广东高考专题训练-圆锥曲线


广东高考专题训练--圆锥曲线
60、)已知直线 x ? y ? 1 ? 0与椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,M 是线段 a2 b2
1 x 上. 2

AB 上的一点, AM ? ? BM ,且点 M 在直线 l : y ? (Ⅰ )求椭圆的离心率;

(Ⅱ )若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x 2 ? y 2 ? 1 上,求椭圆的方程. 解: )由 AM ? ? BM 知 M 是 AB 的中点, (Ⅰ 设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? x ? y ? 1 ? 0, ? 由 ? x2 y2 ? 2 ? 1. ? 2 b ?a

得 : ( a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 ? a 2 b 2 ? 0

2a 2 2b 2 x1 ? x 2 ? 2 , y1 ? y 2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 , a ? b2 a ? b2
∴ 点的坐标为 ( M

a2 b2 , 2 ) a2 ? b2 a ? b2 a2 2b 2 ? 2 ?0 a2 ? b2 a ? b2

4分

又 M 点的直线 l 上:?

? a 2 ? 2b 2 ? 2(a 2 ? c 2 )
?e ? c 2 ? . a 2

? a 2 ? 2c 2
7分

(Ⅱ )由(Ⅰ )知 b ? c ,不妨设椭圆的一个焦点坐标为 F (b,0),设F (b,0) 关于直线 l:

y?

1 x 上的对称点为 ( x0 , y0 ) , 2

? y0 ? 0 1 3 ? ? x ? b ? 2 ? ?1, ? x0 ? 5 b ? ? 则有 ? 0 解得 : ? ? x0 ? b ? 2 ? y 0 ? 0. ? y ? 4 b. ? 0 5 ? 2 ? 2 ?
由已知 x0 ? y 0 ? 1, ? ( b) ? ( b) ? 1,
2 2 2 2

10 分

3 5

4 5

?b 2 ? 1 ,∴ 所求的椭圆的方程为

x2 ? y2 ? 1 2

12 分

61、在△ABC 中 AC ? 2 3 ,B 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 x 轴上方的顶点, l 是双曲线 5 4

x2 ? y 2 ? ?2 位于 x 轴下方的准线,当 AC 在直线 l 上运动时。
(1)求△ABC 外接圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; (2)过定点 F (0, ) 作互相垂直的直线 l1 , l2 , 分别交轨迹 E 于 M、 和 R、 求四边形 MRNQ N Q, 面积的最小值。 解: (1)由椭圆方程

3 2

x2 y 2 ? ? 1 及双曲线方程 x2 ? y 2 ? ?2 可得点 B(0, 2), 直线 l 方程是 5 4

y ? ?1
且 ? AC ? 2 3 , AC 在直线 l 上运动。 可设 A(m ? 3, ?1), C( m ? 3, ?1), 则 AC 的垂直平分线方程为 x ? m ① ②

AB 的垂直平分线方程为 y ?

1 m? 3 m? 3 ? (x ? ) 2 2 2

? P 是△ABC 的外接圆圆心,? 点 P 的坐标 ( x, y ) 满足方程①和②
由①和②联立消去 m 得 y ?

x2 6
2

故圆心 P 的轨迹 E 的方程为 x ? 6 y (2)由图可知,直线 l1 和 l2 的斜率存在且不为零,设 l1 的方程为 y ? kx ?

3 , 2

1 3 ?l1 ? l2 ,? l2 的方程为 y ? ? x ? k 2

?y=kx+2 由? 1 ?y=6x
3
2

得 x ? 6kx ? 9 ? 0
2

? △= 26k 2 ? 36 ? 0,?直线 l1 与轨迹 E 交于两点。
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 6k , x1 x2 ? 9 。

?| MN |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? 36k 2 ? 36 ? 6(1 ? k 2 ).
同理可得: | RQ |? 6(1 ?

1 ). ? 四边形 MRNQ 的面积 k2

S?

1 1 1 | MN | ? | RQ |? 18(k 2 ? 2 ? 2) ? 18(2 ? 2 k 2 ? 2 ) ? 72. 2 k k
当且仅当 k ?
2

1 ,即 k ? ?1 时,等号成立。 k2

故四边形 MNRQ 的面积的最小值为 72。 (13 分)

G 63、 如图, 已知 E、F 为平面上的两个定点, 为动点, EF |? 6 , FG |? 10 且 2EH ? EG , | |

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ??? ? ? HP? ? 0 ( P 是 HP 和 GF 的交点) GE ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点 P 的轨迹方程; ⑵若点 P 的轨迹上存在两个不同的点 A、B , 且线段 AB 的中垂线与 EF (或 EF 的延长线) ???? 9 相交于一点 C ,证明: | OC |? ( O 为 EF 的中点) 5
解:⑴如图 1,以 EF 所在的直线为 x 轴, EF 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系

y G P

y G P A H C E O F x

H

E

O

F

x

B
图1

图2

由题设 2EH ? EG , HP? GE ? 0

????

