2018年秋高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1第1课时正弦定理1学案新人教A

第 1 课时 正弦定理(1) 学习目标: 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索, 掌握正弦定理的内容及其证明(难 点).2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题(重点). [自 主 预 习·探 新 知] 1.正弦定理 思考:如图 1?1?1,在 Rt△ABC 中, , , 各自等于什么? sin A sin B sin C a b c 图 1?1?1 [提示] = = =c. sin A sin B sin C a b c 2.解三角形 (1)一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素. (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 思考:利用正弦定理可以解决哪两类有关三角形问题? [提示] 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题: ①已知两角和任意一边,求其他两边和第三个角; ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,从而求出其他的边和角. [基础自测] 1.思考辨析 (1)正弦定理只适用于锐角三角形.( (2)正弦定理不适用于直角三角形.( ) ) ) (3)在某一确定的三角形中,各边与它所对的角的正弦的比值是一定值.( [答案] (1)× (2)× (3)√ -1- 提示:正弦定理适用于任意三角形,故(1)(2)均不正确. 2.在△ABC 中,若 A=60°,B=45°,BC=3 2,则 AC=________. 【导学号:91432000】 2 3 [由正弦定理得: 3 2 AC 3 2×sin 45° = ,所以 AC= =2 3.] sin 60° sin 45° sin 60° 3.在△ABC 中,A=45°,c=2,则 AC 边上的高等于______________. 2 [AC 边上的高为 ABsin A=csin A=2sin 45°= 2.] π 4.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,A= ,则 C=________. 3 【导学号:91432001】 π 2 3 3 1 [由正弦定理得: = ,所以 sin B= . π sin B 2 sin 3 π , 6 又 a>b,所以 A>B,所以 B= ?π π ? π 所以 C=π -? + ?= .] ?3 6? 2 [合 作 探 究·攻 重 难] 定理证明 在钝角△ABC 中,证明正弦定理. [证明] 如图,过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D,D 是 BA 延长线上一点, 根据正弦函数的定义知: CD CD =sin∠CAD=sin(180°-A)=sin A, =sin B. b a ∴CD=bsin A=asin B. ∴ = . sin A sin B = . sin B sin C a b 同理, 故 b c = = . sin A sin B sin C a b c [规律方法] (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联,系, 充分挖掘这些联系可以使你 理解更深刻,记忆更牢固. -2- (2)要证 = ,只需证 asin B=bsin A,而 asin B,bsin A 都对应 CD.初看是神 sin A sin B 来之笔,仔细体会还是有迹可循的,通过体会思维的轨迹,可以提高我们的分析解题能力. [跟踪训练] 1.如图 1?1?2,锐角△ABC 的外接圆 O 半径为 R,证明 =2R. sin A 【导学号:91432002】 a b a 图 1?1?2 [证明] 连接 BO 并延长,交外接圆于点 A′,连接 A′C, 则圆周角∠A′=∠A. ∵A′B 为直径,长度为 2R, ∴∠A′CB=90°, ∴sin A′= BC a = , A′B 2R a ∴sin A= ,即 =2R. 2R sin A a 用正弦定理解三角形 已知△ABC 中,a=10,A=30°,C=45°,求角 B,边 b,c. 思路探究:①角 A,B,C 满足什么关系? ②105°可拆分成哪两个特殊角的和? ③由正弦定理如何求得 b,c 的值? [解] ∵A=30°,C=45°, ∴B=180°-(A+C)=105°, 又由正弦定理得:c= asin C =10 2. sin A asin B 10·sin 105° b= = =20sin(60°+45°)=5( 6+ 2). sin A sin 30° ∴B=105°,b=5( 6+ 2),c=10 2. [规律方法] (1)正弦定理实际上是三个等式: = , = , = ,每个等 sin A sin B sin B sin C sin A sin C -3- a b b c a c 式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)具体地说,以下两种情形适用正弦定理: ①已知三角形的任意两角与一边; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角. [跟踪训练] 2.已知∠B=30°,b= 2,c=2,求 A、C、a. 【导学号:91432003】 [解] 由正弦定理得:sin C= ∵c>b,0°<C<180°, ∴C=45°或 135°. 当 C=45°时,A=105°, c·sin B 2sin 30° 2 = = , b 2 2 bsin A 2sin 105° a= = = 3+1, sin B sin 30° 当 C=135°时,A=15°, bsin A 2sin 15° a= = = 3-1. sin B sin 30° 三角形形状的判断 [探究问题] 1.已知△ABC 的外接圆 O 的直径长为 2R,试借助△ABC 的外接圆推导出正弦定理. 提示:如图,连接 BO 并延长交圆 O 于点 D,连接 CD,则∠BCD=90°,∠BAC =∠BDC,在 Rt△BCD 中,BC=BD·sin∠BDC,所以 a=2Rsin A,即 =2R, sin A 同理 =2R, =2R,所以 = =

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