2016成才之路·人教B版数学·选修2-2:知能基础测试 Word版含答案

选修 2-2 知能基础测试
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.) 1.原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题 真假性的判断依次如下,正确的是 导学号 05300764( A.真,假,真 C.真,真,假 答案] B 解析] 本题考查四种命题的关系,真假判断,复数中共轭复数的概念. 若 z1=a+bi,则 z2=a-bi. ∴|z1|=|z2|,故原命题正确、逆否命题正确. 其逆命题为:若|z1|=|z2|,则 z1,z2 互为共轭复数, 若 z1=a+bi,z2=-a+bi,则|z1|=|z2|,而 z1,z2 不为共轭复数. ∴逆命题为假,否命题也为假. 2.已平面 α∥平面 β,直线 m?α,直线 n?β,点 A∈m,点 B∈n,记点 A,B 之间的距 离为 a,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则 导学号 05300765( A.c≤b≤a C.a≤c≤b 答案] A 3.设 f(x)为可导函数,且满足条件lim →
x 0

)

B.假,假,真 D.假,假,假

)

B.c≤a≤b D.b≤c≤a

f?x+1?-f?1? =3,则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的 2x

切线的斜率为 导学号 05300766( 3 A. 2 C .6 答案] C 解析] lim →
x 0

) B .3 D.无法确定

f?x+1?-f?1? 1 f?x+1?-f?1? = lim → 2x 2x 0 x

1 = f′(1)=3,∴f′(1)=6.故选 C. 2 4.给出下列命题①?adx=?bdt=b-a(a,b 为常数且 a<b);②?0 x2dx=?1x2dx;③曲线 y

?b

?a

?-1

?0

=sinx,x∈0,2π]与直线 y=0 围成的两个封闭区域面积之和为 2,其中正确命题的个数为 导学 号 05300767( )

A.0 C .2 答案] B

B .1 D.3

解析] ?bdt=b-a≠?adx=a-b,故①错,而 y=x2 是偶函数其在-1,0]上的积分结果等 ? ?
a b

于其在 0,1]上的积分结果,故②正确,对于③有 S=2?πsinxdx=4.故③错.

?0

2 5.(2015· 四川理,2)设 i 是虚数单位,则复数 i3- = 导学号 05300768( i A.-i C .i 答案] C 2 2i 解析] i3- =-i- 2 =-i+2i=i,选 C. i i 6.函数 f(x)=3x-4x3(x∈0,1])的最大值是 导学号 05300769( 1 A. 2 C .0 答案] D B.-1 D.1 ) B.-3i D.3i

)

1 1 1 解析] 由 f ′(x)=3-12x2=0 得,x=± ,∵x∈0,1],∴x= ,∵当 x∈0, ],f ′(x)>0, 2 2 2 1 1 1 1 当 x∈ ,1]时,f ′(x)<0,∴f(x)在 0, ]上单调递增,在 ,1]上单调递减,故 x= 时,f(x)取 2 2 2 2 1 1 1 到极大值也是最大值,f( )=3× -4×( )3=1,故选 D. 2 2 2 7.过 x2+y2=10x 内一点(5,3)有 n 条弦,它们的长度构成等差数列,最短的弦长为数列首 1 1? 项 a1,最长的弦长为数列的末项 an,若公差 d∈? ?3,2?,则 n 的取值范围是 导学号 05300770( A.n=4 C.n>7 答案] B 解析] A(5,3),圆心 O(5,0),最短弦为垂直 OA 的弦,a1=8,最长弦为直径:an=10,公 差 d= 2 , n-1 B.5≤n≤7 D.n∈R


)

1 2 1 ∴ ≤ ≤ ,∴5≤n≤7. 3 n-1 2 lnx 8.若 f(x)= ,0<a<b<e,则有 导学号 05300771( x )