??? ??? ??? ? ? ? ??? ?

?| PG |?| PE | ,而 | PF | ? | PE |?| FG |? 10 ? 6
x2 y 2 ?点 P 是 以 E、F 为 焦 点 、 长 轴 长 为 10 的 椭 圆 , 故 点 P 的 轨 迹 方 程 为 ? ? 1 25 16

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

(6 分) ⑵如图 2,设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), C( x0,0) ,? x1 ? x2 ,且 | CA |?| CB | , 即 ( x1 ? x0 )2 ? y12 ? ( x2 ? x0 )2 ? y22 ,又 A、B 在轨迹上,

??? ?

??? ?

?

16 x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 即 y12 ? 16 ? x12 , 25 25 16 25 16

y2 2 ? 16 ?

16 2 x2 25

代入整理得:

2( x2 ? x1 )?x0 ?

9 ( x2 2 ? x12 ) 25

?
(10 分)

x1 ? x2



?

x0 ?

9( x1 ? x2 ) 50

? ?5 ≤ x1 ≤ 5 , ?5 ≤ x2 ≤ 5 ,? ?10 ≤ x1 ? x2 ≤10 ? x1 ? x2 , ?10 ? x1 ? x2 ? 10 ??
???? 9 9 9 ? x0 ? ,即 | OC |? 。 5 5 5
2 2

65、已知圆 A: ( x ? 2) ? y ?

25 1 2 2 ,圆 B: ( x ? 2) ? y ? ,动圆 P 与圆 A、圆 B 4 4

1 均外切,直线 l 的方程为 x=a(a≤ ). 2 (Ⅰ) 求动圆 P 的圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 B 的直线与曲线 C 交于 M、N 两点, (1)求|MN|的最小值; (2)若 MN 的中点 R 在 l 上的射影 Q 满足 MQ⊥NQ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)设动圆 P 的半径为 r ,则│PA│= r ?

5 1 ,│PB│= r ? , 2 2

∴│PA│-│PB│=2. 故点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支, 其方程为 x ?
2

y2 ? 1 ( x ≥1). 3

………………………………………3 分

(Ⅱ)(1)设 MN 的方程为 x ? m y ? 2 ,代入双曲线方程,得

?3m

2

? 1 y 2 ? 12my ? 9 ? 0 .

?

?3m 2 ? 1 ? 0, 3 3 ? ?m? 由 ?? ? 0, ,解得 ? . ………………………………………5 分 3 3 ?y y ? 0 ? 1 2
设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? ,则

MN ? 1 ? m 2 y1 ? y 2 ?
当 m ? 0 时, MN min ? 6 .
2

6 m2 ? 1 ? 4 ? ? 2? ? 1? . 2 2 1 ? 3m ? 1 ? 3m ?
………………………………………7 分

?

?

(2)由(1)知 R?

6m ? 6m ? ? 2 ? , Q? a , . , 2 2 ? 2 ? ? 1 ? 3m 1 ? 3m ? ? 1 ? 3m ?
1 MN . 2

由 MQ ? NQ ,知 RQ ?

所以

2 3 m2 ? 1 3m 2 ? 1 2 ?a ? ? 1? ,从而 a ? . 2 2 2 1 ? 3m 1 ? 3m 3m ? 1 1 ? 3m 2

?

?

由?

3 3 ,得 a ? ?1 . ?m? 3 3

………………………………………13 分

另解: (1)若 MN 的斜率存在,设斜率为 k ,则直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,代入双曲线方 程,得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0 .

?3 ? k 2 ? 0, ? ?? ? 0, 2 ? 2 由 ? x ? x ? ? 4k ? 0, 解得 k ? 3 . 1 2 3?k2 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 x 2 ? ? ? 0. 3? k2 ?
设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y2 ? ,则

…………………………………5 分

MN = 1 ? k 2 │ x1 ? x2 │=6+

24 ? 6. k ?3
2

当直线斜率不存在时, x1 ? x 2 =2,得 y1 =3, y 2 =-3.此时 MN =6. 所以 MN min =6. (2)当 MQ⊥NQ 时,│RQ│= ……………………………………………7 分

MN 2

= x R ? a .①



MB NB MB ? NB = =2,即 =2 , 1 1 x M ? xN ? 1 x M- xN ? 2 2

所以│MN│= 4 x R ? 2 , 故 x R ?

MN ? 2 4

.



将②代入①,得│MN│=2- 4 a . 由│MN│=2- 4 a ? 6 ,得 a ≤-1. ………………………………………13 分 2 66、已知抛物线 x =4y 上的点 P(非原点)处切线与 x、y 轴分别交于 Q、R 点,F 为抛物线的 焦点。 (Ⅰ) 若PQ ? ? PR , 求?的取值范围; (Ⅱ)若抛物线上的点 A满足PF ? ? FA .求△APR面积的最小值,并写出 此时过 P 点的切线方程。 y

t 解: (Ⅰ)设 P(t , )(t ? 0),则PR所在直线的方程为: 4 y? t2 t ? ?x ? t ? 4 2

2

A

F . 。 R Q

P x

令 y ? 0得Q? ,0 ? , 令x ? 0得R ? 0,?

