2014届内蒙古鄂尔多斯市高三下学期模拟考试文科数学试卷(带解析)

2014 届内蒙古鄂尔多斯市高三下学期模拟考试文科数学试卷(带解 析)
一、选择题 1.已知全集 A. 【答案】A 【解析】 试题分析: 考点:集合的运算. 2.复数 A.第一象限 【答案】D 【解析】 试题分析: 考点:复数与复平面上的点. 3.已知实数 满足不等式组 则目标函数 的最小值 与最大值 的积为() ,对应点 ,在第四象限. ( 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为() B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ,∴ . B. ,集合 C. ,集合 D. ,则 为()

A.

B.

C.

D.

【答案】A 【解析】 试题分析:如图,约束条件表示的可行域为 内部(含边界),再作出直线 移直线 ,当直线 过点 时, 分别取得最小值和最大值,计算得 ,积为 . ,平 ,

考点:线性规划.

4.在△ ABC 中, A. B.

, C.

,△ D.

的面积为

,则边 的值为()

【答案】C 【解析】 试题分析:由题意, , 考点:解三角形. 5.如果 A. 【答案】B 【解析】 试题分析:首先有 ,故选 B. 考点:对数函数的性质. 6.若 A. B. ,则 C. D. 的值为() ,其次由 得 ,则 ,所以 B. ,那么 a、b 间的关系是() C. D. . ,解得 ,∴

【答案】D 【解析】 试题分析: ∴ 考点:二倍解公式,诱导公式. 7.某学生一个学期的数学测试成绩一共记录了 6 个数据: ,执行如图所示的程序框图,那么输出的 是() . ,

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 试题分析:本程序框图的算法是统计 中大于 60 的个数,因此最后输出的是 考点:程序框图. 8.已知双曲线 的两条渐近线与以椭圆 的左焦点为圆心、半径为 的 .

圆相切,则双曲线的离心率为() A. B. C. D.

【答案】A 【解析】 试题分析:椭圆的左焦点为 ,解得 ,双曲线的渐近线为 ,即 ,由题意 .

,双曲线的半焦距为

,双曲线离心率为

考点:双曲线的性质,椭圆的性质,直线与圆相切. 9.已知某几何体的三视图如右图所示,其中俯视图是圆,且该几何体的体积为 ;直径为 2 的球的体积为 .则 ()

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】

试题分析:由题意,该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥得到的几何体, , 考点:三视图,体积. 10.已知函数 ( ),则 的最小值为() A. 【答案】B 【解析】 试题分析: 或 时, ,由题意 的最小值是 ,当 ,选 B. B. C. , 是函数 的导函数,且 有两个零点 和 ,∴ .选 B.

D.以上都不对

,当

时,

,因此

考点:函数的极值与最值. 11.已知直线 (k>0)与抛物线 ,则 k 的值为() A. B. C. D. 相交于 A、B 两点, 为 的焦点,若

【答案】C 【解析】 试题分析:设 得 ,选 C. 考点:直线与抛物线相交问题与抛物线的焦半径. 12. 是定义在 的叙述正确的是() 上的奇函数,其图象如图所示,令 ,则下列关于函数 ( , ),由 ②, 得 ①,又由 ③,由①②③可解得

A.若 B.若 C.若

,则函数

的图象关于原点对称 ,则方程 有大于 2 的实根 有两个实根

,则方程

D.若 【答案】B 【解析】

,则方程

有两个实根

试题分析: 还是奇函数,当 时, 不是奇函数,其图象不可能关于原点 对称,A 错;如 ,则函数 的极小值小于 , 时,把 图象向上平移 2 个单位, 的极小值小于 0,方程 仍然有三个根,C 错, 极大值为 ,当 时, 的极大值小于 0,方程 只有一个根,D 错,故选 B. 考点:函数图象变换,函数的零点. 二、填空题 1.为了普及环保知识,增强环保意识,某高中随机抽取 30 名学生参加环保知识测试,得分 (十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 ,众数为 ,平均值为 ,则这三个数的大小 关系为_____ _____ _____.

【答案】 【解析】 试题分析:由题意中位数为 ,众数为 ,平均值为 ,因此 考点:频数分布直方图与中位数、众数、平均值. 2.已知 是两个单位向量,若向量 ________. 【答案】 【解析】 试题分析: . 考点:向量的夹角. 3.正四棱锥 的五个顶点在同一球面上,若该正四棱锥的底面边长为 2,侧棱长为 则这个球的表面积为_________. 【答案】 , ,∴ ,即 , ,则向量 与 的夹角是 .

【解析】 试题分析:如图 是正四棱锥 外接球的球心, 中, 是底面中心, ,解得 , ,所以

,设球半径为 ,在 .

考点:正棱锥的外接球. 4.已知函数 且 【答案】 【解析】 试题分析: ,则 ,又 ,∴ . , ,则 =___________. ,若函数 的图象关于点 对称,

考点:三角函数图形的变换,三角函数的对称点心. 三、解答题 1.已知等比数列 (1)求数列 (2) 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)∵{an}是正项等比数列, 为正项递增数列,且 的通项公式; ,求 . ;(2) . , ,数列 .