A.f(a)>f(b) C.f(a)<f(b) 答案] C

B.f(a)=f(b) D.f(a)· f(b)>1

1-lnx 解析] ∵f′(x)= 2 ,在(0,e)上 f′(x)>0, x ∴f(x)在(0,e)上为增函数.∴f(a)<f(b).故选 C. 4 9.已知使函数 y=x3+ax2- a 的导数为 0 的 x 值也使 y 值为 0,则常数 a 的值为 3 导学号 05300772( A.0 C.0 或± 3 答案] C 解析] 求出使 y′=0 的值的集合,再逐一检验.y′=3x2+2ax.令 y′=0,得 x=0 或 x 2 =- a. 3 4 由题设 x=0 时,y=0,故- a=0,则 a=0.且知当 x=2,a=-3 或 x=-2,a=3 时, 3 也成立.故选 C. 1 π 10.函数 y=asinx+ sin3x 在 x= 处有极值,则 a 的值为 导学号 05300773( 3 3 A.-6 C.-2 答案] D π 解析] y′=acosx+cos3x,由条件知,acos +cosπ=0,∴a=2,故选 D. 3 11.下列求导运算正确的是 导学号 05300774( A.(2x)′=x· 2x
-1

)

B .± 3 D.非以上答案

)

B .6 D.2

)

B.(3ex)′=3ex cosx-xsinx x D .( )′= cosx ?cosx?2

1 1 C.(x2- )′=2x- 2 x x 答案] B

1 1 解析] 对于 A,(2x)′=2xln2;对于 B,(3ex)′=3ex;对于 C,(x2- )′=2x+ 2;对于 x x cosx+xsinx x D,( )′= ;综上可知选 B. cosx ?cosx?2 12.(2015· 青岛高二检测)设 f(x),g(x)分别是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数和偶 函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0.且 g(-3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 导学号 05300775( )

A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) 答案] D 解析] 令 φ=(x)=f(x)g(x), 则 φ′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 对 x<0 恒成立, ∴当 x<0 时,φ(x)单调递增. 又∵g(-3)=0, ∴φ(-3)=g(-3)· f(-3)=0. 从而当 x<-3 时,φ(x)<0,当-3<x<0 时,φ(x)>0. 又 φ(x)为奇函数. ∴当 0<x<3 时,φ(x)<0,当 x>3 时,φ(x)>0, 综上,当 x∈(-∞,-3)∪(0,3)时,φ(x)<0. 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,将正确答案填在题中横线上) 13.(2016· 北京理,9)设 a∈R,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a =________. 导学号 05300776 答案] -1 解析] (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,由已知得 a+1=0,解得 a=-1. 14.如图,平面中两条直线 l1 和 l2 相交于点 O,对于平面上任意一点 M,若 p,q 分别是 M 到直线 l1 和 l2 的距离,则称有序非负数实数对(p,q)是点 M 的“距离坐标”.根据上述定 义,“距离坐标”是(1,2)的点的个数是________. 导学号 05300777

答案] 4 解析] 据上述定义,“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各 找到一个,所以满足条件的点的个数是 4 个. 15.观察分析下表中的数据: 导学号 05300808 多面体 三棱柱 五棱锥 面数(F) 5 6 顶点数(V) 6 6 棱数(E) 9 10

立方体

6

8

12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是________. 答案] F+V-E=2 解析] 本题考查归纳推理. 5+6-9=2, 6+6-10=2, 6+8-12=2, ∴F+V-E=2. 16.已知不等式 1- 3 3 <0 的解集为(-1,2),则?2(1- )dx=________. x+a x + a ?
0

导学号 05300778 答案] 2-3ln3 3 解析] 由条件知方程 1- =0 的根为-1 或 2,∴a=1. x+a 3 3 ∴?2(1- )dx=?2(1- )dx x+a x+1 ? ?
0 0

