广东省湛江一中2014届高三第一次综合检测数学(文)试卷

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必用黑色笔将自己的姓名、班级、学号、清楚填写在答题卷的密封 线内,座位号填写在试卷右上角的座位号栏内。 2.每小题选出答案后,填写在试卷的答题栏内,在试题上作答无效。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1.复数 z ? a ? ?1? a?i (a ? R) 是纯虚数,则 z2 的值为( )

A.0

B. ?1

C. i

D. ?i

2.命题“ ?x ? R , x2 ? 2x ?1 ? 0 ”的否定是

()

A. ?x ? R , x2 ? 2x ?1 ? 0

B. ?x ? R , x2 ? 2x ?1 ? 0

C. ?x ? R , x2 ? 2x ?1 ? 0

D. ?x ? R , x2 ? 2x ?1 ? 0

3.若 a ? ?1, 2?,b ? ??3, m?, a ? b, ,则 m ? ( )

A. 3 2

B. ? 3 2

C. 6 D. ?6

4.已知? ? R ,则“? ? ? ”是“ cos? ? 1 ”的( )

3

2

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件

?2x ? y ? 4,

5.设

x,

y

满足

? ?

x

?

y

?

1,

则z?x?y ( )

??x ? 2 y ? 2,

A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

6.记等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S7 ? 28 , S8 ? 36 ,则 S15 ? ( )

A.210

B.120

C.64

D.56

7.如下图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且其体积为 ? . 则该几何 4

体的俯视图可以是( )

第 7 题图
8.已知函数 y ? Asin(? x ? ?) ? m 的最大值是 4 ,最小值是 0 ,最小正周期是 ? ,直线 2

x ? ? 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是(



3

A. y ? 4sin(4x ? ? ) 6

B. y ? 2sin(2x ? ? ) ? 2 3

C. y ? 2sin(4x ? ? ) ? 2 3

D. y ? 2sin(4x ? ? ) ? 2 6

9.若 m, n 是两条不同的直线,? , ? ,? 是三个不同的平面,给出下列命题:

①若 m ? ? , n //? ,则m ? n ; ②若? ? ? , ? ? ? ,则? // ? ;

③若 m //? , n //? ,则m // n ; ④若? / /? , ? / /? , m ? ? ,则 m ? ?

其中正确命题的个数为

A.1 B.2

C.3

D.4

()

?| lg x |,0 ? x ? 10

10.已知函数f

(x)

?

? ????

1 2

x

?

6,

x

?

10

,

若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)=f(c),

则 abc 的取值范围是( )

A.(1,10)

B.(5,6)

C.(10,12)

D.(20, 24)

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,只做 4 小题。其中第 11-13 题为必做题,第 14、15 题为选

做题,只能做其中的一题,做两题的,按第一题记分。每小题 5 分,满分 20 分

(一)必做题:

11.函数 f ? x? ? lg ?4 ? x? 的定义域为____________.
x?3

12. 幂函数 y ? (m2 ? m ? 1)xm2 ?2m?3 ,当 x∈(0,+ ∞) 时为减函数,则实数 m 的值是

__________ 13.给出下列四个命题:

①函数

有最小值 2;

②函数

的图象关于点

对称;

③若“p 且 q”为假命题,则 p、q 为假命题;

④已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x)满足:对

都有 f(-x)=-f(x)成

立,若当 x>0 时,

f '(x) >0,则当 x<0 时, f '(x) >0.

其中正确命题的序号是______ (二)选做题:只能做其中的一题,做两题的,按第一题记分

14.(坐标系与参数方程选做题)若

P(2,

?1)

为曲线

?x

? ?

y

? 1? 5cos? ? 5sin?

(?

为参数且 0

??

?



)

的弦的中点,则该弦所在直线的普通方程为

.

A

15.(几何证明选讲选做题)如图,在 ?ABC 中, DE ∥ BC ,
DF ∥ AC , AE ︰ AC = 3 ︰ 5 , DE ? 6 ,则 BF =____.
三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步骤.

D

E

BF

C

第 15 题图

16.(本小题满分 12 分) 已知 tan? ? 2

(1)求

tan(? 4

??

)

的值;

(2)求 cos 2? 的值

17.(本小题满分 12 分)某制造商 11 月生产了一批乒乓球,随机抽样 100 个进行检查,测得

每个球的直径(单位 mm ,保留两位小数),将数据分组如下表

分组

频数

[39?95?39?97) 10

[39?97?39?99) 20

[39?99? 40?01) 50

[40?01? 40?03] 20

合计

100

(1)请

在上表中补充完成频率分布表, 并在右图中画出频率分布直方图;

(2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为 40 mm ,试求这批球的直径误差

不超过 0.03 mm 的概率;

(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39?99? 40?01) 的中点值是

40.00)作为代表. 据此,估计这批乒乓球直径的平均值.

18.( 本小题满分 14 分)已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x) , n ? (1, 2 cos x) ,设函数

f (x) ? m ? n , x ? R .(1)求 f (x) 的最小正周期与最大值;(2)在 ?ABC 中, a,b, c

分别是角 A, B,C 的对边,若 f ( A) ? 4,b ? 1, ?ABC 的面积为 3 ,求 a 的值. 2

19.(本小题满分 14 分)如图所示,已知矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对角线

BD 把△ABD 折起,使 A 移到 A1 点,且 A1 在平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上。

(1)求证:BC⊥A1D; (2)求证:平面 A1BC⊥平面 A1BD;

A1

(3)求三棱锥 A1-BCD 的体积。

D

C

A

B

2O.(本小题满分 14 分)已知函 f (x) ? ex ? (cos x ? sin x) ,将满足 f ?(x) ? 0 的所有正数 x 从 小到大排成数列{xn} ,记 an ? f (xn ) (n ? N? ) , bn ? ln ? an ? .
(1)证明数列{an}为等比数列; (2)求数列{bn}的前 n 项的和; (3)若 cn ? 2n?1 ? bn ,求数列{cn}的前 n 项的和.

