南京市2012届高三第二次模拟数学学科情况分析

南京市 2012 届高三第二次模拟考试 数学学科情况分析 一、数据分析 全市数学统计参加考试人数:29492,均分:85.3,难度 系数:0.53.其中选修理科的学生 15753 人,附加题部分均 分 24. 二、阅卷反馈 数学正卷部分 【各小题得分情况】 1.填空题 题 号 均 分 3.9 4.6 4.4 4.8 3.8 4.0 3.6 3.6 4.0 3.0 3.9 0.4 0.1 1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

2.解答题 题 15 16 17 18 19 20

号 (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (3) (1) (2) (3) 均 分 4.4 6.2 6.7 4.1 4.8 3.5 4.1 1.1 2.2 0.8 0.1 1.3 0.6 0.1

15. 【评分细则】 解: 1) ( 解法一 因为 a·b=2+sinθcosθ= 13 , 所以 sinθcosθ 6

1 = . 6 所 以 4 . 3

?????? 2 分 (sinθ + cosθ)2 = 1 + 2 sinθcosθ =

?????? 2 分 又 因 为 θ 为 锐 角 , 所 以 sinθ + cosθ =

2 3 . 3 解法二 1 = . 6

??????1 分 因为 a·b=2+sinθcosθ= ?????? 2 分 得 36sin4θ-36sin2θ?????? 1 分
2 ?1 6

13 ,所以 sinθcosθ 6

cos2θ+sin2θ=1, +1=0 sinθ = 2 3 . 3 ( 2 ) 2. , cosθ =

2 ?1 6

, 所 以 sinθ + cosθ =

?????? 2 分 解 法 一 因 为 a ∥ b , 所 以 tanθ = ?????? 2 分

所 以 sin2θ= 2 sinθcosθ= 4 , 5

2 sinθcosθ 2 tanθ = 2 2 = sin θ+cos θ tan2θ+1

?????? 2 分 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ cos2θ=cos θ-sin θ= = = sin2θ+cos2θ tan2θ+1
2 2

3 - . 5

?????? 2 分 π 1 3 )= sin2θ+ cos2θ 3 2 2 = 1 4 × + 2 5 3 3 × ( - 2 5 ) =

所以 sin(2θ+

4-3 3 . 10 解 法 二 2. 所 5 . 5 2分 以 sinθ 因 为

?????? 3 分 a ∥ b , 所 以 tanθ =

?????? 2 分 = 2 5 5 , cosθ =

??????

4 因此 sin2θ=2 sinθcosθ= , cos2θ=cos2θ-sin2θ=- 5 3 . 5 ?????? 2 分 所以 sin(2θ+ π 1 3 )= sin2θ+ cos2θ 3 2 2 = 4-3 3 . 10 【其它解法】 (1)第(2)问: sin(2? ? ? ) ? sin 2? cos ? ? cos 2? sin ?
3 3 3

1 4 × + 2 5

3 3 × ( - 2 5

) =

?????? 3 分


sin ? cos ? ? (2cos 2 ? ? 1) 3 3 ? (2 ? 3) cos 2 ? ? 2 2
3 3 3

(2)第(2)问: sin(2? ? ? ) ? sin 2? cos ? ? cos 2? sin ? =
sin ? cos ? ?

3 (cos 2 ? ? sin 2 ? ) 2 cos 2 ? ? sin 2 ?
2

= 【典型错误】

t a?? n

3 ?1 ( 2 1 ? t a2 ? n

tan ?



)

(1)公式不清楚; (2)向量平行的公式不清楚; (3)计算 出错; (4)三角求值的符号出错. 16. 【评分细则】 解: (1)证明:因为 ABCD 为矩形,所以 AB⊥BC.① 因为平面 ABCD⊥平面 BCE,② 平面 ABCD∩平面 BCE=BC,AB?平面 ABCD, 所以 AB⊥平面 BCE. ?????? 3 分
A O D

(说明:条件①②缺一不得分) 因为 CE?平面 BCE,所以 CE⊥AB.③
B F

C

因为 CE⊥BE④,AB?平面 ABE,BE?平面 ABE,AB E ∩BE=B, 所 ABE. 以 CE ⊥ 平
(第 16 题图)



?????????