两式相除得: ∴ 或 ,

.

2分

∵ ∴ (2) =

为增数列,∴ ,

.

4分 . 6分

12 分(三步,每步 2 分)

考点:等比数列的通项公式,分组求和法. 2.菱形 到三棱锥 的边长为 3, 与 交于 ,且 是棱 的中点, .将菱形 . 沿对角线 折起得

(如图),点

(1)求证:平面 (2)求三棱锥

平面 的体积.



【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

.

试题分析:(1)如证两平面垂直,一般根据判定定理证线面垂直,因此我们着重寻找这条 直线,在图形中有 ,因此若要证的两平面已经垂直了,那么直线 一定垂直于平面 ,故下面就是要证 平面 ,按照刚才的分析,还需在平面 内找一条直线与 垂直,看已知 求三棱锥 的面积即可. 试题解析:(1)由题意, 因为 又因为菱形 因为 因为 (2)三棱锥 由(1)知, 平面 ,所以 ,所以 ,所以 平面 , . , 平面 . 6分 , .3分 ,而 , ,可见 ,至此题设得证;(2)

体积,要作棱锥的高,直接作不太方便,我们把棱锥的底转换下, ,由(1)中知 就是三梭锥 的底面 上的高,下面只要求出

,所以平面 的体积等于三棱锥 平面 ,

的体积.

所以

为三棱锥 的面积为

的高. , .

8分 10 分 12 分

所求体积等于

考点:面面垂直,几何体的体积. 3.在某次体检中,有 6 位同学的平均体重为 65 公斤.用 表示编号为 体重,且前 5 位同学的体重如下: 编号 n 体重 xn 1 60 2 66 3 62 4 60 5 62 ; 中的概率. 的同学的

(1)求第 6 位同学的体重 及这 6 位同学体重的标准差

(2)从前 5 位同学中随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学的体重在区间 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)本题应用平均值公式 , ;(2) .

就可直接求得 ,再用标准差公式

就可求得标准差;(2)此题概率属于古典概型问题,从前 5 位同学中任取 2 名,共有 法为 种选取方法,而其中体重在区间 ,从而可得概率为 . ,∴ 2分 里的有 4 人,因此符合题意的选取方

试题解析:(1)由题意

考点:平均值,标准差,古典概型.

4.已知椭圆 B 两点,以

过点

,且离心率为 .

.斜率为 的直线 与椭圆 交于 A、

为底边作等腰三角形,顶点为

(1)求椭圆 的方程; (2)求△ 的面积. ;(2) .

【答案】(1) 【解析】

试题分析:(1)要求椭圆标准方程,就是要求得 本题中有离心率

,因此我们要寻找关于 ,即

的两个等式, ,再结合

,是一个等式,另一个是椭圆过点

可解得 ,得到标准方程;(2)要求△ 的面积,应该先确定 位置, 也即确定直线 ,我们可以设 的方程为 ,条件 是以 为底边的等腰三角形怎么 应用?这个条件用得较多的是其性质,三线合一,即取 的中点 ,则有 ,我们就 用这个来求出参数 的值,方法是设 , 的中点为 ,把直线方程代入 椭圆方程,可得 得到点 ,从而求出 用 表示,再由 可很快求得 ,以后就可

的坐标,求出面积. . ,所以椭圆 G 的方程为 . . ① 6分 1分 . 4分

试题解析:(1)由已知得 解得 .又

(2)设直线 l 的方程为 由 得

设 A、B 的坐标分别为 则 因为 AB 是等腰△ 的底边, .

AB 中点为 E 8分



所以 PE⊥AB.所以 PE 的斜率

,解得 m=2.

10 分

此时方程①为 所以

,解得 ,所以|AB|= .



此时,点 P(-3,2)到直线 AB: 所以△ 的面积 S= .

的距离 12 分



考点:椭圆的标准方程,直线与椭圆相交综合问题(相交弦长,点到直线距离,三角形面积 等). 5.已知 (1)若 (2)若 且 ,求 的极大值点;

存在单调递减区间,求 的取值范围. .

【答案】(1) ;(2) 【解析】

试题分析:)(1)极值点的求法是利用导数知识求解,求出 后确定当 以及 时的 的符号,若当 时, 是极大值点,反之是极小值点;(2) 说明不等式 有解,考虑到 时, 且

,求得 的解 ,然 ,当 时, ,则 ,它存在单调递减区间, ,因此不等式 时, 的图象是开 的图象是开口向下的抛物线, ,故只要

在 上有解,下面利用二次函数知识就可得出结论,当 口向上的抛物线,在 上一定有解,当 时, 在 上要有解,则 ,方程一定有正根. 试题解析:

至少有一正根,由于此时对称轴为

令 h′(x)=0,则 3x +2x-1=0,x1=-1,x2=

2

. 3分

所以

的极大值点为 .