= [x-3ln?x+1?]|2 0=2-3ln3. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) z2+3 - - 17.(本题满分 12 分)已知 z1、z2 为复数,i 为虚数单位,z1·z 1+3(z1+ z 1)+5=0, 为 z2-3 纯虚数,z1、z2 在复平面内对应的点分别为 P、Q. 导学号 05300779 (1)求点 P 的轨迹方程; (2)求点 Q 的轨迹方程; (3)写出线段 PQ 长的取值范围. - - 解析] (1)设 z1=x+yi,(x、y∈R),由 z1·z 1+3(z1+ z 1)+5=0 得 x2+y2+6x+5=0,整 理得(x+3)2+y2=4, ∴点 P 的轨迹方程为(x+3)2+y2=4. (2)设 z2=x+yi,(x、y∈R), z2+3 x+3+yi x2+y2-9-6yi = = , z2-3 x-3+yi ?x-3?2+y2 ∵ z2+3 为纯虚数,∴x2+y2=9 且 y≠0, z2-3

∴点 Q 的轨迹方程为 x2+y2=9(y≠0). (3)PQ 长的取值范围是 0,8). ∵两圆相交,∴PQ 长的最小值为 0,

又两圆圆心距为 3,两圆半径分别为 2 和 3,∴PQ 长的最大值为 8,但点 Q 的轨迹方程 中 y≠0,∴|PQ|<8, ∴线段 PQ 长的取值范围是 0,8). 说明] 第(3)问要求“写出线段 PQ 长的取值范围”可以不写解答过程. 18.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a、b∈R,e=2.71828?为自然 对数的底数. 设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间 0,1]上的最小值. 导学号 05300780 解析] 由 f(x)=ex-ax2-bx-1,有 g(x)=f ′(x)=ex-2ax-b. 所以 g′(x)=ex-2a. 当 x∈0,1]时,g′(x)∈1-2a,e-2a]. 1 当 a≤ 时,g′(x)≥0,所以 g(x)在 0,1]上单调递增. 2 因此 g(x)在 0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; e 当 a≥ 时,g′(x)≤0,所以 g(x)在 0,1]上单调递减, 2 因此 g(x)在 0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b; 1 e 当 <a< 时,令 g′(x)=0,得 x=ln(2a)∈(0,1). 2 2 所以函数 g(x)在区间 0,ln(2a)]上单调递减,在区间(ln(2a),1]上单调递增. 于是,g(x)在 0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b; 1 综上所述,当 a≤ 时,g(x)在 0,1]上的最小值是 g(0)=1-b; 2 1 e 当 <a< 时,g(x)在 0,1]上的最小值是 g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b 2 2 e 当 a≥ 时,g(x)在 0,1]上的最小值是 g(1)=e-2a-b. 2 19.(本题满分 12 分)已知函数 f(x)= f(n)> n 成立. 导学号 05300781 n+1 2x-1 .求证:对于任意不小于 3 的正整数 n 都有 2x+1

2n-1 n n 2 1 证明] 要证 f(n)> (n∈N+且 n≥3),只需证 n > ,即证 1- n >1- ,也 n+1 2 +1 n+1 2 +1 n+1 就是证明 2n-1>2n. 下面用数学归纳法来证明 2n-1>2n(n∈N+且 n≥3). ①当 n=3 时,左边=7,右边=6,左边>右边,不等式成立. ②假设当 n=k(k∈N+且 k≥3)时不等式成立, 即 2k-1>2k, 则当 n=k+1 时, 2k 1-1=2· 2k


-1=2(2k-1)+1>2· 2k+1=2(k+1)+2k-1>2(k+1),故当 n=k+1 时,不等式也成立.