? 3分 (说明:条件③④缺一不得分) 因 为 CE? 平 面 AEC , 所 以 平 面 AEC ⊥ 平 面 ABE. ?????????? 2 分

(2)连结 BD 交 AC 于点 O,连结 OF. 因为 DE∥平面 ACF⑤,DE?平面 BDE,平面 ACF∩ 平面 BDE=OF, 所 DE//OF. ????? 4 分 (说明:缺少条件⑤不得分) 又因为矩形 ABCD 中,O 为 BD 中点, 所 1 . 2 以 F 为 BE 中 点 , 即 BM BF = 以 ?????

?????????? 2 分

BM 1 (说明:若(2)中由 BF = 证得 DE∥平面 ACF 扣 3 分) 2 【典型错误】 (1)罗列,没有推理过程; (2)第 2 小题把题目反过来证 明. 17. 【评分细则】 解 : ( 1 ) 由 题 意 知 b = 2 2 =

2.

?????????? 3 分 c 1 1-(a)2= . 2 a = ???????

c 3 b 因为离心率 e=a= ,所以a= 2 所 2 2. ??? 2 分 所 以 椭 圆 1. C 以

x2 y2 的 方 程 为 + = 8 2

??????????1 分

(2)证明:由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0, y0),则 直 线 ① 直 线 2. ② PM 的 方 程 为 y = y0-1 x + 1 , x0 y0-2 x + -x0

?????????? 1 分 QN 的 方 程 为 y =

?????????? 1 分 联 立 ① ② 解 得 x = x0 , y = 2y0-3

证 法 一 3y0-4 , 2y0-3

?????????? 3 分

3y0-4 x0 即 T( , ). 2y0-3 2y0-3 x02 y02 由 + =1 可得 x02=8-4y02. 8 2

2 2 x2 y2 1 x0 2 1 3y0-4 2 x0 +4(3y0-4) 所以 + = ( )+ ( )= 8 2 8 2y0-3 2 2y0-3 8(2y0-3)2

=1, 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. ????????? 3 分 证法二 设 T(x,y). 联 立 ① ② 解 得 3y-4 . 2y-3 x0 = x , y0 = 2y-3

????????? 3 分

x02 y02 1 x 2 1 3y-4 2 因为 + =1,所以 ( )+ ( ) =1. 8 2 8 2y-3 2 2y-3 x2 (3y-4) x2 9y2 2 整理得 + =(2y-3) ,所以 + -12y+8= 8 2 8 2 4y2-12y+9, x2 y2 即 + =1. 8 2 所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上.??????????3 分 说明: (1)第(1)问:只要由 b= 2,a=2 2,加上标准 x2 y2 方程 + =1.即可得满分.过程可以从简. 8 2 (2)第(1)问:没有任何过程,只正确写出标准方 x2 y2 程 + =1,只给 3 分. 8 2
2

(3)第(2)问:正确写出直线 PM 方程 y= 1,或 P,M,T(x,y)三点共线 或

y0-1 x+ x0

y0-y y0-1 y0-y y-1 = ,或 = x , x0 x0-x x0-x

y0-1 y-1 = x 等形式都得 1 分. x0 正确写直线 QN 的方程为 y= y0-2 x+2. P, T(x, 或 N, -x0

y)三点共线

y0-y y0-2 y0-y y-2 y0-2 y-2 = ,或 = x ,或 = x 形 x0 x0 x0-x x0-x 3y0-4 x0 ,y= ,不一定 2y0-3 2y0-3

式都得 1 分. (4)从方程组正确解出 x= 要写出 T 点坐标,即可得 3 分. x2 y2 (5) 代入 + 必须出现消元后的关于 y0 的一个正确式 8 4 8-4y02+4(3y0-4)2 x2 y2 子, 如 , 再下结论 + =1 即可得 3 分. 如 8 4 8(2y0-3)2
2 2 1 x0 2 1 3y0-4 2 x0 +4(3y0-4) 只代入只得 ( )+ ( )= =1(等 8 2y0-3 2 2y0-3 8(2y0-3)2

于 1 的前一个式中还是两个量 x0,y02)不给分. (6)如果正确解出 x0= 3y-4 x ,y0= 得 3 分,代入 2y-3 2y-3

x02 y02 1 x 2 1 3y-4 2 + =1,得 ( )+ ( ) =1.下面即可说:整理 8 2 8 2y-3 2 2y-3 x2 y2 得 + =1,不扣分. 8 2

x0 2 ( ) 2y0-3 y2 (7)在把 T 坐标代入椭圆方程时,用 + =1, 8 2 3y0-4 2 x0 解出 y2=( ) ,说明横坐标 的点,纵坐标 y2 与 T 2y0-3 2y0-3 的坐标相同,所以 T 在椭圆中.不扣. ( 8 ) 消 元 时 , 也 可 以 把 y02 换 成 x02 , 结 果 为 -8x02-96y0+136 =1,不扣分. -8x02-96y0+136 8-x02 (9)设 M(x0, ),其他运算都正确,扣 1 分. 2 (10)设 M( 2-y02,y0),N(- 2-y02,y0)不扣分. (11)解出 T 的坐标符号不正确,如 T(- (,- x0 , )或 2y0-3