?t ? ?2 ?

? ?

t2 ? ? 4? ?

? t t2 ? ? t2 ? ? PQ ? ? ? ,? ? , PR ? ? ? t ,? ? ? 2 4? ? 2? ? ? ? ?
? PQ ? 1 ?1 ? PR ,即?的取值范围为 ? 。 ? 2 ?2?

t2 ?1 x (Ⅱ)由( ) 知 PA 的方程为: y ? 1 ? 4 Ⅰ t

? t2 ?1 ? ? ? 4 4? 4 联立? y ? 1 ? x 得点A的坐标为? - , 2 ? t ? t t ? ? ? x2 ? 4y ?
而S △ APR ? 1 1 t2 4 RF ? x P ? x A ? 1 ? ?t? 2 2 4 t

=

1 t3 4 ? 2t ? 2 4 t
显然只需考查函数 f ?t ? ?

1 ? t3 ? ? 2t ? 2? 4 ?

4? ?当t ? 0时的最小值。 t? ?

1?3 4? 2 3 因为f / ?t ? ? ? t 2 ? 2 ? 2 ?, 令f / ?t ? ? 0得t ? 2?4 3 t ?
? 2 3? ?2 3 ? ?时,f / ?t ? ? 0, t ? ? 当t ? ? 0, ,?? ?时,f / ?t ? ? 0 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 所以f ?t ?当且仅当t ? ? 2 3 ? 16 3 2 3 ?? 时取得最小值 ? f? 3 3 ? 9 ? ?

又因为

1 t3 4 2 3 ? 2t ? 是关于 t的 偶 函 数 , 同 样t当 ? ? 时,也取得最小值 2 4 t 3

16 3 。 9
故此时过 P 点的切线 PR 的方程为:

y?

3 1 3 x ? 或y ? — x ?1 3 3 3

68、已知圆 M: (x+ 5 )2+y2=36 及定点 N( 5 ,0) ,点 P 是圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足 NP ? 2NQ, GQ ? NP ? 0 . (1)求点 G 的轨迹 C 的方程. (2) 过点 K 0) (2, 作直线 l, 与曲线 C 交于 A、 两点, 是坐标原点, OS ? OA ? OB , B O 设 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等?若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,说明理由. 解: (1) ?

? NP ? 2 NQ ? ?GQ ? NP ? 0 ?

? Q 为 PN 的中点,且 GQ ? PN ? GQ 是 PN 的中垂线.

∴ | PG |?| GN | . 又 | GM |?| GP |?| GM |?| GN |?| PM |? 6. ∴点 G 的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆, a ? 3, c ? 5.

x2 y2 ? ? 1. …………………………………… 分) ∴ b ? a - c ? 2,? G 的轨迹方程是 (5 9 4
2 2

(2)?OS ? OA ? OB ? 四边形 OASB 为平行四边形,假设存在直线 l ,使 | OS |?| OB | ;

则四边形 OASB 为矩形.? OA ? OB ? 0. 若直线 l 的斜率不存在,则 l 的方程为 x ? 2 .

?x ? 2 ?x ? 2 ? 2 ? 由? x ?? y2 2 5 ? 1 ?y ? ? ? ? 4 ?9 3 ?
? OA ? OB ? 16 ? 0 ,这与 OA? OB =0 矛盾,故 l 的斜率存在.………………………(7 分) 9

设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ) 、 B(x2 , y2 ) .

? y ? k ( x ? 2) ? 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36k 2 x ? 36(k 2 ? 1) ? 0 ?x y2 ? ?1 ?9 4 ?
? x1 ? x2 ? 36k 2 36(k 2 ? 1) , x1 x2 ? . 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4
2

……………………… 分) (9

20k 2 ? y1 y 2 ? [k ( x1 ? 2)][k ( x 2 ? 2)] ? k [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? 2 . 9k ? 4
又? OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0,

