别在下列条件下, 求事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”发生的概率. (1) 若随机数 b, c ?{1, 2,3, 4} ; (2) 已知随机函数 Rand() 产生的随机数的 范围为 x 0 ? x ? 1 , b, c 是算法语句 b ? 4 ? Rand() 和 c ? 4 ? Rand() 的执行结果.(注: 符号“ ? ”表示“乘号”)

?

?

19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC ? A 1B 1C 1 中 , AB ? AC , 顶点 A 1 在底面 ABC 上的射影恰为点 B , 且

AB ? AC ? A1B ? 2. (1) 证明:平面 A1 AC ? 平面 AB1B; (2) 求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (3) 若点 P 为 B1C1 的中点, 并求出二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值.

20.( 本小题满分 12 分)某市一高中经过层层上报, 被国家教育部认定为 2015 年全国青少年足球特色学校.该校成立了 特色足球队, 队员来自高中三个年级, 人数为 50 人.视力对踢足球有一定的影响, 因而对这 50 人的视力作一调查.
3

测量这 50 人的视力(非矫正视力)后发现他们的视力全部介于 4.75 和 5.35 之间, 将测量结果按如下方式分成 6 组: 第一组 ? 4.75,4.85? , 第二组 ? 4.85,4.95? , ?,第 6 组 ?5.25,5.35? ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. 又知:该校所在的省中, 全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示:全省 100000 名喜爱足球的高中生的视力 服从正态分布 N ?5.01,0.0064? . ⑴试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中 的平均视力状况; ⑵求这 50 名队员视力在 5.15 以上(含 5.15)的人数; ⑶在这 50 名队员视力在 5.15 以上(含 5.15)的人中任意抽取 2 人, 该 2 人中 视力排名(从高到低)在全省喜爱足球的高中生中前 130 名的人数记为 ? , 求 ? 的数学期望. 参考数据:若 ? ~N( ? ,

? 2), 则 P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.6826,

P ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 0.9544 , P ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ? ? 0.9974

21. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C :

x2 y2 6 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 以原点 O 为圆心, 椭圆 C 的长半轴这半 2 a b 3

径的圆与直线 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 标准方程; (2 )已知点 A, B 为动直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与椭圆 C 的两个交点, 问:在 x 轴上是否存在点 E , 使

??? ? 2 ??? ? ??? ? EA ? EA ? AB 为定值?若存在, 试求出点 E 的坐 标和定值, 若不存在, 说明理由.

22. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 Q(1, 2), P 是动点, 且三角形 POQ 的三边所在直线的斜率

1 1 1 ? ? . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;(2)过点 D(1,0)任作两条互相垂直的直线 l1 , l2 , 分别交 kOP kOQ kPQ 轨迹 C 于点 A, B 和 M, N, 设线段 AB, MN 的中点分别为 E , F ,
满足 求证:直线 EF 恒过一定点.

4

武汉二中 2015-2016 学年度上学期期末考试 高二理科数学参考答案 一、选择题: 1-5 ADBCB 二、填空题 13. 90 14. 6-10 ABBCD 11-12 DD

5 9

15.2

16. ?

2 2

三、解答题:

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 改写为 ? ? 1, 17. 解:将方程 2m m ? 1 2m 1 ? m
只 有 当 1 ? m ? 2m ? 0, 即 0 ? m ?

1 时,方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,所以命题 p 等价于 3

0?m?

1 ;???????????????????????????4 分 3

因为双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) , 5 m
5?m ? 4 ,解得 0 ? m ? 15 ,?????????????6 分 5
????????????????????8 分

所以 m ? 0 ,且 1 ?

所以命题 q 等价于 0 ? m ? 15 ;

若 p 真 q 假,则 m ? ? ;若 p 假 q 真,则 综上: m 的取值范围为
2

1 ? m ? 15 3

1 ? m ? 15 ?????????????????????10 分 3

18.解:由 f ( x) ? x ? bx ? c 知,事件 A “ f (1) ? 5 且 f (0) ? 3 ”,即 ?

