北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编:函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性)

北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编

函数的性质(单调性、最值、奇偶性与周期性)

一、选择题

1 .(2013 北京高考数学(文))下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是 ( )

A. y ? 1 x
【答案】C

B. y ? e?x

C. y ? ?x2 ?1

D. y ? lg | x |

【解析】对于 A,y=1x是奇函数,排除.对于 B,y=e-x 既不是奇函数,也不是偶函数,排除.对

于 D,y=lg |x|是偶函数,但在(0,+∞)上有 y=lgx,此时单调递增,排除.只有 C 符合题意.

2 .(北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理))下列函数中,在其定义域内既是

奇函数又是减函数的是

()

A. y ? ex 【答案】C

B. y ? sin 2x

C. y ? ?x3

D. y ? log1 x
2

3 .(2012 年高考(陕西文))下列函数中,既是奇函数又是增函数的为

A. y ? x ?1
【答案】D

B. y ? ?x2

C. y ? 1 x

D. y ? x | x |

解析:运用排除法,奇函数有 y ? 1 和 y ? x | x | ,又是增函数的只有选项 D 正确. x

()

4 .(北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)定义在 R 上的函数

满足

,当

时,

,则

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】由题意可知,函数 的图象关于 y 轴对称,且周期为 2,故可画出它的大致图

象,如图所示:∵



,而函数



是减函数, ∴

,选 D.
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5 . (2013 湖 南 高 考 数 学 ( 文 )) 已 知 f (x) 是 奇 函 数 , g(x) 是 偶 函 数 , 且

f (?1)+g(1)=2, f (1)+g(?1)=4,则 g(1)等于____

A.4

B.3

C.2

【答案】B

解: 由题知 f(-1)+g(1)= - f(1)+g(1)= 2,

f(1)+g(-1)= f(1)+ g(1)= 4,上式相加,解得 g(1) = 3 .

D.1

6 .(2012 年高考(天津文))下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为

() ()

A. y ? cos 2x
【答案】B

B. y ? log2 | x |

C. y ? ex ? e?x D. y ? x3 ?1 2

【解析】函数 y ? log 2 x 为偶函数,且当 x ? 0时,函数 y ? log2 x ? log2 x 为增函数,

所以在 (1,2) 上也为增函数,选 B.

7 .(2012 年高考(广东理))(函数)下列函数中,在区间 ?0, ??? 上为增函数的是

()

A. y ? ln ? x ? 2? B. y ? ? x ?1

C.

y

?

? ??

1 2

? ??

x

【答案】A y ? ln ? x ? 2? 在 ??2, ??? 上是增函数.

D. y ? x ? 1 x

8 .(北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题)下列函数中,在定义域内

是减函数的是
A. f (x) ? ? 1 x
【答案】C

B. f (x) ? x

C.

f

(x)

?

1 2x

D. f (x) ? tan x

()

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9 .( 北 京 北 师 特 学 校 203 届 高 三 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 若

x ? R, n ? N*,定义Exn ? x(x ?1)(x ? 2) (x ? n ?1) , 例 如

E?44 ? ( ?4 ) ? (? 3 ? 则) f?(x() ? x? 2? Ex5??)2 的奇偶( ?性为1 )

A.偶函数不是奇函数;

B.奇函数不是偶函数;

2 4( )

C.既是奇函数又是偶函数;

D.非奇非偶函数

【答案】A

【解析】由题意知 f (x) ? xEx5?2 ? x(x ? 2)(x ?1)x(x ?1)(x ? 2) ? x2 (x2 ? 4)(x2 ?1) ,

所以函数为偶函数,不是奇函数,选 A.

10.下列函数中既是偶函数,又是区间[-1,0]上的减函数的是

()

A. y ? cosx

B. y ? ? x ?1

C. y ? ln 2 ? x 2? x
【答案】D

D. y ? e x ? e?x

11.(2012 年高考(广东文))(函数)下列函数为偶函数的是

()

A. y ? sin x

B. y ? x3

C. y ? ex

【答案】D

f ??x? ? ln ??x?2 ?1 ? ln x2 ?1 ? f ? x? .