3y0-4 )只扣解交点的 3 分,后面证明不错,不扣分. 2y0-3

x2 y2 (12)直接把 T 坐标代入 + =1 推出,x02+4y02=8, 8 4 扣证明点在椭圆中 3 分. (13)设 M(2 2cos? , 2sin?),得 T( 3 2sin?-4 ),代入即可,不扣分. 2 2sin?-3 【典型错误】 (1)运算错误:把 a,b 求错;直线 PM,QN 方程求错; 交点 T 坐标求错;坐标代入出错等. (2)方法错误:不设点 M 坐标,而设 PM 斜率 k1,PN 斜 2 2cos? , 2 2sin?-3

率 k2, k1,2 表示 T 的坐标, 用 k 用不出 M, 对称关系. N 或 想把 PM,PN 分别与椭圆联列,解出交点,证明它们有 一个交点一样,即为 T 点.这些方法太繁,不好. (3)逻辑错误:一是先把点 T 坐标代入方程,推出满足条 件;二是把直线 PM 方程与椭圆方程联列论为解出的交 点到是 M,T 等. 18. 【评分细则】 解: (1)在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA. 同 理 , 在 △ CBD 中 , BD2 = CB2+CD2 -

2CB·CD·cosC. ??????? 3 分 因为∠A 和∠C 互补, 所 以 AB2+AD2 - 2AB · AD · cosA = CB2+CD2 - 2CB·CD·cosC = 2CB·CD·cosA. ???? 2 分 即 x2+(9-x)2-2 x(9-x) cosA=x2+(5-x)2+2 x(5-x) cosA. 解 2 x. 其 中 x ∈ 得 cosA = 2 x , 即 f( x) = CB2+CD2 +

???? 2 分 (2 ,

5). ? 1分 (2)四边形 ABCD 的面积

????????

1 1 S = (AB · AD+ CB · CD)sinA = [x(5 - x)+x(9 - 2 2 x)] 1-cos2A. = x(7 - x) 2 1-(x)2 = (x2-4)(7-x)2 =

(x2-4)( x2-14x+49).???? 3 分 记 g(x)=(x2-4)( x2-14x+49),x∈(2,5). 由 g′(x)=2x( x2-14x+49)+(x2-4)( 2 x-14)=2(x- 7)(2 x2-7 x-4)=0, 解 舍). 得 x = 4(x = 7 和 x = - 1 2

????????? 3 分

所以函数 g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5) 内单调递减. 因此 g(x)的最大值为 g(4)=12×9=108. 所以 S 的最大值为 108=6 3. 答 : 所 求 四 边 形 ABCD 面 积 的 最 大 值 为 6 3 m2. ????????? 2 分

说明: (1)如:BD2 =AB2+AD2-2AB·AD·cosA 和 BD2 =CB2+CD2 -2CB·CD·cosC.没有写. 直接得到

AB2+AD2-2AB·AD·cosA=CB2+CD2-2CB·CD·cosC, 或 AB2+AD2 - 2AB · AD · cosA = CB2+CD2 +

2CB·CD·cosA.或 x2+(9-x)2-2 x(9-x) cosA=x2+(5-x)2 +2 x(5-x) cosA.都得 5 分. (2)在两个三角形中分别写出 cosA,cosC,下面不正 确,也给 3 分. (3)第(2)问中,只要正确得到关于 x 的(不含 A) 的一个解析式即可得 3 分. (4)在求面积最大值时,不论用什么方法,得极值点 x =4,得 3 分. 1 (5)如果极值点 x=7,或 x=- 没有舍去.不扣分. 2 (6)结果正确得 2 分. (7)不下结论或不写单位共扣 1 分. 【典型错误】 (1)不知道如何运用条件,建立 cosA,cosC,BD 和 x 的 关系式,0 分不少; (2)余弦定理的两种形式不能灵活选择,不少学生得到 AB2+AD2-BD2 AB2+AD2-BD2 =- 后,因运算量 2AB·AD 2AB·AD 大,不能消去 BD 或结果算错; (3)求得 cosA= 14-2x 等后,不化简,给第(2)小题带来麻 7x-x2

