2014高考数学 (知识整合+方法技巧+例题分析)应用问题拿分题训练

2014 高考数学“拿分题”训练:应用问题的题型与方法
数学应用性问题是 历年高考命题的主要题型之一, 也是考生失分较多的一种题型. 高考 中一般命制一道解答题和两道选择填 空题.解答这类问题的要害是能阅读、理解陈述的材料, 深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,能结合应用所学数学知识、思 想方法解决问题,包括解决带有实际意义的或者相关学科、生产、生活中的数学问题,并能 用数学语言正确的加以表述.考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上.实 际问题转化为数学问题,关键是提高阅读能力即数学审题能力,审出函数、方程、不等式、 等式,要求我们读懂材料,辨析文字叙述所反应的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学 实质,抽象其中的数量关系,将文字语言叙述转译成数学式符号语言,建立对应的数学模型 解答.可以说,解答一个应用题重点要过三关:一是事理关,即读懂题意,需要一定的阅读理 解能力;二是文理关,即把文字语言转化为数学的符号语言;三是数理关,即构建相应的数 学模型,构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力. 由于数学问题的广泛性,实际问题的复杂性,干扰因素的多元性,更由于实际问题的专 一性,这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求,在陌生的情景中找出本质的内容,转化 为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题. 一、知识整合 1. “考试大纲”对于“解决实际问题的能力”的界定是:能阅读、理解对问题进行陈述 的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括提炼、解决在相关学科、生 产、生活中的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述.并且指出:对数学应用问题,要把 .......... 握好提出问题所涉及的数学知识和方法的深度和广度,切合中学数学教学实际. .................................. 2.应用问题的“考试要求”是考查考生的应用意识和运用数学知识与方法来分析问题解 决问题的能力,这个要求分解为三个要点: (1) 、要求考生关心国家大事,了解信息社会,讲究 联系实际,重视数学在生产、生活及 科学中的应用,明确“数学有用,要用数学” ,并积累处理实际问题的经验. (2) 、考查理解语言的能力,要求考生能够从普通语言中捕捉信息,将普通语言转化为数 学语言,以数学语言为工具进行数学思维与交流. (3) 、考查建立数学模型的初步能力,并能运用“考试大纲”所规定的数学知识和方法来 求解. 3.求解应用题的一般步骤是(四步法) : (1) 、读题:读懂和深刻理解,译为数学语言,找出主要关系; (2) 、建模:把主要关系近似化、形式化,抽象成数学问题; (3) 、求解:化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4) 、评价:对结果进行验证或评估,对错误加以调节,最后将结果应用于现实,作出解 释或验证. 4.在近几年高考中,经常涉及的数学模型,有以下一些类型:数列模型、函数模型、不 等式模型、三角模型、排列组合模型等等. Ⅰ.函数模型 函数是中学数学中最重要的一部分内容,现实世界中普遍存在着的最优 化问题,常常可归结为函数的最值问题,通过建立相应的目标函数,确定变量的限制条件, 运用函数知识和方法去解决. ⑴ 根据题意,熟练地建立函数模型; ⑵ 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型. Ⅱ.几何模型 诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题,常 常需要应用几何图形的性质,或用方程、不等式或用三角函数知识来求解.
-1-

Ⅲ.数列模型 在经济活动中,诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年(月) 份有关的实际问题,大多可归结为数列问题,即通过建立相应的数列模型来解决.在解应用题 时,是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关;二是看是否符合一定的规律,可先从 特殊的情形入手,再寻找一般的规律. 二、例题分析 例 1. (1996 年全国高考题)某地现有耕地 10000 公顷,规划 10 年后粮食单产比现有增 加 22%,人均粮食产量比现在提高 10%,如果人口年增长率为 1%,那么耕地每年至多只能 减少多少公顷(精确到 1 公顷)? (粮食单产=

总产量 耕地面积



人均粮食产量 =

总产量 ) 总人口数

分析:此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,给出两组数据,要求考生从两条 线索抽象数列模型,然后进行比较与决策. 解:1.读题:问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率, 其中人均粮食占有量 P=

粮食单产×耕地面积 , 主要关系是:P 实际 ≥P 规划 . 总人口数

2.建模:设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷 ,现在粮食单产为 a 吨/公顷,现在人口数

a×10 4 10 为 m,则现在占有量为 ,10 年后粮食单产为 a(1+0.22),人口数为 m(1+0.01) , m
耕地面积为(10 -10x).
4

a (1 ? 0.22)(10 4 ? 10x ) a×10 4 ∴ ≥ (1+0.1) m m(1 ? 0.01)10
即 1.22(10 -10x)≥1.1×10 ×(1+0.01) 3.求解: x≤10 - ∵ ∴
10 3 4 4 10