D. y ? ln x2 ?1

12.(北京东城区普通校 2013 届高三 12 月联考理科数学)已知函数 f (x) 在[0,??) 上是增

函数, g(x) ? ? f ( x ) ,若 g(lg x) ? g(1) ,则 x 的取值范围是

()

A. (10,??)
【答案】B

B. ( 1 ,10) 10

C. (0,10)

D. (0, 1 ) ? (10,??) 10

【解析】因为 g(x) ? ? f ( x ) ,所以函数 g(x) ? ? f ( x ) 为偶函数,因为函数 f (x) 在

[0,??) 上是增函数,所以当 x ? 0 时, g(x) ? ? f ( x ) ? ? f (x) ,此时为减函数,所以当

x ? 0 ,函数 g(x) ? ? f ( x ) 单调递增.因为 g(lg x) ? g (1),所以有 ?1 ? lg x ? 1 ,解得

1 ? x ? 10 ,即 ( 1 ,10) ,选 B.

10

10

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13.(2013 北京房山二模数学理科试题及答案)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上

单调递增的是 A. y ? x ?1 【答案】C

B. y ? tan x

C. y ? x3

D. y ? log2 x

()

14 . ( 2013 重 庆 高 考 数 学 ( 文 ) ) 已 知 函 数

f (x) ? ax3 ? b sin x ? 4(a,b ? R) , f (lg(log2 10)) ? 5 ,则 f (lg(lg 2)) ?

()

A. ?5

B. ?1

C. 3

D. 4

【答案】C
【解析】 因为 f(lg(log210))=f???lg???lg1 2??????=f(-lg(lg 2))=5,
又因为 f(x)+f(-x)=8,所以 f(-lg(lg2))+f(lg(lg2))=5+f(lg(lg2))=8,所以 f(lg(lg 2))=3,故选 C.

15 . 已 知 函 数 y ? f (x) 是 偶 函 数 , 且 y ? f (x ? 2) 在 [0, 2] 上 是 单 调 减 函 数 , 则

f (0), f (?1), f (2) 由小到大排列为

()

A. f (0) ? f (?1) ? f (2)

B. f (?1) ? f (0) ? f (2)

C. f (?1) ? f (2) ? f (0)

D. f (2) ? f (?1) ? f (0)

【答案】A

16.(2013 山东高考数学(文))已知函数 f (x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f (x) ? x 2 ? 1 ,则 x

f (?1) ?

()

A.2

B.1

C.0

D.-2

【答案】D

解析:∵ 当 x ? 0时, f ( x) ? x2 ? 1 ,∴ f (1) ? 12 ? 1 ? 2 ,又∵ f ( x) 为奇函数,

x

1

∴ f (?1) ? ? f (1) ? ? 2 .

17 . 对

于任意两个实数

a



b

,

定 义 运 算 “*” 如 下 :

a*b

?

?a ??b

a ?b ,则函数 a?b

f (x) ? x2 *[(6 ? x) * (2x ? 15)] 的最大值为

()

A.25

B.16

C.9
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D.4

【答案】C

18.(湖北省黄冈市

2012

年高考模拟试题)已知函数

f

(x)

?

?1 ?

? ?

2

x

2

?x

(x

?

0) ,

则该函数是

?1(x ? 0)





A.偶函数,且单调递增

B.偶函数,且单调递减

C.奇函数,且单调递增

D.奇函数,且单调递减

【答案】C

二、填空题

19.(2012 年高考(浙江文))设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数,当 x∈[0,1]

时,f(x)=x+1,则 f(3 )=_______________. 2

【答案】 3 2

【解析】 f (3) ? f (3 ? 2) ? f (? 1) ? f (1) ? 1 ?1 ? 3 .

