高中数学人教B版数学必修5课后强化作业:3-1-1《不等关系与不等式》


3-1-1《不等关系与不等式》 基 础 巩 固 一、选择题 1.实数 m 不超过 2,是指( A.m> 2 C.m< 2 [答案] D [解析] “不超过”就是“小于等于”,故选 D. 2.设 M=x2,N=-x-1,则 M 与 N 的大小关系是( A.M>N C.M<N [答案] A 1 3 [解析] M-N=x2+x+1=(x+2)2+4>0, ∴M>N. 3.已知 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,那么下列各式正确 的是( ) B.a<c<b D.c<a<b B.M=N D.与 x 有关 ) ) B.m≥ 2 D.m≤ 2

A.a<b<c C.b<a<c [答案] A [解析 ] a<b<c. 4.

∵a<0,b>0,∴a<b.又∵c-b=7-3 5>0,∴c>b,∴

如图,y=f(x)反映了某公司的销售收入 y 万元与销量 x 之间的函 数关系,y=g(x)反映了该公司产品的销售成本与销售量之间的函数关 系.当销量 x 满足什么条件时,该公司赢利( A.x>a C.x≥a [答案] A 5.已知 a<b<c,且 a+b+c=0,则( A.b2-4ac>0 C.b2-4ac<0 [答案] A [解析] ∵a<b<c 且 a+b+c=0,∴a<0,c>0 ∴ac<0,∴b2-4ac>0. 1 6. 已知 P= 2 , Q=a2-a+1, 则 P、 Q 的大小关系为( a +a+1 A.P>Q C.P≤Q [答案] C [解析] P-Q= 1 -a2+a-1 a +a+1
2

)

B.x<a D.0≤x≤a

)

B.b2-4ac=0 D.b2-4ac 的正负不确定

)

B.P<Q D.无法确定

1-a4-a3-a2+a3+a2+a-a2-a-1 = a2+a+1

-a4-a2 -a2?a2+1? = 2 = , a +a+1 a2+a+1 1 3 ∵a2+a+1=(a+2)2+4>0,-a2(a2+1)≤0, -a2?a2+1? ∴ 2 ≤0,∴P≤Q. a +a+1 二、填空题 7. 设 m=2a2+2a+1, n=(a+1)2, 则 m、 n 的大小关系是________. [答案] m≥n [解析] m-n=2a2+2a+1-(a+1)2=a2≥0. 8.若(a+1)2>(a+1)3(a≠-1),则实数 a 的取值范围是________. [答案] a<0 且 a≠-1 [解析] ∵(a+1)2-(a+1)3=(a+1)2(-a) =-a(a+1)2>0, ∴a<0 且 a≠-1 三、解答题 9.某矿山车队有 4 辆载重为 10t 的甲型卡车和 7 辆载重为 6t 的 乙型卡车,有 9 名驾驶员.此车队每天至少要运 360t 矿石至冶炼厂, 已知甲型卡车每辆每天往返 6 次,乙型卡车每辆每天可往返 8 次,写 出满足上述所有不等关系的不等式. [解析] 设每天派出甲型卡车 x 辆,乙型卡车 y 辆,由题意,得 x+y≤9 ? ?10×6x+6×8y≥360 ?0≤x≤4 ? ?0≤y≤7 x+y≤9 ? ?5x+4y≥30 ,即? 0≤x≤4 ? ?0≤y≤7 能 力 提 升 一、选择题

.

1.某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘.根据需要,软件至少买 3 片,磁盘 至少买 2 盒,则不同的选购方式有多少种?( A.5 种 C.7 种 [答案] C [解析] 设购买软件、磁盘 x 片、y 盒.依题意得 60x+70y≤500 ? ?x≥3 ?y≥2 ? ?x、y∈N
*

)

B.6 种 D.8 种

6x+7y≤50 ? ?x≥3 ,即? y≥2 ? ?x、y∈N
*

.

