2014届高三数学(理)一轮复习课后作业(二十五) 正弦定理、余弦定理的应用举例

课后作业(二十五) 正弦定理、 余弦定理 的应用举例
一、选择题

图 3-8-9 1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩 A,B(如图 3 -8-9),要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测得 BC= 50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算出 A,B 两点的距离为( ) A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m

25 2 D. 2 m 2.一船向正北航行, 看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一 条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60°,另一灯塔在船 的南偏西 75°,则这艘船的速度是每小时( ) A.5 海里 B.5 3海里 C.10 海里 D.10 3海里

图 3-8-10 3. (2013· 广州模拟)一艘海轮从 A 处出发, 以每小时 40 海里的速度沿东偏南 50°方向直线航行,30 分钟后到达 B 处.在 C 处有一座灯塔,海轮在 A 处观察 灯塔,其方向是东偏南 20°,在 B 处观察灯塔,其方向是北偏东 65°,那么 B、 C 两点间的距离是( ) A.10 2海里 B.10 3海里 C.20 2海里 D.20 3海里

图 3-8-11 4.如图 3-8-11 所示,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海 里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲 船的南偏西 30°相距 10 海里 C 处的乙船, 乙船立即朝北偏东θ +30°角的方向 沿直线前往 B 处营救,则 sin θ 的值为( ) 21 2 3 5 7 A. 7 B. 2 C. 2 D. 14

图 3-8-12 5.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度为 15°的看台上,同一列上 的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 60°和 30°,第一排和最后一 排的距离为 10 6 m(如图 3-8-12 所示),则旗杆的高度为( A.10 m B.30 m C.10 3 m )

D.10 6 m

二、填空题 6.甲、乙两楼相距 20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望 乙楼顶的俯角为 30°,则乙楼的高是________米. 7.在地上画一个∠BDA=60°,某人从角的顶点 D 出发,沿角的一边 DA 行走 10 米后, 拐弯往另一方向行走 14 米正好到达∠BDA 的另一边 BD 上的一点, 我们将该点记为点 B,则 B 与 D 之间的距离为________米.

图 3-8-13 8.如图 3-8-13,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平 面内的两个测点 C 与 D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60°,则塔高 AB=________.

三、解答题

图 3-8-14 9.(2013· 佛山调研)如图 3-8-14,某观测站 C 在城 A 的南偏西 20°的方 向, 从城 A 出发有一条走向为南偏东 40°的公路, C 处观测到距离 C 处 31 km 在 的公路上的 B 处有一辆汽车正沿公路向 A 城驶去,行驶了 20 km 后到达 D 处, 测得 C,D 两处的距离为 21 km,这时此车距离 A 城多少千米?

图 3-8-15 10.如图 3-8-15,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B, D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别 为 75°,30°,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试 探究图中 B,D 间距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 间的距离(计算结 果精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

图 3-8-16 11.(2013· 惠州模拟)某城市有一块不规则的绿地如图 3-8-16 所示,城建 部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状 分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14,BC=10,AC=16,∠C=∠D. (1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小 王谁的设计使建设费用最低,请说明理由.

解析及答案
一、选择题 1. 【解析】 AB=50 2. 【答案】 2. A 在△ABC 中,由正弦定理 BC AB = , sin 30° sin 45°

【解析】 如图,依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD= ∠CDA=15°,从而 CD=CA=10,在直角三角形 ABC 中,得 AB=5,于是这 5 艘船的速度是0.5=10(海里/小时). 【答案】 C 3. 【解析】 由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,从而 ∠ACB=45°. AB 在△ABC 中,由正弦定理,得 BC= ×sin 30°=10 2. sin 45° 【答案】 A 4.

【解析】 连接 BC.在△ABC 中,AC=10,AB=20,∠BAC=120°,由余 弦定理,得 BC2=AC2+AB2-2AB· cos 120°=700,∴BC=10 7, AC·

再由正弦定理,得 21 ∴sin θ= 7 . 【答案】 A 5.

BC AB = , sin∠BAC sin θ

【解析】 如图,在△ABC 中,∠ABC=105°, 所以∠ACB=30°. 由正弦定理得 10 6 BC = , sin 30° sin 45°

2 所以 BC=20 6× 2 =20 3(m). 3 在 Rt△CBD 中,CD=BCsin 60°=20 3× 2 =30(m). 【答案】 B 二、填空题 6.

【解析】

如图,依题意甲楼高度 AB=20tan 60°=20 3米,又 CM=DB

=20 米,∠CAM=60°. 1 20 3 所以 AM=CM· = 3 米, tan 60° 20 3 40 3 所以乙楼的高 CD=20 3- 3 = 3 米. 40 3 【答案】 3 7.

【解析】 如图所示,设 BD=x m, 则 142=102+x2-2×10×x×cos 60°, ∴x2-10x-96=0,∴x=16. 【答案】 16 8. 【解析】 设 AB=h,在△ABC 中 h tan 60°=BC, 3 ∴BC= 3 h, 在△BCD 中,∠DBC=180°-15°-30°=135°, CD BC 由正弦定理得 = , sin∠DBC sin∠BDC 3 3h 30 即 = , sin 135° sin 30° 解得 h=15 6. 【答案】 15 6

三、解答题 9. 【解】 在△BCD 中,BC=31,BD=20,CD=21, DB2+DC2-BC2 1 由余弦定理 cos∠BDC= =-7, 2DB·DC 1 4 3 所以 cos∠ADC=7,sin∠ADC= 7 , 在△ACD 中,由条件知 CD=21,A=60°, 3 1 1 4 3 5 3 所以 sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)= 2 ×7+2× 7 = 14 , AD CD 由正弦定理 =sin A, sin∠ACD 所以 AD= 21 5 3 × =15, 3 14 2

故这时此车距离 A 城 15 千米.

10. 【解】 在△ACD 中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°, 所以 CD=AC,又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线, 所以 BD=BA. AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC 即 AB= ACsin 60° 3 2+ 6 = 20 , sin 15° 3 2+ 6 20 ≈0.33 km.

因此,BD=

故 B,D 间的距离约为 0.33 km. 11. 【解】 (1)在△ABC 中,由余弦定理得 2 AB =AC2+BC2-2AC· BCcos C=356-320cos C, 在△ABD 中, 由余弦定理及∠C=∠D 整理得 AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos D=392-392cos C, 由①②得:356-320cos C=392-392cos C, 1 整理可得,cos C=2, 又∠C 为三角形的内角,所以 C=60°, 又∠C=∠D,AD=BD, 所以△ABD 是等边三角形, 故 AB=14, 即 A、B 两点的距离为 14. (2)小李的设计符合要求. 1 理由如下:S△ABD=2AD·BDsin D, 1 S△ABC=2AC·BCsin C, 因为 AD· BD>AC· BC, 所以 S△ABD>S△ABC, 由已知建造费用与用地面积成正比, 故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 因此小李的设计符合要求.






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