辽宁省沈阳二中2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试题

沈阳二中 2014-2015 学年度上学期期末考试 高二(16 届)理科数学试题
第Ⅰ卷(60 分)
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知命题 p : ?x ? R , | x | ? 0 ,那么命题 ?p 为( ) A. ?x ? R, x ? 0 C. ?x ? R, x ? 0 2. 已知 a ? b ,则下列不等关系正确的是( A. a 2 ? b 2 C. 2 a ? 2 b 3. 设直线: l : y = kx + m(m ? 0) ,双曲线 C : 线 C 恰有一个公共点“的( A.充分不必要条件 C.充分条件
4. 有下列四个命题:

B. ?x ? R, x ? 0 D. ?x ? R, x ? 0 ) B. ac 2 ? bc 2 D. log 2 a ? log 2 b

b x2 y 2 ”是“直线 l 与双曲 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,则“ k = 2 a a b
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

(1)已知 A,B,C,D 是空间任意四点,则 AB ? BC ? CD ? DA ? 0 ;

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

?

? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? (2)若两个非零向量 AB与CD 满足 AB+CD=0 ,则 AB ‖ CD ;
(3)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是 共面向量; ??? ? ??? ? ??? ? ???? (4)对于空间的任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若 OP ? xOA ? yOB ? zOC

( x, y, z ? R) ,则 P,A,B,C 四点共面。
其中正确命题的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0

?2 x ? y ? 2 ?x ? 2 y ? 2 5.设变量 x,y 满足约束条件 ? ,则目标函数 z ? ?2 x ? y 的最大值是( ? x ? 0 ? ? ?y ? 0
A.4 B.2 C.1 D. ?



2 3 ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ???? ? ??? ? ???? ? OA ? a , OB ? b , OC ? c ,点 M 在 OA 上, 6. 空间四边形 OABC 中, 且 OM ? 2OA , N 为 BC 中点, 则 MN =
( ) 1? 2? 1? A. a - b ? c 2 3 2 C. a ? b - c

1? 2

1? 2? 2 3

2? 1? 1? c 3 2 2 2? 2? 1? D. a ? b - c 3 3 2
B. ? a ? b ?
1

7.已知数列 {an } 是等比数列,其前 n 项和为 S n ,若 A.9
2 2

S6 S ? 9, 则 12 ? ( S3 S6

) D.65

B.18

C.64

8.已知双曲线 度为( A.4

x y 则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长 ? ? 1 的右焦点与抛物线 y 2 ? ax 的焦点重合, 4 5

) B.5 C.

5 2

D.

5 2

9. 定义

n 为 n 个正数 p1 , p2 ,..., pn 的“均倒数”.若已知正数数列 {an } 的前 n 项的“均倒 p1 ? p2 ? ... ? pn

数”为

1 1 1 a ?1 1 ,又 bn ? n ,则 ? ? ... ? ? ( 2n ? 1 4 b1b2 b2b3 b10b11
B.

)

A.

1 11

1 12

C.

10 11
2 2

D.

11 12

10.已知 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上的一个动点, Q 是圆 ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 上的一个动点, N (1,0) 是一个定点, 则 PQ ? PN 的最小值为( A.3 B.4 ) C.5 D.

2 ?1

11.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 1,棱 BB1 所在直线上的动点 M 满足 BM ? ? BB1 ,AM 与侧面 BB1C1C

? ? 所成的角为 ? ,若 ? ? ? 2 , 2 ? ,则 ? 的取值范围是( ? 2 ?
A. ? , ? ?12 6 ? 12.已知双曲线

)

?? ? ?

B. ? , ? ?6 4?

?? ? ?

C. ? , ? ?4 3?

?? ? ?

D. ? , ? 3 12 ? ?

? ? 5? ?

x2 y 2 P 是双曲线上的动点, 直线 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), M , N 是双曲线上关于原点对称的两点, a 2 b2


PM,PN 的斜率分别为 k1 , k2 (k1 ? k2 ? 0) ,若 k1 ? k2 的最小值为 1,则双曲线的离心率为(

A.