22

2 22 2

20.(2012 年高考(重庆文))函数 f (x) ? (x ? a)(x ? 4) 为偶函数,则实数 a ? ________

【答案】4

【解析】由函数 f (x) 为偶函数得 f (a) ? f (?a) 即 (a ? a)(a ? 4) ? (?a ? a)(?a ? 4)

?a ? 4.
【考点定位】本题考查函数奇偶性的应用,若已知一个函数为偶函数,则应有其定义域关

于原点对称,且对定义域内的一切 a 都有 f (a) ? f (?a) 成立.
21.(北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )奇函数 f ? x? 的定义域为

??2,2?,若 f ? x? 在?0, 2? 上单调递减,且

f ?1? m? ? f ?m? ? 0,则实数 m 的取值范围是 .
【答案】[? 1 ,1] 2
【 解析】因为奇函数在?0, 2? 上单调递减,所以函数 f (x) 在??2, 2? 上单调递减。

由 f ?1? m? ? f ?m? ? 0得 f (1? m) ? ? f (m) ? f (?m) ,

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?

??2 ? m ? 2

??2 ? m ? 2

所以由

???2 ??1 ?

?1? m ? m ? ?m

2

,得

???3 ? m ?

? ?m

?

?

1

1

,所以

?

1 2

?

m

?

1

,即实数

m

的取值范围是

?2

[? 1 ,1]。 2

22 . (2012 年 高 考 ( 安 徽 文 )) 若 函 数 f ( x)? | 2x? a 的| 单 调 递 增 区 间 是 [ 3,?? ), 则

a ? _____

【解析】 ?6

由对称性: ? a ? 3 ? a ? ?6 2

23.(2012

年高考(上海春))函数

y

?

log2

x

?

4 log2

x

(

x

?[2, 4])

的最大值是______.

【答案】 5

24.(北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知 f (x) 在 R 上是奇函数,且满足

f (x ? 4) ? f (x) ,当 x ? (0, 2) 时, f (x) ? 2x2 ,则 f (7) ? _______________ 【答案】 ?2 【解析】由 f (x ? 4) ? f (x) 可知函数的周期是 4,所以 f (7)=f (7 ?8)=f ( ?1) ,又因为函 数是奇函数,所以 f (?1) ? ? f (1) ? ?2 ,所以 f (7)= ? 2

25.(北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析))已知定义域为 R 的偶函

? ? 数 f ?x? 在 ?? ?,0? 上 是 减 函 数 , 且 f ?? 1 ?? ? 2 , 则 不 等 式 f 2x ? 2 的 解 集 为 ?2?
_____________.
【答案】 ??1,???
因 为 函 数为 你偶 函 数 ,所 以 f (? 1) ? f (1) ? 2 , 且 函 数 在 ( 0,?? )上 递增 .所 以 由 22
? ? f ( 2x )? 2得 2x ? 1 ,即 x ? ?1 ,所以不等式 f 2x ? 2 的解集为 ??1,??? . 2 26.(2012 年高考(上海文))已知 y ? f (x) 是奇函数. 若 g(x) ? f (x) ? 2 且 g(1) ? 1.,则

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g(?1) ? _______ .

【答案】

y ? f (x) 是 奇 函 数 , 则

f (?1) ? ? f (1) , g(1) ? g(?1) ? f (1) ? f (?1) ? 4 ? 4 ,

所以 g(?1) ? 4 ? g(1) ? 3 .

27 . 若 不 等 式 ax2 ? 4x ? a ? 1? 2x2 对 任 意 实 数 x 均 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是
________________________.
【答案】 (a ? 2)x 2 ? 4x ? a ?1 ? 0 恒成立,当 a ? ?2 时, x ? 3 不恒成立,不满足 4
当 a ? ?2 时,要使不等式 (a ? 2)x2 ? 4x ? a ?1 ? 0 恒成立,则须

?a ? 2 ? 0

?a ? ?2

?a ? ?2

??16

?