36(k 2 ? 1) 20k 2 ? 2 ? 0 ……………………… 分) (12 9k 2 ? 4 9k ? 4

3 ?k ? ? . 2
∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或 3x ? 2y - 6 ? 0 满足条件. ……………………(13 分) x2 70、已知直线 l: y=2x- 3与椭圆 C: 2 +y2= 1 (a>1)交于 P、Q 两点, 以 PQ 为直径的圆 a 过椭圆 C 的右顶点 A. 3 (1) 设 PQ 中点 M(x0,y0), 求证: x0< 2 (2)求椭圆 C 的方程. x2 解: (1)设直线 l: y=2x- 3与椭圆 C: 2 +y2= 1 (a>1)交于 P(x1,y1),Q(x2,y2), 右顶点 A(a,0), a 2 2 2 2 将 y=2x- 3代入 x +a y -a =0 中整理得(4a2+1)x2-4 3a2x+2a2=0 4 3a2 x1+x2= 2 ① 4a +1 2a2 x1x2= 2 ② 4a +1 x1+x2 2 3a2 3 3 3 ∵M(x0,y0)为 PQ 中点 ∴x0= = 2 = - 故 x0< 2 2 2(4a2+1) 2 4a +1 → → (2)依题意: PA·QA=0, 则(x1-a)(x2-a)+y1y2=0 又 y1=2x1- 3, y2=2x2- 3 故 (x1-a)(x2-a)+(2x1- 3)(2x2- 3)=0 由①②代入③ 得: 4a4-4 3a3-a2+3=0 ∴(a- 3)(4a2-a- 3)=0 ∵a>1, 则 4a2-a- 3>0 故 a= 3

? ? ?

x2 故所椭圆方程为 + y2=1 3 71、已知椭圆 点. (1)若直线 l 的倾斜角 ? ?

x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点。过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两 2

?
4

,求 AB ;

(2)求弦 AB 的中点 M 的轨迹; (3)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐标的取值范围.

x2 ? y 2 ? 1联立得 解: (1)直线 l 方程为 y ? x ? 1 与 2 4 4 2 ………………4 分 3x 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? x2 ? ? AB ? 3 3 (2)设弦 AB 的中点 M 的坐标为 x,y),A(x1,y1),B(x2,y2) 依题意有 (

? x1 2 2 ? y1 ? 1 ? 2 ? ? x2 2 2 ? y2 ? 1 ? 1 2 (x ? ) 2 ? 2 ? 2 2 2 ? y ?1 ? x1 ? x 2 ? 2 x ? x ? x ? 2 y ? 0 ? 1 1 ?y ? y ? 2y 1 2 ? 4 8 ? y1 ? y 2 y ? x ? x ? x ?1 2 ? 1 ? ?
( 所以弦 AB 的中点 M 的轨迹是以 ?
长 为

1 , 为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 1,短轴 0) 2 2 的 椭 2
…………………8 分

圆。 (3)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0),

x2 ? y 2 ? 1, 整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0. 2 ? 直线 AB 过椭圆的左焦点 F,? 方程有两个不等实根。
代入 记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB 中点 N ( x0 , y0 ), 则 x1 ? x2 ? ?

4k 2 , 2k 2 ? 1

1 ? AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y ? y0 ? ? ( x ? x0 ). 令 y ? 0, 得 k 2k 2 k2 k2 1 1 xG ? x0 ? ky0 ? ? 2 ? 2 ?? 2 ?? ? 2 . 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1 2 4k ? 2 1 ? k ? 0,?? ? xG ? 0, 2 1 …………………13 分 ? 点 G 横坐标的取值范围为 (? , 0). 2

73、)设 F1 , F2 分别是椭圆的

x2 ? y 2 ? 1 左,右焦点。 4
5 , 4

(Ⅰ)若 P 是第一象限内该椭圆上的一点,且 PF1 ? PF2 ? 求点 P 的坐标。

(Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线与椭圆交于不同的两点 A, B ,且 ?AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围。 解: (Ⅰ)易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 。

? F1 (? 3,0), F2 ( 3,0).设p( x, y)(x ? 0, y ? 0).则
5 x2 PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x,? y) 3 ? x,? y ) ? x 2 ? y 2 ? 3 ? ? , 又 ? y ? 1, ( ( 4 4
………………………………3 分

7 ? 2 2 ?x ? 1 ?x 2 ? 1 ?x ? y ? 4 3 ? ? ? 联立 ? 2 ,解得 ? 2 3 ? ? 3 , p (1, 2 ) ………………5 分 ?x ? y2 ? 1 ?y ? ?y ? 4 ? 2 ? ?4 ?
(Ⅱ)显然 x ? 0不满足题设条件 …………………………………………6 分 可设 l的方程为 ? kx ? 2, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). y

? x2 ? ? y2 ? 1 联立 ? 4 ? x 2 ? 4(kx ? 2) 2 ? 4 ? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 12 ? 0 ? y ? kx ? 2 ?
? x1 x 2 ? 12 16 k , x1 ? x 2 ? ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
2 2

……………………………………7 分

由 ? ? (16k ) ? 4 ? (1 ? 4k ) ? 12 ? 0 得k ?
2

16k 2 ? 3(1 ? 4k 2 ) ? 0,4k 2 ? 3 ? 0
…………………………………………8 分

3 4

1 ○

又 ?AOB为锐角? cos?AOB ? 0 ? OA ? OB ? 0 ,

?OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0
2

………………………………………………9 分

又 y1 y2 ? (kx1 ? 2)(kx2 ? 2) ? k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

? x1 x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4

? (1 ? k 2 ) ?

