简单的三角恒等变换

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课前热身

激活思维

1. (2009·佛山市质量检测)已知 sin(? -?)= 3 ,则 cos(π -2α )=___________.

2

5

[答案] 7 25

2.

若 tan 5 ? 3



=-5,则

tan

? ??

? 2

??

? ??

的值是____________.

[答案]5

[解析]∵tan

? ??

5 3

?

?

?

? ??

=tan

???2?

?

? ??

? 3

??

?? ????

=-tan

? ??

? 3

?

?

? ??

=-5,∴tan

? ??

? 3

??

? ??

=5.

3. (2009·广东五校三次联考)函数 y ? sin2 x ? cos2 x 的最小正周期是___________.

2

2

[答案]2π

4. 若α ∈ (? , 3 ? ) ,化简 1 ? 1 1 ? 1 cos 2? =____________.

2

2 22 2

[答案]sin ? 2

[解析]∵α



? ??

?

,

3 2

?

? ??

,∴

1?1 22

1 ? 1 cos 2? ? 22

1?1 22

cos2 ? ?

1 ? 1 cos? 22

? sin ? ? sin ? .

2

2

知识梳理 1. 在三角式的化简、求值等三角恒等变换中,要注意将不同名的三角函数化成同名的三角函数,如
果遇到有正切、正弦、余弦并存时,要注意切化弦思想的应用.

2. 注意“1”的代换,如 1=sin2α + cos2 ? = tan ? ;还有 1+cosα = 2 cos2 ? ,1-cosα = 2 cos2 ? .

4

2

2

3. sinα ·cosα 与 sinα ±cosα 的关系是 (sin? ? cos? )2 ? 1? 2sin? cos?..

4. 常见的“变角”方法有 2α =(α +β )+ (? ? ? ) ;α =(α +β )-β =(α -β )+β .

知识点 1 利用恒等变形进行化简求值

课堂导学

1/8

简单的三角恒等变换

【例 1】

(2009·佛山质检)化简:sin2α

·sin2β

+cos2α

·cos2β

1
-

cos2α

·cos2β



2

[思维引导]对三角函数式化简的目标:次数尽可能低,角尽可能少,三角函数名称尽可能统一,项数尽可能

少.观察欲化简的式子发现:次数为 2(有降次的可能),涉及的角有α ,β ,2α ,2β (需要把 2α 化为

α ,2β 化为β ),函数名称为正弦、余弦(可以利用平方关系进行名称的统一),共有 3 项(需要减少).

由于侧重角度不同,出发点不同,本题化简方法不止一种.

[解答一](侧重角变换):

原式=sin2α

·sin2β

+cos2α

·cos2β

1
-

·(2cos2α

-1)·(2cos2β

-1)

2

=sinα

·sin2β

+cos2α

·cos2β

1
-

(4cos2α

·cos2β

-2cos+α

-2cos+β

+1)

2

=sin2α

·sin2β

-cos2α

·cos2β

+cos2α

+cos2β

1
-

2

=sin2α

·sin2β

+cos2α

sin2β

+cos2β

1
-

2

=sin2β

+cos2β

1
-

=1-

1

=

1

.

2 22

[解答二](侧重函数名变换:异名化同名):

原式=sin2α

·sin2β

+(1-sin2α

)·cos2β

1
-

cos2α

·cos2β

2

=cos2β -sin2α (cos2β -sin2β )- 1 cos2α ·cos2β 2

=cos2β -sin2α ·cos2β - 1 cos2α ·cos2β 2

=cos2β

-cos2β

·

? ?

sin

2

?

?

?

1 cos 2? 2

? ??

?

1? cos 2? 2

? cos 2?

???sin2 ?

?

1 2

(1

?

2

sin

2

?

)

? ??

? 1? cos 2? ? 1 cos 2? ? 1 .

2

2

2

[解答三](侧重次数变换,用降幂公式):

原式 ? 1? cos 2? 1? cos 2? ? 1? cos 2? 1? cos 2? ? 1 cos 2? cos 2?

2

2

2

2

2

? 1 (1? cos 2? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? ) ? 1 (1? cos 2? cos 2? ? cos 2? ? cos 2? )

4

4

? 1 cos 2? cos 2? ? 1

2

2

[解答四](侧重“形”的变换,利用配方法,先对二次项配方):

原式=(sinα ·sinβ -cosα ·cosβ )2+2sinα ·sinβ ·cosα ·cosβ - 1 cos2α ·cos2β 2

2/8

简单的三角恒等变换

=cos2(α +β )+ 1 sin2α ·sin2β - 1 cos2α ·cos2β

2

2

=cos2(α +β )- 1 ·cos(2α +2β ) 2

=cos2(α +β )- 1 ·[2cos2(α +β )-1]= 1 .