4(a

?

2)(a

? 1)

?

0

?

? ?a

2

?

a

?

6

?

0

?

??a

?

2或 a

?

?3

?

a

?

2

28 . (2013 大 纲 卷 高 考 数 学 ( 文 )) 设 f ? x? 是 以 2 为 周 期 的 函 数 , 且 当 x ??1, 3? 时 ,

f ? x? =x ? 2,则 f (?1) ? ____________.

【答案】 ?1
【解析】∵ f ? x? 是以 2 为周期的函数,且 x??1,3? 时, f ? x? =x ? 2,

则 f ??1? ? f (?1? 2) ? f (1) ?1? 2 ? ?1

29.(2012

年高考(课标文))设函数

f

(x) ?

(

x

?

1)2 x2

? sin ?1

x

的最大值为

M

,最小值为 m

,则

M ? m ? ________.

【命题意图】本题主要考查利用函数奇偶性、最值及转换与化归思想,是难题.

【解析】

f

(x)

=1?

2x ? sin x2 ?1

x

,



g(x)

=

f

(x)

?1=

2x ? x2

sin ?1

x

,则

g(x)

是奇函数,

∵ f (x) 最大值为 M,最小值为 m ,∴ g(x) 的最大值为 M-1,最小值为 m -1,

∴ M ?1? m ?1 ? 0 , M ? m =2.

30 .( 北 京 四 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 测 验 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 设 函 数

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______.

5 【答案】 2

【解析】令 x ? ?1 得

f (1) ?

f (?1) ?

f (2) ,即

f (2) ?

f (1) ?

f (?1) ? 2 f (1)

? 2? 1 2

?1
.

f (3) ? f (1? 2) ? f (1) ? f (2) ? 1 ?1 ? 3

令 x ?1 得

2 2 . 令 x?3 得

f (5) ? f (3 ? 2) ? f (3) ? f (2) ? 3 ?1= 5 22
三、解答题

31 .( 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已 知 函 数

f (x) ? 2ax2 ? 4x ? 3 ? a , a ?R .

(Ⅰ)当 a ?1时,求函数 f (x) 在??1,1? 上的最大值;

(Ⅱ)如果函数 f (x) 在区间??1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)当 a ?1时,则 f (x) ? 2x2 ? 4x ? 4 ? 2(x2 ? 2x) ? 4 ? 2(x ?1)2 ? 6 .
因为 x ???1,1? ,所以 x ?1时, f (x) 的最大值 f (1) ? 2 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f (x) ? 4x ? 3 ,显然在 ?? 1,1?上有零点, 所以 a ? 0 时成立
当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a(3 ? a) ? 8(a ?1)(a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2 (1) 当 a ? ?1时, f (x) ? ?2x2 ? 4x ? 2 ? ?2(x ?1)2 由 f (x) ? 0 ,得 x ? 1?[ ?1,1];
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当 a ? ?2 时, f (x) ? ?4x2 ? 4x ?1 ? ?4(x ? 1)2 . 2
由 f (x) ? 0 ,得 x ? 1 ?[ ?1,1] , 2
所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f (x) 均恰有一个零点在??1,1? 上

(2)当 f (?1) f (1) ? (a ? 7)(a ?1) ? 0 ,即 ?1? a ? 7时,

y ? f ? x? 在??1,1?上必有零点.

(3)若 y ? f ? x? 在??1,1? 上有两个零点, 则

?a ? 0,

?a ? 0,

??? ? 8(a ?1)(a ? 2) ? 0, ??? ? 8(a ?1)(a ? 2) ? 0,

? ??1 ? ?

?

1 a

? 1,



? ??1 ? ?

?

1 a

?

1,

? f (?1) ? 0,

? f (?1) ? 0,

? ?

f

(1)

?

0

? ?

f

(1)

?

0.

解得 a ? 7 或 a ? ?2 .

综上所述,函数 f (x) 在区间??1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1或 a ? ?2

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