11 . 3 10 ×10 ×(1+0.01) 122 .
1 2

(1+0.01) =1+C 10 ×0.01+C 10 ×0.01 +C 10 ×0.01 +?≈1.1046 x≤10 -995.9≈4(公顷)
3

2

3

3

4.评价:答案 x≤4 公顷符合控制耕地减少的国情,又验算无误,故可作答.(答略) 另解: 1.读题: 粮食总产量=单产×耕地面积; 粮食总占有量=人均占有量×总人口数; 而主要关系是:粮食总产量≥粮食总占有量 2.建模:设耕地面积平均每年至多减少 x 公顷,现在粮食单产为 a 吨/公顷,现在人口数

a×10 4 10 为 m,则现在占有量为 ,10 年后粮食单产为 a(1+0.22),人口数为 m(1+0.01) , m
耕地面积为(10 -10x).
4

-2-

a×10 4 ∴ a(1+0.22)×(1O -10x)≥ ×(1+0.1)×m(1+0.01) 10 m
4

3.求解: x≤10 - ∵ ∴

3

11 . 3 10 ×10 ×(1+0.01) 122 .
1 2 3

(1+0.01) 10 =1+C 10 ×0.01+C 10 ×0.01 2 +C 10 ×0.01 3 +?≈1.1046 x≤10 -995.9≈4(公顷)
3

4.评价:答案 x≤4 公顷符合控制耕地减少的国情,又验算无误,故可作答.(答略) 说明:本题主要是抓住各量之间的关系,注重 3 个百分率.其中耕地面积为等差数列,总 人口数为等比数列模型,问题用不等式模型求解.本题两种解法,虽都是建立不等式模型,但 建立时所用的意义不同,这要求灵活掌握,还要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定 理应用于近似计算等知识熟练.此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题. 此种题型属于不等式模型,也可以把它作为数列模型,相比之下,主要求解过程是建立不等 式模型后解出不等式. 在解答应用问题时,我们强调“评价”这一步不可少!它是解题者的自我调节,比如本 题求解过程中若令 1.01 ≈1,算得结果为 x≤98 公顷,自然会问:耕地减少这么多,符合国 家保持耕地的政策吗?于是进行调控,检查发现是错在 1.01 的近似计算上. 例 2. (1991 年上海高考题)已知某市 1990 年底人口为 100 万, 人均住房面积为 5m , 如果该市每年人口平均增长率为 2%, 每年平均新建住房面积为 10 万 m , 试求到 2000 年底
2 2 10 10

A M C D B

该市人均住房面积(精确到 0.01)? 分析:城市每年人口数成等比数列,每年住房总面积成等比数列,分别写出 2000 年后的 人口数、住房总面积,从而计算人均住房面积. 解:1.读题:主要关系:人均住房面积=

总住房面积 总人口数

2.建模:2000 年底人均住房面积为

100 ? 10 4 ? 5 ? 10 ? 10 4 ? 10 100 ? 10 4 ? (1 ? 2% )10

3.求解:化简上式=
10
1

6 , 10210 .
2

∵ 1.02 =1+C 10 ×0.02+C 10 ×0.02 +C 10 ×0.02 +?≈1.219 ∴ 人均住房面积为

2

3

3

6 ≈4.92 10210 .

4.评价:答案 4.92 符合城市实际情况,验算正确,所以到 2000 年底该市人均住房面积为 4.92m .
2

-3-

说明:一般地,涉及到利率、产量、降价、繁殖等与增长率有关的实际问题,可通过观察、 分析、归纳出数据成等差数列还是等比数列,然后用两个基础数列的知识进行解答.此种题型 属于应用问题中的数列模型. 例 3.如图,一载着重危病人的火车从 O 地出发,沿射线 OA 行驶,其中

1 tg? ? , 在距离 O 地 5a(a 为正数)公里北偏东β 角的 N 处住有一位医学专家,其中 3 3 sinβ = , 现有 110 指挥部紧急征调离 O 地正东 p 公里的 B 处的救护车赶往 N 处载上医学专家 5
全速追赶乘有重危病人的火车,并在 C 处相遇,经测算当两车行驶的路线与 OB 围成的三角形 OBC 面积 S 最小时,抢救最及时. (1)求 S 关于 p 的函数关系; (2)当 p 为何值时,抢救最及时. 解: (1)以 O 为原点,正北方向为 y 轴建立直角坐标系, 则 lOA : y ? 3x 设 N(x0,y0) ? x0 ? 5a sin ? ? 3a ,

y0 ? 5a cos ? ? 4a

? N (3a, 4a)
4a ( x ? p) 3a ? p

又 B(p ,0) ,∴直线 BC 的方程为: y ? 由?
? y ? 3x 得 C 的纵坐标 4a ? ? y ? 3a ? p ( x ? p ) ?

yc ?