12 16 12(1 ? k 2 ) 2k ? 16k ? 2k ( ? )?4? ? ?4 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
……………………………………11 分

?

4(4 ? k 2 ) 1 2 ? 0,? ? ? k 2 ? 4. ○ 2 4 1 ? 4k

1 2 综○○可知

3 3 3 ? k 2 ? 4,? k的取值范围是(? 2, ? )( , …………12 分 ? 2) 4 2 2

74、在 ?ABC 中,已知 A(0, 2) , B(0, ?2) , AC 、 BC 两边所在的直线分别与 x 轴交 于原点同侧的点 M 、 N ,且满足 OM ? ON ? 4 。 (1)求点 C 的轨迹方程 E ; (2)若 Q 是 E 上任一点,动点 P 在线段 OQ 上,求 ( PA ? PB) ? PQ 的最小值。 解: (1)设点 C ( x, y )( x ? 0) , M ( x M ,0), N ( x N ,0) . 当 y ? 2 时,AC // x 轴, y ? ?2 时, BC // x 轴, 当 与题意不符, 所以 y ? ?2 ;

??? ??? ? ?

??? ?

C 由 A . .M 三点共线有

2x 2?0 2? y C , 解得 xM ? . 同理由 B . .N ? 2? y 0 ? xM 0 ? x

三点共线,解得 xN ?

2x . 2? y ? OM ? ON ? xM ? xN ?
2 2

? xM ? x N ? 0 ,

2x 2x ? ? 4, 2? y 2? y

化简得点 C 的轨迹方程为 x ? y ? 4( x ? 0) (2)解略。最小值为-2

y2 ? 1(0 ? b ? 1) 的左焦点为 F,左、右顶点分别为 A、C,上顶点为 B.过 b2 F、B、C 作⊙ P,其中圆心 P 的坐标为(m,n) . (Ⅰ)当 m+n>0 时,求椭圆离心率的范围; (Ⅱ)直线 AB 与⊙ 能否相切?证明你的结论. P 解: (Ⅰ)设 F、B、C 的坐标分别为(-c,0)(0,b)(1,0) , , ,则 FC、BC 的中垂 线分别为 1? c b 1 1 x? y ? ? ( x ? ) .………………………………………………2 分 2 2 b 2 联 立 方 程 组 , 解 出
75、已知椭圆 x2 ?

1? c ? ?x ? 2 , ? ……………………………………………………………4 分 ? 2 ?y ? b ? c. ? 2b ?

m?n ?

1 ? c b2 ? c (b-c)>0, ? ? 0 ,即 b ? bc ? b2 ? c ? 0 ,即(1+b) 2 2b

∴ b>c. ……………………………………………………………………………………6 分 从 而
b2 ? c 2





a 2 ? 2c 2





e2 ?

1 .……………………………………………………7 分 2 e?0 又





0?e?

2 . …………………………………………………………………8 分 2 ( Ⅱ ) 直 线 AB 与 ⊙ P 不





切.…………………………………………………………………9 分



k AB ? b



k PB

b2 ? c 2b ? 1? c 0? 2 b?



b2 ? c . ………………………………………………10 分 b (c ? 1)

如果直线 AB 与⊙ 相切, P 2 b ?c 则b · =-1. ………………………………………12 分 b (c ? 1) 解出 c=0 或 2,与 0<c<1 矛盾,…………………14 分 所以直线 AB 与⊙ 不能相切. …………………………………………15 分 P 评讲建议: 此题主要考查直线与直线、 直线与圆以及椭圆的相关知识, 要求学生理解三角形外接圆圆心 是三边中垂线的交点,从而大胆求出交点坐标,构造关于椭圆中 a,b,c 的齐次等式得离心 率的范围.第二小题亦可以用平几的知识:圆的切割线定理,假设直线 AB 与⊙ 相切,则 P 2 有 AB =AF×AC,易由椭圆中 a,b,c 的关系推出矛盾. 76、已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 在直线 l : x ? 2 y ? 0 上. (Ⅰ)求此椭圆的离心率; (Ⅱ)若椭圆的右焦点关于直线 l 的对称点的在圆 x2 ? y 2 ? 4 上,求此椭圆的方程.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点,且线段 AB 的中点 a 2 b2

? y ? ? x ? 1, ? 解: (1)设 A、B 两点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ).则由 ? x 2 y 2 得 ? 2 ? 2 ?1 b ?a

(a2 ? b2 ) x2 ? 2a2 x ? a2 ? a2b2 ? 0 , 根据韦达定理,得

x1 ? x2 ?