烦; (4)导数运算不过关,利用导数求函数极值方法不熟练; (5)忘记定义域; (6)不下结论,不写单位; (7)算理不清,运算能力低,错误多. 19. 【评分细则】 解: (1)记 g(x)=ex-bx.当 b=1 时,g?(x)=ex-1. 当 x>0 时, g?(x)>0, 所以 g(x)在(0, +∞)上为增函数. 又 g(0)=1>0,所以当 x∈(0,+∞)时,g(x)>0. 所以当 x∈(0, +∞)时, f(x)=∣g(x)∣=g(x), 所以 f?(1) =g?(1)=e-1. 所以曲线 y=f(x)在点(1,e-1)处的切线方程为: y-(e-1)=(e-1)(x-1), 即 1)x. ??? 4 分 (没有说明“在 x=1 附近,f(x)=ex-bx”的扣 1 分) (2)解法一 f(x)=0 同解于 g(x)=0,因此,只需 g(x)=0 y = (e -

???????

有且只有一个解. 即方程 ex-bx=0 有且只有一个解. 因为 x=0 不满足方程,所以方程同解于 b=

ex x.

?????????? 2 分 (x-1)e ex 令 h(x)= x ,由 h?(x)= =0 得 x=1. x2 当 x∈(1,+∞)时,h?(x)>0,h(x)单调递增,h(x)∈(e,
x

+∞); 当 x∈(0,1)时,h?(x)<0,h(x)单调递减,h(x)∈(e, +∞); ex 所以当 x∈(0,+∞)时,方程 b= x 有且只有一解等价 于 b=e.???? 2 分 当 x∈(-∞,0)时,h(x)单调递减,且 h(x)∈(-∞, 0), ex 从而方程 b= x 有且只有一解等价于 b∈(-∞,0). 综 上 所 述 , b 的 取 值 范 围 为 ( - ∞ , 0) ∪ {e}. ??????????? 2 分 f(x)=0 同解于 g(x)=0, 因此, 只需 g(x)=0 有且

解法二

只有一个解. 即方程 ex-bx=0 有且只有一个解,即 ex=bx 有且只 有一解. 也 即曲 线 y= ex 与 直线 y=bx 有且只 有一个 公 共 点. ???????? 2 分 如图 1, b<0 时, 当 直线 y=bx 与 y=ex 总是有且只有
y y=bx 1 1 O 1 x O 1 y=bx x y=ex y y=ex

一个公共点,满足要求. ? ????????? 2 分

如图 2,当 b≥0 时,直线 y=bx 与 y=ex 有且只有一个 公共点, 当且仅当直线 y=bx 与曲线 y=ex 相切. x 设切点为(x0,e 0),根据曲线 y=ex 在 x=x0 处的切线 方程为: x x y-e 0=e 0(x-x0). x 把原点(0,0)代入得 x0=1,所以 b=e 0=e. 综 上 所 述 , b 的 取 值 范 围 为 ( - ∞ , 0) ∪ {e}. ?????????? 2 分

(直接写出结果,没有计算求解 b=e 的扣 1 分) (3)由 g?(x)=ex-b=0,得 x=lnb. 当 x∈(-∞,lnb)时,g?(x)<0,g(x)单调递减. 当 x∈(lnb,+∞)时,g?(x)>0,g(x)单调递增. 所以在 x=lnb 时,g(x)取极小值 g(lnb)=b-blnb=b(1 -lnb).???? 2 分 ①当 0<b≤e 时, g(lnb)=b-blnb=b(1-lnb)≥0,从而

当 x∈R 时,g(x)≥0. 所以 f(x)=∣g(x)∣=g(x)在(-∞,+∞)上无极大值. 因 此 , 在 值. x ∈ (0 , 2) 上 也 无 极 大

??????????? 2 分

②当 b>e 时,g(lnb)<0. 因为 g(0)=1>0,g(2lnb)=b2-2blnb=b(b-2lnb)>0, 2 (令 k(x)=x-2lnx.由 k?(x)=1-x=0 得 x=2,从而当 x∈(2,+∞)时,k(x)单调递增,又 k(e)=e-2>0,所 以当 b>e 时,b-2lnb>0. ) 所以存在 x1∈(0,lnb),x2∈(lnb,2lnb),使得 g(x1)= g(x2)=0. 此时
?g(x),x≤x1或x≥x2, ? f(x)=∣g(x)∣=? ?-g(x),x1<x<x2. ?

