吉林省舒兰市第一中学高中数学1.4.2.2正余弦函数的性质导学案(答案不全)新人教A版必修4

第一章 §1.4.2.2 正、余弦函数的性质 编号 030 【学习目标 】通过观察正弦函数、余弦函数的图像,得出函数的性质. 【学习重点】正余弦函数的奇偶性、对称性、单调性. 【基础知识】 1. 奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形,说出函数图象有怎样的对称性?其特点是什么? (1)正弦函数的图像 观察函数 y=sinx 的图象,当自变量取一对相反数时,它们对应的函数值有什么关系? 这个事实反映在图象上,说明函数的图象有怎样的对称性呢?函数的图象关于原点对称. 也就是说,如果点(x,y)是函数 y=sinx 的图象上任一点,那么与它关于原点对称的点(-x,-y)也 在函数 y=sinx 的图象上,这时,我们说函数 y=sinx 是 (2)余弦函数的图形 观察函数 f(x)=cosx 的图象,当自变量取一对相反数时,函数 y 取同一值. 例如:f(函数. ? 1 ? 1 ? ? )= ,f( )= ,即 f(- )=f( );…… 3 2 3 2 3 3 由于 cos(-x)=cosx,∴f(-x)= f(x). 以上情况反映在图象上就是:如果点(x,y)是函数 y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于 y 轴的 对称点(-x,y)也在函数 y=cosx 的图象上,这时,我们说函数 y=cosx 是 2. 有关对称轴 观察正、余弦函数的 图形,可知 y=sinx 的对称轴为 你能写出正余弦函数的对称中心吗? y=sinx 的对称中心为 ,y=cosx 的对称 中心为 . ,y=cosx 的对称轴为 . 函数. 想一想 y ? sin( x ? ? 4 ) 的一条对称轴是( ) (A) x 轴, 3. 单调性 (B) y 轴, (C) 直线 x ? ? 4 , (D) 直线 x ? ? ? 4 从 y=sinx,x∈[- 当 x∈[- ? 3? 2 , 2 ]的图象上可看出: ? ? , ]时,曲线逐渐上升,sinx 的值由-1 增 大到 1. 2 2 ? 3? 当 x∈[ , ]时,曲线逐渐下降,sinx 的值由 1 减小到-1. 2 2 1 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间 个闭区间 余弦函数在每一个闭区间 个闭区间 4.有界性 正余弦函数的的值域为 【例题讲解】 例1 π? ? 函数 y=cos?2x+ ?图象的一个对 称中心是( 3? ? π ? ? ?π ? A.?- ,0? B.? ,0? ? 12 ? ?12 ? ?π ? ?π ? C.? ,0? D.? ,0? ?6 ? ?3 ? ). ,称之为函数的有界性. 上都是增函数,其值从-1 增大到 1;在每一 上都是减函数,其值从 1 减小到-1. 都是增函数,其值从-1 增加到 1;在每一 上都是减函数,其值从 1 减小到-1. π 总结:正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )( x∈R)图象的对称轴满足 ω x+φ =kπ + (k∈Z),对称中心的横坐 2 标满足 ω x + φ = kπ (k∈Z) ;余弦型函数 y = Acos(ω x + φ )(x∈R) 图象的对称轴满足 ω x + φ = π kπ (k∈Z),对称中心的横坐标满足 ω x+φ =kπ + (k∈Z). 2 例 2 写出下例函数的最大值,并写出取得最大值的 x 值. (1) y ? cos x ? 1 (2) y ? ?3sin 2 x 例 3 比较大小(1) sin (? ? 18 ) 与 sin( ? ? 10 ) (? (2) cos 23? 17? ) ) 与 cos( ? 5 4 例 4 求函数 y ? sin( 1 ? x ? ), x ? [?2? ,2? ] 的单调区间. 2 3 2 变式:求函数 y=cos(-2x+ ? )的单调增区间 3 【达标检测】 π 1.y=sin(x- )的单调增区间是( 3 A. C. π 5π [kπ - ,kπ + ] 6 6 7π π [kπ , kπ - ] 6 6 (k∈Z) (k∈Z) ) π 5π B. [2kπ - ,2kπ + 6 6 ](k∈Z) 7π π D. [2kπ ,2kπ - ] (k∈Z) 6 6 D. y=xsin|x| ) 2.下列函数中是奇函数的是( ) A. y=-|sinx| B. y=sin(-|x|) C. y=sin|x| 3.在 (0,2π ) 内,使 sinx>cosx 成立的 x 取值范围是( π π 5π A .( , )∪(π , ) 4 2 4 C. ( π 5π , ) 4 4 B. ( D.( π ,π ) 4 π 5π 3π ,π )∪( , ) 4 4 2 4.Cos1,cos2,cos3 的大小关系是______________________. π 5.y=sin(3x- )的周期是__________________. 2 6.求函数 y=cos x - 4cosx + 3 的最值 2 【问题与收获】 3

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