12ap 5 1 6ap 2 5 ( p ? a ) ,∴ S ? ? | OB | ? | y c |? , ( p ? a) 3 p ? 5a 3 2 3 p ? 5a 3
S?
2 6ap 2 2ap 2 5 ∴ S ? 2a[t ? 25a ? 10a ] ? 40 a 2 ,∴当 ? , 令t ? p ? a (t ? 0) 9t 3 3 5 3 p ? 5a 3 p? a 3

(2)由(1)得

25a 2 5a 10a 时,上式取等号,∴当 10 , 即t ? , 此时p ? p ? a 公里时,抢救最及时. 9t 3 3 3 例 4. (1997 年全国高考题)甲、乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得 超过 c 千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 v (千米/时)的平方成正比,比例系数为 b;固定部分为 a 元. ① 把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出函数的定义域; ② 为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 分析:几个变量(运输成本、速度、固定部分)有相互的关联,抽象出其中的函数关系, 并求函数的最小值. 解: (读题)由主要关系:运输总成本=每小时运输成本×时间,
且仅当 t ? (建模)有 y=(a+bv )
2

S v

(解题)所以全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/时)的函数关系式是: y=S(

a +bv),其中函数的定义域是 v∈(0,c] . v
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a a b 整理函数有 y=S( +bv)=S(v+ ), v v k 由函数 y=x+ (k>0)的单调性而得: x


a a <c 时,则 v= 时,y 取最小值; b b a ≥c 时,则 v=c 时,y 取最小值. b a a a <c 时,行驶速度应为 v= ;当 ≥c 时, b b b



综上所述,为使全程成本 y 最小,当

行驶速度应为 v=c. 说明:1.对于实际应用问题,可以通过建立目标函数,然后运用解(证)不等式的方法求 出函数的最大值或最小值,其中要特别注意蕴涵的制约关系,如本题中速度 v 的范围,一旦 忽视,将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型,也可属于不等 式模型. 2.二次函数、指数函数以及函数 y ? ax ?

b (a>0,b>0)的性质要熟练掌握. x

3.要能熟练地处理分段函数问题. 例 5. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类 20)) 在某海滨城市附近海 面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南

? (? ? arccos

2 ) 方向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45°方向移动. 台 10

风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城 市开始受到台风的侵袭? 解:如图建立坐标系以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向. 在时刻: (1)台风中心 P( x ,
? 2 2 ? 20 ? t, ? x ? 300 ? ? 10 2 ? ? y ? ?300 ? 7 2 ? 20 ? 2 t. ? 10 2 ?

y )的坐标为

此时台风侵袭的区域是 ( x ? x) 2 ? ( y ? y ) ? [r (t )]2 , 其中 r (t ) ? 10t ? 60, 若在 t 时刻城市 O 受到台风 的侵袭,则有
(0 ? x) 2 ? (0 ? y ) 2 ? (10t ? 60) 2 .

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即 (300 ? 2 ? 20 ? 2 t ) 2 ? (?300 ? 7 2 ? 20 ? 2 t ) 2 10 2 10 2

? (10t ? 60) 2 , 即t 2 ? 36t ? 288 ? 0, 解得12 ? t ? 24
答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭. 例 6.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物 各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含有 56000 单位维生 素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) (1)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (2)确定 x,y,z 的值,使成本最低. 解:(1)依题意得 c ? 11x ? 9 y ? 4 z, 又x ? y ? z ? 100 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 (2)由 800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000, 及z ? 100 ? x ? y , 得

? 4 ? 320 ?3xx ? 6 y??130 , y ?

? c ? 400 ? 7 x ? 5 y .