所以 f(x)在(-∞,x1)单调递减,在(x1,lnb)上单调递 增,在(lnb,x2)单调递减, 在(x2,+∞)上单调递增. 所以在 x=lnb 时,f(x)有极大值. 因为 x∈(0,2).所以,当 lnb<2,即 e<b<e2 时,f(x) 在(0,2)上有极大值; 当 lnb≥2,即 b≥e2 时,f(x)在(0,2)上不存在极大值. 综上所述,在区间(0,2)上, 当 0<b≤e 或 b≥e2 时,函数 y=f(x)不存在极大值;

当 e<b<e2 时, 函数 y=f(x), x=lnb 时取极大值 f(lnb) 在 =b(lnb-1). ???? ???????? 2 分 【典型错误】 (1)第(1)问:i)主要是缺少 f ( x) ? ex ? x ? 0 的判断,约占 百分之四十; ii)固守含绝对值问题的常规思维,分
e x ? x ? 0 及 e x ? x ? 0 两种情况讨论,写出两组切线方程,约占百

分之二十; (2)第(2) (3)问: i)约有百分之二十的空白卷未作解 答; ii)理解题意不困难,但部分考生仅 有图像的形象说明,缺少必要的说理,特别对函数的单调性 交待不明导致得分不全. 20. 【评分细则】 解: (1)当 n=1 时,a1=3. a2 a3 an 当 n ≥ 2 时 , 由 a1 + λ + 2 + ? + n-1 = n2 + 2n , λ λ ① an-1 a2 a3 得 a1+ λ + 2+?+ n-2=(n-1)2+2(n- λ λ 1). ②

①-②得: ≥2) .

an n- 1 , (n n-1=2n+1,所以 an=(2n+1)·λ λ

因 为 a1 = 3 , 所 以 an = (2n + 1)·λn N*). ?????????? 4 分 (没有单列 a1 ? 3 的,扣 1 分) (2)当 λ=4 时,an=(2n+1)·4n 1. 若存在 ar,as,at 成等比数列,则 [(2r + 1) ·4r 1)2 ·42s 2. 整 理 得 (2r + 1) (2t + 1) 4 1)2. ?????????? 2 分
r
+ - - -



1

(n ∈

1

] [(2t + 1) ·4t

-1

] = (2s +

t



2s

= (2s +

由奇偶性知 r+t -2s=0. 所以(2r+1) (2t+1)=(r+t+1)2,即(r-t)2=0. 这与 r≠t 矛盾,故不存在这样的正整数 r,s,t,使得 ar,as,at 成等比数列. ?? ??????? 2 分 (3)Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn 1. 当 λ=1 时,Sn=3+5+7+?+(2n+1)=n2+2n. 当 λ≠1 时,Sn=3+5λ+7λ2+?+(2n+1)λn 1, λSn = 3λ+5λ2 +?+(2n-1)λn
-1 - -

+(2n+

1)λn. (1-λ)Sn =3+2(λ+λ2 +λ3 ++?+λn 1)-(2n+ 1)λn λ(1-λn 1) = 3 + 2× 1-λ 1)λn. ????????? 2 分 (没有讨论 ? ? 1 的,扣 1 分) 要对任意 n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn 恒成立, ①当 λ=1 时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥2,结论 显然成立; λ(1-λn 1) ②当 λ≠1 时,左=(1-λ)Sn+λan=3+2× - 1-λ (2n+1)λn+λan λ(1-λn 1) 3-λ 2λn =3+2× = - . 1-λ 1-λ 1-λ 因此,对任意 n∈N ,都有
10
* - - - -

