吉林省舒兰市第一中学高中数学1.5函数y=Asinωx+φ的图象导学案新人教A版必修4

第一章 §1.5 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 编号 032 【学习目标】1.会用“五点法”作出函数 y ? A sin(? x ? ? ) 以及函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图象. 2.能够将 y ? sin x 的图象变换到 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象,并会根据条件求解析式. (? x ? ? ) 的图象的影响. 3.能说出 ?、?、A 对函数 y ? A sin 【学习重点】函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 【基础知识】1.函数图像的平移变换 例 1.在同一坐标系下画出函数 y=sin(x+ ? ? ),x∈R,y=sin(x- ),x∈R 的简图 3 4 一般地,函数 y=sin(x+ ? ),x∈R(其中 ? ≠0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当 ? >0 时) 或向右(当 ? <0 时=平行移动| ? |个单位长度而得到(用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”) 2.函数图象的纵向伸缩变换 例 2 在同一坐标系中作出 y ? 2 sin x 及 y ? 1 sin x 的简图,并指出它们的图象与 y ? sin x 的关系 2 一般地,对于函数 y ? A sin x (A>0 且 A≠1)的图象 ,可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有点的纵坐标 伸长(当 A>1 时)或缩短(当 0<A<1 时)到 原来的 A 倍(横坐标不变)而得到的, y ? A sin x, x ? R 的 值域为[-A,A] ,最大值为 A,最小值为-A。 3.函数图象的横向伸缩变换 例 3.在同一坐标系作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin 1 x 的简图,并指出它们与 y ? sin x 图象间的关系。 2 1 一般地,函数 y ? sin ?x(? ? 0, ? ? 1) 的图象,可以看作是把 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标缩短(当 ? ? 1 时)或伸长(当 0 ? ? ? 1 时)到原来的 4、函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象 1 ? 倍(纵坐标不变)而得到的。 作函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象主要有以下两种方法: (1)用“五点法”作图 用“五点法”作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图, 主要是通过变量代换, 设 Z ? ?x ? ? , 由 z 取 0, ,? , ? 2 3 ? , 2? 来 求出相应的 x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。 2 (2)由函数 y ? sin x 的图象通过变换得到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,有两种主要途径:“先平移后 伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一:先平移后伸缩 (? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin x ?向左 ?????? ?? y ? sin( x ? ? ) 平移|? |个单位 1 横坐标变为原来的 倍 纵坐标不变 A倍 ??? y ? sin(?x ? ? ) ?纵坐标变为原来的 ?????? ?? y ? A sin(?x ? ? ) ? ?????? 横坐标不变 法二:先伸缩后平移 ??? y ? sin x ? ?????? 纵坐标不变 (? ?0) 或向右 (? ?0) y ? sin ?x ?向左 ?????? ?? y ? sin(?x ? ? ) 平移|? |个单位 1 横坐标变为原来的 倍 ? A倍 ?纵坐标变为原来的 ?????? ?? y ? A sin(?x ? ? ) 横坐标不变 可以看出,前者平移 | ? | 个单位,后者平移 | ? | 个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对变量 x ? 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则必然会 出现错误。 当函数 y ? A sin(?x ? ? ) (A>0, ? ? 0 , x ?[0, ? ?) )表示一个振动量时,A 就表示这个量振动时 离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅; 往复振动一次所需要的时间 T ? 振动的周期;单位时间内往复振动的次数 f ? 初相(即当 x=0 时 的相位) 。 2? 1 ? ? ,它叫做振动的频率; ?x ? ? 叫做相位, ? 叫做 T 2? ? ,它叫做 2 【例题讲解】例 4. 用五点法作出函数 y ? 2 sin( 2 x ? ? 3 ) 的图象,并指出函数的单调区间. 例 5. 如图是函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,确定 A、 ? 、 ? 的值。 【达标检测】1.请准确叙述由正弦曲线变换得到下列函数图象的过程? ① y ? 1 sin( 4 x ? ? ) 2 3 1 ? ② y ? 2 sin( x ? ) 3 6 2.将正弦曲线上各点向左平移 ? 个单位,再把横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,则所得图象解析式 3 为( ) A. y ? sin( x ? ? ) 2 3 B. y ? sin( x ? ? ) 2 6 C. y ? sin( x ? ? ) 2 3 D. y ? sin( 2 x ? ? 3 ) 3.已知函数 y ? f(x), 将f(x) 图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得的图形 沿着 x 轴向左平移 ( ). ? 1 个单位,这样得到的曲线与 y ? sinx的图象相同,那么已知函数 y ? f(x) 的解析式为 2 2 A. f(x) ? 1 x ? sin( - ) 2 2 2 1 ? B. f(x) ? sin(2x ? ) 2 2 1 x ? C. f(x) ? sin( ? ) 2 2 2 1 ? D. f(x) ? sin(2x - ) 2 2 4.把函数 y ? sinx 的图象向右

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