2

2

[精要点评]在对三角式作变形时,以上四种方法提供了四种变形的角度,这也是研究其他三角问题时经

常要用的变形手法.抓住三角式的特点是三角变换的关键,根据化简要求,寻求化简路径,选择相应的公式

进行合理变形是三角变换的基本思想.

【变式拓展】化简:(1)

2cos2 ? ?1

2 tan(? ?? )sin2(?

??)

;

(1? sin?
(2)

? cos? )(sin ? 2
2 ? 2cos?

? cos ? ) 2 (0 ? ?

??).

4

4

[ 解 答 ]( 1 )

原式=

2 c o2 ?s ? 1

2 s i ?n ?( ? 4
c o s? (??

c

) o 2s

?

(?

?

)4

4

2cos2 ? ?1

2cos2 ? ?1

= 2sin(? ?? ) cos(? ? ? ) = sin(? ? 2? )

)

4

4

2

= 2cos2 ? ?1 ? cos 2? ? 1. cos 2? cos 2?

(2cos2 ? ? 2cos ? sin ? )(sin ? ? cos ? ) 2cos ? (cos ? ? sin ? )(sin ? ? cos ? )

(2) 原式=

2

22 2

2=

22

22

2

2(1? cos? )

2 2cos2 ?

2

2cos ? (sin2 ? ? cos2 ? ) cos ? (? cos? )

=

2

2

2? 2

2 cos ?

cos ?

2

2

∵0<θ

<π

,∴0< ?

<?

,∴

? cos

?
=cos .

∴原式=-cosθ .

22

2

2

【备讲例题】 已知 tan ? ? 2. 2

求:(1)

tan

? ??

?

?

? 4

? ??

的值;(2)

6sin? ? cos? 的值. 3sin? ? 2cos?

[解答]∵tan ? 2

=2,∴tanα

2 tan ?

=

1

?

tan

2 2?

? 4 ? ?4. 1?4 3

2

3/8

简单的三角恒等变换

(1)

tan

????

?

? 4

? ??

?

tan? ?1 1? tan?

?

? 4 ?1 3 4 ?1

?

?

1 7

.

3

(2) 6sin? ? cos?

?

6 tan?

?1

?

6

?

? ??

?

4 3

? ??

?1

?

7

.

3sin? ? 2cos?

3tan? ? 2

3?

? ??

?

4 3

? ??

?

2

6

知识点 2 利用恒等变形进行证明

【例 2】证明:(1)

tan2

x

?

1 tan2

x

?

2(3 ? cos 4x) 1? cos 4x

;

(2) sin(2A ? B) ? 2cos( A ? B) ? sin B

sin A

sin A

[思维引导](1) 由等式两边的差异知:若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”;若“从右证到左”,

必定要用倍角公式.

(2) 由两边角的差异知,应将左式中 2A+B 化为(A+B)+A,利用和角公式展开,通分后再逆用差角公

式,化简即可.

[解答](1)左边= ?

sin2 x ? cos2 x cos2 x sin2 x

?

sin4 x ? cos4 x sin2 x cos2 x

?

(sin 2

x ? cos2 x)2 ? 2sin2 x cos2 1 sin2 2x

x

4

1? 1 sin2 2x ?2

?

1? 1 sin2 2x 2

? 8 ? 4sin2 2x

?

4 ? 4cos2 2x

?

4 ? 2(1? cos 4x) ? 2(3 ? cos 4x) =右.

1 sin2 2x 1 (1? cos 4x) 1? cos 4x 1? cos 4x

1? cos 4x

1? cos 4x

4

8

(2) 左边 ? sin[(A ? B) ? A] ? 2cos(A ? B)sin A ? sin( A ? B)cos A ? cos( A ? B)sin A

sin A

sin A

? sin[(A ? B) ? A] ? sin B ? 右边.

sin A

sin A

[精要点评](1) 切化弦、高次降幂是常用的化简技巧;(2) 寻找左右两边角的差异,进行巧妙变换角

是解答本题的关键.

【变式拓展】求证: 1? sin? ? cos? ? 1? sin? ? cos? ? 2 . 1? sin? ? cos? 1? sin? ? cos? sin?

2sin2 ? ? 2sin ? cos ? 2cos2 ? ? 2sin ? cos ?

[解答]左边=

2 2cos2 ?

2 ? 2sin ?

2 cos ?

?

2

22

2sin2 ? ? 2sin ? cos ?

2

22

2

22

2sin ? (sin ? ? cos ? ) 2cos ? (cos ? ? sin ? ) sin ? cos ? sin2 ? ? cos2 ?

?

2 2cos ?

2 (cos ?

2 ? sin ? )

?

22 2 2sin ? (sin ? ? cos ? )

?

2 cos ?

?

