2014年重庆高考数学试题(文)解析版

2014 年重庆高考数学试题(文) 一 .选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 . 1. 实部为-2,虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的( ) B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 A. 第一象限 【答案】 B 【解析】实部为横坐标,虚部为纵坐标。 2. 在等差数列 {an } 中, a1 ? 2, a3 ? a5 ? 10 ,则 a7 ? ( )

A.5

B.8

C. 1 0

D.14

【答案】 B 【解析】将条件全部化成 a1和d : a1 ? 2d ? a1 ? 4d ? 10 , 解得 d ? 1 , 于是 a7 ? a1 ? 6d ? 8 . 3. 某中学有高中生 3500 人,初中生 1500 人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生 中抽取一个容量为 n 的样本,已知从高中生中抽取 70 人,则 n 为( )

A.100
【答案】 A

B. 1 5 0

C. 2 0 0

C.250

【解析】高中生在总体中所占的比例,与样本中所占的比例相等,也就是有:

3500 70 ? ? n ? 100 。考察分层抽样的简单计算. 5000 n
4. 下列函数为偶函数的是( )

A. f ( x) ? x ? 1
【答案】 D

B. f ( x) ? 3x?

x

x C. f (x ) ? x2? ?2

D. f (x ) ? x2?

?x

2

【解析】利用奇偶性的判断法则: f ? ? x ? ? ? f ? x ? ? f ? x ? 为奇函数; f ? ? x ? ? f 开始 ? x? ? f ? x? 为 偶函数即可得到答案为 D. 5. 执行如题( 5)图所示的程序框图,则输出 s 为( )
k =2,s=0

A.10
【答案】 :C

B. 1 7

C. 1 9

C .36
k =2k -1 s=s+k k <10
否 是

【解析】 : k ? 2, s ? 0 ? s ? 0 ? 2 ? 2, k ? 3 ? s ? 3 ? 2, k ? 5

? s ? 5 ? 5 ? 10, k ? 9 ? s ? 10 ? 9 ? 19, k ? 17 结束循环
此时输出条件 s ? 19 所以选 C 6. 已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 | x |? 0 ; q : x ? 1 是方程 x ? 2 ? 0 的根 则下列命题为真命题的是( )

输出 s 结束

A. p ? ?q
【答案】 :A

B.? p? q

C.? p? q

D. p? q

【解析】 :根据复合命题的判断关系可知,命题 p 为真,命题 q 为假,所以只有 p ??q 为真。 7. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

5 A.12 B.18 4 正视图 C.24 2 D.30 3 左视图

俯视图

【答案】 :C 【解析】 :由三视图可知,该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体,其中直三棱柱 底面为一个边长为 3,4,5 的直角三角形,高为 2,上方的四棱锥是底面边长是 3 的正方形,一个侧面与

1 1 ? 3 ? 4 ? 2 ? ? 3 ? 3 ? 4 ? 24 2 3 2 2 x y 8. 设 F1,F2 分 别 为 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 , 双 曲 线上 存 在 一 点 P 使 得 a b 2 2 则该双曲线的离心率为( ) (| PF 1 | ? | PF 2 |) ? b ? 3ab,
直三棱柱的底面重合。所以 V ? A. 2 【答案】 D B. 15 C.4
2

D. 17
2 2 2 2 2

2 【 解 析 】 由 题 意 ( PF 1 ? PF 2 ) ? (2a) ? 4a ? b ? 3ab ? b ? 3ab ? 4a ? 0 , 同 除 以 a 得

b b b b ( )2 ? 3( ) ? 4 ? 0 ? ? 4或 ? 1(舍去), 从而e ? 1 ? ( )2 ? 17 。 a a a a 9. 若 log ) ( ? log2 ab, 则a ? b 的最小值是( 4 3a ? 4b)
A. 6 ? 2 3 【答案】 D B. 7 ? 2 3 C. 6 ? 4 3 D. 7 ? 4 3

【解析】 log 4 ? 3a ? 4b ? ? log 2

ab ,条件足以说明 a ? 0, b ? 0 。经过化简得: 3a ? 4b ? ab ,即

3 4 3b 4a ? 3 4? ? ? 1 ,于是 ? a ? b ? ? ? a ? b ? ? ? ? ? 7 ? ? ? 7?4 3 b a a b ?a b?