21.(本小题满分 14 分)(本小题满分 14 分)设函数 f (x) ? a ln x ? bx2 .

(1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 1 相切, 2

①求实数 a , b 的值;

②求函数 f (x) 在[1 , e] 上的最大值; e

? (2)当 b

? 0 时,若不等式

f

(x)

?

m?

x 对所有的 a ?[0, 3], x ? 2

1, e2 ??

都成立,求实

数 m 的取值范围

2014 届湛江一中高三月考文科数学参考答案
一、本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B B B D D B C
二、填空题(本大题共 5 小题,只做 4 小题。满分 20 分)
11. ?? ?,3) ? (3,4) 12.2 13.①②④ 14. x ? y ? 3 ? 0 15.4
三、解答题:本大题共有 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. 解 : (1)频率分布表如下……(3 分 )

分组

频数 频率 频率

组距

[39?95?39?97) 10 0.10 5

[39?97?39?99) 20 0.20 10

[39?99? 40?01) 50 0.50 25

[40?01? 40?03] 20 0.20 10

合计

100 1

频率分布直方图如图

………………6 分

(2)误差不超过 0.03mm ,即直径落在[39?97? 40?03] 范围内的概率为

0?2 ? 0?5 ? 0?2 ? 0?9
(3)整体数据的平均值约为

……………9 分

39?96? 0?10 ? 39?98? 0?20 ? 40?00? 0?50 ? 40?02? 0.20 ? 40.00 ( mm ) ………12 分
注:频率分布表可不要最后一列,这里列出,只是为画频率分布图方便

(2)由 f ( A) ? 4 得, 2 sin(2A ? ? ) ? 3 ? 4 ,即 sin(2A ? ? ) ? 1 ,

6

62

∵ 0 ? A ? ? , ∴ 2A ? ? ? 5? ,
66

∴ A?? 3

…………………10 分

又 1 bc sin A ? 3 , 即 3 c ? 3 ,

2

2

42

∴ c?2

…………………12 分

由余弦定理得, a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1 ? 4 ? 2 ?1? 2 ? 1 ? 3 2

∴ a? 3

…………………………14 分

19.(本小题满分 14 分)

(1)?BC⊥CD,BC⊥A1O,?BC⊥平面 A1CD, …(2 分)

又 A1D ? 平面 A1CD,? BC⊥A1D; …(4 分)

(2)? A1D⊥ A1B, A1D⊥BC, ? A1D⊥平面 A1BC, …(6 分)

又 A1D ? 平面 A1BD,?平面 A1BC⊥平面 A1BD; …(8 分)

(3)由(1)可知:BC⊥平面 A1CD,?BC⊥A1C, ?△A1CB 为直角三角形。…(10 分)

?BC=6, A1B=AB=10,?

A1C=8, ?

S ?A1BC

=

1 2

×6×8=24,

…(12 分)

V ? A1?BCD

? VD? A1BC

?

1 3

?

S ?A1BC

? DA ?

1 ? 24 ? 6 ? 48 …(14 分) 3

(2)由(1)知 an ? ?e? (?e? )n?1 ? (?e)n?

所以 bn ? ln | an |? n? ,所以{cn}是以? 为首项,? 为公差等差数列,

………8 分

b1 ? b2 ?

? bn

?

n??

?

n(n ?1) 2

??

?

n(n ?1) ? 2

………10 分

(3) cn ? 2n?1 ? bn ? n ? 2n?1 ?? ,记数列{2n?1 ? bn} 的前 n 项的和为 Sn ,则

Sn ? ? ? 2 ? 2? ? 3? 22? ? ? (n ?1) ? 2n?2? ? n ? 2n?1? ,

…………11 分

2Sn ? 2? ? 2 ? 22? ? 3? 23? ? ? (n ?1) ? 2n?1? ? n ? 2n?

两式相减得 ?Sn ? ? ? 2? ? 22? ?

? 2n?1? ? n ? 2n? ? ? (1? 2n ) ? n ? 2n? 1? 2

………13 分

所以 Sn ? (n ? 2n ? 2n ?1)? .

……14 分

21.(本小题满分 14 分)

f '(x) ? a ? 2bx

解:(1)①

x

∵函数

f

(x)



x

? 1 处与直线

y

?

?

1 2

?

?? ?

相切 ??

f f

'(1) ? a ? 2b ? (1) ? ?b ? ? 1
2

0 ,
解得

??a ??? b

?1 ?1
2

……3



f (x) ? ln x ? 1 x2, f '(x) ? 1 ? x ? 1? x2



2

x

x



1 e

?

x

?

e
时,令

f

'( x)

?

0



1 e

?

x

?1


令 f '(x) ? 0 ,得1 ? x ? e ? f (x)在???1e ,1??? 上单调递增,在[1,e]上单调递减,

?

f

( x)max

?

f

(1) ? ? 1 2

…………8 分


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