安徽省芜湖一中2012-2013学年高一上学期期中考试数学试题[1]

芜湖一中 2012—2013 学年度第一学期期中考试答案

高一数学
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 A 5 C 6 D 7 C 8 A 9 C 10 D 11 D 12 C

二、填空题(本大题共有 4 小题,每题 4 分,共 16 分,把正确的答案写在横线上) 13. 4 14. (-

, 0]

15. 0 < a <

1 2

16.

②③④

三、解答题(本大题共 5 小题,共 48 分,写出必要解题步骤或过程) 17.(8 分)解: (1)当 a ? ?4 时, B ? {x | ?2 ? x ? 2}, 则

A ? B ? {x |

1 ? x ? 2}, 2

A ? B ? {x | ?2 ? x ? 3}

(2)若 (CR A) ? B ? B ,则 B ? CR A ? {x | x ? 3 或 x ? }

1 2

1? 、当 a ? 0 时, B ? ?, 满足 B ? CR A. 2? 、当 a ? 0 时, B ? {x | ? ?a ? x ? ?a }, 又 B ? CR A, 则 1 1 ?a ? ? ? ? a ? 0. 2 4 1 综上, a ? ? . 4
18.(8 分)解: (1)当 a ? ?1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ? 1 ,对 x ? [?3,3], 则
2

f m i n? f( 1 )? 1 ,f m a ? f ? 3 ? 1 7 . ( ) x
(2) f ( x) ? x ? 2ax ? 2 ? ( x ? a) ? 2 ? a 的对称轴为 x ? ?a, 又 y ? f ( x) 在 [?3,3] 上为
2 2 2

单调函数,则

?a ? ?3 或 ?a ? 3 , ?a ? 3 或 a ? ?3

19.(10 分)解: (1)任取 x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , 则

x1 ? x2 1 1 1 1 ) ? (1 ? )? ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? x1 , x2 ? (?1, ??), 且 x1 ? x2 , ? x1 ?1 ?0 ,x2 ? 1 ? 0x1 ? 2 ?, , x 0 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?
? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x) 为 (?1, ??) 上的增函数。

(2)令 t ? 2 , 则 t ?[2, 4], 由(1)可知 g (t ) ?
x

t 在 [2, 4] 上为增函数,则 t ?1

f m i n? g ( 2 ) ?

2 , 3

4 f max ? g (4) ? . 5

20.(10 分) 解: (1)因为 f ( x) 为 R 上奇函数,所以 f (0) ? 0 . (2)设 x ? 0, 则 ? x ? 0, 则

f (? x) ? (? x)2 ? 2(? x) ? x 2 ? 2 x ? ? f ( x) ,

? x ? 0 时, f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ,
? x 2 ? 2 x, x ? 0 ? ? f ( x) ? ? 2 . ? ? x ? 2 x, x ? 0 ? 2 (3)? f ( x) ? x ? 2 x 在 (0, ??) 上为增函数,且 f (0) ? 0 , f ( x) 为 R 上奇函数 ? f ( x) 在 R 上为增函数,

?原不等式可变形为: t 2 ? 2t ? 2t 2 ? k ,对任意 t ? R 恒成立, ? k ? (t 2 ? 2t )min ? ?1
21.(12 分) 解: (1)由条件知幂函数 f ( x) ? x

?2m2 ? m ? 3? 0
又 m ? Z , ? m ? 0 或 1.
3

(m ? ?) 在 (0, ??) 上为增函数,则 3 ??1 ? m ? , 2

?2 m2 ? m ? 3

当 m ? 0 时, f ( x) ? x , 不满足 f ( x) 为偶函数; 当 m ? 1时, f ( x) ? x , 满足 f ( x) 为偶函数;
2

? f ( x) ? x 2 .
(2) g ( x) ? log a ( x ? ax), 令 h( x) ? x ? ax ,由 h( x) ? 0 得:
2

2

x ? (??, 0) ? (a, ??) ? g ( x) 在 [2,3] 上有定义,? 0 ? a ? 2 且 a ? 1,
? h( x) ? x 2 ? ax 在 [2,3] 上为增函数。

1? 、当 1 ? a ? 2 时, g max ? g (3) ? log a (9 ? 3a) ? 2,
?3 ? 3 5 2 ?3 ? 3 5 ?1 ? a ? 2,? a ? 2 ? 2 、当 0 ? a ? 1时, gmax ? g (2) ? log a (4 ? 2a) ? 2, ? a 2 ? 3a ? 9 ? 0 ? a ?
? a 2 ? 2a ? 4 ? 0 ? a ? ?1 ? 5 ? 0 ? a ? 1,?此种情况不存在,
综上 ,存在实数 a ?

?3 ? 3 5 ,使 g ( x) 在区间 [2,3] 上的最大值为 2. 2


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