? 1 ? 3, x ? (?1, 0] ? 10. 已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 , 且 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 在 ? ?1,1? 内有且仅有两个不同的 ? ? x, x ? (0,1] 零点,则实数 m 的取值范围是( )
9 1 ,?2] ? (0, ] 4 2 9 2 C. (? ,?2] ? (0, ] 4 3
A. (? 【答案】 A

11 1 ,?2] ? (0, ] 4 2 11 2 D. ( ? ,?2] ? (0, ] 4 3
B. ( ?

【解析】函数 f ? x ? 的图像如图所示.

g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 在 ? ?1,1? 内 有 且 仅 有 两 个 不 同 的 零 点 , 可 看 成 函 数 f ? x ? 与 直 线

y ? mx ? m 的交点,又知道该直线过定点 ? ?1,0? . 要有两个交点,直线的位置必须是如图所示的红色
直线之间或是蓝色直线之间。计算出这些直线的斜率,可以得到满足条件的直线的斜率的范围是

9 1 (? ,?2] ? (0, ] 4 2
二、填空题 }, 则A ? B ? ______. 11. 已知集合 A ? {1,2,3,5,8}, B ? {1,3,5,8,13 【答案】 { 3, 5, 13} 12. 已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ,且 a ? (?2, ?6),| b |? 10 ,则 a ? b ? _________.

【答案】 10 【解析】由向量的数量积与向量模长公式得 a ? b ? a | b | cos 60 ? 13. 将函数 f ?x ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ?

(?2) 2 ? (?6) 2 ? 10 ?

1 ? 10 2

? ?

?
2

?? ?

??

? 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 2?
?? ? f ? ? ? ______. ?6?

一半,纵坐标不变,再向右平移

? 的单位长度得到 y ? sin x 的图像,则 6

【答案】

2 2

【解析】根据函数的伸缩变换规则:函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半变成 f ? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? 函数的图像,再根据平移变换规则:向右平移个单位长度得到函数

1 ? ? ?? ? ? ,所以 f ? x ? ? sin ? 2? ( x ? ) ? ? ? ? sin(2? x ? ? ? ) 的函数图像,由题意得 ? ? , ? ? 2 6 6 3 ? ?

? 2 ?? ? ?1 ? ? ? f ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? 4 2 ?6? ?2 6 6?
14. 已知直线 x ? y ? a ? 0 与圆心为 C 的圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 相交于 A, B 两点,且

AC ? BC ,则实数 a 的值为 _________.
【答案】 a =0 或 a =6 【解析】将圆的方程转换成标准方程得 , 圆 C 的圆心为 (-1,2), 半径为 3,因为直线与圆 C 的交点 A,B 满足,所以 ? ACB 为等腰直角三角形,则弦 AB 的长度为 3 2 ,且 C 到 AB 的距离为

3 2 ,而由 2

点到直线的距离公式得 C 到 AB 的距离为

?1 ? 2 ? a ( ?1)2 ? 12

,所以

?1 ? 2 ? a ( ?1)2 ? 12

?

3 2 解得 a =0 或 a =6, 2

15. 某校早上 8: 00 上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30—7:50 之间到校,且每人在 该时间段的任何时间到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 _____(用数字作答) 【答案】 【解析】本题源于课本,属于几何概型,由题意可知有两个变量,因此是与面积有关的几何概型,如 图建立平面直角坐标系,分别设小张到达学校的时间是 x ,小王到达学校的时间为 y ,则 x , y 满足

? ? ?( x, y ) 0 ? x ? 20,0 ? y ? 20? , 那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示,
而小张比小王至少早到 5 分钟可以用不等式表示 A ? ( x , y ) 0 ? x ? 20, 0 ? y ? 20, y ? x ? 5 ,所

?

?

1 ? 152 9 以小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 P ( A) ? 2 2 ? 20 32

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分 .(I )小问 6 分, (II)小问 5 分) 已知 {an } 是首相为 1,公差为 2 的等差数列, Sn 表示 ?a n ?的前 n 项和. ( I)求 an 及 Sn ; ( II)设 {bn } 是首相为 2 的等比数列,公比 q 满足 q 2 ? ?a4 ? 1?q ? S4 ? 0 ,求 {bn } 的通 项公式及其前 n 项和 Tn . 【答案】 ( 1) an ? 2n ? 1, Sn ? n2 ; ( 2) Tn ?

2 n ? 4 ? 1? 3

【解析】 ( 1)此题是对等差数列通项和前 n 项和公式的直接考察,直接带入即可。 ( 2)由( 1)知, a4 ? 7, S4 ? 16 ,故 q2 ? 8q ? 16 ? 0 ? q ? 4 , Tn ?