综上所述,当 n∈N+且 n≥3 时,2n-1>2n 成立. 所以 f(n)> n (n∈N+且 n≥3)成立. n+1

20.(本题满分 12 分)某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产 品需向总公司交 a 元(3≤a≤5)的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(9≤x≤11)时,一年的 销售量为(12-x)2 万件. 导学号 05300782 (1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a). 解析] (1)分公司一年的利润 L(万元)与售价 x 的函数关系式为: L=(x-3-a)(12-x)2,x∈9,11]. (2)L′(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x) =(12-x)(18+2a-3x) 2 令 L′=0 得 x=6+ a 或 x=12(不合题意,舍去). 3 2 28 ∵3≤a≤5,∴8≤6+ a≤ . 3 3 2 在 x=6+ a 两侧 L′(x)的值由正变负. 3 2 9 所以(1)当 8≤6+ a≤9,即 3≤a≤ 时, 3 2 Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a). 2 28 9 (2)当 9<6+ a≤ ,即 <a≤5 时, 3 3 2 2 ? ? 2 ? Lmax=L? ?6+3a?=?6+3a-3-a?

?12-?6+2a??2=4?3-1a?3, ? ? 3 ?? ? 3 ?

?9?6-a?,3≤a≤2 所以 Q(a)=? 1 ? 9 ? 4? ?3-3a? ,2<a≤5
3

9

.

9 答:若 3≤a≤ ,则当每件售价为 9 元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=9(6 2 2 ? 9 -a)(万元);若 <a≤5,则当每件售价为? ?6+3a?元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a) 2 1 ?3 =4? ?3-3a? (万元). a 21.(本题满分 12 分)设函数 f(x)= x3+bx2+cx+d(a>0),且方程 f′(x)-9x=0 的两个根 3 分别为 1,4. 导学号 05300783

(1)当 a=3 且曲线 y=f(x)过原点时,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求 a 的取值范围. 解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用. a 由 f(x)= x3+bx2+cx+d 得 f′(x)=ax2+2bx+c 3 ∵f′(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0 的两根为 1,4.
?a+2b+c-9=0 ? ∴? (*) ? ?16a+8b+c-36=0 ? ?2b+c-6=0 (1)当 a=3 时,由(*)式得? , ?8b+c+12=0 ?

解得 b=-3,c=12. 又∵曲线 y=f(x)过原点,∴d=0. 故 f(x)=x3-3x2+12x. a (2)由于 a>0,所以“f(x)= x3+bx2+cx+d 3 在(-∞, +∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0 在(-∞, +∞)内恒成立”, 由(*)式得 2b=9-5a,c=4a. 又∵Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9)
?a>0 ? 解? 得 a∈1,9], ?Δ=9?a-1??a-9?≤0 ?

即 a 的取值范围为 1,9]. 22 . ( 本 题 满 分 14 分 )(2016· 四 川 卷 理 , 21) 设 函 数 f(x) = ax2 - a - lnx , 其 中 a ∈ R. 导学号 05300784 (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; 1 - (Ⅱ)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)> -e1 x 在区间(1,+∞)内恒成立.(e=2.718?为 x 自然对数的底数)
2 1 2ax -1 解析] (Ⅰ)f′(x)=2ax- = (x>0). x x

当 a≤0 时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减. 当 a>0 时,由 f′(x)=0,有 x= 此时,当 x∈(0, 当 x∈( 1 . 2a

1 )时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 2a

1 ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增. 2a

1 1 - (Ⅱ)令 g(x)= - x-1,s(x)=ex 1-x. x e 则 s′(x)=ex 1-1.


而当 x>1 时,s′(x)>0, 所以 s(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又由 s(1)=0,有 s(x)>0, 从而当 x>1 时,g(x)>0. 当 a≤0,x>1 时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0. 故当 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有 a>0. 1 1 当 0<a< 时, >1. 2 2a 由(Ⅰ)有 f( 1 1 )<f(1)=0,而 g( )>0, 2a 2a

所以此时 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立. 1 当 a≥ 时,令 h(x)=f(x)-g(x)(x≥1). 2
3 2 1 1 1 1 1 x -2x+1 x -2x+1 - 当 x>1 时,h′(x)=2ax- + 2-e1 x>x- + 2- = > >0. 2 x x x x x x x2

因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增. 又 h(1)=0,所以当 x>1 时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即 f(x)>g(x)恒成立. 1 综上,a∈ ,+∞). 2


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