2

B.

5 2

C.

3 2

D.

3 2

第Ⅱ卷(90 分) 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 若 a ? (1,1, 0), b ? (?1, 0, 2), 则与a ? b 同方向的单位向量是________________ 14. 已知数列 1, a1 , a2 ,9 是等差数列,数列 1, b1 , b2 , b3 ,9 是等比数列,则

?

?

?

?

b2 的值为 a1 ? a2

_______ .

15. 平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长度都为 2,且两两夹角为 60°,则 DB1 和 C1 A1 所
2

成角大小为____________.

16. 若 x ? 0, y ? 0 ,且

1 3 ? ? 2 ,则 6 x ? 5 y 的最小值为___________. 2x ? y x ? y

三、解答题(共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 命 题 p : 方 程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ; q : 不 等 式

4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 的解集为 R;若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 17, S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足 bn ? an cos(n? ) ? 2n (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

19.(本小题满分 12 分)设双曲线

y 2 x2 ? ? 1(a ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 2. a2 3

(Ⅰ)求此双曲线的渐近线 l1,l2 的方程; (Ⅱ)若 A,B 分别为 l1,l2 上的点,且 2|AB|=5|F1F2|,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么 曲线。

20.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面 PAD⊥ 底面 ABCD,Q 为 AD 的中点,M 是棱 PC 上的点,PA=PD=2,BC= (Ⅰ)若点 M 是棱 PC 的中点,求证:PA // 平面 BMQ; (Ⅱ)求证:若二面角 M-BQ-C 为 30°,试求

1 AD=1,CD= 3 . 2

PM 的值。 PC
P

M D Q A B C

3

21.(本小题满分 12 分)椭圆 C:

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴是短轴的两倍,点 P( 3, ) 在椭圆上.不过 2 a b 2

原点的直线 l 与椭圆相交于 A、B 两点,设直线 OA、l、OB 的斜率分别为 k1 、 k 、 k2 ,且 k1 、 k 、 k2 恰好 构成等比数列,记△ ABO 的面积为 S. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ)试判断 OA ? OB 是否为定值? 若是,求出这个值;若不是,请说明理由? (Ⅲ)求 S 的范围.
2 2

请考生在第 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目对应题号下方的方框涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直
? 2 t ?x?m? ? 2 角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? ( t 是参数). ?y ? 2 t ? ? 2

(Ⅰ) 若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 | AB |? 14 ,试求实数 m 值. (Ⅱ) 设 M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设不等式 x ? 2 ? 3 ? x ? a (a ? N ) 的解集为 A,且 2 ? A,
*

3 ?A 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 的最小值。

4

沈阳二中 2014-2015 学年度上学期期末考试 高二(16 届)理科数学试题答案
一.选择题:1-5CCABC 6-12BDBCA BB 二.填空题:13. (0,

5 2 5 , ) 5 5

14.

3 10

15. arccos

6 6

16.

13 ? 4 3 2

三.解答题: 2 17、 解:因为方程 x + mx + 1=0 有两个不相等的实根, 2 所以Δ 1=m – 4>0, ∴m>2 或 m < – 2 ????3 分 2 又因为不等式 4x +4(m – 2)x + 1>0 的解集为 R, 2 所以Δ 2=16(m – 2) – 16<0, ∴1< m <3 ????6 分 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 为一真一假, ????8 分 (1)当 p 为真 q 为假时, ?

?m ? 2或m ? ?2 ? m ? ?2或m ? 3 ????10 分 ?m ? 1或m ? 3

(2)当 p 为假 q 为真时, ?