2 ?1 ? 4n ? 1? 4

?

2 n ? 4 ?1? 3

17. (本小题满分 13 分 .(I )小问 4 分, (II)小问 4 分, ( III )小问 5 分) 20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如下: ( I)求频数直方图中 a 的值; ( II)分别球出成绩落在 ?50, 60? 与 ?60, 70? 中的学生人数; ( III)从成绩在 ?50, 70? 的学生中人选 2 人, 【答案】 ( I) a ? 0.005 (II) 2, 3(III) 求次 2 人的成绩都在 ?60, 70? 中的概率.

【 解 析】 ( I ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 知 组 距 为 10, (2a ? 3a ? 6a ? 7a ? 2a ) ? 10 ? 1 , 解 得

3 10

a?

(II)由图可知落在[50, 60)的频率为 2a ? 10 ? 0.1 ; 由频数 =总体 ? 频率 ,从而得到该范围内的人数为 20? 0. 1=2 落在 [60,70)范围内的频率为 3a ? 10 ? 0.15 ; 得该范围内的人数为 20 ? 0. 15=3; (III)记[50, 60)范围内 2 人分别为 Al, A2; [60,70)范围内 3 人分别 B1, B2, B3; 从 5 人中选 2 人的情况如下: A1 A2 , A1 B1, A1 B2, A1 B3 , A2 B1, A2 B2 , A2 B3, B1 B2, B1 B3, B2 B3 ; 此 2 人成绩都在 [60,70)范围内共有 B1 B2 , B1 B3 , B2 B3 , 3 种情况,总情况有 10 种; 故概率为 18. (本小题满分 12 分) 在 ?A B C中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a ? b ? c ? 8 ( 1)若 a ? 2, b ? ( 2)若 sin A cos
2

1 ? 0.005 . 200

3 10

5 ,求 cos C 的值 ; 2 9 B A ? sin B cos 2 ? 2 sin C ,且 ?ABC 的面积 S ? sin C ,求 a 2 2 2

和 b 的值 . 解: (Ⅰ )由题意可知: c ? 8 ? (a ? b) ?
2 2 2

7 , 2

5 7 22 ? ( )2 ? ( )2 a ?b ?c 2 2 ? ?1 . 由余弦定理得: cosC ? ? 5 2ab 5 2?2? 2 B A (Ⅱ )由 sin A cos 2 ? sin B cos 2 ? 2 sin C 可得: 2 2 1 ? cos B 1 ? cos A sin A ? ? sin B ? ? 2 sin C , 2 2 化简得 sin A ? sin A cos B ? sin B ? sin B cos A ? 4 sin C . 因为 sin A cos B ? sin B cos A ? sin( A ? B) ? sin C ,所以 sin A ? sin B ? 3 sin C . 由正弦定理可知: a ? b ? 3c .又因 a ? b ? c ? 8 ,故 a ? b ? 6 . 1 9 由于 S ? ab sin C ? sin C ,所以 ab ? 9 ,从而 a 2 ? 6a ? 9 ? 0 ,解得 a ? 3, b ? 3 . 2 2
19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 线垂直于 y ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切 4 x 2

1 x 2

( 1)求 a 的值; ( 2)求函数 f ( x ) 的单调区间和极值。

1 1 a 1 ? 2 ? ,由 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 y ? x 知 2 4 x x 5 3 f ' (1) ? ? ? a ? ?2 ,解得 a ? . 4 4 x 2 ? 4x ? 5 x 5 3 ? ln x ? , 则 f ' ( x) ? (Ⅱ ) 由 (Ⅰ ) 知 f ( x) ? ? , 令 f ' ( x ) ? 0 , 解 得 x ? ?1 或 4 4x 2 4x 2 x ? 5 .因 x ? ?1 不在 f ( x) 定义域 (0,??) 内,故舍去. 当 x ? (0,5) 时, f ' ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0,5) 内为减函数;当 x ? (5,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (5,??) 内为增函数.由此可知 f ( x) 在 x ? 5 时取得极小值 f (5) ? ? ln 5 .
解: (Ⅰ )对 f ( x ) 求导得 f ' ( x ) ? 20. (本小题满分 12 分, ( 1)问 4 分, ( 2)问 8 分) 如 题 ( 20 ) 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 是 以 O 为 中 心 的 菱 形 ,

AB ? 2, ?BAD ?

?

PO ? 底 面 ABCD ,

( 1)证明: BC ? 平面 POM ; ( 2)若 MP ? AP ,求四棱锥 P ?