- (2n +

3-λ 4-2λ n ≥ ·λ 恒成立. 1-λ 1-λ

当 0<λ<1 时,只要

3-λ * ≥λn 对任意 n∈N 恒成立. 4-2λ

只要有

3-λ 3 ≥λ 即可,解得 λ≤1 或 λ≥ . 2 4-2λ 0 < λ < 1 时 , 结 论 成

因 此 , 当 立.
20

?????????? 4 分 当 λ≥2 时, 3-λ 4-2λ n ≥ ·λ 显然不可能对任意 n∈ 1-λ 1-λ

N 恒成立.
30

*

当 1<λ<2 时,只要

3-λ * ≤λn 对任意 n∈N 恒成立. 4-2λ

只要有

3-λ 3 ≤λ 即可,解得 1≤λ≤ . 2 4-2λ

3 因此当 1<λ≤ 时,结论成立. 2 综 上 可 得 , 实 数 3 ]. 2 λ 的 取 值 范 围 为 (0 ,

?????????? 2 分

【其他解法】 第 3 小题中,由于不等式(1-λ)Sn+λan≥2λn 恒成立 时, n=1 必须成立,即 0<λ≤ 3 。 2

如此一来,以下对 λ 的讨论只要分两种情况即可。 【典型错误】 (1)第 1 小题中,没有检验通项公式对 n ? 1 是否成立,与一 模中出现的问题惊人地相似; 用不完全归纳法直接得出通项公式; (2)第 2 小题中,忽视了当 r+t -2s=0 时,4 r+t- 2s 是奇数 的可能性; (3)第 3 小题中,不等式两边同除以 几种情形有遗漏. (4)教学建议: 4-2λ 时,对 λ 讨论的 1-λ

①应该对学生思维的缜密性提出更高的要求,防止分类 讨论时遗漏现象的反复出现; ②即便是压轴题,也有得分机会。比如,此卷中第 20 题 第 1 小题的 4 分,第 2 小题的 2 分,学生得此 6 分的难度远 低于 12~14 中的任一题,但得分的实际情况却不尽如人意. 经分析,原因大致有三:其一,时间分配上不合理,没 时间做这一题;其二,对最后一题常有畏难情绪或有自动放 弃的固有习惯,临阵脱逃,不战即溃;其三,虽是常见题型, 但没引起老师和学生在平时教与学中的足够重视.因此相关 知识和方法掌握得不够到位,做起来有些力不从心. 建议老师们在下一阶段的工作中,从试题的题型结构分 析、学生的考试心理调整、应知应会的达标等方面再下点功 夫.做到不轻易放弃,发挥应有水平. 数学附加卷部分 【各小题得分情况】 题 号 均 分 1.7 4.4 4.3 8.8 6.9 4.1 1.4 1.3 0.1 21A 21B 21C 21D 22(1) 22(2) 23(1) 23(2)

21.A.选修 4—1:几何证明选讲 【评分细则】 证法一:连结 BG.

如图,因为 AD 是△ABC 的高, π 所以∠CAD+∠ACB= .?????? 2 分 2 π 同理∠HBD+∠ACB= . 2 所以∠CAD=∠HBD.?????? 2 分
D C

G

又因为∠CAD=∠CBG,所以∠HBD=∠ CBG.?????? 2 分 又因为∠BDH=∠BDG=90° ,BD=BD,

E A

H F B

(第 21A 题图)

所以△BDH≌△BDG. 所以 DH=DG. ??????? 4分 证法二:连结 BG.如图,因为 AD 是△ABC 的高, π 所以∠CAD+∠AHE= . ?????? 2 分 2 π 同理∠HBD+∠BHD= . 2 因为∠AHE=∠BHD. 所以∠CAD=∠HBD. (下同证明一) 证法三:连结 BG.因为 BE 是△ABC 的高, π 所以∠ACB+∠CBE= .?????? 2 分 2 因为∠ACB=∠G,所以∠G+∠CBE= π 2 ??????? 2 分

π 又因为 AD 是△ABC 的高,所以∠BHD+∠CBE= . 2 所以∠BHD=∠G,?????? 2 分 所以 BH=BG, 又因为 AD 是△ABC 的高, 所以 DH=DG. ?????? 4分 证法四:连结 CG.其后证法同上. 【典型错误】 (1)不知道切割线定理 21B.选修 4—2:矩阵与变换 【评分细则】 解一: (1)矩阵 A= ? ? d ? ad-bc ? ? -c ? ad-bc -b ? ad-bc ? a ? ad-bc ?
?

a b? -1 ? ? (ad-bc≠0)的逆矩阵为 A = ?c d?

?? 2 分

所以矩阵 M 的逆矩阵 M 1= 3 ?-5 2? 5? ? .????????????? 3 分. 4 1? ? - ? 5 5? 解二:设 M 由
-1



? =? ? ?

a b? ? c d? ? M


M

1

= E



?1 ? ? ?4

2? ? 3? ?

? ? ? ?

a b? ? c d? ?

=

?1 ? ? ?0

0? ? ???????????? 2 分 1? ? 得 M


1



3 ?-5 ? ? 4 ? 5

2 ? 5? . ???????????????????? 1? - ? 5

? 3 分. (2)矩阵 M 的特征多项式为
??-1 f(?)=? ? -4 ?