32 (1)当 x=3 时,7y≤32,y≤ 7 ,∵y∈N+, ∴y=2,y=3,y=4, 此时有 3 种选购方式. 26 (2)当 x=4 时,7y≤26,y≤ 7 , ∵y∈N+,∴y=2,y=3, 此时有 2 种选购方式. 20 (3)当 x=5 时,y≤ 7 ,∵y∈N+,∴y=2 此时有 1 种选购方式. (4)当 x=6 时,y=2,此时有 1 种选购方式. ∴共有 7 种选购方式. 2.如图,在一个面积为 200 m2 的矩形地基上建造一个仓库,四 周是绿地,仓库的长 a 大于宽 b 的 4 倍,则表示上面叙述的不等关系 正确的是( )

A.a>4b
? ?a>4b C.? ??a+4??b+4?=200 ?

B.(a+4)(b+4)=200
? ?a>4b D.? ?4ab=200 ?

[答案] C [解析] ∵仓库的长 a 大于宽 b 的 4 倍, ∴a>4b, 又∵矩形仓库的面积为 200m2, ∴(a+4)(b+4)=200,故选 C. 二、填空题 3.若 a>b,则 a3 与 b3 的大小关系是________. [答案] a3>b3 [解析] a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) b 3 =(a-b)[(a+2)2+4b2], b 3 ∵a>b,∴a-b>0,(a+2)2+4b2>0, ∴a3-b3>0,∴a3>b3. 4.若 x=(a+3)(a-5),y=(a+2)(a-4),则 x 与 y 的大小关系是 ________.

[答案] x<y [解析] x-y=(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)=(a2-2a-15)-(a2-

2a-8)=-7<0,∴x<y. 三、解答题 5.已知 a、b 为正实数,试比较 [解析] 解法一:( a b + 与 a+ b的大小. b a

a b a b + )-( a+ b)=( - b)+( - a)= b a b a

a-b b-a ?a-b?? a- b? ? a+ b?? a- b?2 + = = . b a ab ab ∵a、b 为正实数,∴ a+ b>0, ab>0,( a- b)2≥0. ? a+ b?? a- b?2 ∴ ≥0,当且仅当 a=b 时,等号成立. ab ∴ a b + ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时取等号. b a

a b 2 a2 b2 解法二:( + ) = b + a +2 ab, b a ( a+ b)2=a+b+2 ab, a b 2 a2 b2 2 ∴ ( + ) - ( a + b ) = b + a + 2 ab - (a + b + 2 ab ) = b a a3+b3-ab?a+b? ab ?a+b??a2-ab+b2?-ab?a+b? = ab ?a+b??a-b?2 = . ab ?a+b??a-b?2 ∵a、b 为正实数,∴ ≥0, ab ∴( a b + )2≥( a+ b)2. b a

又∵ ∴

a b + >0, a+ b>0, b a

a b + ≥ a+ b,当且仅当 a=b 时取等号. b a

6. 某粮食收购站分两个等级收购小麦. 一级小麦价格为 a(元/kg), 二级小麦价格为 b(元/kg)(b<a), 现有一级小麦 m(kg), 二级小麦 n(kg), 若以两种价格的平均数收购,是否合理?为什么? [解析] 若以 a(元/kg)的价格收购小麦 m(kg),以 b(元/kg)的价格 收购小麦 n(kg),所需钱数设为 x(元),那么 x=am+bn. a+b 若以两种价格的平均数收购,所需钱数记为 y(元),那么 y= 2 (m+n). a+b 则 x-y=(am+bn)- 2 (m+n) 1 =2(a-b)(m-n), 所以当 m>n 时,x>y,合理; 当 m<n 时,x<y,不合理; 当 m=n 时,花钱一样多. 7.设 f(x)=1+logx 3,g(x)=2logx 2,其中 x>0 且 x≠1,试比较 f(x)与 g(x)的大小. [解析] f(x)-g(x)=(1+logx3)-2logx2 3x =logx(3x)-logx4=logx 4 . 4 3x (1)当 x>3时,logx 4 >0,故 f(x)>g(x); 4 3x (2)当 x=3时,logx 4 =0,故 f(x)=g(x);

4 3x (3)当 1<x<3时,logx 4 <0, 所以 f(x)<g(x); 3x (4)当 0<x<1 时,logx 4 >0, 所以 f(x)>g(x). 4 综上知:当 x>3或 0<x<1 时,f(x)>g(x); 4 当 1<x<3时,f(x)<g(x); 4 当 x=3时,f(x)=g(x).


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