?? 2 ? m ? 2 ?1? m ? 2 ?1 ? m ? 3

综上所述得:m 的取值范围是 m ? ?2或m ? 3 或 1 ? m ? 2 ????12 分

?a1 +d=17 18. (I)设 an 首项为 a1,公差为 d,则 ? 解得 a1=19,d=-2 ?10(2a1 +9d) ? 100 ? ? 2
∴an=19+(n-1)×(-2)=21-2n????(4 分) (II)∵bn=ancos(nπ )+2 =(-1) an+2
n n n

当 n 为偶数时,Tn=b1+b2++bn=(-a1+2)+(a2+2 )+(-a3+2 )+?+(an+2 ) n 2(1 ? 2n ) =(-2)× ? ? 2n ?1 ? n ? 2 ????(7 分) 2 1? 2 当 n 为奇数时,Tn=b1+b2++bn=(-a1+2)+(a2+2 )+(-a3+2 )+?+(-an+2 ) =-a1+(a2-a3)+?+(an-1-an)+
n+1 n+1 2(1 ? 2n ) =-19+2× n ? 1 +2 -2=2 +n-22 ???????(10 分) 1? 2 2 2 3 n

2

3

n

∴Tn= ?

?2n ?1 ? n ? 2(当n为偶数) ? ??????(12 分) n ?1 (当n为奇数) ? ?2 ? n ? 22
2 2 2 2

19. 解: (Ⅰ) ∵e=2,∴c =4a ,∵c =a +3,∴a=1,c=2, ∴双曲线方程为 y 2 ? x ? 1 ,渐近线方程为 y=± x;????(4 分) 3 3 (Ⅱ)设 A(x1, y1) ,B(x2, y2) ,AB 的中点 M(x,y) ∵ 2 | AB |? 5 | F1 F2 | ∴ | AB |? ∴ ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 =10 ????( 6 分)
2

3

5 | F1 F2 | =10 2

又∵ y1=

3 3 x1 , y2= ? x2 , 2x=x1+x2 , 3 3

5

2y=y1+y2 ∴y1+y2=

3 3 (x1-x2) ,y1-y2= (x1+ x2) 3 3

∴ [

3 ( x1 ? x2 )]2 ? [ 3( y1 ? y2 )]2 =10 3

∴3(2y) +

2

1 x2 3 y 2 2 (2x) =100∴ ? ? 1 ,即为 M 的轨迹方程。 ????(10 分) 3 75 25
10 3 的椭圆。??(12 分) 3

则 M 的轨迹是中心在原点,焦点在 x 轴上长轴长为 10 3 ,短轴长为

20. 解:证明:(Ⅰ)连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN ∵BC∥AD 且 BC=

1 AD,即 BC // AQ. 2

∴四边形 BCQA 为平行四边形,且 N 为 AC 中点, 又∵点 M 是棱 PC 的中点,∴ MN // PA MN ? 平面 MQB,PA ? 平面 MQB, ∴ PA // 平面 MBQ ???????????? 4 分 (Ⅱ) ∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD,且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥平面 ABCD ∵AD // BC,BC=

1 AD,Q 为 AD 的中点, ∴四边形 BCDQ 为平行四边形,∴CD // BQ 2

∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD. ???????????? 6 分 如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. z P M D Q A x N B y C

则平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1) ; Q (0, 0, 0) , P (0, 0, 3) , B (0, 3, 0) , C (?1, 3, 0) 则 PC ? (?1, 3, ? 3) , QP ? (0, 0, 3) 设 PM ? t PC , (0 ? t ? 1) , 在平面 MBQ 中, QB ? (0, 3, 0) , QM ? QP ? t PC ? (?t , 3t , 3 ? 3t ) , ??????8 分 ∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3 ? 3t , 0, t ) ??????10 分 ∵二面角 M-BQ-C 为 30°,

?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

??

? ?? 3 3 | n?m | |t | 3 ,∴ t1 ? , t2 ? (舍) cos 30 ? ? ?? ? ? 4 2 2 n m ( 3 ? 3t ) 2 ? 0 ? t 2
?