2 sin ?

?

2

2

sin ? cos ?

22 2

22 2

22

22

= 2 =右边. sin?

4/8

简单的三角恒等变换

【备讲例题】 已知 sinα 是 sinθ 与 cosθ 的等差中项,sinβ 是 sinθ 与 cosθ 的等比中项,

求证:cos2β

=2cos2α

?? =2cos2 ?? 4

??

? ??

.

[解答]由题意知

sinα

sin?
=

? cos?

,①

2

sin2β =sinθ cosθ .②

① 平方得 4sin2α =1+sin2θ .

∴2-2cos2α =1+sin2θ ,

∴2cos2α =1-sin2θ .③

由②得 1? cos 2? = 1 sin2θ ,∴cos2β =1-sin2θ .④

2

2



2cos2

? ??

? 4

??

? ??

=1+cos

? ??

? 2

? 2?

? ??

=1-sin2θ

,⑤

由③④⑤得

cos2β

=2cos2α

=2cos2

? ??

? 4

??

? ??

.

知识点 3 恒等变形在解三角函数问题中的运用
【例 3】已知函数 f(x)=a+bsinx+ccosx(x∈R)的图象过点 A(0,1),B( ? ,1)且 b>0,f(x)的最大值为 2 2 ?1. 2
(1) 求函数 f(x)的解析式.
(2) 由函数 y=f(x)图象经过平移是否能得到一个奇函数 y=g(x)的图象?若能,请写出平移的过程;若不能,

请说明理由.

[思维引导]本题是三角函数求解问题,但所给的三角式要进行变形,通常化为一个角的一个三角函数形

式,即“合一变形”.

[解答](1) f(x)=a+bsinx+ccosx=a+ b2 ? c2 sin(x+φ )(tanφ = c ). b

?a ? c ? 1, ? 由题意,可得 ?a ? b ? 1,

?a ? ?1, 解得 ??b ? 2,

? ?a ?

b2 ? c2 ? 2

2 ?1,

??c ? 2.

所以 f(x)=-1+2sinx+2cosx.

( 2 ) f ( x ) =-1+2sinx+2cosx=2

2

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

-1 , 将

f(x)的图象向上平移

1

个单位得到函数

y=2

2

sin

? ??

x

?

? 4

? ??

的图象,再向右平移

? 4

个单位得到

y=2

2 sinx 的图象.

故将 f(x)的图象先向上平移 1 个单位,再向右平移 ? 个单位就可以得到奇函数 y=g(x)的图象. 4

5/8

简单的三角恒等变换

[精要点评]本题考查的是三角函数的图象和性质等基础知识,是高考命题的重点内容,应予以重视.

知识点 4 恒等变形在解三角应用问题中的运用

【例 4】如图,某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地,△ABC 外的地方种草,△ABC 的内

接正方形 PQRS 为一水池,其余的地方种花.若 BC=a,∠ABC=θ ,设△ABC 的面积为 S1,正方形的面积 为 S2.
(1) 用 a,θ 表示 S1 和 S2;

(2) 当 a 固定,θ 变化时,求 S1 取最小值时角θ 的值. S2

[解答](1)

∵AC=asinθ

,AB=acosθ

,∴S1=

1 2

a2sinθ

cosθ

1
=
4

a2sin2θ

.

设正方形边长为 x,则 BQ= x , RC ? x tan?, ∴ x ? x ? x tan? ? ? ,

tan ?

tan ?

即 x=

1

?

? asin? cos?

? tan? ?1 1? sin? cos?

? a sin 2? . 2 ? sin 2?



S2

?

? ??

a sin 2? 2 ? sin 2?

2
? ? ?

?

4

?

a2 sin2

sin2 2? 2? ? 4sin

2?

tan?

(2) 当 a 固定,θ 变化时, S1 ? S2

1 4

? ??

4 sin 2?

? sin 2?

?

4 ???.

令 sin2?

? t,则

S1 S2

?

1? 4 4 ?? sin 2?

? sin 2?

? 4 ???.

令 sin 2?

? t,则

S1 S2

?

1 4

? ??

t

?

4 t

?

4 ??? .

∵0<θ < ? ,∴0<t≤1.令 f(t)=t+ 4 . 用导数知识可以证明:函数 f(t)=t+ 4 在(0,1]上是减函数.

