吉林省舒兰市第一中学高中数学1.4.2.1正余弦函数的性质导学案(答案不全)新人教A版必修4

第一章 §1.4.2.1 正余弦函数的性质 【学习目标】1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期. 【学习重点】理解周期函数的意义会求周期函数的周期 【基础知识】 函数 y ? sin(2k? ? x) ? sin x ,说明当自变量 x 的值增加 2? 的整数倍时,函数的值重复出现,数学 上用周期来刻画这一变化规律. 1.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有:f (x+T)=f (x),那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 问题: (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin( ? 6 ? 2? ? 2? ) ? sin ,能否 说 是它的周期? 3 3 6 (2)正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少?( 2k? , k ? Z 且 k ? 0 ) (3)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么? * (是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) ) 2.一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0 )的周期 T ? 2? |? | 说明:①周期函数 x? 定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; ②“每一个值 ”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) ③T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正数叫做 f(x)的 最小正周期(有些周期函数没有 最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周 期) 从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; 判断:是不是所有的周期函数都有最小正周期? ( f ( x) ? c 没有最小正周期) 3.求周期的方法: (1)公式法: x?R 一般结论: 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , (其中 A, ? , ? 为常数, 且A?0) 的周期 T ? 2? |? | (2)定义法:f (x+T)=f (x) 1 (3) 图像法: 如果函数的图像有一定的变化规律, 在某一范围内函数图像重复出现, 并且图像一方 (左 或者右)无限延伸. y ?| sinx | 或者 y ?| cosx | . (4)性质法:你能推出下列函数的周期吗? ① f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ② f (x ? ? ) ? ? f ( x ? ? ) ? ? f ( x) ? k (其中 k 为非零常数) k (其中 k 为非零常数) f ( x) ③ f (x ? ? ) ? 1 ? f ( x) , 1 ? f ( x) f (x ? ? ) ? 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ④ f ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) ⑤ f ( x ) 关于 x ? a 和 x ? b 对称 ⑥ f ( x ) 关于 ( a,0) 和 (b,0) 对称 ⑦ f ( x ) 关于 x ? a 和 (b,0) 对称 【例题讲解】 例 1 求下列三角函数的周期: ① y ? 3 cos x ② y ? sin 2 x ③ y ? 2 sin( x ? 1 2 ? 6 ), x? R. 例 2 求下列三角函数的周期: 2 ①y=sin(-x+ x ? ? );② y=cos(-2x) ;③y=3sin( + ). 2 5 3 例 3 求下列函数的周 期: ①y=|sinx|;②y=|cosx|. 【达标检测】1、 设 a ? 0 ,则函数 y ? sin(ax ? 3) 的最小正周期为( ) A、 ? a B、 ? |a| C、 2? a D、 2? |a| ) 2、函数 f ( x) ? 2 cos( A、13 B、12 kx ? ? ) ? 1 的周期不大于 2,则正整数 k 的最小值是( 4 3 C、11 D、 10 3、求下列函数的最小正周期: (1) y ? sin( ? 3 ? ?x 2 ), T ? . (2) y ? cos( 2 x? ? ? 6 ), T ? . 4、已知函数 y ? 2 sin(?x ? 5、求函数的周期: ? 3 ) 的最小正周期为 ? ,则 ? ? 3 . . 1 cos x 周期为: 2 3x (2) y ? sin 周期为: 4 ( 1) y ? (3) y ? 2 cos 4 x 周期为: . . 3 (4) y ? 3 sin 2 x 周期为: 4 . 6、 y ? sinx ? cosx 是周期函数吗?如果是,则周期是多少? 7、函数 f ( x) ? sin(?x) (w ? 0) 在[0, 4]与 x 轴有 9 个交点,求 ? 的取值范围. 【问题与收获】 参考答案: 例 1: 例 2: 例 3: ① ① ① 2? 2? ② ② ② ? ? ? ③ ③ 4? 4? ? 8? , 3 达标检测:1、D 2、A 5、 3、 6? ,1 4、 ? 6 ? , ? 2 ? ? 6、是周期函数,周期 T= ,k 为正整数,最小正周期为 . 2 2 ? ? ? f (x+ )=|sin(x+ )|+|

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