6分

当 a>0, 而 当 a<0, 总有

为开口向上的抛物线, 的解; 8分 有 的解;

为开口向下的抛物线,

则 综上所述,

且方程 .

至少有一正根,此时-1<a<0 11 分 12 分

考点:(1)求极值点;(2)导数与函数的单调性,不等式恒有解问题. 6.如图: 是⊙ 的直径, 是弧 的中点, ⊥ ,垂足为 , 交 于点 .

(1)求证: (2)若

=

; 的长. .

=4,⊙ 的半径为 6,求

【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】

试题分析:(1)要证 ,只要证 ,一种方法这两个角能否放在一对全等 三角形中,为此我们连接 交 于 ,由圆的性质知 ,这里就有 , 要证的角对应相等了,当然也可以证明 RtΔCEO≌RtΔBMO,从而 ,也能得到 ,由于在圆中.我们还可以 交圆于点 ,可得到到 ,那么等弧所 对的圆周角相等,结论得证;(2)由(1)可知 ,下面在 中可求得 , 在 中可求得 . 试题解析:(1)证法一:连接 CO 交 BD 于点 M,如图 1 1 分 ∵C 为弧 BD 的中点,∴OC⊥BD 又∵OC=OB,∴RtΔCEO≌RtΔBMO ∴∠OCE=∠OBM 3分 4分 5分 2分

又∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC ∴∠FBC=∠FCB,∴CF=BF

证法二:延长 CE 交圆 O 于点 N,连接 BN,如图 2 1 分 ∵AB 是直径且 CN⊥AB 于点 E ∴∠NCB=∠CNB 2分

又∵弧 CD=弧 BC,∴∠CBD=∠CNB 3 分 ∴∠NCB=∠CBD 即∠FCB=∠CBF 4分

∴CF=BF

5分

(2)∵O,M 分别为 AB,BD 的中点 ∴OM=2=OE ∴EB=4 在 Rt△ COE 中, ∴在 Rt△ CEB 中, 考点:(1)证明线段相等;(2)求线段的长. 7.已知曲线 的参数方程是 轴建立极坐标系,曲线 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 轴的正半轴为极 . 7分 9分 10 分

的极坐标方程是 的直角坐标方程; 、

(1)写出 的极坐标方程和 (2)已知点 射线 与曲线 、

的极坐标分别是

,直线

与曲线

相交于 、 两点, 的值.

相交于点 ,射线 :

与曲线 相交于点 ,求 , ;(2) .

【答案】(1) 【解析】

试题分析:(1)题中参数方程化为普通方程只要消去参数 ,极坐标系与直角坐标系的互化 公式为: ;(2)首先明确 是什么?可把点 ,即 ,代入 坐标化为直角坐标,发现 ,我们在极坐标系中 ,代入

就是圆心,从而线段

是圆的直径,因此题中有

证明本题结论较方便,因为可设 即可求得 . 的普通方程为

的极坐标方程,可得

试题解析:(1)曲线

1分

化为极坐标方程为: 曲线 的普通方程为:

3分 5分 , 的一条直径, ,有 6分 分别代入 ,

(2)在直角坐标系下, 线段 ∴ 是是圆 ,由

是椭圆上的两点,在极坐标系下,设





8分

解得:



. 9分

则 即 10 分

.

考点:(1)参数方程,极坐标方程与普通方程的互化;(2)极径的计算. 8.已知 (1)求 的值; (2)若 【答案】(1)2;(2) 【解析】 试题分析:(1)我们首先求出不等式 的解集,这个解集与 相等,由此可 求得 ;(2) ,一种方法,这个函数是分段函数,我们把它化为 一般的分段函数表达式,以便求出它的最大(小)值,从而求得 的最大值,得到 的取值范围,也可应用绝对值不等式的性质 ,求得最大值. 试题解析:解法一:(1)由不等式|2x-a|-a≤2,得|2x-a|≤2+a, ∵解集不空,∴2+a≥0. 解不等式可得{x∣-1≤x≤1+a}. ∵-1≤x≤3,∴1+a﹦3,即 a=2. 3分 5分 6分 对一切实数 恒成立,求实数 的取值范围. . ,不等式 的解集为 .

(2)记 g(x)=f(x)-f(x+2)=|2x-2|-|2x+2|,

4,(x≤-1)

则 g(x)=-4x,(-1﹤x﹤1). -4,(x≥1)

8分

所以-4≤g(x)≤4,∴|g(x)|≤4,因此 m≥4.

10 分

解法二:∵f(x)-f(x+2)=|2x-2|-|2x+2|, ∵|2x-2|-|2x+2|≤|(2x-2)-(2x+2)|=4. 7分

|2x-2|-|2x+2|≥|2x|-2-(|2x|+2)=-4. 9 分 ∴-4≤|2x-2|-|2x+2|≤4. ∴|f(x)-f(x+2)|≤4. ∴m≥4. 10 分

考点:(1)解绝对值不等式;(2)分段函数的最值,不等式恒成立问题.


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