?b ? c ? 4 . 1分 ? c?3

(1) 因为随机数 b, c ?{1, 2,3, 4} ,所以共等可能地产生 16 个数对 (b, c ) ,列举如下:

(1,1),(1, 2),(1,3),(1, 4),(2,1),(2, 2),(2,3),(2, 4),(3,1),(3, 2),(3,3),(3, 4) , (4,1), (4, 2), (4,3), (4, 4).
事件 A : ? 4分

?b ? c ? 4 包含了其中 6 个数对 (b, c ) ,即: (1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(3,1). ? c?3
6 3 3 ? ,即事件 A 发生的概率为 . 16 8 8
·············· 7 分

所以 P ( A) ?

(2) 由题意,b, c 均是区间 [0, 4] 中的随机数,产生的点 (b, c ) 均匀地分布在边长为 4 的正方形区域 ? 中(如图) ,其面 积 S (?) ? 16 . ····························· 8 分

事件 A : ?

?b ? c ? 4 所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分) , ? c?3

c
4 3
(1,3)

1 15 其面积为: S ( A) ? ? (1 ? 4) ? 3 ? .10 分 2 2

5
O
4

b

15 S ( A) 2 15 15 ? ? . 12 分 所以 P ( A) ? ,即事件 A 的发生概率为 S (?) 16 32 32
19.解:⑴证明:? A1B ? 面ABC ,? A1B ? AC ,又 AB ? AC , AB ? A1B ? B ,? AC ? 面AB1B ,

? AC ? 面A1 AC ,?平面A1AC ? 平面AB1B .
⑵以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 则

4分

C ? 2,0,0? , B ? 0,2,0? , A1 ?0,2,2? , B1 ? 0, 4, 2? , C1 ? 2, 2, 2? , ???? ??? ? ???? ? AA1 ? ? 0, 2, 2 ? , BC ? B1C1 ? ? 2, ?2,0? , ???? ??? ? ????????? ??? ? AA1 ?BC ?4 1 cos AA1 , BC ? ???? ??? ?? , ? ? 2 8 8 AA1 ?BC

故 AA1 与棱 BC 所成的角是

⑶因为 P 为棱 B1C1 的中点,故易求得 P ?1,3, 2 ? .设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? ,

? . 3

8分

??

??? ? ?? ??? ? ? ?? ? ?x ? 3 y ? 2z ? 0 ?n1 ?AP ? 0, ? AP ? ?1,3, 2 ? 则 ? ?? ??? ,由 ? ??? ,得 ? ,令 z ? 1 ,则 n1 ? ? ?2,0,1? , ? ? 2y ? 0 ? ? ? ? n1 ?AB ? 0 ? AB ? ? 0, 2,0 ? ?? ?? ? ?? ?? ? ?? ? n1 ?n2 2 2 5 而平面 ABA1 的法向量 n2 ? ?1,0,0 ? .则 cos n1 , n2 ? ?? ?? . ?? ? ?? 5 5 n1 ?n2
由图可知二面角 P ? AB ? A 1 为锐角,故二面角 P ? AB ? A 1 的平面 角的余弦值是

2 5 . 12 分 5

20.解:⑴由频率分布直方图知, 该校特色足球队人员平均视力为 4.8 ? 0.1+4.9 ? 0.2+5.0 ? 0.3+5.1 ? 0.2+5.2 ? 0.1+5.3 ? 0.1=5.03 高于全省喜爱足球的高中生的平均值 5.01. 4分 ⑵由频率分布直方图知,后两组队员的视力在 5.15 以上(含 5.15),其频率为 0.2,人数为 0.2 ? 50=10,即这 50 名队员 视力在 5.15 以上(含 5.15)的人数为 10 人. 6分 ⑶? P ?5.01 ? 3? 0.08 ? ? ? 5.01 ? 3? 0.08? ? 0.9974 ,即 P ? 4.77 ? ? ? 5.25? ? 0.9974 ,

? P ?? ? 5.25 ? ?

所以全省喜爱足球的高中生中前 130 名的视力在 5.25 以上.这 50 人中视力在 5.25 以上的有 0.1 ? 50=5 人,这 50 名队 员 视力在 5.15 以上(含 5.15)的人分为两部分:5 人在 5.25 以上,5 人在 5.15 ? 5.25. 9分 ? 随机变量 ? 可取 0,1,2,于是
1 1 C52 10 2 C5 C5 25 5 C52 10 2 P ?? ? 0 ? ? 2 ? ? , P ?? ? 1? ? 2 ? ? , P ?? ? 2 ? ? 2 ? ? . C10 45 9 C10 45 9 C10 45 9 2 5 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 1 . 12 分 9 9 9

1 ? 0.9974 ? 0.0013 , 0.0013 ?100000 ? 130 . 2

8分

21. 解答.(1)由 e ?