? 7 x ? 5 y ? 450. ? c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850,

4x ? 当且仅当 3 x ? 6 y ? 320, 即 x ? 50 时等号成立., y ? 130 y ? 20
∴当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低为 850 元. 说明:线性规划是 高中数学的新增内容, 涉及此类问题的求解还可利用图解法. 例 7. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷文史类 19) ) 有三个新兴城镇,分别位于 A,B,C 三点处,且 AB=AC=13km,BC=10km.今计划合建一个 中心医院,为同时方便三镇,准备建在 BC 的垂直平分线上的 P 点处, (建立坐标系如图) (Ⅰ)若希望点 P 到三镇距离的平方和为最小, 点 P 应位于何处? (Ⅱ)若希望点 P 到三镇的最远距离为最小, 点 P 应位于何处? 分析:本小题主要考查函数,不等式等基本知识, 考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力. (Ⅰ)解:设 P 的坐标为(0, y ) ,则 P 至三 镇距离的平方和为

?

f ( y ) ? 2(25 ? y 2 ) ? (12 ? y ) 2 ? 3( y ? 4) 2 ? 146.
所以,当 y ? 4 时,函数 f ( y ) 取得最小值. 答:点 P 的坐标是 (0,4).

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? 25 ? y 2 , 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y |, (Ⅱ)解法一:P 至三镇的最远距离为 g ( x) ? ? ? ?| 12 ? y |, 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y | . ?

由 25 ? y 2 ?| 12 ? y | 解得 y ?
? 25 ? y 2 , 当y ? y * , ? g ( x) ? ? ?| 12 ? y |, 当y ? y * . ?

119 119 , 记 y* ? , 于是 24 24
25 ? y 2 在 [

因 为

y * ,??) 上 是 增 函 数 , 而

函数 g ( y ) 取得最小值. 答:点 P 的坐 | 12 ? y | 在(-?, y * ] 上是减函数. 所以 y ? y * 时, 标是 (0,

119 ); 24

? 25 ? y 2 , 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y |, 解法二:P 至三镇的最远距离为 g ( x) ? ? ? ?| 12 ? y |, 当 25 ? y 2 ?| 12 ? y | . ?

由 25 ? y 2 ?| 12 ? y | 解得 y ?
? 25 ? y 2 , 当y ? y * , ? g ( x) ? ? ?| 12 ? y |, 当y ? y * . ?

119 119 , 记 y* ? , 于是 24 24

函数 x ? g ( y ) 的图象如图 (a ) ,因此, 当 y ? y 时,函数 g ( y ) 取得最小值.答:点 P 的坐标是 (0,
*

119 ); 24
4

解法三:因为在△ABC 中,AB=AC=13,且, AC 2 ? OC 2 ? 12 ? 5 ? OC , ?ACB ? ? , 如图(b). 所以△ABC 的外心 M 在线段 AO 上,其坐标为 (0,

119 ), 24

且 AM=BM=CM. 当 P 在射线 MA 上,记 P 为 P1;当 P 在射线 MA 的反向延长线上,记 P 为 P2, 这时 P 到 A、B、C 三点的最远距离为 P1C 和 P2A,且 P1C≥MC,P2A≥MA,所以点 P 与外心 M 重合时,P 到三镇的最远距离最小. 答:点 P 的坐标是 (0,

119 ); 24

例 7. (2003 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷理工农医类 20) ) A、B 两个代表队进行乒乓球对抗赛,每队三名队员,A 队队员是 A1,A2,A3,B 队队员是 B1,B2,B3,按以往多次比赛的统计,对阵队员之间胜负概率如下: 对阵队员 A1 对 B1 A2 对 B2 A 队队员胜的概率 A 队队员负的概率

2 3 2 5

1 3 3 5

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A3 对 B3

2 5

3 5

现按表中对阵方式出场,每场胜队得 1 分,负队得 0 分,设 A 队、B 队最后所得总分分别 为ξ 、η (1)求ξ 、η 的概率分布; (2)求 Eξ ,Eη . 分析:本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念,考查运用概率知识解决实际 问题的能力. 解: (1)ξ 、η 的可能取值分别为 3,2,1,0.

P(? ? 3) ?
P(? ? 2) ?
P(? ? 1) ?

2 2 2 8 ? ? ? 3 5 5 75
2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75

2 3 3 1 2 3 1 3 2 2, ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5

1 3 3 3 P(? ? 0) ? ? ? ? 3 5 5 25

8 28 , P(η =1)=P(ξ =2)= 75 75 2 3 P(η =2)=P(ξ =1)= , P(η =3)=P(ξ =0)= . 5 25
根据题意知ξ +η =3,所以 P(η =0)=P(ξ =3)=