2a 2 2b 2 , y1 ? y2 ? ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 , a 2 ? b2 a ? b2

∴线段 AB 的中点坐标为(

a2 b2 ). , 2 a 2 ? b2 a ? b2

由已知得

a2 2b2 ? 2 ? 0,? a 2 ? 2b2 ? 2(a 2 ? c 2 ) ? a 2 ? 2c 2 2 2 2 a ?b a ?b

2 2 (2)由(1)知 b ? c, 从而椭圆的右焦点坐标为 F (b,0), 设 F (b,0) 关于直线 l : x ? 2 y ? 0
故椭圆的离心率为 e ? 的对称点为 ( x0 , y0 ), 则

y0 ? 0 1 x ?b y 3 4 ? ? ?1且 0 ? 2 ? 0 ? 0, 解得 x0 ? b且y0 ? b 。 由已知 x0 ? b 2 2 2 5 5

2 2 得 x0 ? y0 ? 4,?( b)2 ? ( b)2 ? 4,?b2 ? 4 ,故所求的椭圆方程为

3 5

4 5

x2 y2 ? ?1 . 8 4

77.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x 相交于不同的 A, B 两点. ??? ??? ? ? (Ⅰ)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 OA ? OB 的值; ??? ??? ? ? (Ⅱ)如果 OA ? OB ? ?4, 证明直线 l 必过一定点,并求出该定点. 解: (Ⅰ)由题意:抛物线焦点为(1,0) 设 l : x ? ty ? 1代入抛物线 2 ? 4x, 消去 x 得 y

y 2 ? 4ty ? 4 ? 0, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则 y1 ? y 2 ? 4t , y1 y 2 ? ?4 ,

??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty2 ? 1)(ty2 ? 1) ? y1 y2 ? t 2 y1 y2 ? t ( y1 ? y2 ) ? 1 ? y1 y2
= ? 4t ? 4t ? 1 ? 4 ? ?3
2 2

(Ⅱ)设 l : x ? ty ? b代入抛物线 2 ? 4 x 消去 x,得 y

y 2 ? 4ty ? 4b ? 0, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 y1+y2=4t ,y1y2=-4b。 ??? ??? ? ? ?OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ty1 ? b)(ty2 ? b) ? y1 y2 ? t 2 y1 y2 ? bt ( y1 ? y2 ) ? b2 ? y1 y2
= ? 4bt ? 4bt ? b ? 4b ? b ? 4b 。
2 2 2 2

令 b ? 4b ? ?4,? b ? 4b ? 4 ? 0 ? b ? 2 ,∴直线 l 过定点(2,0) 。
2 2

78、倾斜角为 60° 的一束平行光线,将一个半径为 3 的球投影在水平地面上,形成一个椭 圆.若以该椭圆的中心为原点,较长的对称轴为 x 轴,建立平面直角坐标系. (1)求椭圆的标准方程; (2)若球的某一条直径的两个端点在地面上的投影恰好分别落在椭圆边界的A、B两点上, → → 且已知C(-4,0) ,求CA · 的取值范围. CB

x2 y2 解: (1)设椭圆方程是 2 + 2 = 1 ,由题知b= 3 ,2a= 2 3 ,a=2 a b cos30? x2 y2 所求椭圆的标准方程是 + =1 . 4 3 (2)设A(x1,y1) ,B(x2,y2) 、B关于坐标原点O对称, ,A → → CA =(x1+4,y1) ,CB =(x2+4,y2) , → → CA · =(x1+4,y1)· 2+4,y2)=x1x2+4(x1+x2)+16+y1y2 CB (x = x1x2+16+y1y2
2 2

6′

9′

x y AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程是y=kx,代入椭圆方程 + = 1 得: 4 3
?12 ?12k 2 , y1 y2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 → → CA · = 13 ? 3 2 CB 3 ? 4k x1 x2 ?

12′ 14′
2

→ → 由于k可以取任意实数,故CA · ∈ CB [12,13) ,

19 ? 19 ? (2 3) 13 → → AB与x轴垂直时,|CA |=|CB |= 19 ,cos∠ ACB= = 2 19 ? 19
19
→ → CA · =13 CB → → ∴ CA · ∈ CB [12,13]. 80、椭圆 C: 16′

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 a2 b2 F1 (?c,0), F2 (c,0) , M 是椭圆上一点,且满足 F1 M ? F2 M ? 0 。
(1)求离心率 e 的取值范围 (2)当离心率 e 取得最小值时,点 N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为 5 2 (i)求此时椭圆 C 的方程 (ii)设斜率为 k(k?0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 A、 Q 为 AB 的中点, A、 B, 问 3 B 两点能否关于过点 P(0,) 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围;若不 、Q 3 能,请说明理由。