6 c 6 6 a 得 ? ,即 c ? a 3 3 3
2


2 2

???1 分

又以原点 O 为圆心,椭圆 C 的长轴长为半径的圆为 x ? y ? a 且与直线 2x ? 2 y ? 6 ? 0 相切, 所以 a ?

6 2 ? (? 2 )
2 2

? 6 代入①得 c=2,

???2 分

6

x2 y 2 ? ?1 所以 b ? a ? c ? 2 .所以椭圆 C 的标准方程为 6 2
2 2 2

???4 分

? x2 y 2 ? ? ? 1 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 12k 2 x ? 12k 2 ? 6 ? 0 (2)由 ? 6 2 ? ? y ? k ( x ? 2)
设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,所以 x1 ? x 2 ? 根据题意,假设 x 轴上存在定点 E(m,0), 使得 EA ? EA ? AB ? ( EA ? AB ) ? EA ? EA ? EB 为定值.
2

???6 分

12k 2 12k 2 ? 6 , x x ? 1 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2

???8 分

则 EA? EB ? ?x1 ? m, y1 ? ? ?x2 ? m, y2 ? ? ( x1 ? m)?x2 ? m? ? y1 y2 ???9 分 = k ? 1 x1 x 2 ? 2k ? m ?x1 ? x2 ? ? 4k ? m
2 2 2

?

?

?

?

?

2

? ? ?3m

2

? 12m ? 10 k 2 ? m 2 ? 6 1 ? 3k 2

?

?

?

要使上式为定值,即与 k 无关, 3m ? 12m ? 10 ? 3 m ? 6 ,
2 2

?

?

???10 分
2

得m ?

7 . 3

??11 分

此时, EA ? EA ? AB ? m ? 6 ? ?

2

5 , 9
??12 分

所以在 x 轴上存在定点 E(

2 7 5 ,0) 使得 EA ? EA? AB 为定值,且定值为 ? . 3 9

22.解:⑴设点 P 的坐标为 P ? x, y ? ,则 kOP ?

y y?2 1 1 1 , kOQ ? 2 , k PQ ? ,由 ? ? . x x ?1 kOP kOQ kPQ
4分



x 1 x ?1 2 ? ? .整理得点 P 的轨迹的方程为. y ? 4x ? y ? 0, y ? 2? . y 2 y?2

⑵设点 A, B 的坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则点 E 的坐标为 ? 由题意可设直线 l1 的方程为 y ? k ? x ?1?? k ? 0?

? x1 ? x2 y1 ? y2 ? , ?. 2 ? ? 2

2 ? 2 ? y ? 4x 2 2 2 2 2 4 2 由? 消去 y 得 k x ? ? 2k ? 4 ? x ? k ? 0 , ? ? ? 2k ? 4 ? ? 4k ? 16k ? 16 ? 0 ? ? y ? k ? x ? 1?

因为直线 l1 与抛物线交于 A,B 两点,所以 x1 ? x2 ? 2 ? 所以点 E 的坐标为 ?1 ?

4 4 , y1 ? y2 ? k ? x1 ? x2 ? 2 ? ? , 2 k k

? ?

2 2? , ?. k2 k ?

1 2 ,同理可得 F 的坐标为 ?1 ? 2k , ?2k ? . k 2 ? 2k 2 k 2 k 当 k ? ?1 时,有 1 ? 2 ? 1 ? 2k .此时直线 EF 的斜率为: k EF ? ? 2 2 k 1 ? 2 ? 1 ? 2k 2 1 ? k k
由题知,直线 l2 的斜率为 ?
7

所以直线 EF 的方 程为 y ? 2k ? 于是直线 EF 恒过定点 ? 3,0 ? ,

k k x ? 1 ? 2k 2 ? ,整理得 y ? ? x ? 3? . 2 ? 1? k 1? k 2

当 k ? ?1 时,直线 EF 的方程为 x ? 3 ,也过点 ? 3,0 ? . 综上所述, 直线 EF 恒过定点 ? 3,0 ? . 12 分

8


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