8 28 2 3 22 23 ; 因为ξ +η =3, 所以 E? ? 3 ? E? ? ? 2? ? 1? ? 0 ? ? . 75 75 5 25 15 15 例 8. (2004 年湖北卷)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3, 一 旦发生,将造成 400 万元的损失. 现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用. 单独采用 甲、 乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元, 采用相应预防措施后此突发事件不发生 的概率为 0.9 和 0.85. 若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用, 请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值.) ...
(2)E? ? 3 ? 解:①不采取预防措施时,总费用即损失期望为 400×0.3=120(万元) ; ②若单独采取措施甲,则预防措施费用为 45 万元,发生突发事件的概率为 1-0.9=0.1,损失期望值为 400×0.1=40(万元) ,所以总费用为 45+40=85(万元) ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为 30 万元,发生突发事件的概率为 1- 0.85=0.15, 损失期望值为 400×0.15=60(万元) ,所以总费用为 30+60=90(万元) ; ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为 45+30=75(万元) ,发生突发事件 的概 率为 (1-0.9) (1-0.85) =0.015, 损失期望值为 400×0.015=6 (万元) 所以总费用为 75+6=81 , (万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使 总费 用最少. 例 9.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,
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那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解:设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆, b3 万 辆,??,每年新增汽车 x 万辆,则

b1 ? 30 , bn ?1 ? 0.94bn ? x
所以,当 n ? 2 时, bn ? 0.94bn ?1 ? x ,两式相减得: bn ?1 ? bn ? 0.94?bn ? bn ?1 ? (1)显然,若 b2 ? b1 ? 0 ,则 bn ?1 ? bn ? bn ? bn ?1 ? ? ? 0 ,即 bn ? ? ? b1 ? 30 ,此 时 x ? 30 ? 30 ? 0.94 ? 1.8. (2)若 b2 ? b1 ? 0 ,则数列 ?bn ?1 ? bn ? 为以 b2 ? b1 ? x ? 0.06b1 ? x ? 1.8 为首项,以

0.94 为公比的等比数列,所以, bn ?1 ? bn ? 0.94 n ? ? x ? 1.8? .
( i ) 若 b2 ? b1 ? 0 , 则 对 于 任 意 正 整 数 n , 均 有 bn ?1 ? bn ? 0 , 所 以 ,

bn ?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,此时, x ? 30 ? 30 ? 0.94 ? 1.8.
(ii)当 x ? 1.8万 时, b2 ? b1 ? 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 bn ?1 ? bn ? 0 ,所以,

bn ?1 ? bn ? ? ? b1 ? 30 ,
由 bn ?1 ? bn ? 0.94 n ? ? x ? 1.8? ,得

bn ? ?bn ? bn ?1 ? ? ?bn ?1 ? bn ? 2 ? ? ? ? ?b2 ? b1 ? ? b1 ?

?b2 ? b1 ??1 ? 0.94 n?1 ?
1 ? 0.94

? 30

?x ? 1.8??1 ? 0.94 n?1 ? ? 30 , ?
0.06
要使对于任意正整数 n ,均有 bn ? 60 恒成立,



?x ? 1.8??1 ? 0.94 n?1 ? ? 30 ? 60
0.06
x?
上式恒成立的条件为: x ??

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得

1.8 ? 1.8 , 1 ? 0.94 n

? 1.8 ? ? 1.8 ? ,由于关于 n 的函数 n ? 1 ? 0.94 ? 在n?N上的最小值

f ?n ? ?

1.8 ? 1.8 单调递减,所以, x ? 3.6 . 1 ? 0.94 n
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说明:本题是 2002 年全国高考题,上面的解法不同于参考答案,其关键是化归为含参数 的不等式恒成立问题,其分离变量后又转化为函数的最值问题. 例 10. (2004 年重庆卷)某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量 x (吨)与每吨产 品 的 价 格 p ( 元 / 吨 ) 之 间 的 关 系 式 为 : p ? 24200 ?

R ? 50000 ? 200x (元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多
少?(利润=收入─成本) 解:每月生产 x 吨时的利润为

1 2 x ,且生产 x 吨的成本为 5

1 f ( x) ? (24200 ? x 2 ) x ? (50000 ? 200 x) 5

1 ? ? x 3 ? 24000 x ? 50000 ( x ? 0) 5 3 由f ?( x) ? ? x 2 ? 24000 ? 0解得x1 ? 200, x 2 ? ?200(舍去). 5

因f ( x)在[0,??)内只有一个点x ? 200使f ?( x) ? 0 ,故它就是最大值点,且最大值为:
1 f (200) ? ? (200) 3 ? 24000 ? 200 ? 50000 ? 3150000(元) 5
答:每月生产 200 吨产品时利润达到最大,最大利润为 315 万元.

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