PM 3 = ??????12 分 PC 4
6

21. (1)由题意可知 a ? 2b 且

3 1 ? 2 ? 1 ? b2 ? 1 , 2 a 4b

所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ???????????? 3 分 4
? y ? kx ? m
2 2 ?x ? 4 y ? 4

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m (m≠0) , A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 由 ?

?

(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0
?8km ? x1 ? x2 ? ? ? 1 ? 4k 2 ???????????? 4 分 ? 2 4 m ? 4 ?x ? x ? 1 2 ? 1 ? 4k 2 ?

? k1、k、k2 恰好构成等比数列.

? k 2 ? k1k2 ?

y1 y2 (kx1 ? m)(kx2 ? m) = x1 x2 x1 x2

2 2 ?8k 2 m 2 m ?1 ? 4k ? 即k ? k ? ? ? ?4k 2 m 2 ? m 2 ? 0 4m 2 ? 4 4m 2 ? 4 2 2

?k2 ?

1 1 ?k ?? 4 2
2 2

???????????? 6 分

此时且 ? ? 16(1 ? 4k ? m ) ? 0
2 2

? ? 16(2 ? m 2 ) ? 0

得 0<m <2,且 m ≠1(否则:x1x2=0,则 x1,x2 中至少有一个为 0,直线 OM、ON 中至少有一个斜率不存在, 矛盾! )??????? 7 分

? x1 ? x2 ? ?2m ?? 2 ? x1 ? x2 ? 2m ? 2
2 2 = OA ? OB ? x12 ? y12 ? x2 ? y2 2 2

3 2 2 x1 ? x2 ? ??2 4

=

3? 2 x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? 2 ? 5 ? ? 4?
2 2

所以 OA ? OB 是定值为 5. (3) S ?

?????????? 8 分

m 1 1 AB ? d ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 2 1? k 2

= =

1 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 m =

1 4m 2 ? ? 8m 2 ? 8 ? m 2

?(m 2 ? 1) 2 ? 1 (0<m2<2,且 m2≠1) ???????????? 10 分

7

? S ? (0,1)

???????????? 12 分

22. 解法一: (I)曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? 化为直角坐标方程为:

x 2 ? y 2 ? 4x ? 0

直线 l 的直角坐标方程为: y ? x ? m

? 圆心到直线 l 的距离 d ? 2 2 ? ( 14 ) 2 ? 2 ,
2 2

?

|2?0?m| 2

?

2 2

?| m ? 2 |? 1

? m ? 1或m ? 3

? 2 x? t?m ? ? 2 2 2 解法二:把 ? ( t 是参数)代入方程 x ? y ? 4 x ? 0 , 2 ?y ? t ? 2 ?
得t2 ?

2 ( m ? 2 )t ? m 2 ? 4 m ? 0 ,

? t 1 ? t 2 ? ? 2 ( m ? 2), t 1 t 2 ? m 2 ? 4m .
?

| AB |?| t 1 ? t 2 |? ( t 1 ? t 2 ) 2 ? 4t 1 t 2 ? [? 2 ( m ? 2)]2 ? 4( m 2 ? 4m ) ? 14 .
2 2

? m ? 1或m ? 3
(2)曲线 C 的方程可化为 (x ? 2) ? y ? 4 ,其参数方程为

? x ? 2 ? 2 cos ? (? 为参数) ? ? y ? 2sin ?

? ? M ? x , y ? 为曲线 C 上任意一点, x ? y ? 2 ? 2 2 sin(? ? ) 4
? x ? y 的取值范围是 [2 ? 2 2, 2 ? 2 2]
23.(1)由已知可得 ?

?a ? 1 ,所以 1 ? a ? 2 ,因为 a ? N ? ,所以 a=2??????4 分 ?a ? 2

(2)因为 x ? 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? 4 所以 f(x)的最小值是 4. ?????????10 分

8


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