解:(1)、由几何性质知的取值范围为: (2)、(i) 当离心率 e 取最小值

2 ≤e<1………………3 分 2

2 x2 y2 时,椭圆方程可表示为 2 + 2 = 1 。设 H( x , y )是椭圆 2 2b b

上的一点,则| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ,其中 - b≤y≤b 若 0<b<3 ,则当 y = - b 时,| NH |2 有最大值 b2+6b+9 ,所以由 b2+6b+9=50 解得 b = -3± 5 2 (均舍去) …………………5 分 若 b≥3,则当 y = -3 时,| NH |2 有最大值 2b2+18 ,所以由 2b2+18=50 解得 b2=16 x2 y2 ∴所求椭圆方程为 + = 1………………7 分 32 16

x12 y12 + =1 32 16 (ii) 设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ),Q( x0 , y0 ),则由 两式相减得 x22 y22 + =1 32 16 x0+2ky0=0;………① ……………………8 分 1 3 又直线 PQ⊥直线 l, ∴直线 PQ 的方程为 y= - x , 将点 Q( x0 , y0 )坐标代入得 y0= k 3 1 3 - x0………② ……………………9 分 k 3 2 3 3 由①②解得 Q( k, ),而点 Q 必在椭圆的内部 3 3 2 2 x0 y0 ∴ + < 1,…………… 10 分 32 16 47 由此得 k2 < ,又 k≠0 2 94 94 ∴ <k<0或0<k< 2 2 94 94 故当( , 0 ) ∪( 0 , )时,A、B 两点关于过点 P、Q、的直线对称。…………12 分 2 2

? ? ?

82、已知定点 A(-2,0) ,动点 B 是圆 F: ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 64 (F 为圆心)上一点,线 段 AB 的垂直平分线交 BF 于 P. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)直线 y ? 3x ? 1与曲线E 交于 M,N 两点,试问在曲线 E 位于第二象限部分上是 否存在一点 C,使 OM ? ON与OC 共线(O 为坐标原点)?若存在,求出点 C 的 坐标;若不存在,请说明理由. 解: (1)由题意 | PA |?| PB |, 且 | PB | ? | PF |? 8, ∴ | PA | ? | PF |? 8 ?| AF | . 因此点 P 的轨迹是以 A,F 为焦点的椭圆.……………………4 分

x2 y2 设所求椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), a b
∴ 2a ? 8, a ? 4, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 ? 4 ∴ b ? 12
2

∴点 P 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1. …………………………6 分 16 12

(2)假设存在满足题意的点 C( x0 , y0 )(x0 ? 0, y0 ? 0),设M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ),

OM ? ON ? mOC (m ? R, 且m ? 0), 则( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) ? m( x 0 , y 0 ).

? x0 ?

x1 ? x 2 y ?y2 , y0 ? 1 . m m

? y ? 3x ? 1 ? 得15x 2 ? 8 3 x ? 44 ? 0. ……………………8 分 由 ? x2 y2 ? 1, ? ? ? 16 12

? x1 ? x2 ? ?

8 3 2 , y1 ? y 2 ? 3 ( x1 ? x2 ) ? 2 ? . 15 5

? x0 ? ?

8 3 2 , y0 ? . ……………………10 分 15m 5m



2 2 x0 y 0 1 ? ? 1, 解得m 2 ? . 16 12 15

?m ? ?

15 . 15

又? x0 ? 0, y0 ? 0

?m ?

15 15 8 5 2 15 , )……………………12 分 5 5

所以存在满足题意的点 C( ?

83、 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 , 直线 l : y ? x ? 2 与以原点为圆心、 2 a b

以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F ,右焦点 F2 ,直线 l1 过点 F 且垂直于椭圆的长轴,动直线 1 1

l2 垂直 l1 于点 P ,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M ,求点 M 的轨迹 C2 的方程; ??? ? ??? ??? ? ? (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q ,不同的两点 R, S 在 C2 上,且满足 QR ? RS ? 0, 求 QS 的
取值范围.

3 c2 a2 ? b2 1 解: (Ⅰ)∵ e ? ,? e 2 ? ? ? ,? 2a 2 ? 3b 2 2 3 a 3 c 2 2 2 ∵直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, 2 ? b,? b ? 2 , b 2 ? 2 …………2 分 ∴ 2 2 ∴a ? 3 …………3 分

2

……1 分

∵椭圆 C1 的方程是

x2 y2 ? ?1 3 2

………………4 分

(Ⅱ)∵MP=MF2, ∴动点 M 到定直线 l1 : x ? ?1 的距离等于它到定点 F1(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是 C 为 l1 准线,F2 为焦点的抛物线 ………………6 分

y 2 ? 4 x …………7 分 2 y12 y2 , y1 ), S ( , y 2 ) …………8 分 (Ⅲ)Q(0,0) ,设 R( 4 4 2 2 2 y y ? y1 , y 2 ? y1 ) …………9 分 ∴ QR ? ( 1 , y1 ), RS ? ( 2 4 4 ∵ QR ? RS ? 0 y 2 ( y 2 ? y12 ) ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0 ∴ 1 2 16 ∵ y1 ? y 2 , y1 ? 0 ,化简得 16 ∴ y 2 ? ?( y1 ? ) ………………11 分 y1 256 2 2 ∴ y 2 ? y1 ? 2 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64 y1 256 2 2 当且仅当 y1 ? 2 , y1 ? 16, y1 ? ?4 时等号成立 …………13 分 y1
∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 ∵ | QS |?