-2 ? ? ?-3? ? - 4? -

= 5. ???????????? 2 分

?2

令 f(?) = 0 , 得 到 M 的 特 征 值 为 - 1 或 5. ?????????????? 3 分 说明: 1.第(1)问无过程,直接得 M 1 且正确,不扣分。但建议 教师教学中要求学生书写过程。 2.第(2)问直接写?2-4?-5=0,不扣分。 【典型错误】 (1)逆矩阵公式记错,单位矩阵记错;特征多项式记错; (2)计算错误; (3)审题不清(多求了特征向量) ; (4)答错区域的较多. 21C.选修 4—4:坐标系与参数方程


【评分细则】 解 法 一 : 直 线 l 的 普 通 方 程 为 x + 2y - 3 = 0. 曲 线 C ?????? 3 分 的 普 通 方 程 为

x2 ? 4 y 2 ? 4 .

???????? 3 分
?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?x ? 4 y ? 4
2 2

由方程组 ?

得 8 y2 ?12 y ? 5 ? 0

因为 ? ? ?16 ? 0 无解,所以曲线 C 与直线 l 没有公共 点. ????? 4 分 (注: ? ? ?16 ? 0 计算出错,但位置关系正确,得 2 分) 解 法 二 : 直 线 l 的 普 通 方 程 为 x + 2y - 3 = 0. ????????? 3 分 把曲线 C 的参数方程代入 l 的方程 x+2y-3=0, 得 2cos? + 2sin? - 3 = 0 , 即 3 . 2 ???????? 3 分 ? 3 因为 2sin(?+ )∈[- 2, 2],而 ∈[- 2, 2], ∕ 4 2 ? 3 所以方程 2sin(?+ )= 无解.即曲线 C 与直线 l 没有 4 2 公共点.????? 4 分 ? 3 (或 2sin(?+ )= ? 4 2
2 ,所以

2 sin(? +

? )= 4

? sin(?+ ) ? 1 无解.即曲线 C 4

与直线 l 没有公共点. 4 分)

21D.选修 4—5:不等式选讲 【评分细则】 证法一:因为 a>0,b>0,a+b=1, 所以 = 2b+1 4(2a+1) + 2a+1 2b+1 ( 1 4 + )[(2a+1)+(2b+1)] 2a+1 2b+1 1 + 4 +

???????? 5 分 ≥5 + 2 2b+1 4(2a+1) × 2a+1 2b+1 =

9. 而

???????? 3 分 (2a + 1) + (2b + 1) = 4 , 所 以 ???????? 2 分

1 4 9 + ≥ . 2a+1 2b+1 4

证法二:因为 a>0,b>0,由柯西不等式得 ( 1)] 1 4 + )[(2a + 1) + (2b + 2a+1 2b+1

???????? 5 分 ≥( 1 2a+1 2a+1 + 4 2b+1

2b+1 )2 = 9. (1 + 2)2 =

???????? 3 分 由 a+b=1,得 (2a+1)+(2b+1)=4, 所 以

1 4 9 + ≥ . 2a+1 2b+1 4 ???? 2 分 证 法 三 : 设
x ? y ? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 4 ?? 2a ? 1 ? x, 2b ? 1 ? y

????

, 则

x ? 1, y ? 1,



2分 证 明
1 4 9 ? ? x y 4

只 可. 因
1 4 ( ? )( x ? y ) x y





???????? 2 分 为 ??????

?? 2 分
? 5? y 4x ? ? 5? 2 4 ? 9 x y



??????? 2 分 且 x ? y ? 4 ,所以 1 ?
x 4 9 ? . y 4

故 1 4 9 + ≥ 2a+1 2b+1 4 ????? 2 分 22. 【评分细则】 解: (1)随机变量 X 的可能取值是 0,10,20,30,且 P(X=0)=C0 (1- 3 2 3 1 )= , 3 27 2 P(X=10)=C1 3 3 ???

(1-

2 2 2 )= , 3 9 P(X=20)=C2 ( 3 2 2 2 4 ) (1- )= , 3 3 9 P(X=30)=C3 3

2 8 ( )3= . 3 27 所以,X 的概率分布为 X P 0 1 27 10 2 9 20 4 9 30 8 27 ? ????????? 3 分 1 2 4 随机变量 X 的数学期望 E(X)=0× +10× +20× + 27 9 9 8 30× =20.??? 2 分 27 (2)甲班得 20 分,且乙班得 10 分的概率是: 2 2 2 2 1 2 2 1 C 2 ( )2(1- )× × [ (1- )× (1- )+(1- )× × (1- )+ 3 3 3 3 3 2 3 3 2 2 2 1 10 (1- )× (1- )× ]= 4 ;? 2 分 3 3 2 3 甲班得 30 分,且乙得班 0 分的概率是: 2 2 2 1 4 C3( )3× (1- )× (1- )× (1- )= 5 .?? 2 分 33 3 3 2 3 所以事件 A,B 同时发生的概率为 10 4 4 + 5= 3 3

34 . 243 说明: 1. 2. 3. 4. 5.