3

, M 为 BC 上一点,且 BM

?

1 . 2

ABMO 的体积.

【答案】 (Ⅰ)略,在解析中呈现(Ⅱ)

【解析】 (Ⅰ)因为 PO ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,故 BC / / PO 。 因为 ABCD 是以 O 为中心的菱形, AB ? 2, ?BAD ? 又因为 BM ?

5 16

?
3

,所以 OB ? AB ? sin ? OAB ? 2 ?

1 ? 1。 2

1 ? 3 , ?OBM ? ,所以 OM ? OB 2 ? OM 2 ? 2OB ? OM cos 60? ? , 2 3 2 OM 2 ? BM 2 ? OM 2 ? BC ? OM ? ? BC ? PO ? ? PO ? 平面POM ? BC ? 平面POM ? OM ? 平面POM ? PO ? OM ? O ? ?

3 21 , 在 ?ABM 中,利用余弦定理可以求得 AM ? . 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 设 PO ? a ,可得 PA ? AO ? PO ? 3 ? a , PM ? PO ? OM ? a ? 4 3 3 2 2 2 又因为 PA ? PM ? AM ,解得 a ? ,即 PO ? . 2 2
(Ⅱ)由( 1)可知, OA ? 3 , OM ?

1 1 1 1 1 3 5 3 S ABMO ? SOMB ? SOAB ? OA ? OB ? BM ? OM ? ? 3 ?1 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 8 1 5 所以四棱锥 P ? ABMO 的体积为 VP ? ABMO ? ? S ABMO ? PO ? 3 16

x2 y 2 21. 如题( 21) 图,设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 左右焦点分 别为 F 1 , F2 ,点 D 在 椭圆上, a b 2 | FF | DF1 ? F1F2 , 1 2 ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 . 2 | DF1 |
( 1)求该椭圆的标准方程; ( 2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条 切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由 . 【解析】 : (1)设 F 1 (- c,0), F 2 (c,0) ,其中 c = a - b , 由
2 2 2

y

| F1 F2 | | FF | 2 = 2 2 ,得 DF1 = 1 2 = c, | DF1 | 2 2 2 1 2 2 2 | DF1 || F1F2 |= c = ,故 c = 1 , 2 2 2

从而 SDDF1F2 =

F1

O

F2

x

D

从而 | DF1 |= 因此 DF2 =

9 2 2 ,由 DF 得 DF2 =| DF1 |2 + | F1 F2 |2 = , 1^ F 1F 2 2 2

3 2 2 2 2 ,所以 2a =| DF 1 | + DF 2 = 2 2 ,故 a = 2 , b = a - c = 1 , 2

因此,所求椭圆方程为:

x2 + y 2 = 1; 2 x2 + y 2 = 1 相交, P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 是两个交点, 2

(2)设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆

C 的切线,且 F1P , y1 > 0, y2 > 0 , F1P 1 , F2 P 是圆 1^ F 2P 2,
由圆和椭圆的对称性,易知, x2 = - x1, y1 = y2 , PP 1 2 = 2 | x1 | , 由(1)知 F 1 (- 1,0), F 2 (1,0) ,所以 F 1P 1 = ( x1 +1, y1 ), F 2P 2 = (- x1 - 1, y1 ) ,
2 2 由F 1P 1^ F 2P 2 得: - ( x1 +1) + y1 = 0 ,

y

由椭圆方程得 1 -

x12 = ( x1 +1)2 , 2
4 或 x1 = 0 . 3

即: 3x12 + 4x1 = 0 ,解得, x1 = -

C

当 x1 = 0 时, P 1, P 2 重合,此时题设要求的圆不存在; 当 x1 = -

4 时,过 P 1, P 2 分别与 F 1P 1, F 2P 2 垂直的直线的交点即为圆 3

P1 F1 D

P2 O F2 x

y 1 ? y0 y 1 ? ?1 , 心 C ,设 C (0, y0 ) ,由 CP 1 ?F 1P 1得 x1 x1 ? 1
y1 ? x1 ? 1 ? 1 5 , y0 ? 3 3

C 的切线,且 F1P 由F 1P 1, F 2P 2 是圆 1^ F 2P 2 ,知 CP 1 ^ CP 2,
又 CP 1 = CP 2 , 故圆 C 的半径 CP 1 =

2 4 2 PP . 1 2 = 2 | x1 |= 2 3
2

综上,存在满足题设条件的圆,其方程为 x ? ( y ? ) ?
2

5 3

32 . 3


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