(

2 y2 2 1 2 2 2 ) ? y2 ? ( y 2 ? 8) 2 ? 64,又? y 2 ? 64 4 4

2 ∴当 y2 ? 64, y2 ? ?8时, |min ? 8 5,故 | QS | 的取值范围是 [8 5,??) …14 分 | QS

84、已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距离比它到直线 l : y ? ?2 的距离小 1. (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 P(2,2)的直线 与曲线 交于A, B两点 设AP ? ? PB. 当△AOB 的面积为 m C , 4 2时(O 为坐标原点) ,求 ? 的值. 解: (1)?点M到点F (1,0)的距离比它到直线 : y ? ?2 的距离小于 1, l ∴点 M 在直线 l 的上方,点 M 到 F(1,0)的距离与它到直线 l ? : y ? ?1 的距离相等
2 ,所以曲线 C 的方程为 x ? 4 y ?点M的轨迹C是以F为焦点 l ?为准线的抛物线 ,

(2)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2),即y ? kx ? (2 ? 2k ) , 代入 x ? 4 y得x ? 4kx ? 8(k ? 1) ? 0
2 2

(*)

? ? 16(k 2 ? 2k ? 2) ? 0对k ? R恒成立, 所以, 直线m 与曲线 C 恒有两个不同的交点

设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) , 则 x1 ? x2 ? 4k , x1 x2 ? 8(k ? 1)
?| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[( x 2 ? x1 ) 2 ? 4 x 2 x1 ] ? 4 (1 ? k 2 )( k 2 ? 2k ? 2)

点 O 到直线 m 的距离 d ?

| 2 ? 2k | 1? k 2



? S ?ABO ?

1 | AB | ?d ? 4 | k ? 1 | k 2 ? 2k ? 2 ? 4 (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 2

? S ?ABO ? 4 2 ,? 4 (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 ? 4 2 ,

? (k ? 1) 4 ? (k ? 1) 2 ? 2 ? 0, (k ? 1) 2 ? 1或(k ? 1) 2 ? ?2 (舍去) ? k ? 0或k ? 2


k ? 0时,







*









?2 2



x1 ? 2 2 , x2 ? ?2 2 , 则? ?

2?2 2 ? 2 2 ?1

? 3? 2 2

若 x1 ? ?2 2 , x2 ? 2 2 , 则? ?

2?2 2 2 2 ?2

? 3? 2 2

当 k ? 2时, 方程(☆)的解为

4?2 2
若 x1 ? 4 ? 2 2 , x2 ? 4 ? 2 2 , 则? ?

?2?2 2 2?2 2 ?2?2 2 2?2 2

? 3? 2 2

若 x1 ? 4 ? 2 2 , x2 ? 4 ? 2 2 , 则? ? 所以, ? ? 3 ? 2 2或? ? 3 ? 2 2 85、设 F1 , F2 分别是椭圆 C: (1)设椭圆 C 上的点 ( 3,

? 3? 2 2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0) 的左右焦点 a 2 b2

3 ) 到 F1 , F2 两点距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和焦点坐标 2 (2)设 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程 (3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点, 过原点的直线 L 与椭圆相交于 M, 两点, N 当直线 PM ,
PN 的斜率都存在,并记为 k PM , K PN 并证明你的结论。 解: (1)由于点 ( 3, 试探究 k PM

? K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关,

3 ( 3) ) 在椭圆上, ? 2 a2

2

(

3 2 ) 2 ?1 b2

------1 分

2 a =4, 椭圆 C 的方程为

------2 分

x2 y 2 ? ?1 4 3

--------3 分

焦点坐标分别为(-1,0) , (1,0)-----------4 分 (2)设 KF1 的中点为 B(x, y)则点 K (2 x ? 1, 2 y ) --------6 分 把 K 的坐标代入椭圆

x2 y 2 ? ?1 4 3

中得

(2 x ? 1) 2 (2 y ) 2 ? ?1 4 3
----------10 分

-----8 分

1 y2 线段 KF1 的中点 B 的轨迹方程为 ( x ? )2 ? ?1 3 2 4
设 M ( x0 , y0 ) N ( ? x0 , ? y0 ), p( x, y)

(3)过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M,N 关于坐标原点对称 ----11 分

M , N , P在椭圆上,应满足椭圆方程 ,得

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ------12 分 a2 b a b

k PM ?

y ? y0 x ? x0

K PN ?

y ? y0 -------------------13 分 x ? x0

k PM

y ? y0 y ? y0 y 2 ? y0 2 b2 ? ? 2 ? K PN = 2 = ? 2 -----------15 分 x ? x0 x ? x0 x ? x0 a
? K PN 的值与点 P 的位置无关,同时与直线 L 无关,-----16 分

故: k PM


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