???????? 1 分

分布列与分布表只要有一个即可; 第(1)问的四个概率中,仅对 2 个或 3 个得 2 分; 第(1)问求期望仅列式正确得 1 分; 第(2)问中当“事件 A 与 B 相互独立”来求解不能得分 第(2)问中不设事件不扣分,但没有“答”或“所以?

的概率是”扣 1 分; 6. 所有事件的概率只看计算结果,没有列式中间分,分

式不约分不扣分. 【典型错误】 (1)不写答; (2)第(1)问中,将 P(X=10)错求为
1 C3 ,P(X=20)也是这样,但

2 ,即少了前面的系数 27

P(X=0)和 P(X=30)少了系

数正好对了; (3)认为(2)中事件 A 与 B 相互独立,分别求 P(A)和 P(B), 再计算 P(A)· P(B); (4)第(2)问中,不理解“事件 A,B 同时发生”的意义, 列出乙的概率分布,两个分布中再找“事件 A,B 同 时发生”的两个情况,增加了不必要的计算; (5)第(2)中两个互斥事件求概率时运算错误较多.

23. 【评分细则】 解:(1) 根据多项式乘法运算法则,得 1 1 1 1 an= + 2+?+ n=1- n. 2 2 2 2 ?? ???????? 3 分 1 7 (2)解法一 计算得 b2= ,b3= . 8 32 1 p q 代 入 bn = (1 + n )(1 + n ) , 解 得 p = - 2 , q = - 3 2 2 1. ????????? 2 分 1 1 1 1 1 下面用数学归纳法证明 bn= (1- n-1)(1- n)= - n+ 3 2 2 3 2 2 1 × (n≥2): 3 4n 1 ①当 n=2 时,b2= ,结论成立. 8 1 1 2 1 ②设 n=k 时成立,即 bk= - k+ × k. 3 2 3 4 则 当 n = k + 1 时 , bk+1 = bk +

ak ?????????? 3 分 2k+1 1 1 2 1 1 1 = - k+ × k+ k+1- 2k+1 3 2 3 4 2 2 1 1 2 1 = - k+1+ × k+1. 3 2 3 4 由 ①② 可 得 结 论 成

立.

?????????? 2 分

解法二 根据多项式乘法运算法则,得 an bn+1=bn+ n+1. 2 ? ???????? 3 分 an-1 1 1 1 2 所以 bn-bn-1= n = n- 2n-1= n- n (n≥3). 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 所以 bn= 3+ 4+??+ n-2( 3+ 4+??+ n)+b2 2 2 2 4 4 4 1 1 2 1 = - n+ × n (n≥3) . 3 2 3 4 1 1 1 2 1 1 1 又 b2= 也满足上式. 所以 bn= - n+ × n= (1- n-1) 8 3 2 3 4 3 2 1 (1- n) (n≥2). 2 所 以 存 在 意. p = - 2 , q = - 1 符 合 题

?????????? 4 分

解法三 根据多项式乘法运算法则,得 bn = 1 )] 4n 1 1 1 1 1 1 [( + 2 + ? + n )2 - ( 2 + 4 + ? + 2 2 2 2 2 2

?????????? 4 分 1 1 (1- n) 4 4 1 1 1 1 2 1 1 1 = [(1- n)2- ]= - n+ × n= (1- n-1)(1 2 2 1 3 2 3 4 3 2 1- 4

1 - n). 2 所 以 存 在 意. 说明: 1. 2. 解法一在(2)中 b2,b3 正确,得 1 分; 解法一数学归纳法格式要完整,相差太大的扣 1 分; p = - 2 , q = - 1 符 合 题

??????????3 分

【典型错误】 (1)直接猜 1 ?
1 2n

,由不完全归纳法得出 1 ?
1 2 n ?1

1 2n



(2)列式错误:多加 1 或多加
1 ?1; 2n (4) x 2 系数 an 看成项 (1 ? 1n ) x 2 . 2



(3)计算错误,得出

南京市教学研究室中学数学组 2012 年 3 月 24 日


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