2

t

t

于是当 t=1 时,

S1

取最小值,此时θ

?
=



S2

4

[精要点评]三角函数有着广泛的应用,本题就是一个典型的范例.通过引入角度,将图形的语言转化为三
角的符号语言,再将其转化为我们熟知的函数 f(t)=t+ 4 . t
规范答题赏析 (2009·河南模拟改编)

如图,足球比赛场的宽度为 a m,球门宽为 b m,在足球比赛中,甲方边锋沿球场

边线,带球过人沿直线向前推进.试问:该边锋在距乙方底线多远时起脚射门可命中

角的正切值最大?(注:图中 AB 表示乙方所守球门,所在直线为乙方底线,只考虑在

同一平面上的情形)

[规范解答] 以 L 为 x 轴,D 点为坐标原点,建立直角坐标系如图所示,设 AB 的中点为 M,则根据对称

性有 AD ? a ? b , DB ? DM ? BM ? a ? b ,由此可知定点 A、B 的坐标分别为 (0, a ? b) 、 (0, a ? b) (a

2

2

2

2

6/8

简单的三角恒等变换

>b>0) …………………………………………………2 分

设动点 C 的坐标为(x,0)(x>0),记∠ACO=α ,∠BCO=β ,且α ,β ∈ (0, ? ) , …4 分 2

∴tan∠ACB=tan(α



tan? ? tan ?
)=
1? tan? ? tan ?

a?b ? a?b

?

2x 1? a ?

b

?

2x a?

b

?

x?

b a2 ? b2

2x 2x

4x

…………8 分

∵ x ? a2 ? b2 ? 2

a2 ? b2

x?

?

a2 ? b2 .

4x

4x

∴tan∠ACB≤ b , ……………………………………………………10 分 a2 ? b2

当且仅当 x ? a2 ? b2 ,即 x ? a2 ? b2 时,tan∠ACB 达到最大.∴ C( a2 ? b2 ,0) …11 分

4x

2

2

答:该边锋在距乙方底线 a2 ? b2 m 时起脚射门可命中角的正切值最大 ………12 分 2

[要点反思]由于三角函数是研究“角”这个图形的数学分支,而生活科研中经常遇到角的问题,

所以这里我们选了一道应用问题,供同学们参考.本题在分析时,易联想到用正切来表示球员对球门所张
的角,因为涉及正切函数的时候较多,同时正切在 (0, ? ) 上是增函数. 2
总结规律

1. 三角变换公式多,要对公式的来龙去脉了解清楚,把握住公式的结构,这样才能正确地应用公

式,并注意公式的逆用,变形使用和配凑后再用的方法.

2. 三角变换主要体现在函数名称的变换、角的变换、“1”的变换、幂的变换等方面.

3. 掌握基本技巧:切化弦,异名化同名,异角化同角等. 基础达标
1. 若 sin? ? cos? ? tan ? (0 ? ? ? ? ) ,则 tan ? 的取值范围是______. 2

2.

(2009·江苏省冲刺模拟)若?

?

? ??

? 4

,? 2

? ??

,

sin

2?

? 1 ,则 cos? 16

? sin?

的值是______.

3. 函数 y ? sin 2xcos 2 x 的最小正周期是_______.

7/8

简单的三角恒等变换

4. 不查表求值: 2sin130? ? sin100?(1+tan370?) ? __________. 1? cos10?

5.(2009·省丹中一摸)若角? 的终边落在射线 y ? ?x(x ? 0) 上,则 sin? ? 1? cos2 ? ? ________. 1? sin2 ? cos?

6. 已知 f (x) ?

1?

x

,当?

?

? ??

5? 4

,

3? 2

? ??

时,式子

f

(sin 2?) ?

f

(?sin

2? )

可化简为_______.

7.

(2009 · 泰 州 市 第 一 次 联 考 ) 设

?

,?

为常数,?

?

? ??

0,

? 4

? ??

,?

?

? ??

? 4

,? 2

? ??

,若

sin(?

?

?

)?

sin?( ? ?

)

? sin? (sin? ? sin ? ) ? cos? ?(cos? ? cos ? )

对一切?, ? ∈R 恒成立,则 tan? tan ? ? cos(? ? ? ) ? _________.

sin 2

????

?

? 4

? ??

8.

(2009·盐城中学期末卷)已知

sin

? ??

x

?

? 6

? ??

?

1 4

,则

sin

? ??

5? 6

?

x

? ??

?

sin

2

? ??

? 3

?

x

? ??

?

_______.

能力提升
9. 设? 为第四象限的角,若 sin 3? ? 13 ,求 tan 2? 的值. sin? 5

10.

求证: 1? sin? 1? sin?

? cos? ? cos?

?

tan

? ??

? 4

?? 2

? ??



11.

已知 sin2 2?

? sin 2? cos? ? cos 2?

? 1,?

?

? ??

0,

? 2

? ??

,求

sin?

,

tan

?

的值.

滚动训练
12. 已知函数 f (x) ? ? 3 sin2 x ? sin x cos x .

(1)



f

? ??

25? 6

? ??

的值;

(2)

设?

??0,?

?,

f

?? ?? 2

? ??

?

1 4

?

3 ,求 sin? 的值. 2

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